Аn арифметическая. Сумма арифметической прогрессии

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называется -ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

В нашем случае:

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна.
Например:

и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

a)
b)
c)
d)

Разобрался? Сравним наши ответы:
Является арифметической прогрессией - b, c.
Не является арифметической прогрессией - a, d.

Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения.

1. Способ

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения:

Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.

2. Способ

А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:

Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии:


Иными словами:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:

Уравнение арифметической прогрессии.

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

Возрастающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:

Убывающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: Проверим, какое получится -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:


Так как, то:

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти -ой и -ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии

Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
- арифметическая прогрессия, найти значение.
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Пусть, а, тогда:

Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
, тогда:

  • предыдущий член прогрессии это:
  • последующий член прогрессии это:

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на.

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из -ти членов: Нам необходимо найти сумму данных членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.


Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны


А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть.
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна, а подобных равных пар, мы получаем, что общая сумма равна:
.
Таким образом, формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена.
Что у тебя получилось?

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го.

Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени - строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.


Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: .
Разность арифметической прогрессии.
Количество членов арифметической прогрессии.
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

Способ 2.

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ - блоков:

Тренировка

Задачи:

  1. Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на. Сколько раз будет приседать Маша через недели, если на первой тренировке она сделала приседаний.
  2. Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в.
  3. Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат бревен.

Ответы:

  1. Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае
    (недели = дней).

    Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.

  2. Первое нечетное число, последнее число.
    Разность арифметической прогрессии.
    Количество нечетных чисел в - половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения -ного члена арифметической прогрессии:

    В числах действительно содержится нечетных чисел.
    Имеющиеся данные подставим в формулу:

    Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.

  3. Вспомним задачу про пирамиды. Для нашего случая, a , так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке слоев, то есть.
    Подставим данные в формулу:

    Ответ: В кладке находится бревен.

Подведем итоги

  1. - числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна. Она бывает возрастающей и убывающей.
  2. Формула нахождения -го члена арифметической прогрессии записывается формулой - , где - количество чисел в прогрессии.
  3. Свойство членов арифметической прогрессии - - где - количество чисел в прогрессии.
  4. Сумму членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:

    , где - количество значений.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером называется -ым членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

задает последовательность:

А формула - такую последовательность:

Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда:

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус:

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

Реши сам:

В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

Тогда сотый член равен:

Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак,

Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.

Решение:

Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Формула -го члена для этой прогрессии:

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: .

Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:

Ответ: .

Теперь реши сам:

  1. Ежедневно спортсмен пробегает на м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за недели, если в первый день он пробежал км м?
  2. Велосипедист проезжает каждый день на км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
  3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через шесть лет был продан за рублей.

Ответы:

  1. Здесь самое главное - распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, (недели = дней). Определить нужно сумму первых членов этой прогрессии:
    .
    Ответ:
  2. Здесь дано: , надо найти.
    Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
    .
    Подставляем значения:

    Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
    Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
    (км).
    Ответ:

  3. Дано: . Найти: .
    Проще не бывает:
    (руб).
    Ответ:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().

Например:

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.

Свойство членов арифметической прогрессии

Оно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии

Существует два способа нахождения суммы:

Где - количество значений.

Где - количество значений.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Сумма арифметической прогрессии.

Сумма арифметической прогрессии - штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных.

Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много... сложение напрягает.) В этом случае спасает формула.

Формула суммы выглядит просто:

Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит.

S n - сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый - прямое применение формулы разочарует.)

a 1 - первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда.

a n - последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите.

n - номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов.

Определимся с понятием последнего члена a n . Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?)

Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и... внимательно читать задание!)

В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена.

Самое главное - понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии. Количество этих самых первых членов, т.е. n , определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да... Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.)

Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии.

Прежде всего, полезная информация:

Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.

Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное - не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА.

1. Арифметическая прогрессия задана условием: a n = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов.

Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a 1 , последний член a n , да номер последнего члена n.

Где взять номер последнего члена n ? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер - десятый!) Стало быть, вместо a n в формулу будем подставлять a 10 , а вместо n - десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов.

Осталось определить a 1 и a 10 . Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого - никак.

a 1 = 2·1 - 3,5 = -1,5

a 10 =2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10 .

Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать:

Вот и все дела. Ответ: 75.

Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее:

2. Дана арифметическая прогрессия (a n), разность которой равна 3,7; a 1 =2,3. Найти сумму первых 15 её членов.

Сразу пишем формулу суммы:

Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой:

a 15 = 2,3 + (15-1)·3,7 = 54,1

Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ:

Ответ: 423.

