В одних и тех же осях.

Исследование распределения интенсивности света при дифракции на двух щелях.

4. Результаты измерений и их обработка

Вопросы

Упражнение 6

Вопросы.

1. Запишите формулу, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости прямолинейного равноускоренного движения, если известны: а) проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения; б) проекция вектора ускорения при том, что начальная скорость равна нулю.

2. Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости: а) равной нулю; б) не равной нулю?

3. Чем сходны и чем отличаются друг от друга движения, графики которых представлены на рисунках 11 и 12?

В обоих случаях движение происходит с ускорением, однако в первом случае ускорение положительно, а во-втором отрицательно.

Упражнения.

1. Хоккеист слегка ударил клюшкой по шайбе, придав ей скорость 2 м/с. Чему будет равна скорость шайбы через 4 с после удара, если в результате трения о лёд она движется с ускорением 0,25 м/с 2 ?

2. Лыжник съезжает с горы из состояния покоя с ускорением, равным 0,2 м/с 2 . Через какой промежуток времени его скорость возрастёт до 2 м/с?

3. В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось Х, сонаправленную с вектором начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев: а) v ox = 1м/с, a x = 0,5 м/с 2 ; б) v ox = 1м/с, a x = 1 м/с 2 ; в) v ox = 2 м/с, a x = 1 м/с 2 .
Масштаб во всех случаях одинаков: 1см- 1м/с; 1см - 1с.

4. В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось Х, сонаправленную с вектором начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев: а) v ox = 4,5 м/с, a x = -1,5 м/с 2 ; б) v ox = 3 м/с, a x = -1 м/с 2
Масштаб выберите сами.

5. На рисунке 13 представлены графики зависимости модуля вектора скорости от времени при прямолинейном движении двух тел. С каким по модулю ускорением движется тело I? тело II?

MatLab предоставляет богатый инструментарий по визуализации данных. Используя внутренний язык, можно выводить двумерные и трехмерные графики в декартовых и полярных координатах, выполнять отображение изображений с разной глубиной цвета и разными цветовыми картами, создавать простую анимацию результатов моделирования в процессе вычислений и многое другое.

Функция plot

Рассмотрение возможностей MatLab по визуализации данных начнем с двумерных графиков, которые обычно строятся с помощью функции plot(). Множество вариантов работы данной функции лучше всего рассмотреть на конкретных примерах.

Предположим, что требуется вывести график функции синуса в диапазоне от 0 до . Для этого зададим вектор (множество) точек по оси Ox, в которых будут отображаться значения функции синуса:

В результате получится вектор столбец со множеством значений от 0 до и с шагом 0,01. Затем, вычислим множество значений функции синуса в этих точках:

и выведем результат на экран

В результате получим график, представленный на рис. 3.1.

Представленная запись функции plot() показывает, что сначала записывается аргумент со множеством точек оси Ох, а затем, аргумент со множеством точек оси Oy. Зная эти значения, функция plot() имеет возможность построить точки на плоскости и линейно их интерполировать для придания непрерывного вида графика.

Рис. 3.1. Отображение функции синуса с помощью функции plot().

Функцию plot() можно записать и с одним аргументом x или y:

plot(x);
plot(y);

в результате получим два разных графика, представленные на рис. 3.2.

Анализ рис. 3.2 показывает, что в случае одного аргумента функция plot() отображает множество точек по оси Oy, а по оси Оx происходит автоматическая генерация множества точек с единичным шагом. Следовательно, для простой визуализации вектора в виде двумерного графика достаточно воспользоваться функцией plot() с одним аргументом.

Для построения нескольких графиков в одних и тех же координатных осях, функция plot() записывается следующим образом:

x = 0:0.01:pi;
y1 = sin(x);
y2 = cos(x);
plot(x,y1,x,y2);

Результат работы данного фрагмента программы представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.2. Результаты работы функции plot() с одним аргументом:

а – plot(x); б – plot(y).

Рис. 3.3. Отображение двух графиков в одних координатных осях.

Аналогичным образом можно построить два графика, используя один аргумент функции plot(). Предположим, что есть два вектора значений

y1 = sin(x);
y2 = cos(x);

которые требуется отобразить на экране. Для этого объединим их в двумерную матрицу

в которой столбцы составлены из векторов y1 и y2 соответственно. Такая матрица будет отображена функцией

plot(); % апострофы переводят вектор-строку
% в вектор-столбец

в виде двух графиков (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Отображение двумерной матрицы в виде двух графиков.

