Bir fonksiyonun limitinin özelliklerini ispatlarken, girişte belirtilen özelliklere ek olarak, fonksiyonlarımızın tanımlandığı ve ispat sürecinde ortaya çıkan delinmiş mahallelerden olduğuna ikna olduk. önceki nokta 2, gerçekten hiçbir şeye ihtiyaç yoktu. Bu durum aşağıdaki matematiksel nesneyi tanımlamak için bir gerekçe görevi görür.

A. Temel; tanım ve temel örnekler

Tanım 11. Bir X kümesinin alt kümelerinden oluşan bir B koleksiyonuna, iki koşul karşılanırsa X kümesindeki bir baz adı verilecektir:

Başka bir deyişle, B kümesinin elemanları boş olmayan kümelerdir ve bunlardan herhangi ikisinin kesişimi aynı koleksiyondan bir öğeyi içerir.

Analizde en sık kullanılan bazlardan bazılarını belirtelim.

Eğer o zaman bunun yerine x'in a'ya sağdan veya yandan doğru yöneldiğini yazıp söylerlerse büyük değerler(sırasıyla, daha küçük değerlerin solunda veya yanında). Bunun yerine kısa bir kayıt kabul edildiğinde

She yerine kullanılacak olan giriş şu anlama gelir: a; E kümesi üzerinde a'ya doğru yönelir ve a'dan büyük (küçük) kalır.

bunun yerine x'in artı sonsuza (sırasıyla eksi sonsuza) eğilimli olduğunu yazıp söylüyorlar.

Bunun yerine giriş kullanılacaktır

Bunun yerine (eğer bu bir yanlış anlaşılmaya yol açmıyorsa), bir dizinin limiti teorisinde geleneksel olduğu gibi şunu yazacağız:

Listelenen tabanların hepsinin, tabanın herhangi iki elemanının kesişiminin kendisinin bu bazın bir elemanı olması ve sadece bazın bazı elemanlarını içermemesi özelliğine sahip olduğuna dikkat edin. Sayı ekseninde belirtilmeyen fonksiyonları incelerken başka tabanlarla da karşılaşacağız.

Ayrıca burada kullanılan "baz" teriminin kısa tanım matematikte “filtre temeli” olarak adlandırılan ve aşağıda tanıtılan taban limiti, modern Fransız matematikçi A. Cartan tarafından oluşturulan filtre limiti kavramının analizi için en önemli kısımdır.

B. Tabana göre fonksiyon sınırı

Tanım 12. X kümesi üzerinde bir fonksiyon olsun; B, X'te bir tabandır. A noktasının herhangi bir komşuluğu için görüntüsü bu mahallede yer alan tabanın bir elemanı varsa, bu sayıya bir fonksiyonun B tabanına göre limiti denir.

A, bir fonksiyonun B tabanına göre limiti ise, o zaman yazın

Mantıksal sembolizmde limitin tanımını tabana göre tekrarlayalım:

Artık işlevlere baktığımız için sayısal değerler akılda tutmakta fayda var aşağıdaki form bu temel tanım:

Bu formülasyonda keyfi bir V(A) komşuluğu yerine simetrik (A noktasına göre) bir komşuluk (e-komşuluk) alınır. Gerçel değerli fonksiyonlar için bu tanımların eşdeğerliği, daha önce de belirtildiği gibi, bir noktanın herhangi bir komşuluğunun aynı noktanın bazı simetrik komşuluklarını içermesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır (ispatı tam olarak gerçekleştirin!).

Bir fonksiyonun bir taban üzerindeki limitinin genel bir tanımını verdik. Yukarıda analizde en sık kullanılan veritabanlarının örneklerini tartıştık. İÇİNDE özel görev Bu bazlardan birinin veya birkaçının göründüğü yerde, genel tanımı deşifre edebilmeniz ve bunu belirli bir baz için yazabilmeniz gerekir.

