Логарифмы правила и формулы. Урок «Переход к новому основанию логарифма

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}} . Однако он не годится для некоторых особых случаев:
- Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, log ⁡ (− 3) {\displaystyle \log(-3)} или log 4 ⁡ (− 5) {\displaystyle \log _{4}(-5)} ). В этом случае напишите "нет решения".
- Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался ln ⁡ (0) {\displaystyle \ln(0)} , запишите "нет решения".
- Логарифм единицы по любому основанию ( log ⁡ (1) {\displaystyle \log(1)} ) всегда равен нулю, поскольку x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} для всех значений x . Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
- Если логарифмы имеют разные основания, например l o g 3 (x) l o g 4 (a) {\displaystyle {\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}} , и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.
Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)} .
- Пример 1: рассмотрим выражение log ⁡ 16 log ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}} .
  Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)} .
- Эта формула "замены основания" логарифма выводится из основных свойств логарифмов.
При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти log a ⁡ (x) {\displaystyle \log _{a}(x)} , представьте себе выражение " a ? = x {\displaystyle a^{?}=x} ", то есть задайтесь следующим вопросом: "В какую степень необходимо возвести a , чтобы получить x ?". Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.
- Пример 1 (продолжение): Перепишите в виде 2 ? = 16 {\displaystyle 2^{?}=16} . Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака "?". Это можно сделать методом проб и ошибок:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=2*2=4}
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=4*2=8}
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=8*2=16}
  Итак, искомым числом является 4: log 2 ⁡ (16) {\displaystyle \log _{2}(16)} = 4 .
Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:
- пример 2: чему равно log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}} ?
- Преобразуем данное выражение в один логарифм: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)} . Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание 3 исчезает; это справедливо для любого основания.
- Перепишем выражение в виде 7 ? = 58 {\displaystyle 7^{?}=58} и попробуем найти значение?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 {\displaystyle 7^{2}=7*7=49}
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 {\displaystyle 7^{3}=49*7=343}
  Поскольку 58 находится между этими двумя числами, не выражается целым числом.
- Оставляем ответ в логарифмическом виде: log 7 ⁡ (58) {\displaystyle \log _{7}(58)} .

Рассмотрим примеры логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Для решения используем способ потенцирования. Неравенства >0 и >0 будут определять область допустимых значений уравнения. Неравенство >0 справедливо при любых значениях х, так как а 5х>0 только при положительных значения х. Значит ОДЗ уравнения — множество чисел от нуля до плюс бесконечности. Уравнение равносильно квадратному уравнению. Корни этого уравнения — числа 2 и 3,так как произведение этих чисел равно 6, а сума этих чисел равна 5 -противоположному значению коэффициента b? Оба этих числа лежат в промежутке, значит, они и есть корни этого уравнения. Заметим, что мы с лёгкостью решили данное уравнение.

Пример 2. Решить уравнение

(логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три равен логарифму икс по основанию одна третья)

Это уравнение отличается от предыдущего тем, что логарифмы имеют разные основания. И рассмотренный метод решения уравнения здесь использовать уже нельзя, хотя можно найти область допустимых значений и попробовать решить уравнение функционально графическим методом. Неравенства >0 и x >0определяют область допустимых значений уравнения, значит. Рассмотрим графическую иллюстрацию этого уравнения. Для этого построим по точкам график функции и. Мы можем утверждать, только что у данного уравнения есть единственный корень, он положительный, лежит на интервале от 1 до 2. Точное значение корня дать не возможно.

Конечно, данное уравнение не единственное, содержащее логарифмы с разными основаниями. Решить такие уравнения можно только с помощью перехода к новому основанию логарифма. Трудности, связанные с логарифмами разных оснований могут встретиться и в других типах заданий. Например, при сравнении чисел и.

Помощником в решении таких заданий является теорема

Теорема: Если a,b,c - положительные числа, причём а и с отличны от 1, то имеет место равенство

Эта формула называется - формула перехода к новому основанию)

Таким образом, из и больше. Так как по формуле перехода к новому основанию равен и равен

Докажем теорему о переходе к новому основанию логарифма.

Для доказательства введем обозначения =m , =n , =k (логарифм числа бэ по основанию а равен эм, логарифм числа бэ по основанию цэ равен эн, логарифм числа а по основанию цэ равен ка).Тогда по определению логарифма: число b есть а в степени m, число b есть с в степени n, число a есть с в степени k. Так то подставим её значение в при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получим, что =, но следовательно = , если основания степени равны, то равны и показатели данной степени=. Значит = вернемся к обратной замене: (логарифм числа бэ по основанию а равен отношению логарифма числа бэ по основанию цэ к логарифму числа а по основанию цэ)

Рассмотрим для данной теоремы два следствия.

