Понятие вписанного и центрально угла
Введем сначала понятие центрального угла.
Замечание 1
Отметим, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается .
Введем теперь понятие вписанного угла.
Определение 2
Угол, вершина которого лежит на окружности и стороны которого пересекают эту же окружность, называется вписанным углом (рис. 2).
Рисунок 2. Вписанный угол
Теорема о вписанном угле
Теорема 1
Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$. Обозначим вписанный угол $ACB$ (рис. 2). Возможны три следующих случая:
- Луч $CO$ совпадает с какой либо стороной угла. Пусть это будет сторона $CB$ (рис. 3).
Рисунок 3.
В этом случае дуга $AB$ меньше ${180}^{{}^\circ }$, следовательно, центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$. Так как $AO=OC=r$, то треугольник $AOC$ равнобедренный. Значит, углы при основании $CAO$ и $ACO$ равны между собой. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем:
- Луч $CO$ делит внутренний угол на два угла. Пусть он пересекает окружность в точке $D$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Получаем
- Луч $CO$ не делит внутренний угол на два угла и не совпадает ни с одной его стороной (Рис. 5).
Рисунок 5.
Рассмотрим отдельно углы $ACD$ и $DCB$. По доказанному в пункте 1, получим
Получаем
Теорема доказана.
Приведем следствия из данной теоремы.
Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и туже дугу равны между собой.
Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр -- прямой.
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 76. ВПИСАННЫЕ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ УГЛЫ.
1. Вписанный угол.
Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным.
Угол АВС - вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (черт. 330).
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.
При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.
Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331).
Пусть / АВС - вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС.
Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный /\
AОВ, в котором
АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, /
А = /
В. /
АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому /
АОС = /
А + /
В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В равны, то /
В составляет 1 / 2 /
АОС.
Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС.
Например, если АС содержит 60° 18", то / В содержит 30°9".
Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332).
Пусть / АВD - вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что / АВD измеряется половиной дуги АD.
Для доказательства проведём диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: / 1 и / 2.
/
1 измеряется половиной дуги АС, а /
2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь /
АВD измеряется 1 / 2 АС + 1 / 2 СD, т. е. половиной дуги АD.
Например, если АD содержит 124°, то /
В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333).
Пусть / МАD - вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что / МАD измеряется половиной дуги МD.
Для доказательства проведём диаметр АВ. /
МАD = /
МАВ- /
DАВ. Но /
МАВ измеряется 1 / 2 МВ, а /
DАВ измеряется 1 / 2 DВ. Следовательно, /
МАD измеряется
1 / 2 (МВ - DВ), т. е. 1 / 2 МD.
Например, если МD содержит 48° 38"16", то /
МАD содержит 24° 19" 8".
Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,-прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (черт. 334, б).
2. Угол, образованный касательной и хордой.
Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами.
Пусть / САВ составлен хордой СА и касательной АВ (черт. 335). Требуется доказать, что он измеряется половиной СА. Проведём через точку С прямую СD || АВ. Вписанный / АСD измеряется половиной дуги АD, но АD = СА, так как они заключены между касательной и параллельной ей хордой. Следовательно, / DСА измеряется половиной дуги СА. Так как данный / САВ = / DСА, то и он измеряется половиной дуги СА.
Упражнения.
1. На чертеже 336 найти касательные к окружности блоков.
2. По чертежу 337, а доказать, что угол АDС измеряется полусуммой дуг АС и ВК.
3. По чертежу 337, б доказать, что угол АМВ измеряется полуразностью дуг АВ и СЕ.
4. Через точку А, лежащую внутри круга, с помощью чертёжного треугольника провести хорду так, чтобы она в точке А разделилась пополам.
5. С помощью чертёжного треугольника разделить дугу на 2, 4, 8... равных частей.
6. Описать данным радиусом окружность, проходящую через две данные точки. Сколько решений имеет задача?
7. Сколько окружностей можно провести через данную точку?
Цели урока:
- сформировать понятие вписанного угла, изучить теорему о вписанном угле;
- формирование навыков самостоятельной работы с учебником.
Структура урока:
- Постановка цели урока.
- Актуализация знаний и умений.
- Формирование понятия вписанного угла.
- Изучение теоремы о вписанном угле.
- Применение теоремы.
- Подведение итогов работы на уроке.
- Задание на дом.
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний и умений.
Задание на готовом чертеже:
Найдите угол АВС , если АС = 70° .
Нельзя ли указать угол, связанный с АС , зная который можно найти АВС ?
Таким углом является АОС .
АОС = 70° (материал предыдущего урока). Приложение 2
Так как треугольник АВО равнобедренный (АО = ВО радиусы окружности), то ВАО = АВО . Следовательно, АОС = 2АВО , откуда АВО = 35° .
