Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы рассмотрим задание из части С. Это система из двух уравнений. Уравнения довольно своеобразны. Здесь и синус, и косинус, да ещё и корни имеются. Необходимо умение решать квадратные и , простейшие . В представленном задании их подробные решения не представлены, это вы уже должны уметь делать. По указанным ссылкам можете посмотреть соответствующую теорию и практические задания.

Основная трудность в подобных примерах заключается в том, что необходимо полученные решения сопоставлять с найденной областью определения, здесь легко можно допустить ошибку из-за невнимательности.

Решением системы всегда является пара(ры) чисел х и у, записывается как (х;у). Обязательно после того как получили ответ делайте проверку. Для вас представлено три способа, нет, не способа, а три пути рассуждения, которыми можно пойти. Лично мне наиболее близок третий. Приступим:

Решите систему уравнений:

ПЕРВЫЙ ПУТЬ!

Найдём область определения уравнения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Рассмотрим первое уравнение:

1. Оно равно нулю при х = 2 или при х = 4, но 4 радиана не принадлежит определения выражения (3).

*Угол в 4 радиана (229,188 0) лежит в третьей четверти, в ней значение синуса отрицательно. Поэтому

остаётся только корень х = 2.

Рассмотрим второе уравнении при х = 2.

При этом значении х выражение 2 – y – у 2 должно быть равно нулю, так как

Решим 2 – y – у 2 = 0, получим y = – 2 или y = 1.

Отметим, что при y = – 2 корень из cos y не имеет решения.

*Угол в –2 радиана (– 114,549 0) лежит в третьей четверти, а в ней значение косинуса отрицательно.

Поэтому остаётся только y = 1.

Таким образом, решением системы будет пара (2;1).

2. Первое уравнение так же равно нулю при cos y = 0, то есть при

Но учитывая найденную область определения (2), получим:

Рассмотрим второе уравнение при этом у.

Выражение 2 – y – у 2 при у = – Пи/2 не равно нулю, значит для того, чтобы оно имело решение должно выполнятся условие:

Решаем:

Учитывая найденную область определения (1) получаем, что

Таким образом, решением системы является ещё одна пара:

ВТОРОЙ ПУТЬ!

Найдём область определения для выражения:

Известно, что выражение под корнем имеет неотрицательное значение.
Решая неравенство 6х – х 2 + 8 ≥ 0, получим 2 ≤ х ≤ 4 (2 и 4 это радианы).

Рассмотрим Случай 1:

Пусть х = 2 или х = 4.

Если х = 4, то sin x < 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Учитывая то, что sin x ≠ 0, получается, что в этом случае во втором уравнении системы 2 – y – у 2 = 0.

Решая уравнение получим, что y = – 2 или y = 1.

Анализируя полученные значения можем сказать, что х = 4 и y = – 2 не является корнями, так как получим sin x < 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Видно, что х = 2 и y = 1 входят область определения.

Таким образом, решением является пара (2;1).

Рассмотрим Случай 2:

Пусть теперь 2 < х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Исходя из этого можем сделать вывод, что в первом уравнении cos y должен быть равен нулю.

Решаем уравнение, получим:

Во втором уравнении при нахождении области определения выражения:

Получим:

2 – y – у 2 ≥ 0

– 2 ≤ у ≤ 1

Из всех решений уравнения cos y = 0 этому условию удовлетворяет только:

При данном значении у, выражение 2 – y – у 2 ≠ 0. Следовательно, во втором уравнении sin x будет равен нулю, получим:

Из всех решений этого уравнения интервалу 2 < х < 4 принадлежит только

Значит решением системы будет ущё пара:

*Область определения сразу для всех выражений в системе находить не стали, рассмотрели выражение из первого уравнения (2 случая) и далее уже по ходу определяли соответствие найденных решений с установленной областью определения. На мой взгляд не очень удобно, как-то путано получается.

ТРЕТИЙ ПУТЬ!

