Karar verirken çok sık geometrik problemler Yardımcı figürlerle eylemler gerçekleştirmelisiniz. Örneğin, yazılı veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulma vb. Bu makale size üçgenle çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı gösterecek. Veya başka bir deyişle üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapı.
Bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı nasıl bulunur - genel formül
Genel formül şuna benziyor Aşağıdaki şekilde: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), burada R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır, p, üçgenin çevresinin 2'ye bölümüdür (yarı çevre). a, b, c – üçgenin kenarları.
a = 3, b = 6, c = 7 ise üçgenin çevre yarıçapını bulun.
Böylece yukarıdaki formüle dayanarak yarı çevreyi hesaplıyoruz:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.
Değerleri formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.
Cevap: R = 126/16√5
Eşkenar üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?
Eşkenar üçgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapını bulmak için pek çok yöntem vardır. basit formül: R = a/√3, burada a, kenarının boyutudur.
Örnek: Eşkenar üçgenin bir kenarı 5'tir. Çevrel çemberin yarıçapını bulun.
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan, sorunu çözmek için değerini formüle girmeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: R = 5/√3.
Cevap: R = 5/√3.
Dik üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?
Formül şu şekildedir: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, burada a ve b kenarlar ve c hipotenüstür. Bir dik üçgenin kenarlarının karelerini toplarsanız hipotenüsün karesini elde edersiniz. Formülden de anlaşılacağı üzere bu ifade kökün altındadır. Hipotenüsün karesinin kökünü hesaplayarak uzunluğu elde ederiz. Ortaya çıkan ifadeyi 1/2 ile çarpmak sonuçta bizi 1/2 × c = c/2 ifadesine götürür.
Örnek: Üçgenin bacakları 3 ve 4 ise çevrelenen dairenin yarıçapını hesaplayın. Değerleri formülde yerine koyun. Şunu elde ederiz: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.
İÇİNDE verilen ifade 5 – hipotenüsün uzunluğu.
Cevap: R = 2,5.
Bir ikizkenar üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?
Formül şu şekildedir: R = a²/√(4a² – b²), burada a, üçgenin uyluğunun uzunluğu ve b, tabanın uzunluğudur.
Örnek: Bir dairenin kalçası = 7 ve tabanı = 8 ise yarıçapını hesaplayın.
Çözüm: Bu değerleri formülde yerine koyun ve şunu elde edin: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).
R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Cevap doğrudan bu şekilde yazılabilir.
Cevap: R = 49/√132
Bir dairenin yarıçapını hesaplamak için çevrimiçi kaynaklar
Tüm bu formüllerde kafa karıştırmak çok kolay olabilir. Bu nedenle gerekirse kullanabilirsiniz. çevrimiçi hesap makineleri yarıçapı bulma problemlerini çözmenize yardımcı olacaktır. Bu tür mini programların çalışma prensibi oldukça basittir. Yan değeri uygun alana yazın ve hazır bir cevap alın. Cevabınızı yuvarlamak için çeşitli seçenekler seçebilirsiniz: ondalık sayılara, yüzde birlere, binde birlere vb.
Bir üçgenin içine yazılan daire
Üçgenin içine yazılmış bir dairenin varlığı
Tanımı hatırlayalım açıortaylar .
Tanım 1 .Açıortay Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışına denir.
Teorem 1 (Açıortayın temel özelliği) . Açıortayın her noktası açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunmaktadır (Şekil 1).
Pirinç. 1
Kanıt D , açının ortaortasında yatıyorBAC , Ve Almanya Ve DF köşenin yanlarında (Şek. 1).Sağ Üçgenler ADF Ve ADE eşit dar açıları eşit olduğundanDAF Ve DAE ve hipotenüs reklam - genel. Buradan,
DF = DE,
Q.E.D.
Teorem 2 (Teorem 1'in tersi) . Eğer öyleyse, o zaman açının açıortayında yer alır (Şekil 2).
Pirinç. 2
Kanıt . Rastgele bir noktayı düşününD , açının içinde uzananBAC ve açının kenarlarından aynı mesafede bulunur. Konudan ayrılalımD dikler Almanya Ve DF köşenin yanlarında (Şek. 2).Sağ Üçgenler ADF Ve ADE eşit bacakları eşit olduğundanDF Ve Almanya ve hipotenüs reklam - genel. Buradan,
Q.E.D.
Tanım 2 . Çember denir bir açıyla yazılmış daire , eğer bu açının kenarları ise.