Два вектора в одних осях можно отобразить только в том случае, если их размерности совпадают. Когда же выполняется работа с векторами разных размерностей, то они либо должны быть приведены друг к другу по числу элементов, либо отображены на разных графиках. Отобразить графики в разных координатных осях можно несколькими способами. В самом простом случае можно создать два графических окна и в них отобразить нужные графики. Это делается следующим образом:

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

x2 = 0:0.01:pi;
y2 = cos(x2);

figure; % создание 2-го графического окна

Функция figure, используемая в данной программе, создает новое графическое окно и делает его активным. Функция plot(), вызываемая сразу после функции figure, отобразит график в текущем активном графическом окне. В результате на экране будут показаны два окна с двумя графиками.

Неудобство работы приведенного фрагмента программы заключается в том, что повторный вызов функции figure отобразит на экране еще одно новое окно и если программа будет выполнена дважды, то на экране окажется три графических окна, но только в двух из них будут актуальные данные. В этом случае было бы лучше построить программу так, чтобы на экране всегда отображалось два окна с нужными графиками. Этого можно достичь, если при вызове функции figure в качестве аргумента указывать номер графического окна, которое необходимо создать или сделать активным, если оно уже создано. Таким образом, вышеприведенную программу можно записать так.

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

X2 = 0:0.01:pi;
y2 = cos(x2);

Figure(1); %создание окна с номером 1
plot(x1, y1); % рисование первого графика
figure(2); % создание графического окна с номером 2
plot(x2, y2); % рисование 2-го графика во 2-м окне

При выполнении данной программы на экране всегда будут отображены только два графических окна с номерами 1 и 2, и в них показаны графики функций синуса и косинуса соответственно.

В некоторых случаях большего удобства представления информации можно достичь, отображая два графика в одном графическом окне. Это достигается путем использования функции subplot(), имеющая следующий синтаксис:

subplot(<число строк>, <число столбцов>, <номер координатной оси>)

Рассмотрим пример отображения двух графиков друг под другом вышеприведенных функций синуса и косинуса.

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

X2 = 0:0.01:pi;
y2 = cos(x2);

Figure(1);
subplot(2,1,1); % делим окно на 2 строки и один столбец
plot(x1,y1); % отображение первого графика
subplot(2,1,2); % строим 2-ю координатную ось
plot(x2,y2); % отображаем 2-й график в новых осях

Результат работы программы показан на рис. 3.5.

Аналогичным образом можно выводить два и более графиков в столбец, в виде таблицы и т.п. Кроме того, можно указывать точные координаты расположения графика в графическом окне. Для этого используется параметр position в функции subplot():

subplot(‘position’, );

где left – смещение от левой стороны окна; bottom – смещение от нижней стороны окна; width, height – ширина и высота графика в окне. Все эти переменные изменяются в пределах от 0 до 1.

Рис. 3.5. Пример работы функции subplot.

Ниже представлен фрагмент программы отображения графика функции синуса в центре графического окна. Результат работы показан на рис. 3.6.

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

Subplot(‘position’, );
plot(x1,y1);

В данном примере функция subplot() смещает график на треть от левой и нижней границ окна и рисует график с шириной и высотой в треть графического окна. В результате, получается эффект рисования функции синуса по центру основного окна.

Таким образом, используя параметр position можно произвольно размещать графические элементы в плоскости окна.

Рис. 3.6. Пример работы функции subplot с параметром position.

Оформление графиков

Пакет MatLab позволяет отображать графики с разным цветом и типом линий, показывать или скрывать сетку на графике, выполнять подпись осей и графика в целом, создавать легенду и многое другое. В данном параграфе рассмотрим наиболее важные функции, позволяющие делать такие оформления на примере двумерных графиков.

Функция plot() позволяет менять цвет и тип отображаемой линии. Для этого, используются дополнительные параметры, которые записываются следующим образом:

plot(, , <’цвет линии, тип линии, маркер точек’>);

Обратите внимание, что третий параметр записывается в апострофах и имеет обозначения, приведенные в таблицах 3.1-3.3. Маркеры, указанные ниже записываются подряд друг за другом, например,

‘ko’ – на графике отображает черными кружками точки графика,
‘ko-‘ – рисует график черной линией и проставляет точки в виде кружков.

