С айт «профессиональный репетитор по математике» продолжает цикл методических статей о преподавании. Я публикую описания методик своей работы с наиболее сложными и проблемным темами школьной программы. Данный материал будет полезен преподавателям и репетиторам по математике, работающим с учениками 8-11 классов как по обычной программе, так и по программе математических классов.
Репетитор по математике не всегда может объяснить материал, который неудачно изложен в учебнике. К сожалению, таких тем становится все больше и больше, и ошибки изложения вслед за авторами пособий совершаются в массовом порядке. Это относится не только к начинающим репетиторам по математики и репетиторам по совместительству (репетиторы — студенты и репетиторы ВУЗов), но и к опытным преподавателям, репетиторам — профессионалам, репетиторам со стажем и квалификацией. Талант грамотного корректора шероховатостей школьных учебников имеют далеко не все репетиторы математики. Не все также понимают, что эти коррекции (или дополнении) необходимы. Адаптацией материала для его качественного восприятия детьми занимаются единицы. К сожалению, ушло то время, когда преподаватели математики вместе методистами и авторами изданий в массовом порядке обсуждали каждую букву учебника. Раньше, прежде чем пустить учебник в школы, проводили серьезные анализы и исследования результатов обучения. Пришло время дилетантов, стремящихся сделать пособия универсальными, подгоняя их под стандарты сильных математических классов.
Гонка за увеличение количества информации приводит только к снижению качества ее усвоения и, как следствие снижению уровня реальных знаний по математике. Но на это никто не обращает внимание. И наши дети вынуждены уже в 8 классе изучать то, что мы с вами проходили в институте: теорию вероятности, решение уравнений высоких степеней и кое-что еще. Адаптация материала в книжках для его полноценного восприятия ребенком оставляет желать лучшего и репетитор по математике вынужден как-то с этим бороться.
Поговорим о методике преподавания такой специфической темы, как «деление уголком многочлена на многочлен», более известной во взрослой математике как «теорема Безу и схема Горнера». Еще каких-нибудь пару лет назад вопрос не стоял перед репетитором по математике так остро, ибо он не входил в основную школьную программу. Теперь уважаемые авторы учебника под редакцией Теляковского внесли изменения в последнее издание лучшего, на мой взгляд, учебника, и, окончательно испортив его, только добавили репетитору лишних забот. Преподаватели школ и классов, не имеющих статус математических, ориентируясь на нововведения авторов, стали чаще включать дополнительные параграфы в свои уроки, а любознательные дети, рассматривая красивые странички их учебника математики, все чаще спрашивают репетитора: «Что это за деление уголком? Мы будем это проходить? Как делить уголком?» От таких прямых вопросов уже не спрятаться. Репетитору придется что-то рассказывать ребенку.
А как? Наверное, я бы не стал описывать метод работы с темой, если бы в учебниках она грамотно преподносилась. У нас ведь как все происходит? Учебники нужно печатать и продавать. А для этого их надо регулярно обновлять. Преподаватели Вузов жалуются, что дети приходят к ним с пустыми головами, без знаний и навыков? Требования к математическим знаниям растут? Отлично! Давайте мы уберем некоторые упражнения, а вместо них вставим темы, которые изучаются по другим программам. Чем наш учебник хуже? Включим какие-нибудь дополнительные главы. Школьники не знают правило деления уголком? Это же элементарная математика. Надо сделать такой параграф необязательным, озаглавив его «для тех, кто хочет знать больше». Репетиторы против? А какое нам дело до репетиторов вообще? Методисты и преподаватели школ тоже против? Мы не будем усложнять материал и рассмотрим наиболее простую его часть.
И вот тут начинается. Простота темы и качество ее усвоения заключатся, прежде всего, в понимании ее логики, а не в том, чтобы согласно предписанию авторов учебника выполнить некий набор не понятно как связанных друг с другом операций. Иначе туман в голове школьника будет обеспечен. Если расчет авторов идет на относительно сильных учеников (но обучающихся по обычной программе), то не стоит подавать тему в командной форме. А что мы видим в учебнике? Дети, надо делить по такому правилу. Получите многочлен под уголком. Таким образом, первоначальный многочлен разложится на множители. Однако, понять, почему именно так подбираются слагаемые под уголком, почему их надо умножать на многочлен над уголком, а затем вычитать из текущего остатка — непонятно. И самое главное не понятно, почему подобранные одночлены надо в итоге сложить и почему получившиеся скобки будут разложением первоначального многочлена. Любой грамотный математик поставит жирный знак вопроса над теми объяснениями, которые даются в учебнике.
