МАОУ «Лицей инновационных технологий»

Многогранные углы. Выпуклые многогранники

Подготовил ученик 10Б класса: Бурыкин Алексей

Проверил: Дубинская И.А.

Хабаровск

Многогранный угол

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполняются условия:

1)никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны;

2) у каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только одним другим таким углом;

3) от каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общую сторону;

4) никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости.

• Углы ASB, BSC,... называются плоскими углами или гранями , стороны их SA, SB, ... называются рeбрами , а общая вершина S- вершиной многогранного угла.

Теорема1.

В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Следствие

• / ASC - / ASB / CSB; / ASC - / CSB / ASB.

В трёхгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других углов .

Теорема2.

• Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360° .

180°, откуда и следует, что α + β + γ " width="640"

Доказательство

Обозначим,

тогда из треугольников ASC, ASB, BSC имеем

Теперь неравенство принимает вид

180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°,

откуда и следует, что

α + β + γ

Простейшие случаи равенства трёхгранных углов

• 1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами , или 2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами .

Выпуклый многогранный угол

• Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной.

Многогранник.

Многогранник , в трехмерном пространстве- совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого, называемого смежным с первым.

Выпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым , если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы.

Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части – внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранна, то соответствующий многогранник –выпуклый.

Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основание которых образует поверхность многогранника.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла.

На рисунке 142 изображен двугранный угол с ребром а и гранями а и (3.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Если через точку А ребра а двугранного угла провести плоскость у, перпендикулярную этому ребру, то она пересечет плоскости а и (3 по полупрямым (рис. 142); линейный угол данного двугранного угла. Градусная мера этого линейного угла является градусной мерой двугранного угла. Мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Трехгранным углом называется фигура, составленная из трех плоских углов (рис. 143). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла как фигуры, составленной из плоских углов (рис. 144). Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла.

Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 145).

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности (рис. 145, а, б). Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

Многогранные углы Многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника на плоскости. Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной этой плоскости и ограниченной ею внутренней областью.

Определение многогранного угла Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

Виды многогранных углов В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Упражнение 1 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Упражнение 2 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные и четырехгранные углы; б) трехгранные и пятигранные углы; в) четырехгранные и пятигранные углы. Ответ: а) четырехугольная пирамида, треугольная бипирамида; б) пятиугольная пирамида; в) пятиугольная бипирамида.

Неравенство треугольника Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема (Неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Точка пересечения биссектрис Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Биссектральные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Биссектральная плоскость SAD двугранного угла SA является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней SAB и SAC. Аналогично, биссектральная плоскость SBE двугранного угла SB является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней SAB и SBC. Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех граней трехгранного угла. Следовательно, через нее будет проходить биссектральная плоскость двугранного угла SC.

Точка пересечения серединных перпендикуляров Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через биссектрисы граней трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Плоскость, проходящая через биссектрису SD угла BSC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от ребер SB и SC трехгранного угла SABC. Аналогично, плоскость, проходящая через биссектрису SE угла ASC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от ребер SA и SC трехгранного угла SABC. Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех ребер трехгранного угла. Следовательно, ее будет содержать плоскость, проходящая через биссектрису угла ASB и перпендикулярная его плоскости.

Точка пересечения медиан Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. На его ребрах отложим равные отрезки SA = SB = CS. Биссектрисы SD, SE, SF плоских углов трехгранного угла являются медианами треугольников соответственно SBC, SAB. Следовательно, AD, BE, CF – медианы треугольника ABC. Пусть O – точка пересечения медиан. Тогда прямая SO будет линией пересечения рассматриваемых плоскостей.