Табл. 3.1. Обозначение цвета линии графика

Табл. 3.2. Обозначение типа линии графика

Табл. 3.3. Обозначение типа точек графика

Ниже показаны примеры записи функции plot() с разным набором маркеров.

x = 0:0.1:2*pi;
y = sin(x);

Subplot(2,2,1); plot(x,y,"r-");
subplot(2,2,2); plot(x,y,"r-",x,y,"ko");
subplot(2,2,3); plot(y,"b--");
subplot(2,2,4); plot(y,"b--+");

Результат работы фрагмента программы приведен на рис. 3.7. Представленный пример показывает, каким образом можно комбинировать маркеры для достижения требуемого результата. А на рис. 3.7 наглядно видно к каким визуальным эффектам приводят разные маркеры, используемые в программе. Следует особо отметить, что в четвертой строчке программы по сути отображаются два графика: первый рисуется красным цветом и непрерывной линией, а второй черными кружками заданных точек графика. Остальные варианты записи маркеров очевидны.

Рис. 3.7. Примеры отображения графиков с разными типами маркеров

Из примеров рис. 3.7 видно, что масштаб графиков по оси Ox несколько больше реальных значений. Дело в том, что система MatLab автоматически масштабирует систему координат для полного представления данных. Однако такая автоматическая настройка не всегда может удовлетворять интересам пользователя. Иногда требуется выделить отдельный фрагмент графика и только его показать целиком. Для этого используется функция axis() языка MatLab, которая имеет следующий синтаксис:

axis([ xmin, xmax, ymin, ymax ]),

где название указанных параметров говорят сами за себя.

Воспользуемся данной функцией для отображения графика функции синуса в пределах от 0 до :

x = 0:0.1:2*pi;
y = sin(x);

Subplot(1,2,1);
plot(x,y);
axis();

Subplot(1,2,2);
plot(x,y);
axis();

Из результата работы программы (рис. 3.8) видно, что несмотря на то, что функция синуса задана в диапазоне от 0 до , с помощью функции axis() можно отобразить как весь график, так и его фрагмент в пределах от 0 до .

Рис. 3.8. Пример работы функции axis()

В заключении данного параграфа рассмотрим возможности создания подписей графиков, осей и отображения сетки на графике. Для этого используются функции языка MatLab, перечисленные в табл. 3.4.

Таблица 3.4. Функции оформления графиков

Рассмотрим работу данных функций в следующем примере:

x = 0:0.1:2*pi;
y = sin(x);

Plot(x,y);
axis();
grid on;
title("The graphic of sin(x) function");
xlabel("The coordinate of Ox");
ylabel("The coordinate of Oy");
text(3.05,0.16,"\leftarrow sin(x)");

Из результата работы данной программы, представленного на рис. 3.9, видно каким образом работают функции создания подписей на графике, а также отображение сетки графика.

Таким образом, используя описанный набор функций и параметров, можно достичь желаемого способа оформления графиков в системе MatLab.

Рис. 3.9. Пример работы функций оформления графика

и выведем результат на экран

В результате получим график, представленный на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Отображение функции синуса с помощью функции plot().

Функцию plot() можно записать и с одним аргументом x или y:

plot(x);
plot(y);

в результате получим два разных графика, представленные на рис. 3.2.

x = 0:0.01:pi;
y1 = sin(x);
y2 = cos(x);
plot(x,y1,x,y2);

Результат работы данного фрагмента программы представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.2. Результаты работы функции plot() с одним аргументом:

а – plot(x); б – plot(y).

Рис. 3.3. Отображение двух графиков в одних координатных осях.

y1 = sin(x);
y2 = cos(x);

которые требуется отобразить на экране. Для этого объединим их в двумерную матрицу

в которой столбцы составлены из векторов y1 и y2 соответственно. Такая матрица будет отображена функцией

plot(); % апострофы переводят вектор-строку
% в вектор-столбец

в виде двух графиков (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Отображение двумерной матрицы в виде двух графиков.

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

x2 = 0:0.01:pi;
y2 = cos(x2);

figure; % создание 2-го графического окна

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

X2 = 0:0.01:pi;
y2 = cos(x2);

subplot(<число строк>, <число столбцов>, <номер координатной оси>)

Рассмотрим пример отображения двух графиков друг под другом вышеприведенных функций синуса и косинуса.