Özellikle taban örneklerine bakarak sonsuzluk komşuluğu kavramını ortaya koyduk. Bu kavramı kullanırsak, o zaman şuna uygun olarak genel tanım Aşağıdaki anlaşmaları kabul etmek mantıklıdır:

ya da aynı olan şey,

Genellikle küçük bir değeri kastediyoruz. Elbette yukarıdaki tanımlarda durum böyle değil. Örneğin kabul edilen sözleşmelere uygun olarak şunu yazabiliriz:

Kanıtlanmış sayılmak için genel durum keyfi bir temelde limit, özel bir taban için paragraf 2'de kanıtladığımız limitlerle ilgili tüm bu teoremler için, karşılık gelen tanımları vermek gerekir: belirli bir fonksiyon tabanı için son olarak sabit, son olarak sınırlı ve sonsuz küçük.

Tanım 13. Herhangi bir noktada öyle bir sayı ve tabanın bir elemanı mevcutsa, bir fonksiyonun B tabanı ile son olarak sabit olduğu söylenir.

Şu anda, yapılan gözlemin ve bununla bağlantılı olarak tanıtılan taban kavramının ana faydası, bizi her bir spesifik limit geçiş türü için veya mevcut terminolojimizde, limit teoremlerinin kontrollerinden ve resmi kanıtlarından kurtarmasıdır. her özel tip baz

Keyfi bir taban üzerinde limit kavramına nihayet aşina olmak için, bir fonksiyonun limitinin diğer özelliklerinin genel formdaki kanıtlarını gerçekleştireceğiz.

En azından %%a \in \overline( \ noktasının bazı delinmiş komşulukları %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%%'de tanımlanan %%f(x)%% fonksiyonunu düşünün mathbb(R))%% genişletilmiş sayı doğrusu.

Cauchy limiti kavramı

\mathbb(R)%% içindeki %%A \sayısına denir fonksiyonun sınırı%%f(x)%%, %%a \in \mathbb(R)%% noktasında (veya %%x%%, %%a \in \mathbb(R)%%'ye doğru yöneliyor), eğer, ne ne olursa olsun pozitif sayı%%\varepsilon%%, %%\delta%% pozitif bir sayı vardır, öyle ki %%a%% noktasının delinmiş %%\delta%% mahallesindeki tüm noktalar için fonksiyon değerleri %'ye aittir. %%A%% noktasının %\varepsilon%% komşuluğu veya

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Bu tanım, Fransız matematikçi Augustin Cauchy tarafından önerilen ve %%\varepsilon%% ve %%\delta%% tanımı olarak adlandırılır ve XIX'in başı gerekli matematiksel kesinliğe ve doğruluğa sahip olduğu için yüzyıllardan günümüze.

%%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ biçimindeki %%a%% noktasının çeşitli komşuluklarını birleştirme text(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) Çevresi %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ ile %% text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, Cauchy limitinin 24 tanımını elde ederiz.

Geometrik anlam

Geometrik anlam fonksiyon sınırı

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin geometrik anlamının ne olduğunu bulalım. %%y = f(x)%% fonksiyonunun grafiğini oluşturalım ve üzerinde %%x = a%% ve %%y = A%% noktalarını işaretleyelim.

%%y = f(x)%% fonksiyonunun %%x \to a%% noktasındaki limiti mevcuttur ve %%A%% noktasının herhangi bir %%\varepsilon%% komşuluğu için A'ya eşittir. %%a%% noktasının böyle bir %%\ delta%%-komşuluğu belirtilebilir, öyle ki bu %%\delta%%-mahalleden herhangi bir %%x%% için %%f(x)% değeri %, %%\varepsilon%%-mahalle noktalarında %%A%% olacaktır.

Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin tanımına göre, %%x \'den a%%'ye kadar bir limitin varlığı için, fonksiyonun %%a%% noktasında hangi değeri aldığının bir önemi yoktur. %%x = a%% olduğunda fonksiyonun tanımlanmadığı veya %%A%% dışında bir değer aldığı durumlara örnekler verilebilir. Ancak sınır %%A%% olabilir.