Я предлагаю вниманию репетиторов и преподавателей математики свое решение проблемы, которое практически делает для ученика очевидным все то, что изложено в учебнике. Фактически мы докажем теорему Безу: если число а — корень многочлена, то этот многочлен можно разложить на множитлей, один из который x-a, а второй получается из первоначального одним из трех способов: выделением линейного множителя через преобразования, делением уголком или по схеме Горнера. Именно с такой форомулировкой репетитору по математике будет легче работать.
Что такое методика преподавания? Прежде всего это четкий порядок в последовательности объяснений и примеров, на основе которых делаются математические выводы. Данная тема не исключение. Репетитору по математике очень важно познакомить ребенка с теоремой Безу до того, как будет выполняться деление уголком . Это очень важно! Добиться понимания лучше всего на конкретном примере. Возьмем какой-нибдуь многочлен с подобранным корнем и показажем технику его разложения на множители при помощи знакомого школьнику еще с 7 класса метода тождественных преобразований. При соответствующих сопроводительных пояснениях, акцентах и подсказках репетитора по математике вполне реально донести материал без каких-либо общих математических выкладок, произвольных коэффициентов и степеней.
Важный совет репетитору по математике — следовать инструкциям от начала и до конца и не менять эту последовательнотсь.
Итак, допустим, что перед нами многочлен . Если мы подставим вместо его икса число 1, то значение многочлена будет равно нулю. Следовательно х=1 — его корень. Попробуем разложить на два слагаемых так, чтобы одно из них было произведением линейного выражения и некоторого одночлена, а второе имело бы степень на единицу меньше, чем . То есть представим его в виде
Одночлен для красного поля подберем так, чтобы при при умножении его на старший член полностью совпадал со старшим членом первоначального многочлена. Если ученик не самый слабый, то он вполне способен будет назвать репетитору по математике искомое выражение: . Репетитору следует тут же предложить вставить его в красное поле и показать что будет получаться при их раскрытии. Лучше всего этот виртуальный временный многочлен подписать под стрелочками (под фотанчиком), выделяя его каким-нибудь цветом, например, синим. Это поможет подоборать слагаемое для красного поля, называемое остатком от выделения. Я бы советовал репетиторам именно здесь указывать на то, что этот остаток можно находить вычитанием. Выполняя такую операцию получим:
Репетитор по математике должен обратить внимание ученика на то, что подставляя единицу в данное равенство, мы гарантировано получим нуль в его левой части (так как 1 — корень первоначального многочлена), а в правой, очевидно, тоже обнулим первое слагаемое. Значит без всякой проверки можно сказать, что единица — корень «зеленого остатка».
Поступим с ним так же, как мы это сделали с первоначальным многочленом, выделяя из него такой же линейный множитель . Репетитор по математике рисует перед учеником две рамки и просит заполнить слева направо.
Ученик подбирает репетитору одночлен для красного поля так, чтобы он при умножении на старшее слагаемое линейного выражения давал старшее слагаемое раскладывающегося многочлена. Вписываем в касную рамку, тут же раскрываем скобку и выделяем синим цветом то выражение, которое надо вычесть их раскладывающегося. Выполняя эту операцию получаем
И, наконец, проделывая тоже самое с последним остатком
получим окончательно
Теперь вынесем выражение за скобку и перед нами окажется разложение первоначального многочлена на множители один из которых «икс минус подобранный корень».
Для того, чтобы ученику не казалось, что последний «зеленый остаток» случайно разложился на нужные множители, репетитор по математкие должен указать на важное свойство всех зеленых остатков — каждый из них имеет корень 1. Поскольку степени этих остатков убывают, то какая бы степень начального многочлена ни была нам дана, рано или поздно, мы получим линейный «зеленый остаток» с корнем 1, а следовательно он обязательно разложиться на произведение некоторого числа и выражения .
После такой подготовительной работы репетитору по математкие не составит труда объяснить ученику, что происходит при делении уголком. Это тот же самый процесс, только в более краткой и компактной форме, без знаков равно и без переписываний одних и тех же выделенных слагаемых. Многочлен из которого выделяется линейный множитель записываем слева от уголка, подбираемые красные одночлены собираем под уголом (теперь становится понятно, почему они должны складываться), для получения «синих многочленов» надо «красные» умножать на x-1, а затем вычитать из текущего выделяемого как это делается при обычном делении чисел в столбик (вот она аналогия с раннее изученным). Получаемые «зеленые остатки» подвергаются новому выделению и подбору «красных одночленов» . И так до получения нулевого «зеленого остатка». Самое главное, что ученику становится понятна дальнейшая судьба записанных многочленов над и под уголком. Очевидно, это скобки, произведение которых равно первоначальному многочлену.