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

X2 = 0:0.01:pi;
y2 = cos(x2);

Результат работы программы показан на рис. 3.5.

subplot(‘position’, );

Рис. 3.5. Пример работы функции subplot.

x1 = 0:0.01:2*pi;
y1 = sin(x1);

Subplot(‘position’, );
plot(x1,y1);

Таким образом, используя параметр position можно произвольно размещать графические элементы в плоскости окна.

Рис. 3.6. Пример работы функции subplot с параметром position.

3.1. Включите тумблер "сеть" блока питания и через минуту нажмите кнопку "поджиг". Установите рейтер с пластиной (3) на расстоянии 1015 см от лазера. Пользуясь регулировочным винтом "державки" пластины, поперечным перемещением, введите в область лазерного луча участок пластины с одной риской (одной щелью). Установите пластину перпендикулярно лучу, направив отраженно луч обратно в выходное отверстие лазера.

3.2. Фотоприемник (4) разместить на конце оптической скамьи, как можно дальше от щели.

3.3. Включите освещение шкалы микроамперметра. Поперечным перемещением фотоприемника подведите его входное окно к центру дифракционной картины. Подберите удобный передел измерения микроамперметра, при котором максимальное отклонение указателя составляет не менее 3 / 4 от шкалы прибора.

3.4. Перекройте входное окно фотоприемника и убедитесь, что указатель микроампера стоит на нуле. Перекройте луч лазера у его выходного отверстия и измерьте фоновый ток .

3.5. Перемещая с помощью винтовой рукоятки фотоприемник вдоль дифракционной картины как в прямом так и в обратном направлениях, снимите зависимость показаний микроамперметра I от координаты фотоприемника X . Результаты измерений запишите в таблицу 1.

3.6. Измерьте расстояние L от пластины (3) до фотоприемника (4).

3.7. Не изменяя расстояния L , поперечным перемещением державки пластины (3) введите в область лазерного луча участок пластины с двумя рисками (двумя щелями). Установите пластину перпендикулярно лучу, направив отраженный луч обратно в выходное окно лазера. Добейтесь того, чтобы световой пучок равномерно освещал обе щели. При этом дифракционная картина будет иметь наилучшую видимость.

3.8. Снимите зависимость показаний микроамперметра I от координаты фотоприемника X , повторив пункты 3.3 и 3.5. Шаг смещения
подберите так, чтобы можно было определить положение главных максимумов и добавочных минимумов. Результаты измерений запишите в таблицу 2.

= ... нм.

Расстояние от щели до экрана L = ... мм.

Фоновый фототок
… мк.

Таблица 1

Таблица 2

4.1. По результатам таблиц 1 и 2 постройте два графика зависимости фототока
как функцию от положения фотоприемника X . (Оба графика построить в одних и тех же координатных осях).

Так как разность
пропорциональна интенсивности падающего света, то полученные графики дают распределение интенсивности света в дифракционном спектре.

4.2. Найти отношение
- где- интенсивность света в максимуме, например, первого порядка в дифракционной картине от двух щелей, а- интенсивность света от одной щели в той же точке на экране. Это отношение найти для нескольких максимумов. Сравните их между собой.

4.3. На том же графике, пунктиром, нарисуйте качественно зависимость I (x ) при дифракции на трех щелях (при неизменном периоде решетки d ).

4.4. По графику таблицы 1 определить ширину щели b . Для этого найдите координаты плюс первого и минус первого максимума
. Зная расстояние между ними
(см. рис. 8.5) и величину L можно найти угол дифракции . Из рис. 8.5 имеем

Вам известно, что при прямолинейном равноускоренном движении проекцию вектора ускорения на ось X можно найти по формуле:

Выразим из этой формулы проекцию v x вектора скорости v, которую имело движущееся тело к концу промежутка времени t, отсчитываемого от момента начала наблюдения, т. е. от t 0 = 0:

a x t = v x - v 0x ,

v x = v 0x + a x t.

Если в начальный момент тело покоилось, т. е. v 0 = 0, то для этого случая последняя формула принимает вид:

Представим зависимость проекции вектора скорости от времени при равноускоренном движении в виде графика.

Из курса математики вам известна линейная функция у = kx + b, где х - аргумент, k - постоянный коэффициент, b - свободный член. Графиком этой функции является прямая.

Функция v x = v 0x + a x t (или, что то же самое, v x = a x t + v 0x) тоже линейная с аргументом t, постоянным коэффициентом а х и свободным членом v 0x . Значит, графиком этой функции тоже должна быть прямая. Расположение этой линии по отношению к осям координат определяется значениями а х и v 0x .