Он схож с первым, но есть отличия. Также сначала находится область определения для выражений. Затем отдельно решается первое и второе уравнение, далее находится решение системы.

Найдём область определения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая неравенство 6х – х 2 + 8 ≥ 0 получим 2 ≤ х ≤ 4 (1).

Величины 2 и 4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,297 0

В градусах приближённо можем записать 114,549 0 ≤ х ≤ 229,188 0 .

Решая неравенство 2 – y – у 2 ≥ 0 получим – 2 ≤ у ≤ 1 (2).

В градусах можем записать – 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0 .

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Известно, что произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю (и другие при этом не теряют смысла).

Рассмотрим первое уравнение:

Значит

Решением cos y = 0 является:

Решением 6х – х 2 + 8 = 0 являются х = 2 и х = 4.

Рассмотрим второе уравнение:

Значит

Решением sin x = 0 является:

Решением уравнения 2 – y – у 2 = 0 будут y = – 2 или y = 1.

Теперь учитывая область определения проанализируем

полученные значения:

Так как 114,549 0 ≤ х ≤ 229,188 0 , то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения sin x = 0, это x = Пи.

Так как – 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0 , то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения cos y = 0, это

Рассмотрим корни х = 2 и х = 4.

Верно!

Таким образом, решением системы будут две пары чисел:

*Здесь учитывая найденную область определения мы исключили все полученные значения, не принадлежащие ей и далее перебрали все варианты возможных пар. Далее проверили, какие из них являются решением системы.

Рекомендую сразу в самом начале решения уравнений, неравенств, их систем, если имеются корни, логарифмы, тригонометрические функции, обязательно находить область определения. Есть, конечно, такие примеры, где проще бывает сразу решить, а потом просто проверить решение, но таких относительное меньшинство.

Вот и всё. Успеха Вам!

Решение тригонометрических уравнений и систем тригонометрических уравнений основывается на решении простейших тригонометрических уравнений.

Напомним основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Решение уравнений вида sin(x) = a.

При |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

При |a|>1 решений не существует.

Решение уравнений вида cos(x) = a.

При |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

При |a|>1 решений не существует.

Решение уравнений вида tg(x) = a.

x = arctg(a) + π*k, где k принадлежит Z.

Решение уравнений вида ctg(x) = a.

x = arcctg(a)+ π*k, где k принадлежит Z.

Некоторые частые случаи:

sin(x) =1; x = π/2 +2* π*k, где k принадлежит Z.

sin(x) = 0; x = π*k, где k принадлежит Z.

sin(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, где k принадлежит Z.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, где k принадлежит Z.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, где k принадлежит Z.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, где k принадлежит Z.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.

Уравнения такого вида решаются сведение к квадратному уравнению заменой переменной.

Пусть у = sin(x). Тогда получаем,

2*y^2 + y - 1 = 0.

Решаем полученное увадратное уравнение одним из известных способов.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Следовательно, получаем два простейших тригонометрических уравнения которые решаются по формулам, указанным выше.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, длю любого целого k.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, где n принадлежит Z.

Пример 2. Решить уравнение 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.

По основному тригонометрическому тождеству заменяем (sin(x))^2 на 1 - (cos(x))^2

Получаем квадратное уравнение относительно cos(x):

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

Вводим замену y=cos(x).

6*y^2 - 5*y - 4 = 0.

Решаем полученное квадратное уравнение y1 = -1/2, y2 = 1(1/3).

Так как y = cos(x), а косинус не может быть больше единицы, получаем одно простейшее тригонометрическое уравнение.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, при любом целом k.

Пример 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

Введем переменную y = tg(x). Тогда 1/y = ctg(x). Получаем

Умножаем на y не равное нулю, получаем квадратное уравнение.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Решаем его:

tg(x) = 2, x = arctg(2)+pi*k, для любого целого k.

tg(x) = 1, x = arctg(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, для любого целого k.