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .
АВС вписанный:
1) вершина В лежит на окружности;
2) сторона ВА пересекает окружность;
3) сторона ВС пересекает окружность.
III. Формирование новых знаний и умений.
Какие из углов, изображенных на рисунке 1, являются вписанными? (слайд презентации)
Укажите изображенные на рисунке 2 вписанные углы (слайд презентации).
Вписанные углы 4 и 5 образуют угол, также являющийся вписанным.
Выполненное в начале урока задание привело нас к выводу: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теперь это утверждение нам нужно доказать.
Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, делают записи.
Теорема:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
На доске:
Дано:
Окр.(O , R )
угол ABC - вписанный угол,
опирающийся на дугу АС .
Доказать:
АВС = 1/2 АС .
Доказательство:
(Оформление доказательства учащиеся выполняют самостоятельно).
Рассмотрим случай, когда луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.
Например, со стороной ВС . В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС равен дуге АС . Так как АОС – внешний угол равнобедренного треугольник АВО , а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС = 1 + 2 = 2 * 1. Отсюда следует, что 2 * 1 = АС или АВС = 1 = 1/2 АС .
Вопрос к учащимся:
А какие еще могут быть рассмотрены случаи расположения луча ВО относительно угла АВС ?
(Доказательство теоремы во втором и третьем случаях учащиеся рассматривают самостоятельно, при этом учитель показывает, как эти случаи сводятся к первому случаю.)
Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.
IV. Закрепление нового материала.
1. Решить устно: № 653
Найдите вписанный угол АВС , если дуга АС , на которую он опирается, равна: а) 48° ; б) 57° ; в) 90° ; г) 124° ; д) 180° ;
По данным рисунка найдите х.
2. Решить письменно: № 655, № 656, № 658.
Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
Хорда АВ стягивает дугу, равную 115° , а хорда АС – дугу в 43° . Найдите угол ВАС .
Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая АD , проходящая через центр О (D – точка на окружности, О – лежит между А и D ). Найдите ВАD и АDВ , если ВD = 110° 20" .
V. Итоги урока.
Вопросы к учащимся:
Какой угол называется центральным?
Чему равна градусная мера центрального угла?
Какой угол называется вписанным?
Чему равна градусная мера вписанного угла?
Что можно сказать о градусной мере вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу?
Чему равна градусная мера вписанного угла, опирающегося на полуокружность?
VI. Домашнее задание:
п. 71; вопросы 11-13 (стр.187), № 657, № 660.
11. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
12. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
13. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140° , а большая точкой М делится в отношении 6: 5, считая от точки А . Найдите угол ВАМ .
Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32° . Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100° . Найдите меньшую дугу.
Отметим на окружности две точки А и В. Они разделяют окружность на две дуги. Чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку, например L и М (рис. 214). Обозначают дуги так: ALB и AMВ. Иногда используется обозначение без промежуточной точки: AB (когда ясно, о какой из двух дуг идёт речь).
Рис. 214
Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности. На рисунке 215, а изображены две полуокружности, одна из которых выделена цветом.
Рис. 215
Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом . Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают её в точках А к В. Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В (рис. 215). Если ∠АОВ развёрнутый, то ему соответствуют две полуокружности (рис. 215, а). Если ∠АОВ неразвёрнутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности . На рисунке 215, б эта дуга выделена цветом. Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности (дуга ALB на рисунке 215, в).
Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга А В окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ (см. рис. 215, а, б). Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной 360° - ∠АОВ (см. рис. 215, в).
Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
Градусная мера дуги АВ (дуги ALB), как и сама дуга, обозначается символом АВ (ALB). На рисунке 216 градусная мера дуги САВ равна 145°. Обычно говорят кратко: «Дуга САВ равна 145°» и пишут: CAB =145°. На этом же рисунке ADB = 360° - 115° = 245°, CDB = 360° - 145° = 215°, DВ = 180°.
Рис. 216
Теорема о вписанном угле
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают, окружность, называется вписанным углом .
На рисунке 217 угол АВС вписанный, дуга АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС. Докажем теорему о вписанном угле.
Рис. 217
Теорема
Доказательство
Пусть ∠ABC - вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис. 218). Докажем, что 
Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС , например со стороной ВС (рис. 218, а). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому ∠AOC = AC. Так как угол АОС - внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то
∠AOC = ∠1 + ∠2 = 2∠1.
Рис. 218
Отсюда следует, что
2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 218, б). Точка D разделяет дугу АС на две дуги: AD и DC. По доказанному в п. 1)
Складывая эти равенства, получаем:
3) Луч ВО не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла. Для этого случая, пользуясь рисунком 218, в, проведите доказательство самостоятельно.
