В пространстве две различные прямые могут лежать или не лежать в одной плоскости. Рассмотрим соответствующие примеры.
Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость р и выберем некоторую точку S, не принадлежащую плоскости р (рис. 130).
Тогда прямые АВ и ВС лежат в одной плоскости, именно в плоскости р , прямые AS и СВ не лежат в одной плоскости. Действительно, если бы они лежали в одной плоскости, то и точки А, В, С, S лежали бы в этой плоскости, что невозможно, так как S не лежит в плоскости, проходящей через точки А, В, С.
Две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными. Совпадающие прямые также называются параллельными. Если прямые l 1 и l 2 параллельные, то пишут l 1 || l 2 .
Таким образом, l 1 || l 2 , если, во-первых, существует плоскость р такая, что
1 1 \(\subset \) р и l 2 \(\subset \) р и, во-вторых, или l 1 \(\cap \) l 2 = \(\varnothing \) или l 1 = l 2 .
Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Очевидно, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными.
Докажем одно важное свойство параллельных прямых, которое называется транзитивностью параллельности.
Теорема . Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Пусть l 1 || l 2 и l 2 || l 3 . Нужно доказать, что l 1 || l 3
Если прямые l 1 , l 2 , l 3 лежат в одной плоскости, то это утверждение доказано в планиметрии. Будем предполагать, что прямые l 1 , l 2 , l 3 не лежат в одной плоскости.
Через прямые l 1 и l 2 проведем плоскость р 1 , а через l 2 и l 3 - плоскость р 2 (рис. 131).
Заметим, что прямая l 3 содержит хотя бы одну точку М, не принадлежащую плоскости р 1 .
Через прямую и точку М проведем плоскость р 3 , которая пересечется с плоскостью р 2 по некоторой прямой l . Докажем, что l совпадает с l 3 . Доказывать будем «методом от противного».
Предположим, что прямая l не совпадает с прямой l 3 . Тогда l пересекает прямую l 2 в некоторой точке A. Отсюда следует, что плоскость р 3 проходит через точку А \(\in \) р 1 и прямую l 1 \(\subset \)р 1 и, следовательно, совпадает с плоскостью р 1 . Этот вывод противоречит тому, что точка М \(\in \) р 3 не принадлежит плоскости р 1 .
Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому l = l 3 .
Таким образом, доказано, что прямые l 1 и l 3 лежат в одной плоскости р 3 .
Докажем, что прямые l 1 и l 3 не пересекаются.
Действительно, если бы l 1 и l 3 пересекались, например, в точке В, то плоскость р 2 проходила бы через прямую l 2 и через точку В \(\in \) l 1 и, следовательно, совпадала бы с р 1 , что невозможно.
Задача. Доказать, что углы с сонаправленными сторонами имеют равные величины.
Пусть углы MAN и M 1 A 1 N 1 имеют сонаправленные стороны: луч AM сонаправлен лучу А 1 М 1 , а луч AN сонаправлен лучу A 1 N 1 (рис. 132).
На лучах AM и А 1 М 1 отложим равные по длине отрезки АВ и А 1 В 1 . Тогда
|| и |BB 1 | = |AA 1 |
как противоположные стороны параллелограмма.
Аналогично, на лучах AN и A 1 N 1 отложим равные по длине отрезки АС и А 1 С 1 . Тогда
|| и |CC 1 | = |AA 1 |
Из транзитивности параллельности следует, что || . А так как |BB 1 | = |CC 1 | , то BB 1 C 1 C - параллелограмм, и поэтому |ВС| = |B 1 C 1 |.
Следовательно, \(\Delta ABC \cong \Delta\)А 1 В 1 С 1 и \(\widehat{BAC}=\widehat{B_{1}A_{1}C_{1}} \).
В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и с вектором нормали , где A2+B2+C2>0:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)=0. (*)
Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.
Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3) (рис. 5).
: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали (уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М1, М2 или М3, а вектором нормали может быть векторное произведение векторов .
Поставленную задачу можно решить другим способом. Пусть М(x, y,z) - текущая точка на плоскости π. Тогда векторы =(x-x1,y-y1,z-z1), =(x2-x1,y2-y1,z2-z1) и =(x3-x1,y3-y1,z3-z1) лежат на плоскости π (компланарны). Условие компланарности этих векторов (равенство нулю их смешанного произведения) задает уравнение искомой плоскости π:
. (21)
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,1,1), М2(3,2,-1) и М3(4,1,0).
Для задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)
.
Разложив определитель по первой строке, получим
Или
– уравнение искомой плоскости с 
.
Заметим, что векторное произведение векторов =(2,1,–2) и =(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали .
Действительно,
.
Задача 2.
Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и прямую L (рис. 6): 
, если точка M0 не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М1(x1,y1,z1) принадлежит L, вектор – направляющий вектор.
: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М1 или М0. Вектором нормали может служить векторное произведение векторов и :
=(A, B,C).
Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
и 
Т. M1 (x1,y1,z1),
Т. M2 (x2,y2,z2) ,
Вектор – направляющий вектор прямых L1,L2 (рис. 7).
Вновь используем уравнение (*).
Точка на плоскости – любая из точек М1 или М2; вектором нормали =(A, B,C) может быть векторное произведение [,].
Задача 4. Доказать, что две прямые L1, L2 лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.
Решение задачи рассмотрим на примере.
Пусть 
и .
1. Проверим, лежат ли прямые L1 и L2 в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы , и компланарны.