Teorem 3 . Bir daire bir açıyla yazılmışsa, açının tepe noktasından dairenin açının kenarlarıyla temas noktalarına kadar olan mesafeler eşittir.
Kanıt . Bırakın nokta D – bir açıyla yazılmış bir dairenin merkeziBAC ve noktalar e Ve F – dairenin açının kenarlarıyla temas noktaları (Şekil 3).
Şek. 3
A , B , C - üçgenin kenarları, S -kare,
R – yazılı dairenin yarıçapı, P – yarı çevre
Formül çıktısını görüntüle
A – taraf ikizkenar üçgen , B - temel, R – yazılı daire yarıçapı
A R – yazılı daire yarıçapı
Formül çıktısını görüntüle
,
Nerede
o zaman, ikizkenar üçgen durumunda, ne zaman
aldık
gerekli olan da buydu.
Teorem 7 . Eşitlik için
Nerede A – eşkenar üçgenin kenarı,R – yazılı dairenin yarıçapı (Şekil 8).
Pirinç. 8
Kanıt .
,
o zaman, eşkenar üçgen durumunda, ne zaman
b = a,
aldık
gerekli olan da buydu.
Yorum . Bir alıştırma olarak, içinde yazılı olan bir dairenin yarıçapı formülünü türetmenizi öneririm. eşkenar üçgen, doğrudan, yani kullanılmadan genel formüller yazılı dairelerin yarıçapları için keyfi üçgen veya bir ikizkenar üçgene.
Teorem 8 . İçin dik üçgen eşitlik doğrudur
Nerede A , B – bir dik üçgenin bacakları, C – hipotenüs , R – yazılı dairenin yarıçapı.
Kanıt . Şekil 9'u düşünün.
Pirinç. 9
Dörtgen olduğundanCDOF dır-dir bitişik kenarları olanYAPMAK Ve İLE İLGİLİ eşitse bu dikdörtgen . Buradan,
CB = CF= r,
Teorem 3'e göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
Bu nedenle, şunu da dikkate alarak şunu elde ederiz:
gerekli olan da buydu.
“Üçgenin içine yazılmış bir daire” konulu problemlerden bir seçki.
1.
İkizkenar üçgen içine yazılan bir daire, temas noktasındaki yan kenarlardan birini tabanın karşısındaki tepe noktasından itibaren uzunlukları 5 ve 3 olan iki parçaya böler. Üçgenin çevresini bulun.
2.
3
İÇİNDE ABC üçgeni AC=4, BC=3, C açısı 90°'dir. Yazılı dairenin yarıçapını bulun.
4.
Bir ikizkenar dik üçgenin bacakları 2+'dir. Bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını bulun.
5.
Bir ikizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı 2'dir. Bu üçgenin hipotenüsü c'yi bulun. Lütfen cevabınızda c(–1) şıkkını belirtin.
Birleşik Devlet Sınavından bir dizi sorunu çözümlerle sunuyoruz.
Bir ikizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı eşittir. Bu üçgenin hipotenüsünü bulun. Lütfen cevabınızda belirtin.
Üçgen dikdörtgen ve ikizkenardır. Bu, bacaklarının aynı olduğu anlamına gelir. Her bacağın eşit olmasına izin verin. O zaman hipotenüs eşittir.
Alanı yazalım ABC üçgeni iki yol:
Bu ifadeleri eşitlersek şunu elde ederiz:
. Çünkü, bunu anladık
. Daha sonra.
Cevap olarak yazacağız.
Cevap:.
Görev 2.
1. Serbestte 10cm ve 6cm (AB ve BC) olmak üzere iki kenar bulunmaktadır. Sınırlandırılmış ve yazılı dairelerin yarıçaplarını bulun
Sorun yorum yapılarak bağımsız olarak çözülür.
Çözüm:
İÇİNDE.
1) Bul: 
2) Kanıtlayın:
ve CK'yi bul
3) Bul: çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçapları
Çözüm:
Görev 6.
R kare içine yazılan dairenin yarıçapı. Bu karenin çevrelediği dairenin yarıçapını bulun.Verilen :
Bulmak: İşletim Sistemi=?
Çözüm: V bu durumda problem Pisagor teoremi veya R formülü kullanılarak çözülebilir. R formülü teoremden türetildiği için ikinci durum daha basit olacaktır. 
Görev 7.
İkizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı 2'dir. Hipotenüsü bulunİle bu üçgen. Lütfen cevabınızda belirtin.