Пример 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Это уравнение сводится к квадратному делением либо на (cos(x))^2, либо на (sin(x))^2. При делении на (cos(x)^2 получим

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, для любого целого n

tg(x) = 1/3, x = arctg(1/3) + pi*k, для любого целого k.

Пример 4. Решить систему уравнений

{ sin(x) = 2*sin(y)

Из пергового уравнения выразим y,

Тогда получим, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5*pi/3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)

09.07.2015 9098 895

Цель: рассмотреть наиболее типичные системы тригонометрических уравнений и способы их решения.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите неравенство:

Вариант 2

Решите неравенство:

III. Изучение нового материала

На экзаменах системы тригонометрических уравнений встречаются гораздо реже тригонометрических уравнений и неравенств. Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.

1. Простейшие системы уравнений

К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Пример 1

Решим систему уравнений

Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную и подставим во второе уравнение: Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение или Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, корни которого t 1 = 1/3 и t 2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого Теперь легко найти неизвестную: Итак, система уравнений имеет решения где n ∈ Z .

Пример 2

Решим систему уравнений

Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим: Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем: откуда

Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х - у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k . Если бы вместо k было также поставлено n , то решения имели бы вид: При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными x и у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k = n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.

2. Системы вида

Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы или Отметим очевидное ограничение: и Само же решение подобных систем сложностей не представляет.

Пример 3

Решим систему уравнений

Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство Получим: Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим Теперь имеем систему уравнений Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем: или Запишем решения этой простейшей системы: Складывая и вычитая эти линейные уравнения, находим:

3. Системы вида

Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.

Пример 4

Решим систему уравнений

Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим: Используя второе уравнение, имеем: откуда Выпишем решения этого уравнения: С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений Из этой системы находим Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем: для нижних знаков -

4. Системы вида

Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого - cos у. Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение. Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.

Пример 5

Решим систему уравнений

Запишем систему в виде Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим: Сложим уравнения этой системы: или Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде или Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда ), где n , k ∈ Z . Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x , получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; для cos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.

С учетом этого получим решения данной системы уравнений и где n , m , k , l ∈ Z . При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.

В частном случае система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.

Пример 6

Решим систему уравнений

В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим: Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим: откуда Подставим найденное значение например, в первое уравнение: Учтем, что Тогда откуда

Получили систему линейных уравнений Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем и где n , k ∈ Z .

5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных

Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Пример 7

Решим систему уравнений

Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений Из первого уравнения выразим а = b + 3 и подставим во второе: или Корни этого квадратного уравнения b 1 = 1 и b 2 = -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

а) ее решение где n , k ∈ Z .

б) решений не имеет, так как sin у ≥ -1.

Пример 8

Решим систему уравнений

Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sin х и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим: (откуда ) и (тогда ). Второе уравнение системы имеет вид: или Получили систему тригонометрических уравнений Введем новые переменные a = sin х и b = cos у. Имеем симметричную систему уравнений единственное решение которой a = b = 1/2. Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений решение которой где n , k ∈ Z .

6. Системы, для которых важны особенности уравнений

Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы - тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.

Пример 9

Решим систему

Обратим внимание на левые части уравнений, например на Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х. Получим: Тогда система уравнений имеет вид: Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим: или 1 = sin 3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим и Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n . Для четных n (n = 2 k , где k ∈ Z ) Тогда из первого уравнения данной системы получим: где m ∈ Z . Для нечетных Тогда из первого уравнения имеем: Итак, данная система имеет решения

Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.

Пример 10

Решим систему уравнений

Прежде всего преобразуем первое уравнение системы: или или или или Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin 2 2х = 1 и sin 2 у = 1.

Второе уравнение системы запишем в виде sin 2 у = 1 - cos 2 z или sin 2 у = sin 2 z , и тогда sin 2 z = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде или тогда

Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.