Точка пересечения высот Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и перпендикулярные плоскостям противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол Sabc. Пусть d, e, f – линии пересечения плоскостей граней трехгранного угла с плоскостями, проходящими через ребра a, b, c этого угла и перпендикулярные соответствующим плоскостям граней. Выберем какую-нибудь точку C на ребре с. Опустим из нее перпендикуляры CD и CE на прямые d и e соответственно. Обозначим A и B точки пересечения прямых CD и CE с прямыми SB и SA соответственно. Прямая d является ортогональной проекцией прямой AD на плоскость BSC. Так как BC перпендикулярна прямой d, то она перпендикулярна и прямой AD. Аналогично, прямая AC перпендикулярна прямой BE. Пусть O – точка пересечения прямых AD и BE. Прямая BC перпендикулярна плоскости SAD, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Аналогично, Прямая AC перпендикулярна плоскости SBE, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Таким образом, прямая SO перпендикулярна прямым BC и AC, следовательно, перпендикулярна плоскости ABC, значит, перпендикулярна и прямой AB. С другой стороны, прямая CO перпендикулярна прямой AB. Таким образом, прямая AB перпендикулярна плоскости SOC. Плоскость SAB проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости SOC, следовательно, сама перпендикулярна этой плоскости. Значит, все три рассматриваемые плоскости пересекаются по прямой SO.

Сумма плоских углов Теорема. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу неравенства треугольника, имеет место неравенство BAС

Выпуклые многогранные углы Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.
Упражнение 5 Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10 о

Упражнение 6 Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90 о.

Упражнение 7 В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60 о.

Упражнение 8 Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90 о.

Упражнение 9 Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

Определения. Возьмём несколько углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, которые, примыкая последовательно один к другому, расположены в одной плоскости вокруг общей вершины S.

Повернём плоскость угла ASВ вокруг общей стороны SB так, чтобы эта плоскость составила некоторый двугранный угол с плоскостью BSC. Затем, не изменяя получившегося двугранного угла, повернём его вокруг прямой SC так, чтобы плоскость BSC составила некоторый двугранный угол с плоскостью CSD. Продолжим такое последовательное вращение вокруг каждой общей стороны. Если при этом последняя сторона SF совместится с первой стороной SA, то образуется фигура (черт. 38), которая называется многогранным углом . Углы ASB, BSC,... называются плоскими углами или гранями , стороны их SA, SB, ... называются рeбрами , а общая вершина S- вершиной многогранного угла.

Каждое ребро является вместе с тем ребром некоторого двугранного угла; поэтому в многогранном угле столько двугранных углов и столько плоских, сколько в нём всех рёбер. Наименьшее число граней в многогранном угле - три; такой угол называется трёхгранным . Могут быть углы четырёхгранные, пятигранные и т. д.

Многогранный угол обозначается или одной буквой S, поставленной у вершины, или же рядом букв SABCDE, из которых первая обозначает вершину, а прочие - рёбра по порядку их расположения.

Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной. Таков, например, угол, изображённый на чертеже 38. Наоборот, угол на чертеже 39 нельзя назвать выпуклым, так как он расположен по обе стороны от грани ASB или от грани BSС.

Если все грани многогранного угла пересечём плоскостью, то в сечении образуется многоугольник (abcde ). В выпуклом многогранном угле этот многоугольник тоже выпуклый.

Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Теорема. В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Пусть в трёхгранном угле SABC (черт. 40) наибольший из плоских углов есть угол ASC.

Отложим на этом угле угол ASD, равный углу ASB, и проведём какую-нибудь прямую АС, пересекающую SD в некоторой точке D. Отложим SB = SD. Соединив В с А и С, получим \(\Delta\)АВС, в котором

AD + DC < АВ + ВС.

Треугольники ASD и ASB равны, так как они содержат по равному углу, заключённому между равными сторонами: следовательно, AD = AB. Поэтому, если в выведенном неравенстве отбросить равные слагаемые AD и АВ, получим, что DC < ВС.

Теперь замечаем, что у треугольников SCD и SCB две стороны одного равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны; в таком случае против большей из этих сторон лежит больший угол; значит,

∠ CSD < ∠ CSВ.

