Любая плоскость в декартовой системе координат может быть задана уравнением `Ax + By + Cz + D = 0`, где хотя бы одно из чисел `А`, `В`, `С` отлично от нуля. Пусть дана точка `M (x_0;y_0;z_0)`, найдём расстояние от неё до плоскости `Ax + By + Cz + D = 0`.

Пусть прямая, проходящая через точку `M` перпендикулярно плоскости `alpha`, пересекает её в точке `K` с координатами `(x; y; z)`. Вектор `vec(MK)` перпендикулярен плоскости `alpha`, как и вектор `vecn` `(A;B;C)`, т. е. векторы `vec(MK)` и `vecn` коллинеарны, `vec(MK)= λvecn`.

Так как `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` и `vecn(A,B,C)`, то `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Точка `K` лежит в плоскости `alpha` (рис. 6), её координаты удовлетворяют урав-нению плоскости. Подставляем `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` в уравнение `Ax+By+Cz+D=0`, получаем

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

откуда `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Находим длину вектора `vec(MK)`, которая и равна расстоянию от точки `M(x_0;y_0;z_0)` до плоскости `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Итак, расстояние `h` от точки `M(x_0;y_0;z_0)` до плоскости `Ax + By + Cz + D = 0` таково

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

При геометрическом способе нахождения расстояния от точки `A` до плоскости `alpha` находят основание перпендикуляра `A A^"`, опущенного из точки `A` на плоскость `alpha`. Если точка `A^"` находится вне участка плоскости `alpha`, указанного в задаче, то через точку `A` проводят прямую `c`, параллельную плоскости `alpha`, и выбирают на ней более удобную точку `C`, ортогональная проекция которой `C^"` принадлежит данному участку плоскости `alpha`. Длина отрезка `C C^"` будет равна искомому расстоянию от точки `A` до плоскости `alpha` .

В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все рёбра которой равны `1`, найти расстояние от точки `B` до плоскости `AF F_1`.

Пусть `O` - центр нижнего основания призмы (рис. 7). Прямая `BO` параллельна прямой `AF` и, следовательно, расстояние от точки `B` до плоскости `AF F_1` равно расстоянию `OH` от точки `O` до плоскости `AF F_1`. В треугольнике `AOF` имеем `AO=OF=AF=1`. Высота `OH` этого треугольника равна `(sqrt3)/2`. Следовательно, искомое расстояние равно `(sqrt3)/2`.

Укажем ещё один способ (метод вспомогательного объёма) нахождения расстояния от точки до плоскости. Известно, что объём пирамиды `V`, площадь её основания `S` и длина высоты `h` связаны формулой `h=(3V)/S`. Но длина высоты пирамиды есть не что иное, как расстояние от её вершины до плоскости основания. Следовательно, для вычисления расстояния от точки до плоскости достаточно найти объём и площадь основания какой-нибудь пирамиды с вершиной в этой точке и с основанием, лежащим в данной плоскости.

Дана правильная призма `A...D_1`, в которой `AB=a`, `A A_1=2a`. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей основания `A_1B_1C_1D_1` до плоскости `BDC_1`.

Рассмотрим тетраэдр `O_1DBC_1` (рис. 8). Искомое расстояние `h` есть длина высоты этого тетраэдра, опущенной из точки `O_1` на плоскость грани `BDC_1` . Для её нахождения достаточно знать объём `V` тетраэдра `O_1DBC_1` и площадь треугольника `DBC_1` . Вычислим их. Заметим, что прямая `O_1C_1` перпендикулярна плоскости `O_1DB` , т. к. она перпендикулярна `BD` и `B B_1` . Значит, объём тетраэдра `O_1DBC_1` равен

Инструкция

Для нахождения расстояния от точки до плоскости методами начертательной : выберите на плоскости произвольную точку; проведите через нее две прямые (лежащие в этой плоскости ); восстановите перпендикуляр к плоскости , проходящий через эту точку (постройте прямую, перпендикулярную одновременно обеим пересекающимся прямым); проведите через заданную точку прямую параллельную, построенному перпендикуляру; найдите расстояние между точкой пересечения этой прямой с плоскостью и заданной точкой.

Если положение точки задано ее трехмерными координатами, а положение плоскости – линейным уравнением, то, чтобы найти расстояние от плоскости до точки , воспользуйтесь методами аналитической геометрии: обозначьте координаты точки через x, y, z, соответственно (х – абсцисса, y – ордината, z – аппликата); обозначьте через А, В, С, D уравнения плоскости (А – параметр при абсциссе, В – при , С – при аппликате, D – свободный член); вычислите расстояние от точки до плоскости по формуле:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,где s – оасстояние между точкой и плоскостью,|| - абсолютного значения (или модуля) .