Скачать материал

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких систем и различные специальные приёмы мы будем изучать сразу на конкретных примерах. Может случиться, что одно из уравнений системы содержит тригонометрические функции от неизвестных x и y, а другое уравнение является линейным относительно x и y. В таком случае действуем очевидным образом: одну из неизвестных выражаем из линейного уравнения и подставляем в другое уравнение системы. Задача 1. Решить систему: x + y =, sin x + sin y = 1. Решение. Из первого уравнения выражаем y через x: и подставляем во второе уравнение: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Получилось простейшее тригонометрическое уравнение относительно x. Его решения запишем в виде двух серий: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Остаётся найти соответствующие значения y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Как всегда в случае системы уравнений, ответ даётся в виде перечисления пар x; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Обратите внимание, что x и y связаны друг с другом посредством целочисленного параметра n. А именно, если в выражении для x стоит +n, то в выражении для y автоматически появляется n, причём с тем же самым n. Это следствие «жёсткой» зависимости между x и y, задаваемой уравнением x + y =. Задача. Решить систему: cos x + cos y = 1, x y =. Решение. Здесь имеет смысл сначала преобразовать первое уравнение системы: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Таким образом, наша система равносильна следующей системе: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Подставляем x y = в первое уравнение: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). В результате приходим к системе: x + y = n, x y =. Складываем эти уравнения, делим на и находим x; вычитаем из первого уравнения второе, делим на и находим y: x = + n, y = + n n Z). + n; + n), n Z. В ряде случаев тригонометрическую систему удаётся свести к системе алгебраических уравнений подходящей заменой переменных. Задача. Решить систему: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Решение. Замена u = sin x, v = cos y приводит к алгебраической системе относительно u и v: u + v = 1, u v = 1. Эту систему вы без труда решите самостоятельно. Решение единственно: u = 1, v = 0. Обратная замена приводит к двум простейшим тригонометрическим уравнениям: sin x = 1, cos y = 0, откуда + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Теперь в записи ответа фигурируют два целочисленных параметра k и n. Отличие от предыдущих задач состоит в том, что в данной системе отсутствует «жёсткая» связь между x и y например, в виде линейного уравнения), поэтому x и y в гораздо большей степени независимы друг от друга.