Следующий этап работы репетитора по математике — формулирование теоремы Безу. Cобственно ее формулировка при таком подходе репетитора становится очевидной: если число а — корень многочлена, то его можно разложить на множители, один из которых , а другой получается из первоначального одним из трех способов:
- непосредственным разложением (аналогом метода группировки)
- делением уголком (в столбик)
- через схему Горнера
Надо сказать, что схему горнера показывают ученикам далеко не все репетиторы математики и не все школьные преподаватели (к счастью для самих репетиторов) заходят на уроках так глубоко в тему. Однако, для учащегося математического класса я не вижу никаких оснований для остановки на делении в столбик. Более того, самый удобный и быстрый прием разложения основан именно на схеме Горнера. Для того, чтобы объяснить ребенку откуда она берется достаточно проследить на примере деления уголком появление старших коэффициентов у зеленых остатках. Становится ясно, что старший коэффициент начального многочлена сносится в коэффициент первого «красного одночлена», а дальше от второго коэффициента текущего верхнего многочлена вычитается результат умножения текущего коэффициента «красного одночлена» на . Поэтому можно прибавлять результат умножения на . После акцентирования внимания ученика на специфике действий с коэффициентами репетитор по математике может показать как обычно эти действия выполняют без записи самих переменных. Для этого удобно корень и коэффициенты первоначального многочлена по старшинству занести в такую таблицу:
Если в многочлене пропущена какая-нибудь степень, то в таблицу принудительно вносится ее нулевой коэффициент. В нижнюю строчку поочередно вписываются коэффициенты «красных многочленов» по правилу «крючка»:
Корень умножается на последний снесенный «красный коэффициент», прибавляется к следующему коэффициенту верхней строки и результат сносится в нижнюю строчку. В последней колонке гарантированно получим старший коэффициент последнего «зеленого остатка», то есть нуль. После завершения процесса, числа, зажатые между подобранным корнем и нулевым остатком оказываются коээффициентами второго (нелинейного) множителя.
Поскольку корень а дает в конце нижней строки нуль, то схему Горнера можно использовать для проверки чисел на звание корень многочлена. Если специальная теорема о подборе рационального корня. Все кандидаты на это звание, полученные с ее помощью, просто вставляются по очереди слева в схему Горнера. Как только мы получим нуль, тестируемое число будет корнем, и одновременно его строчке получим коэффициенты разложения первоначального многочлена на множители. Очень удобно.
В завершение хотелось бы отметить, что для аккуратного ввдения схемы Горнера, а также для практического закрепления темы, репетитор по математике должен иметь в своем распоряжении достаточное количество часов. Репетитору, работающему с режимом «раз в неделю» не стоит заниматься делением уголком. На Егэ по математике и на ГИА по математике вряд ли в первой части когда-нибудь встретится уравнение третьей степени, решаемое такими средствами. Если репетитор готовит ребенка экзамену по математике в МГУ — изучение темы становится обязательным. Очень уж любят преподаватели ВУЗов, не в пример составителям ЕГЭ, проверить глубину знаний абитуриента.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, Строгино
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : Урок усвоения и закрепления первичных знаний.
Цель урока:
- Ознакомить учеников с понятием корней многочлена, научить находить их. Усовершенствовать навыки применения схемы Горнера по разложению многочлена по степеням и деления многочлена на двучлен.
- Научиться находить корни уравнения с помощью схемы Горнера.
- Развивать абстрактное мышление.
- Воспитывать вычислительную культуру.
- Развитие межпредметных связей.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
Пусть F n (x)= a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - многочлен относительно x степени n, где a 0 , a 1 ,...,a n –данные числа, причем a 0 не равно 0. Если многочлен F n (x) разделить с остатком на двучлен x-a, то частное (неполное частное) есть многочлен Q n-1 (x) степени n-1, остаток R есть число, при этом справедливо равенство F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Многочлен F n (x) делится нацело на двучлен (x-a) только в случае R=0.
Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена F n (x) на двучлен (x-a) равен значению многочлена F n (x) при x=a, т.е. R= P n (a).
Немного истории. Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывается в виде таблицы, которая называется схемой Горнера.
Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену x–a .
Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - а (схема Горнера).
Вывод общей формулы для схемы Горнера.
Разделить с остатком многочлен f(x) на двучлен (x-c) значит найти такой многочлен q(x) и такое число r, что f(x)=(x-c)q(x)+r
Запишем это равенство подробно:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
x n: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 x n-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x 0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Демонстрация схемы Горнера на примере.
Задание 1. С помощью схемы Горнера разделим с остатком многочлен f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 на двучлен x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, где g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остаток.
Разложение многочлена по степеням двучлена.
Используя схему Горнера, разложим многочлен f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степеням двучлена (x+2).
В результате должны получить разложение f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2) 2 -2(x+2)+12
Схему Горнера часто используют при решении уравнений третьей, четвертой и выших степеней, когда удобно разложить многочлен на двучлен x-a. Число a называют корнем многочлена F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n , если при x=a значение многочлена F n (x) равно нулю: F n (a)=0, т.е. если многочлен делится нацело на двучлен x-a.