Heine limitinin belirlenmesi

%%A \in \overline(\mathbb(R))%% öğesine %%f(x)%% fonksiyonunun %% x \to a, a \in \overline(\mathbb() noktasındaki limiti denir R))%% , tanım alanından %%\(x_n\) \'ye %%'ye kadar herhangi bir dizi için, karşılık gelen değerlerin dizisi %%\big\(f(x_n)\big\)% %, %%A%% eğilimindedir.

Heine'ye göre limit tanımı, belirli bir noktada bir fonksiyonun limitinin varlığı konusunda şüpheler ortaya çıktığında kullanıma uygundur. %%\(x_n\)%% dizisinin %%\big\(f(x_n)\big\)%% olacağı şekilde %%a%% noktasında bir limitle en az bir dizi oluşturmak mümkünse limiti yoksa %%f(x)%% fonksiyonunun bu noktada limiti olmadığı sonucuna varabiliriz. İki kişilik ise çeşitli%%\(x"_n\)%% ve %%\(x""_n\)%% dizileri Aynı limit %%a%%, %%\big\(f(x"_n)\big\)%% ve %%\big\(f(x""_n)\big\)%% dizileri çeşitli limitler varsa, bu durumda %%f(x)%% fonksiyonunun limiti de yoktur.

Örnek

%%f(x) = \sin(1/x)%% olsun. Bu fonksiyonun limitinin %%a = 0%% noktasında var olup olmadığını kontrol edelim.

Önce bu noktaya yakınsayan bir $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) dizisini seçelim. $$

%%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% ve %%\lim (x_n) = 0%% olduğu açıktır. O zaman %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% ve %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Sonra aynı noktaya yakınsayan bir dizi alın $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

bunun için %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% ve %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = %%1. Benzer şekilde $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) dizisi için ) \pi) \sağ\), $$

ayrıca %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%% noktasına yakınsıyor.

Her üç dizi de Heine tanımı koşuluyla çelişen farklı sonuçlar verdi; bu fonksiyon%%x = %0 noktasında limiti yoktur.

Teorem

Limitin Cauchy ve Heine tanımları eşdeğerdir.

y = ƒ(x) fonksiyonu xo noktasının bir komşuluğunda tanımlansın, belki de xo noktası hariç.

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin iki eşdeğer tanımını formüle edelim.

Tanım 1 (“dizilerin dilinde” veya Heine'ye göre).

A sayısına, herhangi bir dizi için, x 0 fırınındaki (veya x® x o'daki) y=ƒ(x) fonksiyonunun limiti denir. kabul edilebilir değerler argümanlar x n, n є N (x n ¹ x 0), x'e yakınsayarak, ƒ(x n), n є N fonksiyonunun karşılık gelen değerlerinin sırası, A sayısına yakınsar

Bu durumda yazıyorlar
veya x→x o'da ƒ(x)->A. Bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamı: xo noktasına yeterince yakın olan tüm x noktaları için, fonksiyonun karşılık gelen değerlerinin A sayısından istenildiği kadar az farklı olduğu anlamına gelir.

Tanım 2 (“ε dilinde” veya Cauchy'ye göre).

Herhangi bir pozitif ε için, tüm x¹ x o için |x-x o | eşitsizliğini sağlayan pozitif bir δ sayısı varsa, A sayısına bir fonksiyonun bir x o noktasındaki (veya x→x o) limiti denir.<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamı:

A noktasının herhangi bir ε-komşusu için xo noktasının bir δ-komşusu varsa, öyle ki bu δ-komşuluğundan gelen tüm x¹ xo için ƒ(x) fonksiyonunun karşılık gelen değerleri A noktasının ε-komşuluğunda yer alır. Başka bir deyişle, y = ƒ(x) fonksiyonunun grafiğinin noktaları, y=A+ ε, y=A-ε düz çizgileriyle sınırlanan 2ε genişliğinde bir şerit içinde yer alır (bkz. Şekil 110). Açıkçası, δ değeri ε seçimine bağlıdır, dolayısıyla δ=δ(ε) yazarız.