3 В данном случае было бы ошибкой использовать лишь один целочисленный параметр n, записав ответ в виде + n;) + n. Это привело бы к потере бесконечного множества 5 решений системы. Например, потерялось бы решение;), возникающее при k = 1 и n = 0. Задача 4. Решить систему: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Решение. Преобразуем сначала второе уравнение: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Теперь делаем замену: u = sin x, v = sin y. Получим систему: u + v = 1, u + 4v = 1. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 0, v 1 = 1/ и u = /, v = 1/6. Остаётся сделать обратную замену: sin x = 0, sin x = sin y = 1 или, sin y = 1 6, и записать ответ. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Задача 5. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Решение. Здесь для получения алгебраической системы нужно поработать ещё больше. Первое уравнение нашей системы запишем в виде: Во втором уравнении имеем: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Таким образом, исходная система равносильна системе: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Делаем замену u = cos x y, v = cos x + y и получаем алгебраическую систему: uv = 1, u v = 4. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 1, v 1 = 1/ и u = 1, v = 1/. Первая пара даёт систему: x y = 1, = k, Отсюда cos x y cos x + y Вторая пара даёт систему: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1, = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Отсюда x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Однако свести систему тригонометрических уравнений к системе алгебраических уравнений удаётся далеко не всегда. В ряде случаев требуется применять различные специальные приёмы. Иногда удаётся упростить систему путём сложения или вычитания уравнений. Задача 6. Решить систему: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Решение. Складывая и вычитая эти уравнения, получим равносильную систему: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. А эта система, в свою очередь, равносильна совокупности двух систем: x + y = + k, x + y = x y = + k, или 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Отсюда x = + k + n), x = + k + n), y = или + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Иногда можно прийти к решению, умножая уравнения друг на друга. Задача 7. Решить систему: tg x = sin y, ctg x = cos y. Решение. Напомним, что умножить уравнения системы друг на друга это значит записать уравнение вида «произведение левых частей равно произведению правых частей». Полученное уравнение будет следствием исходной системы то есть все решения исходной системы удовлетворяют и полученному уравнению). В данном случае умножение уравнений системы приводит к уравнению: 1 = sin y cos y = sin y, откуда y = /4 + n n Z). Подставлять y в таком виде в систему неудобно лучше разбить на две серии: y 1 = 4 + n, Подставляем y 1 в первое уравнение системы: y = 4 + n. tg x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Легко видеть, что подстановка y 1 во второе уравнение системы приведёт к тому же самому результату. Теперь подставляем y: tg x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Иногда к результату приводит деление уравнений друг на друга. Задача 8. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Решение. Преобразуем: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Введём временно обозначения: α = x + y, β = x y. Тогда полученная система перепишется в виде: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Ясно, что cos β 0. Тогда, поделив второе уравнение на первое, придём к уравнению tg α =, которое является следствием системы. Имеем: α = + n n Z), и снова в целях дальнейшей подстановки в систему) нам удобно разбить полученное множество на две серии: α 1 = + n, α = 4 + n. Подстановка α 1 в любое из уравнений системы приводит к уравнению: cos β = 1 β 1 = k k Z). Аналогично, подстановка α в любое из уравнений системы даёт уравнение: cos β = 1 β = + k k Z). Итак, имеем: то есть откуда α 1 = + n, β 1 = k или α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y или + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = или + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. В некоторых случаях на помощь приходит основное тригонометрическое тождество. Задача 9. Решить систему: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Решение. Возведём обе части каждого уравнения в квадрат: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Сложим полученные уравнения: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, откуда sin y = 0 и y = n n Z). Это следствие исходной системы; то есть, для всякой пары x; y), являющейся решением системы, второе число этой пары будет иметь вид n с некоторым целым n. Разбиваем y на две серии: y 1 = n, y = + n. Подставляем y 1 в исходную систему: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Решением данной системы служит серия sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z). Обратите внимание, что теперь недостаточно было бы подставить y 1 в какое-то одно из уравнений системы. Подстановка y 1 в первое и второе уравнение системы приводит к системе двух разных уравнений относительно x.) Аналогично, подставляем y в исходную систему: Отсюда sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Иногда в ходе преобразований удаётся получить простое соотношение между неизвестными и выразить из этого соотношения одно неизвестное через другое. Задача 10. Решить систему: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Решение. Во втором уравнении системы преобразуем удвоенное произведение синусов в разность косинусов: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Выражаем отсюда y через x: y = x + n, 7

8 и подставляем в первое уравнение системы: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Дальнейшее тривиально. Получаем: cos x = 1, откуда x = ± Остаётся найти y из полученного выше соотношения: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Разумеется, рассмотренные задачи не охватывают всего многоообразия систем тригонометрических уравнений. В любой сколько-нибудь непростой ситуации требуется проявлять изобретательность, которая вырабатывается только практикой решения разнообразных задач. Во всех ответах предполагается, что k, n Z. Задачи 1. Решите систему: x + y =, cos x cos y = 1. б) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; б) n; n). Решите систему: x + y = 4, tg x tg y = 1 б) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctg 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; б) + n; 6 + n). Решите систему: sin x + sin y = 1, x y = 4 б). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; б) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Решите систему: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. б) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; б) 1) k 4 + k; + n) 5. Решите систему: cos x + cos y = 1, tg x + tg y =, sin x sin y = б) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; б) arctg 5 + k; arctg 1 + n), arctg 1 + k; arctg 5 + n) 6. Решите систему: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. б) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1) k 6 + k; ± + n) ; б) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Решите систему: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Решите систему: sin x sin y = 1 4, tg x tg y =, cos x cos y = б) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; б) ± + k + n); ± + k n)) 9. Решите систему: 4 sin x cos y = 1, tg x = tg y. б) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; б)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Решите систему: cos x = tg cos y = tg y +), 4 x +). 4 k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Решите систему:) tg 4 + x = cos y,) tg 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Решите систему: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Решите систему: tg x + tg y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Решите систему: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Решите систему: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Решите систему: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. б) ctg x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); б)) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. «Физтех», 010) Решить систему уравнений 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. МГУ, экз. для иностр. гр-н, 01) Решите систему уравнений: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. МГУ, ВМК, 005) Найдите все решения системы уравнений sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, где xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. МГУ, географич. ф-т, 005) Решите систему уравнений 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. МГУ, ф-т гос. управления, 005) Решите систему уравнений sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. МФТИ, 199) Решите систему уравнений 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x sin y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . МФТИ, 199) Решите систему уравнений tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctg 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctg 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. МФТИ, 1996) Решите систему уравнений sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1)k k) ; k, n Z 5. МФТИ, 1996) Решите систему уравнений sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. МФТИ, 1997) Решите систему уравнений 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Тригонометрические неравенства Предполагается, что читатель умеет решать простейшие тригонометрические неравенства Мы же переходим к более сложным задачам Задача

