B6'daki tüm görevlerde olasılık teorisi, sunulanlar Görev bankasını aç, bulman gerek olasılık herhangi bir olay.
Sadece birini bilmeniz yeterli formül hesaplamak için kullanılır olasılık:
Bu formülde p - olayın olasılığı,
k- dilde bizi “tatmin eden” olayların sayısı olasılık teorisi onlar denir olumlu sonuçlar.
N- hepsinin sayısı olası olaylar, veya tüm olası sonuçların sayısı.
Açıkçası, tüm olası olayların sayısı, olumlu sonuçların sayısından daha fazladır, bu nedenle olasılık 1'den küçük veya ona eşit bir değerdir.
Eğer olasılık olay 1'e eşittir, bu şu anlama gelir: bu olay kesinlikle gerçekleşecek. Böyle bir olaya denir güvenilir. Mesela pazardan sonra pazartesinin gelmesi ne yazık ki güvenilir olay ve olasılığı 1'dir.
Problem çözmedeki en büyük zorluklar tam olarak k ve n sayılarını bulmada ortaya çıkar.
Elbette, herhangi bir problemi çözerken olduğu gibi, problemleri çözerken de olasılık teorisi Neyin verildiğini ve neyi bulmanız gerektiğini doğru bir şekilde anlamak için durumu dikkatlice okumanız gerekir.
Sorunları çözmek için çeşitli örneklere bakalım itibaren Açık banka için görevler .
Örnek 1. Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
İlk zar bir puan atsın, sonra ikinci zar 6 puan atsın çeşitli seçenekler. İlk zarın 6 farklı yüzü olduğundan, toplam sayı farklı seçenekler 6x6=36'ya eşittir.
Ama her şeyden memnun değiliz. Problemin koşullarına göre çekilen puanların toplamı 8'e eşit olmalıdır. Olumlu sonuçlar tablosu oluşturalım:
Bize uygun olan sonuç sayısının 5 olduğunu görüyoruz.
Böylece toplamda 8 puan gelme olasılığı 5/36=0,13(8) olur.
Sorunun sorusunu bir kez daha okuyoruz: sonuç yüzde birlere yuvarlanmalıdır.
Haydi hatırlayalım yuvarlama kuralı.
En yakın yüzlüğe yuvarlamamız gerekiyor. Yüzde birler basamağında (yani binde birlerde) 5'ten büyük veya ona eşit bir sayı varsa, bu sayı 5'ten küçükse yüzler basamağındaki sayıya 1 ekleriz; daha sonra yüzler basamağındaki sayı değişmeden kalır.
Bizim durumumuzda binler basamağındaki sayı 8 olduğu için yüzler basamağındaki 3 sayısını 1 artırıyoruz.
Yani p=5/36 ≈0,14
Cevap: 0,14
Örnek 2. Jimnastik şampiyonasına 20 sporcu katılıyor: 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den, geri kalanı Çin'den. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.
Bu problemde olası sonuçların sayısı 20'dir; bu, tüm sporcuların sayısıdır.
Olumlu sonuçların sayısını bulalım. Bu rakam Çin'deki kadın sporcu sayısına eşit.
Böylece,
Cevap: 0,25
Örnek 3: Ortalama olarak satılan 1000 bahçe pompasından 5'i sızıntı yapıyor. Kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığını bulun.
Bu problemde n=1000.
Sızıntı yapmayan pompalarla ilgileniyoruz. Sayıları 1000-5=995'tir. Onlar.
Yanıt bıraktı Misafir
Biriyle zar durum son derece basittir. Olasılığın P=m/n formülüyle bulunduğunu hatırlatayım.
P
=
M
N
, nerede n
N
bir küp veya zarın atılmasını içeren bir deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısıdır ve m
M
- olayı destekleyen sonuçların sayısı.
Örnek 1: Zar bir kez atılıyor. Bunun gerçekleşme olasılığı nedir? çift sayı gözlük?
Zar bir küp olduğundan (aynı zamanda her tarafa eşit olasılıkla düşecek şekilde düzenli bir zar, yani dengeli bir zar da derler), küpün 6 yüzü vardır (1'den 6'ya kadar noktaları vardır, genellikle belirtilir) puana göre) ve problemdeki toplam sonuç sayısı n=6
N
=
6
. Etkinliği destekleyen tek sonuç, 2, 4 veya 6 puanlı bir tarafın (yalnızca çift sayılar) ortaya çıktığı durumlardır; bu tür m=3 taraf vardır;
M
=
3
. O halde gerekli olasılık P=3/6=1/2=0,5'tir.
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.
Örnek 2. Bir zar atılıyor. En az 5 puan gelme olasılığını bulun.
Önceki örnekte olduğu gibi aynı şekilde mantık yürütüyoruz. Bir zar atıldığında eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı n=6
N
=
6
, ve “en az 5 puan alınması” yani “ya 5 ya da 6 puan alınması” koşulu 2 sonuçla sağlanır, m=2
M
=
2
. Gerekli olasılık P=2/6=1/3=0,333'tür.