Запишем параметрически заданную прямую L2 в каноническом виде
,
здесь М2(7,2,1) – точка на прямой L2, – ее направляющий вектор.
На прямой L1: М1(1,-2,5); . Вектор =(6,4,–4) (рис. 8).
Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения
,
Т. к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).
Итак, мы убедились, что прямые L1 и L2 пересекаются.
Точка плоскости π – любая из точек М1, М2 (возьмем, например, точку М1(1,–2,5)).
Вектор нормали =(А, B,C)= == – 2+16+13.
Уравнение искомой плоскости π:
– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или
2x – 16y – 13z + 31 = 0.
Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:
L:
И плоскости π: A3x+B3y+C3z+D3=0.
Решение: Возможны следующие случаи:
А) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);
Б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;
В) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.
Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.
Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений
. (22)
Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.
Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)
А определитель Δ1, Δ2, Δ3, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:
.
Если определитель , то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:
,
Имеет место случай (б).
Если определитель , а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 отличен от нуля, система (22) не имеет (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).
В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.
Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ . Если заданы две плоскости: α и β , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β .
На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.
В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α .
Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности
В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.
Теорема 1
Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10 - 11 класс.
В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.
Теорема 2
Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.
Теорема 3
Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.
На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.
Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а также задана плоскость β , которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Теорема 4
Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).
Доказательство
Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.
Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.
Пример 1
Заданы две плоскости: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Необходимо определить, являются ли они параллельными.
Решение
Запишем систему уравнений из заданных условий:
2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0
Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.
Ранг матрицы 2 3 1 2 3 1 1 3 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 равен двум, поскольку минор 2 1 2 3 - 4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.
Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 являются параллельными.
Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.
Ответ: заданные плоскости параллельны.
Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.
Теорема 5
Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.
Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.
Допустим, что n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:
n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , где t – некое действительное число.
Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t , для которого верно равенство:
n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2
Пример 2
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β . Плоскость α проходит через точки: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Плоскость β описывается уравнением x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.
Решение
Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β .
Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → , соответствующие плоскостям α и β . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.
Вектор n 1 → можно задать, взяв векторное произведение векторов A B → и A C → . Их координаты соответственно: (- 3 , 0 , 1) и (- 2 , 2 , - 2) . Тогда:
n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)
Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:
x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0
Таким образом: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .
Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4
Так как - 1 = t · 1 12 - 8 = t · 2 3 - 3 = t · 1 4 ⇔ t = - 12 , то векторы n 1 → и n 2 → связаны равенством n 1 → = - 12 · n 2 → , т.е. являются коллинеарными.
Ответ : плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.
Для принадлежности прямых L 1:и L 2:одной плоскости чтобы векторы М 1 М 2 ={x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 }, q 1 ={l 1 ;m 1 ;n 1 } и q 2 ={l 2 ;m 2 ;n 2 } были компланарны. Т.е., по условию компланарности трех векторов, смешанное произведение М 1 М 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0(8)
Т.к. условие параллельности двух прямых имеет вид: , то для пересечения прямыхL 1 и L 2 , чтобы они удовлетворяли условию (8) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций .
Пример. Исследовать взаимное расположение прямых:
Направляющий вектор прямой L 1 –q 1 =(1;3;-2). Прямая L 2 задана как пересечение 2-х плоскостей α 1: х-у-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Т.к. прямая L 2 лежит в обеих плоскостях, то она, а значит и ее направляющий вектор, перпендикулярна нормалям n 1 и n 2 . Следовательно, направляющий вектор s 2 является векторным произведением векторов n 1 и n 2 , т.е.q 2 =n 1 х n 2 ==-i -3j +2k .
Т.о. s 1 =- s 2 , значит прямые или параллельны, или совпадают.
Чтобы проверить совпадают ли прямые, подставим координаты точки М 0 (1;2;-1)L 1 в общие уравнения L 2: 1-2+2+1=0 – неверные равенства, т.е. точка М 0 L 2,
следовательно прямые параллельны.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние от точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) до прямой L, заданной каноническим уравнением L: можно вычислить при помощи векторного произведения.
Из
канонического уравнения прямой следует,
что точка М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0)L,
а направляющий вектор прямойq
=(l;m;n)
Построим параллелограмм на векторах q и М 0 М 1 . Тогда расстояние от точки М 1 до прямой L равно высоте h этого параллелограмма. Т.к. S=|q xМ 0 М 1 |=h|q |, то
h=
(9)
Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
L 1:и L 2:
1) L 1 L 2 .
d=
2) L 1 и L 2 – скрещивающиеся
d=
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Для расположения прямой и плоскости в пространстве возможны 3 случая:
прямая и плоскость пересекаются в одной точке;
прямая и плоскость параллельны;
прямая лежит в плоскости.
Пусть прямая задана своим каноническим уравнением, а плоскость – общим
α: Ах+Ву+Сz+D=0
Уравнения прямой дают точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0)L и направляющий векторq =(l;m;n), а уравнение плоскости – нормальный вектор n =(A;B;C).
1. Пересечение прямой и плоскости.
Если прямая и плоскость пересекаются, то направляющий вектор прямой q не параллелен плоскости α, а значит не ортогонален нормальному вектору плоскости n. Т.е. их скалярное произведение n· q ≠0 или, через их координаты,
Am+Bn+Cp≠0 (10)
Определим координаты точки М - точки пересечения прямой L и плоскости α .
Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому: , tR
Подставим эти соотношения в уравнение плоскости
А(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0
A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – известны, найдем параметр t.