<< Пример 16.1

Bunu kanıtla

Çözüm: Rastgele bir ε>0 alın ve δ=δ(ε)>0'ı bulun; öyle ki tüm x'ler için |x-3| eşitsizliği sağlansın.< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

δ=ε/2 alırsak, |x-3| eşitsizliğini sağlayan tüm x'ler için şunu görürüz:< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Tek taraflı sınırlar

Bir fonksiyonun limitini tanımlarken, x'in herhangi bir şekilde x 0'a yöneldiği kabul edilir: x 0'dan küçük (x 0'ın solunda), x o'dan büyük (x o'nun sağında) veya x o'nun etrafında salınım yaparak. nokta x 0.

X'ten xo'ya argümanı yaklaşma yönteminin fonksiyon limitinin değerini önemli ölçüde etkilediği durumlar vardır. Bu nedenle tek taraflı limit kavramı ortaya atılmıştır.

Herhangi bir ε>0 sayısı için x є (x)'de olacak şekilde bir δ=δ(ε)> 0 sayısı varsa, A 1 sayısına soldaki y=ƒ(x) fonksiyonunun x o noktasındaki limiti denir. 0 -δ;x o), eşitsizlik |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 veya kısaca: ƒ(x o- 0) = A 1 (Dirichlet notasyonu) (bkz. Şekil 111).

Sağdaki fonksiyonun limiti de benzer şekilde belirlenir; semboller kullanılarak yazılır:

Kısaca sağdaki limit ƒ(x o +0)=A ile gösterilir.

Bir fonksiyonun sol ve sağ limitlerine tek taraflı limitler denir. Açıkçası, eğer varsa, o zaman her iki tek taraflı limit de mevcuttur ve A = A 1 = A 2.

Bunun tersi de doğrudur: Eğer ƒ(x 0 -0) ve ƒ(x 0 +0) limitlerinin her ikisi de mevcutsa ve bunlar eşitse, o zaman bir limit vardır ve A = ƒ(x 0 -0) olur.

Eğer A 1 ¹ A 2 ise bu şapel mevcut değildir.

16.3. Fonksiyonun x ® ∞'daki limiti

y=ƒ(x) fonksiyonu (-∞;∞) aralığında tanımlı olsun. A numarası denir fonksiyonun sınırıƒ(x) en x→ ∞ , eğer herhangi bir pozitif sayı için ε bir M=M()>0 sayısı varsa, öyle ki |x|>M eşitsizliğini sağlayan tüm x'ler için |ƒ(x)-A| eşitsizliği<ε. Коротко это определение можно записать так:

Bu tanımın geometrik anlamı şu şekildedir: " ε>0 $ M>0 için, x є(-∞; -M) veya x є(M; +∞) için ƒ( fonksiyonunun karşılık gelen değerleridir. x) A noktasının ε-komşuluğuna düşer, yani grafiğin noktaları 2ε genişliğinde bir şeritte yer alır ve y=A+ε ve y=A-ε düz çizgileriyle sınırlanır (bkz. Şekil 112) .

16.4. Sonsuz büyük fonksiyon (b.b.f.)

Herhangi bir M>0 sayısı için δ=δ(M)>0 sayısı varsa, bu sayı tüm x'ler için 0 eşitsizliğini karşılıyorsa, y=ƒ(x) fonksiyonu x→x 0 için sonsuz büyük olarak adlandırılır.<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Örneğin, y=1/(x-2) fonksiyonu b.b.f'dir. x->2 için.

Eğer ƒ(x) x→x o kadar sonsuza gidiyorsa ve sadece pozitif değerler alıyorsa, o zaman şöyle yazılır:

yalnızca negatif değerler varsa, o zaman

Sayı doğrusunun tamamında tanımlanan y=ƒ(x) fonksiyonu, sonsuz büyük denir x→∞ gibi, eğer herhangi bir M>0 sayısı için bir N=N(M)>0 sayısı varsa, öyle ki |x|>N eşitsizliğini sağlayan tüm x'ler için |ƒ(x)|>M eşitsizliği geçerlidir. Kısa:

Örneğin, y=2x'in b.b.f'si vardır. x→∞ olarak.