Кстати, если в формулу суммы вместо a n просто подставим формулу n-го члена, получим:

Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Как видим, тут не требуется n-й член a n . В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да... Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.)

Теперь задание в виде краткой шифровки):

3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём.

Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще... Как жить!?

Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа - знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым ? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут...

Кратные трём... Гм... Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится... 12... делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!)

Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии:

А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 - фатально заблуждается... Номера - они всегда подряд идут, а члены у нас - через тройку перескакивают. Не совпадают они.

Тут два пути решения. Один путь - для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь - для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 - это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30.

Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии:

Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы:

a 1 = 12.

a 30 = 99.

S n = S 30 .

Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем:

Ответ: 1665

Ещё один тип популярных задачек:

4. Дана арифметическая прогрессия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый.

Смотрим на формулу суммы и... огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого... Не сработает формула.

Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но... как-то тупо и долго получается, правда?)

Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть - с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S 1-19 , да сложим с суммой членов второй части S 20-34 , получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S 1-34 . Вот так:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Отсюда видно, что найти сумму S 20-34 можно простым вычитанием

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем?

Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии:

d = 1,5.

a 1 = -21,5.

Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2:

a 19 = -21,5 +(19-1)·1,5 = 5,5

a 34 = -21,5 +(34-1)·1,5 = 28

Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Ответ: 262,5

Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S 20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно - S 1-19 . А уж потом определили и S 20-34 , отбросив от полного результата ненужное. Такой "финт ушами" частенько спасает в злых задачках.)

В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.)

Практический совет:

При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы.

Формулу n-го члена:

Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает.

А теперь задачи для самостоятельного решения.

5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три.

Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет.

6. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сумму первых 24 её членов.

Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются.

7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи?

Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2.

Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии. Решение задач.

Задачи урока:

  • Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических прогрессий.
  • Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
  • Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация (Приложение 1)

Учебные пособия: Алгебра 9, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского, ОАО "Московские учебники", 2010

План урока:

  1. Организационный момент, постановка задачи
  2. Актуализация знаний, устная работа
  3. Изучение нового материала
  4. Первичное закрепление
  5. Подведение итогов урока
  6. Домашнее задание

В целях повышения наглядности и удобства работы с материалом, урок идет в сопровождении презентации. Однако это не является обязательным условием, и тот же урок может быть проведен в классах, не оснащенных мультимедийным оборудованием. Для этого необходимые данные могут быть подготовлены на доске или в виде таблиц и плакатов.

Ход урока

I. Организационный момент, постановка задачи.

Приветствие.

Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

II. Актуализация знаний, устная работа.

Последовательность () задана формулой: =. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

О последовательности () известно, что , . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности.

О последовательности () известно, что . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите , если?

III. Изучение нового материала.

Прогрессия - последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некоей, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия".

Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.

Рассмотрим последовательности чисел:

  • 2, 6, 10, 14, 18, :.
  • 11, 8, 5, 2, -1, :.
  • 5, 5, 5, 5, 5, :.

Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?

Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и шестым?

Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете?

(Ответы учеников)

Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство.

(Ответы учеников)

Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение.

Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:

( - арифметическая прогрессия, если , где некоторое число.

Число d , показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии: .

Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?

Если в арифметической прогрессии разность положительна , то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( , то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

В случае, если разность равна нулю () и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5, :.

Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+329=137 тонн угля.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Последовательность ()-арифметическая прогрессия. Найдите , если и .

Воспользуемся формулой n-ого члена ,

Ответ: 260.

Рассмотрим следующую задачу:

В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа?

Учащиеся, скорее всего, сначала вычислят разность прогрессии, а затем будут находить неизвестные члены прогрессии. Тогда можно предложить им найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим.

Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть - искомый член последовательности. Тогда

.

Замечание. Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (. И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией.

IV. Первичное закрепление.

  • № 575 аб - устно
  • № 576 авд - устно
  • № 577б - самостоятельно с проверкой

Последовательность (- арифметическая прогрессия. Найдите , если и

Воспользуемся формулой n-ого члена ,

Ответ: -24,2.

Найдите 23-й и n-ый члены арифметической прогрессии -8; -6,5; :

Решение: Первый член арифметической прогрессии равен -8. Найдем разность арифметической прогрессии, для этого надо из последующего члена последовательности вычесть предыдущий: -6,5-(-8)=1,5.

Воспользуемся формулой n-ого члена.

Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса к учебникам
Макарычева Ю.Н. Алимова Ш.А. Мордковича А.Г. Муравина Г.К.