Прибавив к левой части этого неравенства угол ASD, а к правой равный ему угол ASB, получим то неравенство, которое требовалось доказать:

∠ ASC < ∠ CSB + ∠ ASB.

Мы доказали, что даже наибольший плоский угол меньше суммы двух других углов. Значит, теорема доказана.

Следствие. Отнимем от обеих частей последнего неравенства по углу ASB или по углу CSB; получим:

∠ ASC - ∠ ASB < ∠ CSB;

∠ ASC - ∠CSB < ∠ ASB.

Рассматривая эти неравенства справа налево и приняв во внимание, что угол ASC как наибольший из трёх углов больше разности двух других углов, мы приходим к заключению, что в трёхгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других углов .

Теорема. В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 4d (360°) .

Пересечём грани (черт. 41) выпуклого угла SABCDE какой-нибудь плоскостью; от этого в сечении получим выпуклый n -угольник ABCDE.

Применяя теорему, доказанную ранее, к каждому из трёхгранных углов, вершины которых находятся в точках А, В, С, D и Е, пахолим:

∠ABC < ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Сложим почленно все эти неравенства. Тогда в левой части получим сумму всех углов многоугольника ABCDE, которая равна 2dn - 4d , а в правой - сумму углов треугольников ABS, SBC и т. д., кроме тех углов, которые лежат при вершине S. Обозначив сумму этих последних углов буквой х , мы получим после сложения:

2dn - 4d < 2dn - х .

Так как в разностях 2dn - 4d и 2dn - х уменьшаемые одинаковы, то, чтобы первая разность была меньше второй, необходимо, чтобы вычитаемое 4d было больше вычитаемого х ; значит, 4d > х , т. е. х < 4d .

Простейшие случаи равенства трёхгранных углов

Теоремы. Трёхгранные углы равны, если они имеют:

1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами , или

2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами .

1) Пусть S и S 1 - два трехгранных угла (черт. 42), у которых ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (и эти равные углы одинаково расположены) и двугранный угол AS равен двугранному углу A 1 S 1 .

Вложим угол S 1 в угол S так, чтобы у них совпали точки S 1 и S, прямые S 1 A 1 и SA и плоскости A 1 S 1 B 1 и ASB. Тогда ребро S 1 B 1 пойдет по SB (в силу равенства углов A 1 S 1 B 1 и ASB), плоскость A 1 S 1 C 1 пойдёт по ASC (по равенству двугранных углов) и ребро S 1 C 1 пойдёт по ребру SC (в силу равенства углов A 1 S 1 C 1 и ASC). Таким образом, трёхгранные углы совместятся всеми своими рёбрами, т.е. они будут равны.

2) Второй признак, подобно первому, доказывается вложением.

Симметричные многогранные углы

Как известно, вертикальные углы равны, если речь идёт об углах, образованных прямыми или плоскостями. Посмотрим, справедливо ли это утверждение применительно к углам многогранным.

Продолжим (черт. 43) все рёбра угла SABCDE за вершину S, тогда образуется другой многогранный угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , который можно назвать вертикальным по отношению к первому углу. Нетрудно видеть, что у обоих углов равны соответственно и плоские углы, и двугранные, но те и другие расположены в обратном порядке. Действительно, если мы вообразим наблюдателя, который смотрит извне многогранного угла на его вершину, то рёбра SА, SВ, SС, SD, SЕ будут казаться ему расположенными в направлении против движения часовой стрелки, тогда как, смотря на угол SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , он видит рёбра SА 1 , SВ 1 , ..., расположенными по движению часовой стрелки.

Многогранные углы с соответственно равными плоскими и двугранными углами, но расположенными в обратном порядке вообще не могут совместиться при вложении; значит, они не равны. Такие углы называются симметричными (относительно вершины S). Подробнее о симметрии фигур в пространстве будет сказано ниже.

Другие материалы

Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны -- ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).

Многогранник

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник -- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины -- вершинами многогранника.

Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Простейшим многогранникам -- призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,-- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.