Sonsuza doğru giden x argümanı yalnızca doğal değerleri alıyorsa, yani xєN, o zaman karşılık gelen b.b.f. sonsuz büyük bir dizi haline gelir. Örneğin, v n =n 2 +1, n є N dizisi sonsuz büyüklükte bir dizidir. Açıkçası, her b.b.f. Bir x o noktasının mahallesinde bu mahallede sınırsızdır. Bunun tersi doğru değildir: Sınırsız bir fonksiyon b.b.f olmayabilir. (Örneğin, y=xsinx.)

Bununla birlikte, eğer x→x 0 için limƒ(x)=A ise, burada A sonlu bir sayıdır, o zaman ƒ(x) fonksiyonu x o noktası civarında sınırlıdır.

Gerçekten de, bir fonksiyonun limitinin tanımından, x→ x 0 olduğu için |ƒ(x)-A| koşulu çıkar.<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

İhtiyacınız olursa bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır bir fonksiyonun limitini hesaplamak. programı çözüm sınırları Sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda yol gösteriyor açıklamalarla ayrıntılı çözüm, yani Limit hesaplama sürecini görüntüler.

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir.

Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Bir işlev ifadesi girin

Limiti hesapla
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.

Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Fonksiyonun x->x 0'daki limiti

f(x) fonksiyonu bir X kümesi üzerinde tanımlansın ve \(x_0 \X\'te \) veya \(x_0 \X'te değil\) noktası olsun

X'ten x 0'dan farklı bir noktalar dizisi alalım:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*'a yakınsıyor. Bu dizinin noktalarındaki fonksiyon değerleri de sayısal bir dizi oluşturur
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ve onun sınırının varlığı sorusu gündeme gelebilir.

Tanım. A sayısına, x argümanının x 0'dan farklı değerlerinin herhangi bir dizisi (1) için ise, x = x 0 noktasında (veya x -> x 0'da) f(x) fonksiyonunun limiti denir. x 0'a yakınsayan değer fonksiyonunun karşılık gelen dizisi (2), A sayısına yakınsar.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında yalnızca bir limiti olabilir. Bu, dizinin şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:
(f(x n))'nin tek limiti vardır.

Bir fonksiyonun limitinin başka bir tanımı daha vardır.

Tanım Herhangi bir sayı için \(\varepsilon > 0\) bir \(\delta > 0\) sayısı varsa, A sayısına f(x) fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki limiti denir; öyle ki tüm \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), eşitsizliği karşılayan \(|x-x_0| Mantıksal semboller kullanılarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Eşitsizliklerin \(x \neq x_0) olduğuna dikkat edin , \; |x-x_0| İlk tanım sayı dizisinin limiti kavramına dayanmaktadır, bu nedenle genellikle “diziler dilinde” tanımı olarak adlandırılır. \(\varepsilon - \delta \)”.
Bir fonksiyonun limitinin bu iki tanımı eşdeğerdir ve belirli bir problemi çözmek için hangisinin daha uygun olduğuna bağlı olarak ikisinden birini kullanabilirsiniz.

Bir fonksiyonun limitinin “diziler dilinde” tanımına, Heine'e göre bir fonksiyonun limitinin tanımı ve “\(\varepsilon - dilinde) bir fonksiyonun limitinin tanımına da denildiğine dikkat edin. \delta \)” aynı zamanda Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin tanımı olarak da adlandırılır.

Fonksiyonun x->x 0 - ve x->x 0 +'daki limiti

Aşağıda bir fonksiyonun aşağıdaki şekilde tanımlanan tek taraflı limit kavramlarını kullanacağız.

Tanım A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki sağ (sol) limiti denir; eğer elemanları x n x 0'dan büyük (küçük) olan, x 0'a yakınsayan herhangi bir dizi (1) için karşılık gelen dizi (2) A'ya yakınsar.