Так что же такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия – рекуррентно заданная числовая прогрессия.

Давайте запишем рекуррентную форму: $a_{1}=a$; $a_{n}=a_{n-1}+d$, число d – разность прогрессии. а и d – определенные заданные числа.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой $а=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой $а=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5… Арифметическая прогрессия, у которой $а=5, d=0$.

Арифметическая прогрессия обладает свойствами монотонности, если разность прогрессии больше нуля, то последовательность возрастающая, если разность прогрессии меньше нуля, то последовательность убывающая.

Если в арифметической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной арифметической прогрессией.

Если задана последовательность $a_{n}$, и она является арифметической прогрессией, то принято обозначать: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Арифметическую прогрессию можно задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:
$a_{1}=a_{1}$.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$.
$a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+3d$.
$a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+4d$.
Мы легко замечаем закономерность: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
Наша формула называется – формулой n-ого члена арифметической прогрессии.

Давайте вернемся к нашим примерам и запишем нашу формулу для каждого из примеров.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой а=1, d=3. $a_{n}=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой а=3, d=-3. $a_{n}=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дана арифметическая прогрессия: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.
а) Известно, что $a_{1}=5$, $d=3$. Найти $a_{23}$.
б) Известно, что $a_{1}=4$, $d=5$, $a_{n}=109$. Найти n.
в) Известно, что $d=-1$, $a_{22}=15$. Найти $a_{1}$.
г) Известно, что $a_{1}=-3$, $a_{10}=24$. Найти d.
Решение.
а) $a_{23}=a_{1}+22d=5+66=71$.
б) $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_{22}=a_{1}+21d=a_{1}-21=15=> a_{}1=36$.
г) $a_{10}=a_{1}+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном остается 7, а при делении девятого члена на пятый в частном получается 2, а в остатке 5. Найти тридцатый член прогрессии.
Решение.
Запишем последовательно формулы 2,5 и 9 членов нашей прогрессии.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{5}=a_{1}+4d$.
$a_{9}=a_{1}+8d$.
Также из условия знаем:
$a_{9}=7a_{2}$.
$a_{9}=2a_{5}+5$.
Или:
$a_{1}+8d=7(a_{1}+d)$.
$a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}a_{1}+8d=7(a_{1}+d)\\a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5\end{cases}$.
$\begin{cases}d=6a_{1}\\d=a_{1}+5\end{cases}$.
Решив систему получаем: $d=6, a_{1}=1$.
Найдем $a_{30}$.
$a_{30}=a_{1}+29d=175$.

Сумма конечной арифметической прогрессии

Пусть у нас есть конечная арифметическая прогрессия. Возникает вопрос, а можно ли посчитать сумму всех ее членов?
Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.
Пусть дана конечная арифметическая прогрессия: $a_{1},a_{2},…a_{n-1},a_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
Давайте рассмотрим, на конкретном примере, чему равна сумма.

Пусть нам дана арифметическая прогрессия 1,2,3,4,5…100.
Сумма ее членов тогда представим вот так:
$S_{n}=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но схожая формула применима для любой арифметической прогрессии:
$a_{3}+a_{n-2}=a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+a_{n}$.
Давайте запишем нашу формулу в общем случае: $a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}$, где $k<1$.
Давайте выведем формулу для вычисления суммы членов арифметической прогрессии, запишем два раза формулу в разных порядках:
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+⋯+a_{2}+a_{1}$.
Сложим между собой эти формулы:
$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+⋯+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$.
В правой части нашего равенства n слагаемых, и мы знаем, что каждый из них равен $a_{1}+a_{n}$.
Тогда:
$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.
Так же нашу формулу можно переписать в виде: так как $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,
то $S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n$.
Чаще всего удобнее пользоваться именно этой формулой, поэтому хорошо бы ее запомнить!

Пример. Дана конечная арифметическая прогрессия.
Найти:
а) $s_{22},если a_{1}=7, d=2$.
б) d,если $a_{1}=9$, $s_{8}=144$.
Решение.
а) Воспользуемся второй формулой суммы $S_{22}=\frac{2a_{1}+d(22-1)}{2}*22=\frac{14+2(22-1)}{2}*22=616$.
б) В этом примере воспользуемся первой формулой: $S_{8}=\frac{8(a_{1}+a_{1})}{2}=4a_{1}+4a_{8}$.
$144=36+4a_{8}$.
$a_{8}=27$.
$a_{8}=a_{1}+7d=9+7d$.
$d=2\frac{4}{7}$.

