Синусы углов необходимо бывает вычислять не только в прямоугольном треугольнике, но и в любом другом. Для этого нужно провести высоту треугольника (перпендикуляр к одной из сторон, опущенный из противоположного угла) и решать задачу как для прямоугольного треугольника, используя в качестве одного из катетов высоту.
Как находить синус внешнего угла треугольника
Сначала нужно понять, что такое внешний угол. У нас есть произвольный треугольник АВС. Если одну из сторон, например, АС, продолжить за пределы угла ВАС и нарисовать луч АО, то новый угол ОАВ будет внешним. Вот его синус мы и будем искать.
Для решения задачи нам нужно из угла АВС опустить перпендикуляр ВН на сторону АС. Это будет высота треугольника. Ход решения задачи будет зависеть от того, что нам известно.
Самый простой вариант - если известен угол ВАС. Тогда задача решается предельно легко. Поскольку луч ОС - прямая, то угол ОАС=180°. Значит, угол ОАВ и ВАС - смежные, а синусы смежных углов равны по величине.
Рассмотрим другую задачу: в произвольном треугольнике АВС известна сторона: AB=a и высота ВН=h. Нужно найти синус угла ОАС. Поскольку у нас теперь получился прямоугольный треугольник АВН, синус угла АВН будет равен отношению катета ВН к гипотенузе АВ:
- sinBAH = BH/AB = h/a.
Это тоже просто. Более сложная задача, если известна высота h и стороны AC=c, ВС=b, при этом нужно найти синус угла ОАВ.
По теореме Пифагора находим катет СН треугольника ВСН:
- BC² = BH² + CH² b² = h² + CH²,
- CH² = b² - h², CH = √(b² - h²).
Отсюда можно найти отрезок АН стороны АС:
- AH = AC - CH = c - √(b² - h²).
Теперь опять используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону АВ треугольника АВН:
- AB² = BH² + AH² = h² + (c - √(b² - h²))².
Синус угла ВАС равен отношению высоты ВН треугольника к стороне АВ:
- sinBAC = BH/AH = h/(c - √(b² - h²)).
Поскольку углы ОАВ и ВАС смежные, их синусы равны по величине.
Так, комбинируя теорему Пифагора, определение синуса и некоторые другие теоремы (в частности, о смежных углах) можно решить практически большинство задач о треугольниках, в том числе найти синус внешнего угла. Иногда могут понадобиться дополнительные построения: провести высоту из нужного угла, продолжить сторону угла за его пределы и т.п.
В разделе на вопрос дан прямоугольный треугольник ABC,угол С-прямой. Найдите синус внешнего угла при вершине В, если АС=3,а АВ=5 заданный автором Анастасия Полупан
лучший ответ это Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна.
Смежные углы
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине - это угол, смежный с углом. Если угол острый, то смежный с ним угол - тупой, и наоборот.
Внешний угол треугольника
Обратите внимание, что:
Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия» , в теме «Тригонометрический круг» , мы вернемся к ним.
Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
1. В треугольнике угол равен, .Найдите тангенс внешнего угла при вершине.
Внешний угол прямоугльного треугольника
Пусть - внешний угол при вершине.
Зная, найдем по формуле
Получим:
2. В треугольнике угол равен, .Найдите синус внешнего угла при вершине.
Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна, .Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен.
По определению любой угол составляют два несовпадающих луча, которые выходят из единственной общей точки - вершины. Если один из лучей продолжить за вершину, это продолжение вместе со вторым лучом образует еще один угол - он называется смежным. Смежный угол в вершине любого выпуклого многоугольника называют внешним, так как он лежит вне участка поверхности, ограниченного сторонами этой фигуры.
Инструкция
Если вам известно значение синуса внутреннего угла (??) геометрической фигуры, вычислять что-либо нет необходимости - синус соответствующего ему внешнего угла (??) будет иметь точно такое же значение: sin(??) = sin(??). Это определяется свойствами тригонометрической функции sin(??) = sin(180°-??). Если бы требовалось узнать, например, значение косинуса или тангенса внешнего угла, эту величину нужно было бы брать с противоположным знаком.
Существует теорема о том, что в треугольнике сумма величин двух любых внутренних углов равна величине внешнего угла третьей вершины. Используйте ее в том случае, если величина внутреннего угла, соответствующего рассматриваемому внешнему (??), неизвестна, а углы (?? и??) в двух других вершинах приведены в условиях. Найдите синус от суммы известных углов: sin(??) = sin(??+??).
Задача с теми же исходными условиями, что и в предыдущем шаге, имеет и другое решение. Оно вытекает из другой теоремы - о сумме внутренних углов треугольника. Так как эта сумма, согласно теореме, должна быть равна 180°, величину неизвестного внутреннего угла можно выразить через два известных (?? и??) - она будет равна 180°-??-??. Это означает, что вы можете использовать формулу из первого шага, заменив в нем величину внутреннего угла этим выражением: sin(??) = sin(180°-??-??).
В правильном многоугольнике величина внешнего угла при любой вершине равна величине центрального угла, а значит, может быть рассчитана по той же формуле, что и он. Поэтому, если в условиях задачи дано число сторон (n) многоугольника, при вычислении синуса любого внешнего угла (??) исходите из того, что его величина равна полному обороту, поделенному на число сторон. Полный оборот в радианах выражается удвоенным числом Пи, поэтому формула должна иметь такой вид: sin(??) = sin(2*?/n). При расчетах в градусах удвоенное Пи замените на 360°: sin(??) = sin(360°/n).
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
«Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника» - Перпендикуляр. Сравните длины отрезков. Отрезок. Проверь себя. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Медиана. Запишите номера треугольников. Высота. Геометрический марафон. Биссектриса.
«Равносторонний треугольник» - Перпендикуляры. Треугольники. Внутри равностороннего треугольника. Вершины. Немецкий механик. Треугольник. Равносторонние треугольники. Удивительные соотношения. Посетили библиотеку. Провести исследование. Правильные треугольники. Равносторонний треугольник.
«Стороны и углы прямоугольного треугольника» - Определения синуса. Немного истории. Катет, лежащий против угла. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Красивая наука. Определения. Узелок на память. Запишите числа. Мама мой взяла листок. Значения для косинусов. Отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Отношение прилежащего катета к гипотенузе.
«Некоторые свойства прямоугольных треугольников» - Углы в прямоугольном треугольнике. Сумма острых углов. Свойства с доказательством. Задачи. Катет. Прямоугольные треугольники. Примените свойство катета. Задача из математической шкатулки. Некоторые свойства. Свойства прямоугольных треугольников. Прямоугольный труегольник. Самостоятельная работа. Середина стороны.
«Решение прямоугольных треугольников» - Прямоугольный треугольник. Найдите синус угла АСВ. Определим tg В. Основное тригонометрическое тождество. В треугольнике АВС угол С=90°. Определим cos В. Применение формул приведения при решении прямоугольного треугольника. Высота проведена к боковой стороне. Применение теоремы Пифагора. Задача, сводимая к задаче II типа.
«Равнобедренный треугольник и его свойства» - В равнобедренном треугольнике АВС Угол А равен 35градус. Определение высоты треугольника. СН - высота. ТРЕУГОЛЬНИК, все стороны которого равны, называется РАВНОСТОРОННИМ. Дома просмотреть презентацию. Где в жизни встречаются равнобедренные треугольники? Красивые здания, картины создаются с учетом принципа “золотого треугольника”.
Всего в теме 42 презентации