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.
Daha fazla örnek vermenin manasını bile göremiyorum, hadi her şeyin daha ilginç ve karmaşık hale geldiği iki zara geçelim.
İki zar
Ne zaman hakkında konuşuyoruz 2 zar atmayı içeren problemlerde puanlama tablosu kullanmak çok uygundur. İlk zara düşen puan sayısını yatay olarak, ikinci zara düşen puan sayısını da dikey olarak çizelim. Şöyle bir şey elde edelim (Genellikle Excel'de yapıyorum, aşağıdaki dosyayı indirebilirsiniz):
2 zar atmanın puan tablosu
Masa hücrelerinde ne olduğunu mu soruyorsunuz? Bu da hangi sorunu çözeceğimize bağlı. Puanların toplamı ile ilgili bir görev olacak - toplamı oraya yazacağız, fark hakkında - farkı yazacağız vb. Haydi başlayalım mı?
Örnek 3: 2 zar aynı anda atılıyor. Toplamın 5 puandan az olma olasılığını bulun.
Öncelikle deneyin toplam sonuç sayısına bakalım. Bir zar attığımızda her şey açıktı; 6 taraf - 6 sonuç. Burada zaten iki zar var, dolayısıyla sonuçlar (x,y) formundaki sıralı sayı çiftleri olarak temsil edilebilir.
X
,
sen
, burada x
X
- ilk zarda kaç puan atıldığı (1'den 6'ya kadar), y
sen
- ikinci zarda kaç puan atıldığı (1'den 6'ya kadar). Açıkçası, bu tür sayı çiftleri n=6⋅6=36 olacak
N
=
6
⋅
6
=
36
(ve sonuç tablosundaki tam olarak 36 hücre bunlara karşılık gelir).
Şimdi tabloyu doldurmanın zamanı geldi. Her hücreye birinci ve ikinci zarda atılan puanların toplamını giriyoruz ve aşağıdaki resmi elde ediyoruz:
2 zar atıldığında puanların toplamı tablosu
Şimdi bu tablo, "toplamda 5 puandan az olacak" etkinlik için olumlu sonuçların sayısını bulmamıza yardımcı olacak. Bunu yapmak için toplam değeri 5'ten az olan (yani 2, 3 veya 4) hücre sayısını sayarız. Netlik sağlamak için bu hücreleri renklendirelim, m=6 olacak
M
=
6
:
2 zar atıldığında toplam puanın 5'ten az olduğu tablo
O halde olasılık: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.
Örnek 4. İki zar atılıyor. Nokta sayısının çarpımının 3'e bölünebilme olasılığını bulun.
Birinci ve ikinci zarda atılan puanların çarpımlarından oluşan bir tablo oluşturuyoruz. Hemen 3'ün katları olan sayıları vurguluyoruz:
2 zar atıldığında puanların çarpımı tablosu
Geriye kalan tek şey toplam sonuç sayısının n=36 olduğunu yazmaktır.
N
=
36
(önceki örneğe bakınız, mantık aynıdır) ve olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tabloda gölgeli hücrelerin sayısı) m=20
M
=
20
. O zaman olayın olasılığı P=20/36=5/9 olacaktır.
P
=
20
36
=
5
9
.
Gördüğünüz gibi, bu tür bir sorun, uygun hazırlıkla (birkaç soruna daha bakalım) hızlı ve basit bir şekilde çözülebilir. Çeşitlilik sağlamak için farklı bir tabloyla bir görev daha yapalım (tüm tablolar sayfanın altından indirilebilir).
Örnek 5: Bir zar iki kez atılıyor. Birinci ve ikinci zardaki puan sayısı farkının 2'den 5'e kadar olma olasılığını bulun.
Nokta farkları tablosunu yazalım, fark değerinin 2 ile 5 arasında olacağı hücreleri vurgulayalım:
2 zar atıldığında puan farkı tablosu
Dolayısıyla, eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı n=36'dır.
N
=
36
ve olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tabloda gölgeli hücrelerin sayısı) m=10
M
=
10
. O zaman olayın olasılığı P=10/36=5/18'e eşit olacaktır.
P
=
10
36
=
5
18
.
Yani 2 zar atmaktan ve basit bir olaydan bahsettiğimizde, bir masa oluşturmanız, içindeki gerekli hücreleri seçmeniz ve sayılarını 36'ya bölmeniz gerekiyor, bu olasılık olacaktır. Nokta sayısının toplamı, çarpımı ve farkı ile ilgili problemlerin yanı sıra, farkın modülü, çizilen en küçük ve en büyük nokta sayısı ile ilgili problemler de vardır (uygun tabloları Excel dosyasında bulacaksınız).
Şunun için görevler: olasılık zar yazı-tura problemlerinden daha az popüler değildir. Böyle bir problemin durumu genellikle şu şekilde duyulur: Bir veya daha fazla zar (2 veya 3) atıldığında, puanların toplamının 10'a eşit olma veya puan sayısının 4 olma olasılığı nedir? puan sayısının çarpımı veya puan sayısının çarpımı 2'ye bölünür.
Formülün uygulanması klasik olasılık Bu tür problemleri çözmenin ana yöntemidir.
Bir ölür, olasılık.
Bir zarla durum oldukça basittir.
şu formülle belirlenir: P=m/n; burada m, olay için olumlu sonuçların sayısıdır ve n, bir kemik veya küp fırlatma deneyinin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısıdır.
Problem 1. Zar bir kez atılıyor. Çift sayıda puan alma olasılığı nedir?
Zar bir küp olduğundan (ya da normal zar olarak da adlandırıldığından, dengeli olduğu için zar her tarafa eşit olasılıkla düşecektir), zarın 6 kenarı vardır (1'den 6'ya kadar olan puan sayısı; genellikle noktalarla gösterilir), bu, problemin toplam sonuç sayısına sahip olduğu anlamına gelir: n=6. Etkinlik yalnızca 2,4 ve 6 çift puana sahip tarafın göründüğü sonuçlarla tercih edilir; zarın şu tarafları vardır: m=3. Artık zarın istenilen olasılığını belirleyebiliriz: P=3/6=1/2=0,5.
Görev 2. Zarlar bir kez atılır. En az 5 puan alma olasılığınız nedir?
Bu problem yukarıda verilen örneğe benzetilerek çözülmüştür. Bir zar atıldığında eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı: n=6'dır ve yalnızca 2 sonuç problemin koşulunu karşılar (en az 5 puan, yani 5 veya 6 puan yuvarlanır), yani m =2. Daha sonra gerekli olasılığı buluyoruz: P=2/6=1/3=0,333.
İki zar, olasılık.
Ancak şu soru ortaya çıkıyor: Tablonun boş hücrelerinde ne olacak? Çözülmesi gereken soruna bağlıdır. Sorun puanların toplamıyla ilgiliyse, toplam oraya yazılır, farkla ilgiliyse fark yazılır vb.
Problem 3. 2 zar aynı anda atılıyor. 5 puandan az alma olasılığı nedir?
Öncelikle deneyin toplam sonuç sayısının ne olacağını bulmanız gerekir. Bir zar atıldığında, zarın 6 tarafı - deneyin 6 sonucu - her şey açıktı. Ancak zaten iki zar varsa, olası sonuçlar (x, y) biçimindeki sıralı sayı çiftleri olarak temsil edilebilir; burada x, ilk zarda kaç puan atıldığını gösterir (1'den 6'ya kadar) ve y - ikinci zarda kaç puan atıldığı (1'den 6'ya kadar). Toplamda bu tür sayı çiftleri olacaktır: n=6*6=36 (sonuç tablosunda tam olarak 36 hücreye karşılık gelirler).
Artık tabloyu doldurabilirsiniz; bunun için her hücreye birinci ve ikinci zara düşen puanların sayısı girilir. Tamamlanan tablo şuna benzer:
Tabloyu kullanarak, "toplamda 5 puandan az puanın ortaya çıkacağı" olayı destekleyen sonuçların sayısını belirleyeceğiz. Hücre sayısını sayalım, toplamın değeri daha az sayı 5 (bunlar 2, 3 ve 4'tür). Kolaylık sağlamak için bu tür hücrelerin üzerini boyarız; m=6 olacaktır:
Tablo verileri dikkate alındığında, zar olasılığı eşittir: P=6/36=1/6.
Problem 4. İki zar atıldı. Nokta sayısının çarpımının 3'e bölünme olasılığını belirleyin.
Sorunu çözmek için birinci ve ikinci zarın üzerine düşen puanların çarpımlarından oluşan bir tablo yapalım. İçinde hemen 3'ün katları olan sayıları vurguluyoruz:
Deneyin toplam sonuç sayısını n=36 olarak yazıyoruz (gerekçe şu şekildedir: önceki görev) ve olumlu sonuçların sayısı (tabloda gölgelenen hücrelerin sayısı) m=20. Olayın olasılığı: P=20/36=5/9.
Problem 5. Zarlar iki kez atılıyor. Birinci ve ikinci zardaki puan sayısı farkının 2'den 5'e kadar olma olasılığı nedir?
Belirlemek için zar olasılığı Bir nokta farkları tablosu yazalım ve içinde fark değeri 2 ile 5 arasında olacak hücreleri seçelim:
Olumlu sonuçların sayısı (tabloda gölgelenen hücrelerin sayısı) m=10, eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı ise n=36 olacaktır. Olayın olasılığını belirler: P=10/36=5/18.
Basit bir olay durumunda ve 2 zar atarken bir masa oluşturmanız, ardından içindeki gerekli hücreleri seçmeniz ve sayılarını 36'ya bölmeniz gerekir, bu bir olasılık olarak kabul edilecektir.