Sembolik olarak şöyle yazılır:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Bir fonksiyonun tek taraflı limitlerinin eşdeğer bir tanımını “\(\varepsilon - \delta \) dilinde” verebiliriz:

Tanım herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için \(\delta > 0\) mevcutsa ve tüm x'leri tatmin edecek şekilde bir A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında sağ (sol) limiti denir. eşitsizlikler \(x_0 Sembolik girdiler:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Bu yazımızda size bir fonksiyonun limitinin ne olduğunu anlatacağız. Öncelikle bu olgunun özünü anlamak için çok önemli olan genel noktaları açıklayalım.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sınır kavramı

Matematikte ∞ sembolüyle gösterilen sonsuzluk kavramı temel olarak önemlidir. Sonsuz büyük + ∞ veya sonsuz küçük - ∞ sayısı olarak anlaşılmalıdır. Sonsuzluktan bahsettiğimizde, genellikle bu iki anlamı aynı anda kastederiz, ancak + ∞ veya - ∞ biçimindeki gösterim, yalnızca ∞ ile değiştirilmemelidir.

Bir fonksiyonun limiti lim x → x 0 f(x) şeklinde yazılır. En alta ana argüman x'i yazıyoruz ve bir ok yardımıyla hangi x0 değerine yöneleceğini gösteriyoruz. Eğer x 0 değeri somut bir gerçel sayı ise, o zaman fonksiyonun bir noktadaki limitiyle uğraşıyoruz demektir. Eğer x 0 değeri sonsuza gidiyorsa (∞, + ∞ veya - ∞ olması önemli değil), o zaman fonksiyonun sonsuzdaki limitinden bahsetmemiz gerekir.

Limit sonlu veya sonsuz olabilir. Belirli bir gerçek sayıya eşitse, yani. lim x → x 0 f (x) = A, o zaman buna sonlu limit denir, ancak lim x → x 0 f (x) = ∞ ise, lim x → x 0 f (x) = + ∞ veya lim x → x 0 f (x) = - ∞ , o zaman sonsuzdur.

Eğer ne sonlu ne de sonsuz bir değer belirleyemiyorsak böyle bir limit yok demektir. Bu duruma bir örnek sinüsün sonsuzdaki limiti olabilir.

Bu paragrafta bir fonksiyonun limitinin değerinin bir noktada ve sonsuzda nasıl bulunacağını açıklayacağız. Bunu yapmak için temel tanımları tanıtmamız ve sayı dizilerinin ne olduğunu, yakınsaklıklarını ve ıraksaklıklarını hatırlamamız gerekiyor.

Tanım 1

A sayısı, f(x) fonksiyonunun x → ∞ olarak limitidir, eğer değerlerinin sırası herhangi bir sonsuz büyük argüman dizisi için (negatif veya pozitif) A'ya yakınsarsa.

Bir fonksiyonun limitini yazmak şuna benzer: lim x → ∞ f (x) = A.

Tanım 2

X → ∞ olduğundan, herhangi bir sonsuz büyük argüman dizisinin değer dizisi de sonsuz derecede büyükse (pozitif veya negatif) bir f(x) fonksiyonunun limiti sonsuzdur.

Giriş lim x → ∞ f (x) = ∞ gibi görünüyor.

Örnek 1

x → ∞ limitinin temel tanımını kullanarak lim x → ∞ 1 x 2 = 0 eşitliğini kanıtlayın.

Çözüm

x = 1, 2, 3, argümanının sonsuz büyük pozitif değer dizisi için 1 x 2 fonksiyonunun değer dizisini yazarak başlayalım. . . , N , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Değerlerin giderek azalarak 0’a doğru yöneleceğini görüyoruz. Resimde bakın:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - N , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Burada aynı zamanda sıfıra doğru monoton bir azalma da görebiliyoruz, bu da eşitlik koşulunda bunun geçerliliğini teyit ediyor:

Cevap: Eşitlik koşulunda bunun doğruluğu teyit edilir.

Örnek 2

lim x → ∞ e 1 10 x limitini hesaplayın.