Построим, например, график зависимости от времени проекции вектора скорости разгоняющегося перед взлётом самолёта, который движется из состояния покоя прямолинейно с ускорением 1,5 м/с 2 в течение 40 с.

Сонаправим ось X со скоростью движения самолёта. Тогда проекции векторов скорости и ускорения будут положительны.

Для построения заданной прямой достаточно знать координаты (т. е. t и v x) двух любых её точек. Задав два произвольных значения t, по формуле v x = a x t можно определить соответствующие значения v x . Например, при t 0 = 0 v 0 x = 0; при t = 40 с v x = 1,5 м/с 2 40 с = 60 м/с. По координатам первой из найденных точек видно, что график зависимости скорости от времени пройдёт через начало координат (рис. 10).

Рис. 10. График функции v x = 1,5t(м/с)

Теперь построим аналогичный график для случая, когда начальная скорость не равна нулю (при том, что модуль скорости, как и в предыдущем примере, возрастает). Для этого воспользуемся таким примером.

По дороге едет автомобиль со скоростью 10 м/с (36 км/ч). Водитель автомобиля, увидев дорожный знак, снимающий ограничение скорости, нажал на педаль газа, в результате чего автомобиль стал двигаться с постоянным ускорением 1,4 м/с 2 . Построим график зависимости от времени проекции вектора мгновенной скорости на ось X, сонаправленную со скоростью прямолинейно движущегося автомобиля, для первых четырёх секунд разгона.

В этом случае зависимость v x (t) описывается формулой v x = v 0x + a x t. Найдём по этой формуле координаты двух произвольных точек графика. Например, при t 0 = 0 v 0x = 10 м/с; при t = 3 с v x = 10 м/с + 1,4 м/с 2 3 с = 14,2 м/с.

График, построенный по этим точкам, представлен на рисунке 11. Он отсекает на оси v x отрезок, равный проекции вектора начальной скорости.

Рис. 11. График функции v x = 10 + 1,4t(м/с)

Построим теперь график зависимости проекции вектора скорости от времени, если начальная скорость не равна нулю, а модуль вектора скорости уменьшается с течением времени.

Допустим, водитель автомобиля, движущегося со скоростью 20 м/с (72 км/ч), нажимает на педаль тормоза. В результате автомобиль движется с ускорением 2 м/с 2 и через 10 с останавливается.

За начало отсчёта времени примем момент начала торможения, когда скорость автомобиля ещё была равна 20 м/с.

В этом случае нет необходимости рассчитывать значение проекции вектора скорости, поскольку координаты двух точек графика очевидны: при t 0 = 0 v 0x = 20 м/с; при t = 10 с v x = 0. Соответствующий график представлен на рисунке 12.

Рис. 12. График функции v x = 20 - 2t(м/с)

Поскольку скорость уменьшается по модулю, то график образует с положительным направлением оси t тупой угол.

Запишите формулу, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости прямолинейного равноускоренного движения, если известны: а) проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения; б) проекция вектора ускорения при том, что начальная скорость равна нулю.
Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости: а) равной нулю; б) не равной нулю?
Чем сходны и чем отличаются друг от друга движения, графики которых представлены на рисунках 11 и 12?

Координата фото-
приемника X (мм)

Фототок I (мкА)

Разность I - I

Слева от центра

Хоккеист слегка ударил клюшкой по шайбе, придав ей скорость 2 м/с. Чему будет равна скорость шайбы через 4 с после удара, если в результате трения о лёд она движется с ускорением 0,25 м/с 2 ?
Лыжник съезжает с горы из состояния покоя с ускорением, равным 0,2 м/с 2 . Через какой промежуток времени его скорость возрастёт до 2 м/с?
В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось X, сонаправленную с вектором начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев: a) v 0x = 1 м/с, а х = 0,5 м/с 2 ; б) v 0x = 1 м/с, а х = 1 м/с 2 ; в) v 0x = 2 м/с, а х = 1 м/с 2 .
Масштаб: 1 см - 1 м/с; 1 см - 1с.
В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось X, сонаправленную с вектором начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев: a) v 0x = 4,5 м/с, а х = -1,5 м/с 2 ; б) v 0x = 3 м/с, а х = -1 м/с 2 .
На рисунке 13 представлены графики зависимости модуля вектора скорости от времени при прямолинейном движении двух тел. С каким по модулю ускорением движется тело I; тело II?

Рис. 13