Пример. Найти сумму всех нечетных двухзначных чисел.
Решение.
Члены нашей прогрессии представляют собой: $a_{1}=11$, $a_{2}=13$, …, $a_{n}=99$.
Давайте найдем номер последнего члена прогрессии:
$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Теперь найдем сумму: $S_{45}=\frac{45(11+99)}{2}=2475$.

Пример. Ребята отправились в поход. Известно, что за первый час они прошли 500 м, после они стали проходить на 25 метров меньше, чем в первый час. За сколько часов они пройдут 2975 метров?
Решение.
Путь, пройденный за каждый час можно представить в виде арифметической прогрессии:
$a_{1}=500$, $a_{2}=475$, $a_{3}=450…$.
Разность арифметической прогрессии равна $d=-25$.
Путь, пройденный в 2975 метров представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
$S_{n}=2975$, где n - часы потраченные на путь.
Тогда:
$S_{n}=\frac{1000-25(n-1)}{2}$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Разделим обе части на 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_{1}=7$, $n_{2}=34$.
Очевидно, что логичнее выбрать $n=7$.
Ответ. Ребята были в пути 7 часов.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Ребята, пусть дана арифметическая прогрессия, давайте рассмотрим произвольных три последовательных члена прогрессии: $a_{n-1}$, $a_{n}$, $a_{n+1}$.
Мы знаем что:
$a_{n-1}=a_{n}-d$.
$a_{n+1}=a_{n}+d$.
Давайте сложим наши выражения:
$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}$.
$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Тогда можно смело говорить, что это арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией, когда каждый член этой прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов нашей прогрессии (не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена прогрессии).

Пример. Найти такие х, что $3х+2$; $x-1$; $4x+3$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.
Решение. Воспользуемся нашей формулой:
$x-1=\frac{3x+2+4x+3}{2}$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac{2}{5}=-1,4$.
Проверим, наши выражения примут вид: -2,2; -2,4; -2,6.
Очевидно что, это члены арифметической прогрессии и $d=-0,2$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии 38;30;22…
2. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии 10,21,32…
3. Известно, что $a_{1}=7$, $d=8$. Найти $a_{31}$.
4. Известно, что $a_{1}=8$, $d=-2$, $a_{n}=-54$. Найти n.
5. Найдите сумму первых семнадцати членов арифметической прогрессии 3;12;21….
6. Найти такие х, что $2х-1$; $3x+1$; $5x-7$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.

Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .

Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .

Обозначение арифметической прогрессии

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.

Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).

Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.

Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)

Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:

Ответ: \(b_5=23\)

Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\).

Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента.

Готово. Можно писать ответ.

Ответ: \(-3\)

Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:


Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\).

А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\).


Готово. Можно писать ответ.

Ответ: \(7,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам :

\(n=1\); \(a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_{2+1}=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_{3+1}=a_3+5=-1+5=4\)
А вычислив нужные нам шесть элементов - находим их сумму.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Искомая сумма найдена.

Ответ: \(S_6=9\).

Пример (ОГЭ). В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(d=7\).

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).


Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:

Ответ: \(b_{246}=1850\).

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где



\(a_n\) – последний суммируемый член;


Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:

\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\) \(\cdot 25\)

Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена.
Наша прогрессия задана формулой энного члена в зависимости от его номера (подробнее смотри ). Давайте вычислим первый элемент, подставив вместо \(n\) единицу.

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять.

\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\)

Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму.

\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac{2,8+84,4}{2}\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Ответ готов.

Ответ: \(S_{25}=1090\).

Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\), где

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример. Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Ответ: \(S_{33}=-231\).

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)

Пример (ОГЭ). Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\)

Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Делим обе части неравенства на \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\)

Переносим минус единицу, не забывая менять знаки

\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) \(+1\)

Вычисляем…

\(n>65,333…\)

…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это.

\(n=65;\) \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_{66}=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов.

\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\) \(\cdot 65\)
\(S_{65}=\)\({-38,6+19,2}{2}\)\(\cdot 65=-630,5\)

Ответ готов.

Ответ: \(S_{65}=-630,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\)

В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать?
Легко - чтобы получить сумму с \(26\)-го до \(42\)-ой, надо сначала найти сумму с \(1\)-ого по \(42\)-ой, а потом вычесть из нее сумму с первого до \(25\)-ого (см картинку).


Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов.

\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\) \(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac{-66+164}{2}\) \(\cdot 42=2058\)

Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов.

\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\) \(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac{-66+96}{2}\) \(\cdot 25=375\)

Ну и наконец, вычисляем ответ.

\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\)

Ответ: \(S=1683\).

Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .