Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üstel denklemler ve üstel eşitsizlikler"
Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"
Üstel Denklemlerin Tanımı
Arkadaşlar, üstel fonksiyonları inceledik, özelliklerini öğrendik ve grafikler oluşturduk, üstel fonksiyonların bulunduğu denklem örneklerini analiz ettik. Bugün üstel denklemleri ve eşitsizlikleri inceleyeceğiz.Tanım. Şu formdaki denklemlere: $a^(f(x))=a^(g(x))$, burada $a>0$, $a≠1$ üstel denklemler olarak adlandırılır.
"Üstel Fonksiyon" konusunda incelediğimiz teoremleri hatırlayarak yeni bir teorem ortaya koyabiliriz:
Teorem. $a^(f(x))=a^(g(x))$ üstel denklemi, burada $a>0$, $a≠1$ $f(x)=g(x) denklemine eşdeğerdir $.
Üstel denklem örnekleri
Örnek.Denklemleri çözün:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Çözüm.
a) $27=3^3$ olduğunu iyi biliyoruz.
Denklemimizi yeniden yazalım: $3^(3x-3)=3^3$.
Yukarıdaki teoremi kullanarak denklemimizin $3x-3=3$ denklemine indirgendiğini buluyoruz; bu denklemi çözerek $x=2$ elde ediyoruz.
Cevap: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
O zaman denklemimiz yeniden yazılabilir: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.
C) Orijinal denklem şu denklemin eşdeğeridir: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Yanıt: $x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Örnek.
Denklemi çözün: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Çözüm:
Sırayla bir dizi eylem gerçekleştirelim ve denklemimizin her iki tarafını da aynı tabanlara getirelim.
Sol tarafta bir dizi işlem gerçekleştirelim:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Sağ tarafa geçelim:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Orijinal denklem aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.
Örnek.
Denklemi çözün: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Çözüm:
Denklemimizi yeniden yazalım: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Değişkenlerde değişiklik yapalım, $a=3^x$ olsun.
Yeni değişken denklemşu biçimi alacaktır: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ve $a_2=3$.
Değişkenleri tersten değiştirelim: $3^x=-12$ ve $3^x=3$.
Son derste şunu öğrendik açıklayıcı ifadeler sadece kabul edebilirim pozitif değerler, programı hatırla. Bu, ilk denklemin hiçbir çözümü olmadığı, ikinci denklemin tek çözümü olduğu anlamına gelir: $x=1$.
Cevap: $x=1$.
Üstel denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bir hatırlatma yapalım:
1. Grafik yöntemi. Denklemin her iki tarafını da fonksiyonlar şeklinde temsil edip grafiklerini oluşturuyoruz, grafiklerin kesişme noktalarını buluyoruz. (Bu yöntemi geçen derste kullanmıştık).
2. Göstergelerin eşitliği ilkesi.İlke, iki ifadenin birlikte kullanılması gerçeğine dayanmaktadır. aynı gerekçelerle ancak ve ancak bu tabanların dereceleri (göstergeleri) eşitse eşittir. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Değişken değiştirme yöntemi. Bu yöntem Değişkenleri değiştirirken denklemin formunu basitleştirmesi ve çözülmesinin çok daha kolay olması durumunda kullanılmaya değer.
Örnek.
Denklem sistemini çözün: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (durumlar)$.
Çözüm.
Sistemin her iki denklemini ayrı ayrı ele alalım:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
İkinci denklemi düşünün:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım, $y=2^(x+y)$ olsun.
O zaman denklem şu şekli alacaktır:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ve $y_2=-3$.
İlk değişkenlere geçelim, ilk denklemden $x+y=2$ elde ederiz. İkinci denklemin çözümü yoktur. Daha sonra bizim başlangıç sistemi denklemler şu sisteme eşdeğerdir: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
İkinciyi birinci denklemden çıkardığımızda şunu elde ederiz: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
$\begin (durumlar) y=-1, \\ x=3. \end (durumlar)$.
Cevap: $(3;-1)$.
Üstel eşitsizlikler
Gelelim eşitsizliklere. Eşitsizlikleri çözerken derece esasına dikkat etmek gerekir. Eşitsizliklerin çözümünde olayların gelişimi için iki olası senaryo vardır.Teorem. Eğer $a>1$ ise, bu durumda $a^(f(x))>a^(g(x))$ üstel eşitsizliği $f(x)>g(x)$ eşitsizliğine eşdeğerdir.
0$ ise
Örnek.
Eşitsizlikleri çözün:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Çözüm.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Denklemimizde taban, derecenin ne zaman olduğudur. 1'den küçükse, bir eşitsizliği eşdeğeriyle değiştirirken işareti değiştirmek gerekir.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Haydi yararlanalım aralık yöntemiçözümler:
Cevap: $(-∞;-5]U)