Например, число 2 является корнем многочлена F 3 (x)=3x 3 -2x-20, так как F 3 (2)=0. это означает. Что разложение этого многочлена на множители содержит множитель x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Любой многочлен F n (x) степени n 1 может иметь не более n действительных корней.
Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Если старший коэффициент уравнения равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.
Закрепление изученного материала.
Для закрепления нового материала учащимся предлагается выполнить номера из учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).
(2 ученика решают у доски, а остальные, решив, в тетради задания сверяются с ответами на доске).
Подведение итогов.
Поняв структуру и принцип действия схемы Горнера, ее можно использовать и на уроках информатики, когда рассматривается вопрос о переводе целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. В основе перевода из одной системы счисления в другую лежит следующая общая теорема
Теорема. Для перевода целого числа Ap из p -ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо Ap последовательно делить с остатком на число d , записанное в той же p -ичной системе, до тех пор, пока полученное частное не станет равным нулю. Остатки от деления при этом будут являться d -ичными цифрами числа Ad , начиная от младшего разряда к старшему. Все действия необходимо проводить в p -ичной системе счисления. Для человека данное правило удобно лишь при p = 10, т.е. при переводе из десятичной системы. Что касается компьютера, то ему, напротив, “удобнее” производить вычисления в двоичной системе. Поэтому для перевода “2 в 10” используется последовательное деление на десять в двоичной системе, а “10 в 2” - сложение степеней десятки. Для оптимизации вычислений процедуры “10 в 2” компьютер использует экономную вычислительную схему Горнера.
Домашнее задание. Предлагается выполнить два задание.
1-е. Используя схему Горнера разделить многочлен f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на двучлен (x-3).
2-е. Найти целые корни многочлена f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6.(учитывая, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена)
Литература.
- Курош А.Г. “Курс высшей алгебры”.
- Никольский С.М, Потапов М.К. и др. 10 класс “Алгебра и начала математического анализа”.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Слайд 3
Горнер Вильямc Джордж (1786-22.9.1837)-английский математик. Родился в Бристоле. Учился и работал там же, затем в школах Бата. Основные труды по алгебре. В 1819г. опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини-Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII в.) Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен х-а.
Слайд 4
СХЕМА ГОРНЕРА
Способ деления многочлена n-й степени на линейный двучленх - а, основанный на том, что коэффициенты неполного частного и остатокr связаны с коэффициентами делимого многочлена и с а формулами:
Слайд 5
Вычисления по схеме Горнера располагают в таблицу:
Пример 1. Разделить Неполное частное равно х3-х2+3х - 13 и остаток равен 42=f(-3).
Слайд 6
Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.
Слайд 7
Пример2.
Докажем, что многочлен Р(х)=х4-6х3+7х-392 делится на х-7,и найдем частное от деления. Решение. Используя схему Горнера, найдем Р(7): Отсюда получаем Р(7)=0, т.е. остаток при делении многочлена на х-7 равен нулю и, значит, многочлен Р(х) кратен (х-7).При этом числа во второй строке таблицы являются коэффициентами частного от деления Р(х) на (х-7), поэтому Р(х)=(х-7)(х3+х2+7х+56).
Слайд 8
Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.
Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), где Q(x) − многочлен второй степени
Слайд 9
Полученные числа 1, −3, −8 являются коэффициентами многочлена, который получается при делении исходного многочлена на x – 2. Значит, результат деления: 1 · x2 + (–3)x + (–8) = x2 – 3x – 8. Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Схема Горнера - способ деления многочлена
$$P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$$
на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:
После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.
Пример №1
Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1\cdot 5+5=10$:
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1\cdot 10+1=11$:
Для пятой ячейки получим: $1\cdot 11+0=11$:
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.
Пример №2
Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.
Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:
Полученный результат означает, что
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$
В этой ситуации остаток от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель - найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, - до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.
Пример №3
Найти все целочисленные корни многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, используя схему Горнера.
Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ и $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:
Как видите, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ равно $192$ (последнее число в второй строке), а не $0$, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение $x=-1$. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение $1$, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.
Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.
Итак, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ равно нулю, т.е. число $-1$ есть корень этого многочлена. После деления многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ получим многочлен $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:
\begin{equation}x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45) \end{equation}
Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, - числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:
Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:
\begin{equation}x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end{equation}
Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:
\begin{equation}\begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^4-22x^2+24x+45)\end{aligned}\end{equation}
Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, - естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:
Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:
\begin{equation}x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end{equation}
С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:
\begin{equation}\begin{aligned} & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3+24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^2-21x+45)\end{aligned}\end{equation}
Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:
Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:
В остатке ноль, посему число $3$ - корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так.