S – üçgen alanı
Üçgenin kenarlarını ve alanını bilmiyoruz. Bacakları x olarak gösterelim, o zaman hipotenüs şuna eşit olacaktır:
Ve üçgenin alanı 0,5x olacak 2 .
Araç
Böylece hipotenüs şuna eşit olacaktır:
Cevabınızda şunu yazmanız gerekir:
Cevap: 4
Görev 8.
ABC üçgeninde AC = 4, BC = 3, açı C 90 0'a eşittir. Yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
İki kenar biliniyor (bunlar bacaklar), üçüncüyü (hipotenüs) hesaplayabiliriz ve ayrıca alanı da hesaplayabiliriz.
Pisagor teoremine göre:
Alanı bulalım:
Böylece:
Cevap 1
Görev 9.
Taraflar Bir ikizkenar üçgenin uzunluğu 5'e, tabanı ise 6'ya eşittir. İçinde yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
Bütün kenarlar biliniyor, alanı hesaplayalım. Bunu Heron formülünü kullanarak bulabiliriz:
Daha sonra
Bir üçgenin içine bir daire yazılmıştır. Bu makalede sizler için, içinde bir daire yazılı veya etrafı çevrelenmiş bir üçgenin verildiği problemleri topladım. Koşul, bir dairenin yarıçapını veya bir üçgenin kenarını bulma sorusunu sorar.
Sunulan formülleri kullanarak bu görevleri çözmek uygundur. Bunları öğrenmenizi tavsiye ederim, sadece bu tür görevleri çözerken çok faydalı değiller. Formüllerden biri, bir üçgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapı ile kenarları ve alanı arasındaki ilişkiyi, diğeri ise bir üçgenin etrafına yazılan bir dairenin yarıçapı ile kenarları ve alanı arasındaki ilişkiyi ifade eder:
S – üçgen alanı
Görevleri ele alalım:
27900. İkizkenar üçgenin yan tarafı 1'e, tabanın karşısındaki tepe noktasındaki açı ise 120 0'a eşittir. Bu üçgenin çevrelenen daire çapını bulun.
Burada bir üçgenin etrafında bir daire çevrelenmiştir.
İlk yol:
Yarıçapı biliniyorsa çapı bulabiliriz. Bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı için formülü kullanırız:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
İki tarafı biliyoruz (ikizkenar üçgenin yan kenarları), üçüncüsünü kosinüs teoremini kullanarak hesaplayabiliriz:
Şimdi üçgenin alanını hesaplayalım:
*Formül (2)'yi kullandık.
Yarıçapı hesaplayın:
Böylece çap 2'ye eşit olacaktır.
İkinci yol:
Bu zihinsel hesaplamalar. Bir daire içine yazılmış bir altıgenle ilgili problemleri çözme becerisine sahip olanlar, AC ve BC üçgeninin kenarlarının dairenin içine yazılan altıgenin kenarlarıyla "çakıştığını" hemen belirleyeceklerdir (altıgenin açısı problem ifadesinde olduğu gibi tam olarak 120 0'a eşittir). Ve sonra, bir daire içine yazılan altıgenin kenarının bu dairenin yarıçapına eşit olduğu gerçeğine dayanarak, çapın 2AC'ye, yani ikiye eşit olacağı sonucuna varmak zor değildir.
Altıgen hakkında daha fazla bilgi için (madde 5)'teki bilgilere bakın.
Cevap: 2
27931. İkizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı 2'dir. Hipotenüsü bulun İle bu üçgen. Lütfen cevabınızda belirtin.
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
Üçgenin kenarlarını ve alanını bilmiyoruz. Bacakları x olarak gösterelim, o zaman hipotenüs şuna eşit olacaktır:
Ve üçgenin alanı 0,5x2'ye eşit olacaktır.
Araç
Böylece hipotenüs şuna eşit olacaktır:
Cevabınızda şunu yazmanız gerekir:
Cevap: 4
27933. Bir üçgende ABC AC = 4, BC = 3, açı C 90 0'a eşittir . Yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
İki kenar biliniyor (bunlar bacaklar), üçüncüyü (hipotenüs) hesaplayabiliriz ve ayrıca alanı da hesaplayabiliriz.