Следствие 1
Рис. 219
Следствие 2
Рис. 220
Используя следствие 1, докажем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.
Теорема
Доказательство
Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е (рис. 221). Докажем, что
АЕ ВЕ = СЕ DE.
Рис. 221
Рассмотрим треугольники ADE и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников Δ ADE ∼ Δ CBE. Отсюда следует, что или АЕ BE = СЕ DE. Теорема доказана.
Задачи
649. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB = 180°.
650. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB =180°.
651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны.
а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D.
б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB = 112°.
652. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что АС = 37°, BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15см.
653. Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°.
654. По данным рисунка 222 найдите х.
Рис. 222
655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
656. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС - дугу в 43°. Найдите угол ВАС.
657. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6: 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D - точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если BD = 110°20".
659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.
660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.
661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 140° и 52°.
662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если AD = 54°, BC = 70°.
663. Отрезок АС - диаметр окружности, АВ - хорда, МА - касательная, угол МАВ острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.
664. Прямая AM - касательная к окружности, АВ - хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.
665. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если АВ - диаметр окружности, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B.
666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если:
а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ = 9, CE = ED;
в) АЕ = 0,2, BE = 0,5, СЕ = 0,4.
667. Диаметр АА 1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ 1 и пересекает её в точке С. Найдите ВВ 1 если АС = 4 см, СА 1 = 8 см.
668. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
669. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.
670. Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ 2 = АР AQ.
671. Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, AD = 10 см.
672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В 1 и С 1 , а другая - в точках В 2 и С 2 . Докажите, что АВ 1 АС 1 = АВ 2 АС 2 .
673. К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности.
Решение
Пусть даны окружность с центром О и точка А вне этой окружности. Допустим, что задача решена и АВ - искомая касательная (рис. 223). Так как прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОВ, то решение задачи сводится к построению точки В окружности, для которой ∠ABO прямой. Эту точку можно построить следующим образом: проводим отрезок ОА и строим его середину О 1 . Затем проводим окружность с центром в точке Ох радиуса О 1 А. Эта окружность пересекает данную окружность в двух точках: В 1 В 1 . Прямые АВ и АВ 1 - искомые касательные, так как АВ ⊥ ОВ и АВ 1 ⊥ ОВ 1 . Действительно, углы АВО и АВ 1 O, вписанные в окружность с центром О 1 , опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Очевидно, задача имеет два решения.
Рис. 223
Ответы к задачам
650. а) 16; б) 16√2; в) 32.
651. 112° и 248°.
652. 15√3 см.
654. а) 64°; б) 175°; в) 34°; г) 105°.
655. 60° и 30° или 140° и 110°.
656. 101° или 36°.
658. 20°20", 34°50".
664. Указание. Воспользоваться задачей 663.
666. а) 4; б) 12; в) 0,25.
667. 8√2 см.
670. Указание. Сначала доказать, что Δ ABP ∼ Δ AQB
671. а) 6 см; б) 7,5 см.
672. Указание. Воспользоваться задачей 670.
«Вписанный угол» - Следствие 1: Решение задач. Найди рисунки, на которых изображены вписанные углы. Проблема № 2: Построить сразу несколько углов. Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? Не решено! Найди ошибку в формулировках: Проблема № 1 ? Величина вписанного угла. Проблема № 1: Сразу несколько! Вершина не на окружности.
«Окружность вписанная в многоугольник» - Найдите периметр треугольника ABC, если известно, что BC = 10 см. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Аналогично, угол BOC равен 90о. Найдите среднюю линию трапеции. Найдите периметр данного треугольника. В любой ли правильный многоугольник можно ли вписать окружность?
«Окружность 8 класс» - В любой треугольник можно вписать окружность. Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам?АВС. Теорема. Вписанная окружность. Следствия: Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О.
«Битва на Курской дуге» - Встреча «Большой тройки» в Тегеране. История России. В.Перов. По предложению Жукова Красная Армия перешла к преднамеренной обороне. Стороны выработали принципы создания Организации Объединенных Наций. 1.Сталинградская битва. Сталинградская битва. В конце июля 1943 г. США и Англия высадили десант в Италии.
«Задачи об окружности и круге» - Длина окружности и площадь круга. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? Найдите площадь закрашенной фигуры. 3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6|/3 дм. Решение задач.
«Длина окружности» - Найдите длину окружности этого диска. Великий древнегреческий математик Архимед. Найдите площадь циферблата. Найдите диаметр колеса тепловоза. Диаметр окружности вдвое больше ее радиуса d = 2r. Москва. Найдите диаметр колеса. Длина окружности. Диаметр. Число "пи" называют Архимедово число.