Çözüm

Daha önce olduğu gibi, sonsuz büyük pozitif argüman dizisi için f (x) = e 1 10 x değer dizilerini yazarak başlayalım. Örneğin x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e110; e410; e910; e1610; e2510; . . . ; e10010; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Bu dizinin sonsuz pozitif olduğunu görüyoruz, yani f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Sonsuz büyük bir negatif dizinin değerlerini yazmaya geçelim, örneğin x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e-1 10; e-4 10; e-9 10; e-16 10; e-25 ​​10; . . . ; e-100 10; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞

O da sıfıra eğilimli olduğundan f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 olur.

Sorunun çözümü resimde açıkça gösterilmiştir. Mavi noktalar bir pozitif değer dizisini, yeşil noktalar ise bir negatif değer dizisini gösterir.

Cevap: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr ve x → + ∞ 0 , pr ve x → - ∞ .

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplama yöntemine geçelim. Bunu yapmak için tek taraflı bir limitin nasıl doğru şekilde tanımlanacağını bilmemiz gerekir. Bu aynı zamanda bir fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarını bulmakta da işimize yarayacaktır.

Tanım 3

B sayısı, x n fonksiyonunun herhangi bir argüman dizisi için değerlerinin sırasının belirli bir sayıya yakınlaşması durumunda, x → a olarak soldaki f (x) fonksiyonunun limitidir, eğer değerleri a (x n)'den küçük kalır< a).

Böyle bir limit yazılı olarak lim x → a - 0 f(x) = B olarak gösterilir.

Şimdi sağdaki bir fonksiyonun limitinin ne olduğunu formüle edelim.

Tanım 4

B sayısı, x n fonksiyonunun herhangi bir argüman dizisi için değerlerinin sırasının belirli bir sayıya yakınlaşması durumunda, x → a olarak sağdaki f (x) fonksiyonunun limitidir, eğer değerleri a (x n > a)'dan büyük kalır.

Bu limiti lim x → a + 0 f(x) = B olarak yazıyoruz.

Bir f(x) fonksiyonunun limitini, sol ve sağ tarafta eşit limitlere sahip olduğunda belirli bir noktada bulabiliriz; lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Her iki limit de sonsuz ise fonksiyonun başlangıç ​​noktasındaki limiti de sonsuz olacaktır.

Şimdi belirli bir sorunun çözümünü yazarak bu tanımları netleştireceğiz.

Örnek 3

f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 fonksiyonunun x 0 = 2 noktasında sonlu bir limiti olduğunu kanıtlayın ve değerini hesaplayın.

Çözüm

Sorunu çözebilmek için bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin tanımını hatırlamamız gerekiyor. Öncelikle orijinal fonksiyonun solda bir limiti olduğunu kanıtlayalım. X n ise x 0 = 2'ye yakınsayacak fonksiyon değerlerinin bir dizisini yazalım< 2:

f(-2); f(0) ; f(1) ; f112; f134; f178; f 1 15 16 ; . . . ; f1 1023 1024; . . . == 8,667; 2, 667; 0, 167; - 0, 958; -1,489; -1,747; -1,874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2

Yukarıdaki dizi - 2'ye indirgendiğinden, lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 yazabiliriz.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Bu dizideki fonksiyon değerleri şöyle görünecektir:

f(6); f(4) ; f(3); f212; f234; f278; f2 15 16; . . . ; f2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; -5,333; -3,833; -2,958; -2,489; -2,247; -2,124; . . . , - 2,001, . . . → - 2

Bu dizi aynı zamanda - 2'ye de yakınsar, bu da lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 anlamına gelir.

Bu fonksiyonun sağ ve sol tarafındaki limitlerin eşit olacağını bulduk, bu da f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 fonksiyonunun x 0 = 2 noktasındaki limitinin mevcut olduğu anlamına gelir, ve lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Çözümün ilerleyişini çizimde görebilirsiniz (yeşil noktalar x n'ye yakınsayan bir değerler dizisidir)< 2 , синие – к x n > 2).

Cevap: Bu fonksiyonun sağ ve sol tarafındaki limitleri eşit olacaktır, yani fonksiyonun limiti vardır ve lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Limit teorisini daha derinlemesine incelemek için, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve ana süreksizlik noktaları türleri hakkındaki makaleyi okumanızı tavsiye ederiz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.