Пример.Найдите расстояние между точкой А с координатами (2, 3, -1) и плоскостью, заданной уравнением: 7х-6у-6z+20=0.Решение.Из условий следует, что:х=2,у=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20.Подставьте эти значения в вышеприведенную .Получится:s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Ответ:Расстояние от точки до плоскости равно 2 (условным единицам).

Совет 2: Как определить расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости . Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости .

Вам понадобится

• уравнение плоскости

Инструкция

Пусть первая из параллельных f1 задана уравнением y=kx+b1. Переведя выражение в общий вид, у вас получится kx-y+b1=0, то есть A=k, B=-1. Нормалью к ней будет n={k, -1}.
Теперь следует произвольную абсциссу точки х1 на f1. Тогда ее ордината y1=kx1+b1.
Пусть уравнение второй из параллельных прямых f2 будет иметь вид:
у=kx+b2 (1),
где k одинаково для обеих прямых, в силу их параллельности.

Далее вам необходимо составить каноническое уравнение линии перпендикулярной как f2, так и f1, содержащей точку М (x1, y1). При этом полагают, что х0=х1, y0=y1, S={k, -1}. В результате у вас должно получится следующее равенство:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Решив систему уравнений, состоящую из выражений (1) и (2), вы найдете вторую точку, определяющую искомое расстояние между параллельными N(x2, y2). Само искомое расстояние будет равно d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Пример. Пусть уравнения заданных параллельных прямых на плоскости f1 – у=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Берем произвольную точку х1=1 на f1. Тогда y1=3. Первая точка, таким образом будет иметь координаты M (1,3). Уравнение общего перпендикуляра (3):
(х-1)/2 = -y+3 или y=-(1/2)x+5/2.
Подставив это значение y в (1), получить:
-(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2=3.
Второе основание перпендикуляра в точке с координатами N (-1, 3). Расстояние между параллельными прямыми составит:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Источники:

• Развитие легкой атлетики в России

Вершина любой плоской или объемной геометрической фигуры однозначно определяется своими координатами в пространстве. Точно так же может быть однозначно определена и любая произвольная точка в той же системе координат, а это дает возможность вычислить расстояние между этой произвольной точкой и вершиной фигуры.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка или карандаш;
• - калькулятор.

Инструкция

Сведите задачу к нахождению длины отрезка между двумя точками, если координаты заданной в задачи точки и вершины геометрической фигуры известны. Эту длину можно вычислить, воспользовавшись теоремой Пифагора применительно к проекциям отрезка на оси координат - она будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин всех проекций. Например, пусть в трехмерной системе координат заданы точка A(X₁;Y₁;Z₁) и вершина C фигуры любой геометрической с координатами (X₂;Y₂;Z₂). Тогда длины проекций отрезка между ними на координатные оси можно как X₁-X₂, Y₁-Y₂ и Z₁-Z₂, а длину отрезка - как √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Например, если координаты точки A(5;9;1), а вершины C(7;8;10), то расстояние между ними будет равно √((5-7)²+(9-8)²+(1-10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Вычислите сначала координаты вершины, если в явном виде в условиях задачи они не представлены. Конкретный способ зависит от типа фигуры и известных дополнительных параметров. Например, если известны трехмерные координаты трех вершин A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) и C(X₃;Y₃;Z₃), то координаты четвертой его вершины (противоположной вершине B) будут (X₃+X₂-X₁; Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). После определения координат недостающей вершины вычисление расстояния между ней и произвольной точкой вновь сведется к определению длины отрезка между двумя этими точками в заданной системе координат - сделайте это тем же способом, который был описан в предыдущем шаге. Например, для вершины описанного в этом шаге параллелограмма и точки E с координатами (X₄;Y₄;Z₄) формулу вычисления расстояния из предыдущего шага можно так: √((X₃+X₂-X₁-X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁-Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Для практических расчетов можно использовать, например, встроенный в поисковую систему Google . Так, чтобы вычислить значение по формуле, полученной на предыдущем шаге, для точек с координатами A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7;9;2), введите такой поисковый запрос: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Поисковик рассчитает и отобразит результат вычислений (5,19615242).

Видео по теме

Восстановление перпендикуляра к плоскости – одна из важных задач в геометрии, она лежит в основе многих теорем и доказательств. Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости , нужно последовательно выполнить несколько действий.

