Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника часто обозначаются маленькими буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые.
Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов тупой.
Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен 90°; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами ; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой .
Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две его стороны равны (a = c); эти равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием треугольника .
Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все его стороны равны (a = b = c). Если в треугольнике не равна ни одна из его сторон (abc), то это неравносторонний треугольник .
Основные свойства треугольников
В любом треугольнике:
Признаки равенства треугольников
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника .
Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника — снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Срединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.
В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника, в тупоугольном — снаружи, в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора
Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b) 2. С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
и окончательно имеем:
c 2 = a 2 + b 2 .
Соотношение сторон в произвольном треугольнике
В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab * cos C,
где С — угол между сторонами а и b.
- school-club.ru — какие бывают треугольники?
- math.ru — виды треугольников;
- raduga.rkc-74.ru — все о треугольниках для самых маленьких.
Что такое маркетинговый аудит
Аудит маркетинга (маркетинговый аудит) - это ревизия, обнаружение слабых мест в концепции, стратегиях и планах маркетинга, в результатах их реализации, а также всеобъемлющая, систематическая, независимая и периодическая проверка внешней среды маркетинга, целей, стратегий и отдельных видов маркетинговой деятельности фирмы и ее подразделений. На основе ауд
Что такое диаметр
Диаметр в изначальном значении — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам: D = 2R. Радиус (лат. radius — спица колеса, луч) — отрезок, соединяющий центр окружности (или сферы) с любой точкой, лежащей на окру
Основные составляющие компьютера: материнская плата (MB, Motherboard) - плата, на которую устанавливаются процессор, память, и карты расширения. Основное связующее звено системы. процессор (CPU) - основное вычислительное устройство. Определяет вычислительную мощь. оперативная память (RAM) - в нее загружаются программы, выполняющиес
Кто такой Отто Варбург
Отто Генрих Варбург (Warburg) c (8.10.1883, Фрейбург, Баден, — 1.8.1970, Западный Берлин), немецкий биохимик и физиолог, ученик Э. Фишера. Член Лондонского королевского общества. Учился в Берлине и Гейдельберге. в 1906 защитил докторскую диссертацию по химии, в 1911 — по мед
Что такое похмелье
Похмелье — состояние, испытываемое через некоторое время после употребления алкоголя (как правило, речь идёт о состоянии после среднего и тяжёлого опьянения). СимптомыПохмелье может иметь следующие симптомы: сухость во рту, головная боль, тремор (дрожь во всем теле), раздражительность, покраснение глаз, повышенная чувствительность к свету и шуму, тошнота, рвота, боли в конечн
Каковы преимущества квалификации «магистр»
Магистр (от лат. magister — наставник, учитель) — вторая академическая степень, квалификация (в некоторых странах — начальная учёная степень), приобретаемая студентом после окончания магистратуры (освоения специальной программы обучения) и присваиваемая в высших учебных заведениях США, Великобритании и други
Для чего нужна программа "SPB Time (& Lite)" для iPhone
Прикладные программы для iPhone SMS, MMS mySMS — SMS-клиент. iRealSMS — SMS-клиент. biteSMS — SMS-клиент. SwirlyMMS — MMS-клиент. Alibi SMS — отсылка S
Как правильно выбрать мотокультиватор
Мотокультиватор служит для сплошной предпосевной обработки почвы (рыхления поверхностного слоя без переворачивания), уничтожения сорняков, выравнивания поверхности земли, размельчения глыб после вспашки, разрыхления грунтовой корки, равно мерного перемешивания с почвой вносимых удобрений. Культиваторы также, используют для обработки междурядий и приствольных полос в садах.Вес культиваторов коле
Как вызвать скорую помощь с мобильного телефона "МТС"
Представляется расширенный список номеров телефонов для вызова экстренных служб абонентами операторов сотовой связи «МТС», «Мегафон», «Билайн», и других операторов сотовой связи. Телефоны вызова этих служб действительны для всех регионов РФ. Единый телефонный номер службы спасения 91
Когда отмечают Международный день невинных детей - жертв агрессии
Международный день невинных детей - жертв агрессии отмечают 4 июня. Международный день детей - жертв агрессии отмечается в годовщину бомбардировки жилых кварталов Бейрута израильскими вооруженными силами (4 июня 1982 г.) по решению Чрезвычайной специальной сессии Генеральной Ассамблеи ООН по палестинскому вопросу от 19 августа 1982г. 19 августа
Где находится "Национальный медико-хирургический центр имени Н.И.Пирогова"
ФГУ «Национальный медико-хирургический центр имени Н.И.Пирогова» создан для обеспечения граждан России на федеральном уровне доступной выскотехнологичной медицинской помощи, как в Москве, так и в других субъектах Российской Федерации, а также для внедрения в практическое здравоохранение достижений академической, вузовской и мировой науки. Центр организует и про
1. Медиана делит сторону пополам.
И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!
2. Теорема: медиана делит площадь пополам.
Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.
И применим эту формулу аж два раза!
Посмотри, медиана разделила на два треугольника: и. Но! Высота-то у них одна и та же - ! Только в эта высота опускается на сторону , а в - на продолжение стороны . Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота - одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу.
Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?
Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.
Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении, считая от вершины.
Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:
Соединим точки и. Что получилось?
А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину - поставим точку, отметим середину - поставим точку.
Теперь - средняя линия. То есть
- параллельна;
Заметил совпадения? И, и - параллельны. И, и.
Что из этого следует?
- параллельна;
Конечно же, только у параллелограмма!
Значит, - параллелограмм . Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.
Снова смотрим на рисунок.
То есть - медиана разделена точками и на три равные части. И точно так же.
Значит, точкой обе медианы разделились именно в отношении, то есть и.
Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану и проведем медианы и.
А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан и. Что тогда?
Получится, что медиана разделит медиану абсолютно точно так же: в отношении, считая от точки.
Но сколько же может быть точек на отрезке, которые делят его в отношении, считая от точки?
Конечно же, только одна! И мы её уже видели - это точка.
Что же получилось в итоге?
Медиана точно прошла через! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении, считая от вершины.
Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.
4. Формула длины медианы
Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство - смотри следующий уровень).
Как бы понять, отчего так выходит?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.
Итак, рассмотрим прямоугольник.
Ты заметил, что наш треугольник - ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ
Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему )
Но одна из диагоналей - - наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей - середина гипотенузы. Она называлась у нас.
Значит, половина второй диагонали - наша медиана. Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой - нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.
Вот, задача:
В стороны; . Из вершины проведена медиана. Найти, если.
Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике , мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!
Применяем теорему Пифагора.
Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников. Биссектриса угла треугольника- это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны. Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Точка \(C\) называется основанием перпендикуляра. Отложим от луча \(BC\) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне \(BC\)). Но углы∡ACB и∡A1CB \(\)- смежные, значит каждый из них прямой. Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:1. У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы. Найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;3.
Из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр - это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) - это и будет высота. Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличается.
Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон. Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота - самим коротким отрезком. Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.
Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, когда углу напротив основания провести биссектрису \(BD\). Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла этого треугольника.
Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Эта прямая называется прямой Эйлера. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.
Свойства медиан треугольника
Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне. 2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Сторона \(BA\) совместится со сторонойBA1. Следовательно совмещается угол∡ACB с∡A1CB.
Найти середину стороны;2. Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. AB = BC\) - боковые стороны, \(AC\) - основание. Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.
I признак подобия треугольников. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника). В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. ПрямаяAA1 перпендикулярна прямой \(BC\), а отрезок \(AC\) является перпендикуляром от точки \(A\) к прямой \(BC\).