Pisagor teoremine göre:
Alanı bulalım:
Böylece:
Cevap 1
27934. Bir ikizkenar üçgenin kenarları 5 ve tabanı 6'dır. İçinde yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
Bütün kenarlar biliniyor, alanı hesaplayalım. Bunu Heron formülünü kullanarak bulabiliriz:
Daha sonra
Böylece:
Cevap: 1.5
27624. Üçgenin çevresi 12 ve yazılı dairenin yarıçapı 1'dir. Bu üçgenin alanını bulun.Çözümü görüntüle
27932. İkizkenar dik üçgenin bacakları eşittir. Bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını bulun.
Kısa bir özet.
Koşul bir üçgen ve yazılı veya sınırlı bir daire veriyorsa ve kenarlardan, alandan, yarıçaptan bahsediyorsak, belirtilen formülleri hemen hatırlayın ve çözerken bunları kullanmaya çalışın. Eğer işe yaramazsa, başka çözümler arayın.
Bu kadar. Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur? Bu soru her zaman planimetri okuyan okul çocukları için geçerlidir. Aşağıda bu görevle nasıl başa çıkabileceğinize dair birkaç örneğe bakacağız.
Problemin koşullarına göre çemberin yarıçapını bu şekilde bulabilirsiniz.
Formül 1: R = L / 2π, burada L ve π 3,141'e eşit bir sabittir...
Formül 2: R = √(S / π), burada S dairenin alanıdır.
Formül 1: R = B/2, burada B hipotenüstür.
Formül 2: R = M*B, burada B hipotenüstür ve M buna çizilen medyandır.
Düzenli bir çokgen etrafında çevrelenmişse bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur?
Formül: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), burada A, şeklin kenarlarından birinin uzunluğu, n ise bu geometrik şeklin kenar sayısıdır.
Yazılı bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur
Çokgenin her tarafına dokunduğunda yazılı daire denir. Birkaç örneğe bakalım.
Formül 1: R = S / (P/2), burada - S ve P sırasıyla şeklin alanı ve çevresidir.
Formül 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), burada P çevre, A kenarlardan birinin uzunluğu ve bu tarafın karşısındaki açıdır.
Bir dik üçgenin içine yazılmışsa bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur?
Formül 1:
Eşkenar dörtgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapı
Daire, hem eşkenar hem de eşit olmayan herhangi bir eşkenar dörtgen şeklinde yazılabilir.
Formül 1: R = 2 * H, burada H, geometrik şeklin yüksekliğidir.
Formül 2: R = S / (A*2), burada S ve A, kenarının uzunluğudur.
Formül 3: R = √((S * sin A)/4), burada S eşkenar dörtgenin alanıdır ve sin A sinüstür dar açı bu geometrik şeklin
Formül 4: R = B*G/(√(B² + G²), burada B ve G, geometrik şeklin köşegenlerinin uzunluklarıdır.
Formül 5: R = B*sin (A/2), burada B, eşkenar dörtgenin köşegenidir ve A, köşegeni birleştiren köşelerdeki açıdır.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
Problem ifadesinde şeklin tüm kenarlarının uzunlukları verilmişse, önce (P)'yi ve ardından yarı çevreyi (p) hesaplayın:
P = A+B+C, burada A, B, C geometrik şeklin kenarlarının uzunluklarıdır.
Formül 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
Ve eğer aynı üç tarafı da bilerek size bir tane verilirse, gerekli yarıçapı aşağıdaki gibi hesaplayabilirsiniz.
Formül 2: R = S * 2(A + B + C)
Formül 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), burada - n, geometrik şeklin yarı çevresidir.
Formül 4: R = (n - A) * tan (A/2), burada n üçgenin yarı çevresidir, A kenarlarından biridir ve tg (A/2) açının yarısının tanjantıdır bu tarafın karşısında.
Ve aşağıdaki formül, içinde yazılı olan dairenin yarıçapını bulmanıza yardımcı olacaktır.
Formül 5: R = A * √3/6.
Dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
Sorun bacakların uzunluklarının yanı sıra hipotenüsü de veriyorsa, yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki gibi belirlenir.
Formül 1: R = (A+B-C)/2, burada A, B kenarlardır, C hipotenüstür.
Size yalnızca iki bacak verilmişse, hipotenüsü bulmak ve yukarıdaki formülü kullanmak için Pisagor teoremini hatırlamanın zamanı gelmiştir.
C = √(A²+B²).
Bir karenin içine yazılan dairenin yarıçapı
Bir karenin içine yazılan bir dairenin 4 kenarı da temas noktalarında tam olarak ikiye bölünür.
Formül 1: R = A/2, burada A karenin kenar uzunluğudur.
Formül 2: R = S / (P/2), burada S ve P sırasıyla karenin alanı ve çevresidir.