Первое следствие. Пусть в данной теореме мы хотим перейти к основанию b. Тогда

(логарифм числа бэ по основанию бэ деленное на логарифм числа а по основанию бэ)

равен единице, то равен

Значит, если aи bположительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство

Следствие 2. Если a и b - положительные числа, причем а не равное единице число, то для любого числа m , не равного нулю, справедливо равенство

логарифм b по основанию а равен логарифму b в степени m по основанию a в степени m .

Докажем данное равенство справа налево. Перейдем в выражении(логарифм числа бэ в степени эм по основанию а в степени эм)к логарифму с основанием а. По свойству логарифма показатель степени подлогарифмического выражения можно вынести вперёд - перед логарифмом. =1. Получим. (дробь, в числителе эм умноженное на логарифм числа бэ по основанию а в знаменателе эм)Число m не равно нулю по условию, значит, полученную дробь можно сократить на m. Получим. Что и требовалось доказать.

Значит, для перехода к новому основанию логарифма используются три формулы

Пример 2. Решить уравнение

(логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три равен логарифму икс по основанию одна третья )

Область допустимых значений мы нашли у данного уравнения ранее. Приведем к новому основанию 3. Для этого запишем в данный логарифм в виде дроби. В числителе будет логарифм х по основанию три, в знаменателе будет логарифм одной третьей по основанию три. равен минус одному, тогда правая часть уравнения будет равна минус

Перенесем в левую часть уравнения и запишем как. По свойству, сумма логарифмов равна логарифму произведения, значит (логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три плюс логарифм икс по основанию три)можно записать как.(логарифм произведения десять икс минус девять и икс по основанию три) Выполним умножение, получим в левой части уравнения,

а в правой части — ноль запишем как, так как три в нулевой степени есть один.

Методом потенцирования получим квадратное уравнение =0. По свойству коэффициентов а+b+c=0 корни уравнения равны 1 и 0,1.

Но в области определения лежит только один корень. Это число один.

Пример 3. Вычислить. (три в степени четыре, умноженное на логарифм двух по основанию три плюс логарифм корня из двух по основанию пять умноженное на логарифм двадцати пяти по основанию четыре)

Для начала рассмотрим степень числа три. Если степени умножаются, то выполняется действие возведение степени в степень, таким образом, степень числа три можно записать как три в степени в четвёртой степени. Логарифмы в произведении с разным основанием, удобнее — логарифм с основанием четыре привести к основанию, связанному с пятью. Поэтому заменим на тождественно равное ему выражение. По формуле перехода к новому основанию.

По основному логарифмическому тождеству (а в степени логарифм числа бэ по основанию а равен числу бэ)

вместо получим В выражении выделим квадрат основания и подлогарифмического выражения. Получим. По формуле перехода к новому основанию, она записана справа от решения, получим вместо только. Квадратный корень из двух запишем как два в степени одна вторая и по свойству логарифма вынесем показатель степени перед логарифмом. Получим выражение. Таким образом, вычисляемое выражение примет вид…

При этом это 16, а произведение равно одному, значит значение выражения равно 16,5.

Пример 4. Вычислить, если lg2=a , lg3=b

Для вычисления воспользуемся свойствами логарифма и формулами перехода к новому основанию.

18 представим в виде произведения шести и трех. Логарифм произведения равен сумме логарифмов-множителей, то есть, где равен 1. Так как нам известны десятичные логарифмы, то перейдем от логарифма с основанием 6 к десятичному логарифму, получим дробь в числителе которой (десятичный логарифм трех) а в знаменателе (десятичный логарифм шести). При этом можно уже заменить на b. Разложим шесть на множители два и три. Полученное произведение запишем в виде суммы логарифмов lg2 и lg 3. Заменим их соответственно на aи b. Выражение примет вид: . Если данное выражение преобразовать в дробь путём приведения к общему знаменателю, то ответ получится

Для успешного выполнения заданий, связанных с переходом к новому основанию логарифма, необходимо знать формулы перехода к новому основанию логарифма

, где a,b,c-положительные числа, a , c
, где a,b-положительные числа, a , b
, где a,b-положительные числа a , m

Вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b , равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log 2 8 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения , вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы - это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами .

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a (x 1 . x 2 . x 3 ... x k ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k .

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a 1= 0, следовательно,

log a 1 / b = log a 1 - log a b = - log a b .

А значит имеет место равенство:

log a 1 / b = - log a b.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Сложение и вычитание логарифмов

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log a x + log a y = log a (x · y);

2. log a x − log a y = log a (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры - и убедитесь:

Найдите значение выражения:log 6 4 + log 6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные - подобные выражения на полном серьезе (иногда - практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log a x n = n · log a x ;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма:a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Найдите значение выражения: log 7 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели - получили «трехэтажную» дробь.