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Простейшие тригонометрические уравнения Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического раздела. Пусть a

Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественнонаучная школа при КрасГУ Математика: Модуль для 0 класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Инвариантность и задачи с параметрами Г.И. Фалин, А.И. Фалин МГУ им.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменности

И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1, a n-1, a n заданные числа, a 0,

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Симметрия в задачах с параметрами 1. (МГУ, ф-т почвоведения, 001) При каких значениях b уравнение имеет ровно один корень? tg b = log

Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

Урок алгебры в 10 классе Тема урока: Способы решения тригонометрических уравнений Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме. Задачи урока: 1) Образовательные - Расширить и углубить

Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим. Разработчик: И.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

НЕ ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ Учебное пособие для иностранных граждан Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального

Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Решение тригонометрических уравнений Решение тригонометрических уравнений Цели: Познакомиться с видами тригонометрических уравнений Познакомиться со способами решения уравнений. Выработать навыки применения

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А. 06 г П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О Дорогой читатель. Если встретившись с необходимостью найти

Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Тема: Преобразование тригонометрических выражений Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

64 7 класс Алгебра (5 ч в неделю, 175 ч) Алгебраический компонент (3 ч в неделю) 105 ч и геометрический компонент (2 ч в неделю) 70 ч Используемые учебные пособия: 1. Арефьева, И. Г. Алгебра: учеб. пособие

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Физтех 0, 0 класс, решения билета cos x cosx Решите уравнение = cos x sin x Ответ x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Решение Возможны два случая cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тогда = = tg x = x =

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ Успех решения тригонометрических уравнений и неравенств, доказательства тригонометрических тождеств и решения вычислительных задач в значительной мере определяются знанием основных

Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: (n) F, = 0 () Уравнение -го порядка (n =) примет вид F(,) = 0 Подобные уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Апрель Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В4 В В В7 С 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9,4 (;) (log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F() называется первообразной для данной функции f(), если F() f(), или, что то же самое, df f d Данная функция f() может иметь различные первообразные,

Московский физико-технический институт Иррациональные уравнения и неравенства Методическое пособие по подготовке к олимпиадам Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Введение В этой работе мы рассмотрим

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

МАВ(С)ОУ «ЦО 1» Математика 1 класс Тригонометрия ЗАЧЁТ 1, Таблицы, контрольные работы, зачёты Учитель Немова Н.М. Первая квалификация 15 уч г Пояснительная записка. Данный дидактический материал предназначен

Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Статья написана в соавторстве с А. Г. Малковой Простейшие тригонометрические уравнения. Предыдущая статья была посвящена главной идее решения простейших тригонометрических

Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d(u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные уравнения Задание для 8-х

Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр. 1 06.09.2012 1) Решить неравенство: x 7 17. 2) Умножить 612 на 100000. 3) Чему равна разность чисел 661 и 752? 4) Сравнить выражения: 54 6 и 7.

ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,