Вам понадобится

• - заданная плоскость;
• - точка, из которой требуется провести перпендикуляр;
• - циркуль;
• - линейка;
• - карандаш.

Калькулятор онлайн.
Вычисление расстояния от точки до плоскости

Этот калькулятор онлайн вычисляет расстояния от точки до плоскости заданной в виде общего уравнения плоскости:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния от точки до плоскости не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Наш онлайн калькулятор дает не только ответ задачи, но и отображает процесс решения по шагам. В результате вы сможете понять процесс решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \(-\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \(-1\frac{5}{7} \)

x+

y+

z+ =0

M(

;

;

)

Вычислить расстояние от точки до плоскости

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольная плоскость \(\pi \) (см. рисунок).

Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости \(\pi \). Будем называть ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересекает плоскость \(\pi \). На нормали введем направление от точки О к точке Р. Если точки О и Р совпадают, то возьмем любое из двух направлений на нормали. Пусть \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) - углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат; p - длина отрезка OP.

Выведем уравнение данной плоскости \(\pi \), считая известными числа \(\cos\alpha, \; \cos\beta, \; \cos\gamma \) и р. Для этого введем единичный вектор n на нормали, направление которого совпадает с положительным направлением нормали. Так как n - единичный вектор, то
\(\begin{array}{lr} \vec{n} = (\cos\alpha; \;\; \cos\beta; \;\; \cos\gamma) & \qquad\qquad (5) \end{array} \)

Пусть М (x; y; z) - произвольная точка. Она лежит на плоскости \(\pi \) тогда и только тогда, когда проекция вектора OM на нормаль равна p, т.е.
$$ \begin{array}{lr} Пр_{\vec{n}} \overrightarrow{OM} = p & (6) \end{array} $$

Заметим теперь, что \(Пр_{\vec{n}} \overrightarrow{OM} = \vec{n} \cdot \overrightarrow{OM} \) и \(\vec{OM} = (x;\; y; \; z) \) Тогда, учитывая равенство (5)

$$ \begin{array}{lr} Пр_{\vec{n}} \overrightarrow{OM} = \vec{n} \cdot \overrightarrow{OM} = x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma & (7) \end{array} $$

Из равенств (6) и (7) получаем, что точка М(х; у; z) лежит на плоскости \(\pi \) тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

\(\begin{array}{lr} x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (8) \end{array} \) которое и является искомым уравнением данной плоскости. Уравнение плоскости в виде (8) называется нормальным уравнением плоскости .

Теорема
Если точка М* имеет координаты х*, у*, z*, и плоскость задана нормальным уравнением

\(x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 \) то расстояние d от точки М* до этой плоскости определяется по формуле
\(d = |x^* \cos \alpha + y^* \cos\beta + z^* \cos\gamma - p | \)

Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть
\(\begin{array}{lr} Ax+By+Cz+D=0 & \qquad\qquad (11) \end{array} \)
- общее уравнение некоторой плоскости, а
\(\begin{array}{lr} x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (12) \end{array} \)
- ее нормальное уравнение. Так как уравнения (11) и (12) определяют одну и ту же плоскость, то по теореме коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что умножая все члены (11) на некоторый множитель \(\mu \), получаем уравнение
\(\mu Ax + \mu By + \mu Cz + \mu D=0 \)
совпадающее с уравнением (12), т.е. имеем
\(\begin{array}{lr} \mu A = \cos \alpha, \;\; \mu B = \cos\beta, \;\; \mu C = \cos\gamma, \;\; \mu D = -p & \qquad\qquad (13) \end{array} \)

Чтобы найти множитель \(\mu \), возведем первые три из равенств (13) в квадрат и сложим; тогда получим
\(\mu^2(A^2+B^2+C^2) = \cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos ^2\gamma \)
Но правая часть последнего равенства равна единице. Следовательно,
$$ \mu = \pm \frac{1}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

Число \(\mu \), с помощью которого общее уравнение плоскости преобразуется в нормальное, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак \(\mu \) определяется равенством \(\mu D = -p \), т.е. \(\mu \) имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения (11).

Если в уравнении (11) D=0, то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
• развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование:

• мультимедийный проектор;
• компьютер;
• листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой a, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.

Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.

№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .

Следующий метод: метод объемов .

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.

При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .

Введем систему координат с началом в точке А, ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z – по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В, D, C 1 .

Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Следовательно, ρ =

Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .

№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .

№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия