Простыми словами

Не знаю, всем ли известно имя одного из выдающихся математиков, барона Джона Непера (1550-1617) - шотландца по происхождению.
Вот он собственной персоной (с) Википедия:

Знаменит о в первую и в самую основную очередь тем, что изобрел логарифмы !
Можно себе представить, как мучились люди в те времена, производя умножение и деление многозначных чисел. Непер же придумал специальные таблицы, в которых было произведено взаимно однозначное соответствие геометрической прогрессии и арифметической. Причем, естественно, геометрическая прогрессия была исходной. Таким образом, умножению Непер сопоставил гораздо более легкое сложение, а делению, соответственно, - вычитание.
За что всё прогрессивное человечество благодарно ему по сей день.

Но я сейчас буду рассказывать не об этом.
В 1617 году Непер предложил другой, не логарифмический, способ умножения чисел, для которого придумал специальное устройство, получившее название «палочки Непера».
Рассказываю я о нем в связи с записями о фигурных числах. Это еще один способ визуализации арифметики. (Хотя, на самом деле, больше ничего общего с фигурными числами тут нет).

Я узнала о палочках Непера, когда готовила презентацию по истории развития вычислительной техники. Для презентации мне хватило одного слайда с краткой информацией. Сейчас попыталась найти нечто более обширное и ужаснулась: Непер везде упоминается, как правило, как раз в разделе "история вычислительной техники", и пара абсолютно одинаковых абзацев кочует из статьи в статью.
Вот что удалось из всего этого почерпнуть.

Этот «вычислительный инструмент» состоял из брусков с нанесенными на них цифрами от 0 до 9 и кратными им числами. Для умножения какого-либо числа бруски располагали рядом так, чтобы цифры на торцах составляли это число. Ответ можно было увидеть на боковых сторонах брусков.

Вот смотрите: (это самая лучшая из найденных мной картинок):

То есть, как я это рассказывала студентам, это своеобразная трехмерная таблица умножения.
Теперь понимаю, что с трехмерной я погорячилась. Кажется, речь идет о плоском представлении (я думала на этих брусках цифры со всех четырех боковых сторон, но похоже, они только на одной "фронтальной" стороне и на торце).

Полоски с нанесенными на них числами, были еще разделены диагоналями так, что слева (выше) диагонали располагаются десятки, а справа - единицы.
Для получения произведений осуществляется суммирование «вдоль диагоналей».

КАК это происходит, я, если честно, до конца не понимаю. Но судя по тому, что я прочла, четырехзначные числа перемножались с помощью этих палочек шутя.

Помимо умножения, палочки Непера позволяли выполнять деление и извлекать квадратный корень.

Под кат спрячу цитату с одного сайта, постичь которую я не в состоянии)))
Тем не менее, там всё объясняется))
Упражнение для пытливых умов:
Дж. Непер предложил специальные счетные палочки (названные впоследствии палочками Непера), позволявшие производить операции умножения и деления непосредственно над исходными числами. Сверху решетки каждой клетке приписываются цифры А-числа, а справа - цифры В-числа. В каждой (k,j)-клетке решетки записывается результат произведения Rkj=xk*yj соответствующих цифр чисел. При этом число десятков помещается выше диагонали клетки и единиц - ниже диагонали. После заполнения всех клеток решетки производится суммирование S p по наклонным полоскам решетки справа налево с переносом старших разрядов.

Описанный принцип умножения иллюстрируется на примере перемножения чисел 1942 и 54:1942x54=104868. Палочки Непера (в количестве 9; представляют собой своеобразную таблицу умножения, в которой числа записываются в описанной выше клеточной форме) основным назначением имели умножение больших чисел и для операций деления и извлечения корня применялись весьма редко. Сам Непер впоследствии предложил палочки особой конструкции, предназначенные специально для извлечения квадратного корня; они использовались в сочетании с обычными палочками Непера. Наряду с палочками Непер предложил счетную доску для выполнения операций умножения, деления, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня в двоичной с.с., предвосхитив тем самым преимущества такой системы счисления для автоматизации вычислений.
Отсюда.

Первым устройством для выполнения умножения был набор деревянных брусков, известных как палочки Непера. Они были изобретены шотландцем Джоном Непером (1550-1617гг.). На таком наборе из деревянных брусков была размещена таблица умножения. Кроме того, Джон Непер изобрел логарифмы.

Данное изобретение оставило заметный след в истории оставило изобретение Джоном Непером логарифмов, о чем сообщалось в публикации 1614 г. Его таблицы, расчет которых требовал очень много времени, позже были “встроены” в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления, -- логарифмическую линейку; она была изобретена в конце 1620-х годов. В 1617 г. Непер придумал и другой способ перемножения чисел. Инструмент, получивший название “костяшки Непера”, состоял из набора сегментированных стерженьков, которые можно было располагать таким образом, что, складывая числа, в прилегающих друг к другу по горизонтали сегментах, мы получали результат их умножения.

Теории логарифмов Непера суждено было найти обширное применение. Однако его “костяшки” вскоре были вытеснены логарифмической линейкой и другими вычислительными устройствами--в основном механического типа, -- первым изобретателем которых стал гениальный француз Блез Паскаль.

Логарифмическая линейка

Развитие приспособлений для счета шло в ногу с достижениями математики. Вскоре после открытия логарифмов в 1623 г. была изобретена логарифмическая линейка.

В 1654 г. Роберт Биссакар, а в 1657 г. независимо С. Патридж (Англия) разработали прямоугольную логарифмическую линейку - это счетный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Конструкция линейки сохранилась в основном до наших дней.

Логарифмической линейки была суждена долгая жизнь: от 17 века до нашего времени. Вычисления с помощью логарифмической линейки производятся просто, быстро, но приближенно. И, следовательно, она не годится для точных, например финансовых, расчетов.

«Палочки Непера» стали началом новой эпохи – «эпохи науки», которая пришла на смену ранее популярному торговому делу. Счетные палочки – это изобретение шотландского математика Джона Непера, который вошел в историю, благодаря изобретению логарифмов. С помощью первой вычислительной техники развитие арифметики сделало шаг вперед, а «палочки Непера» до сих пор считаются прообразом первой вычислительной техники, например, такой, как калькулятор.

Джон Непер – шотландский математик, известный как изобретатель нового вида вычислительных инструментов – логарифмов, толчком к появлению которых стали «палочки Непера». В ХVI веке наука ощущала потребность в проведении сложных расчетов, однако в то время не были созданы необходимые условия для ее дальнейшего развития. Поэтому Джон Непер предложил вместо сложной операции умножения использовать процесс сложения, который ему же удалось сопоставить с помощью специальных таблиц. Благодаря этой схеме, трудоемкий процесс деления также может быть заменен на операцию вычитания. Это изобретение позволило заметно облегчить работу вычислителям.

Палочки Непера – что это

Джон Непер в 1617 году выпустил книгу, в которой предложил новый метод проведения операции умножения с помощью специальных палочек. В то время большой популярностью пользовался способ решетчатого умножения, поэтому ученый и решил на его основе создать собственную методику.

«Палочки Непера» представляли собой комплект специальных палочек, состоящих из дощечки с разметкой от одного до девяти и остальными палочками, на которые была помещена таблица умножения с такой же разметкой цифр. Вверху каждой дощечки располагались числа в порядке возрастания, а по всей длине выложенной таблицы Непер разместил собственно результаты умножения чисел на цифры от одного до девяти. Иными словами, таблица давала возможность совершать операции умножения числа 123456789 на число 123456789. Сама сетка была разделена столбцами.

Для того чтобы получить результат при умножении, нужно было выбрать палочки, которые бы отвечали разряду множимого, и расположить их в линию, ряд чисел которой обозначал бы само число. Из-за того, что разряды в множимом могли повторяться, в комплекте всегда были дополнительные палочки, отвечающие за каждый разряд. Дощечка с вертикально расположенными цифрами от одного до девяти, ставилась слева. С помощью нее можно было выбирать строку, соответствующую для разряда множителя.

Джон Непер решил, что если разделить ячейку на 2 части с помощью диагональной линии, то можно будет компактно записать результат операции: в верхнем отсеке зафиксировать старший разряд полученного числа, а в нижнем – младший разряд. Для получения окончательного результата операции нужно сложить числа в «таблице» справа налево – сумма цифр и будет необходимым ответом.

«Палочки Непера» могли использоваться, как для операции умножения, так и для деления, и вычисления квадратного корня числа. Если делить числа можно было по принципу схожему с умножением, то для того, чтобы извлечь квадратный корень в набор добавлялась еще одна палочка, состоящая из трех колонок. В первой колонке находились возведенные в квадрат числа, которые соответствовали значению дощечки, указывающей строки, во второй - цифры, полученные при результате умножения указателя строк на два, а в третьем столбце находились числа от одного до девяти.

Модернизация «палочек Непера»

После изобретения этого арифметического метода, многие ученые-математики старались внести какие-то новшества в разработанный до них механизм. Например, в 1666 году английским ученым-изобретателем была сделана попытка перенести всю таблицу с палочек на диски. Этот опыт увенчался успехом, так как подобная методика упростила работу с изобретением предшественника. А в конце 60-х немецкий математик Каспар Шот выдвинул идею заменить дощечки цилиндрами, на двух сторонах которых следовало разместить все числовые значения вместе с сеткой умножения от одного до девяти. Если поставить цилиндры в такое положение, чтобы их верхняя сторона с цифрами образовывала множитель, то операцию умножения можно производить по тому же принципу, что и с помощью «палочек Непера».

Уже в ХIX столетии, чтобы облегчить пользование прибором, вместо обычных ровных дощечек стали изготовлять бруски под наклоном, с углом 65 градусов. В результате, треугольники, содержащие числа для операции, можно было использовать по порядку, так как теперь они находились друг под другом. Уже к концу века внесли еще некоторые изменения, связанные с заменой палочек на тонкие полоски, зафиксированные в специальном чехле, который напоминал блокнот. Полоски нужно было передвигать с помощью острой палочки.

«Палочки Непера» пользовались большим спросом в свое время. Это, казалось бы, несложное открытие сделало большой прорыв в области развития арифметики.

Палочкам Непера суждена была долгая жизнь. Они широко и долгое время использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях. Замечательный фильм 70-х годов об английском философе XVI века Томасе Море назывался «Человек на все времена», а вот если бы делался фильм о его соотечественнике, жившем спустя несколько десятилетий, то, возможно, его стоило бы назвать «Человек, опередивший время». Речь идет о сэре Джоне Непере, чье имя можно смело поставить в один ряд, например, с именами Галилео Галилея или Николая Коперника, а может быть, и Леонардо да Винчи.

Непер - шотландский математик и теолог-протестант - был потомственным дворянином, родился в 1550 году в замке Мерчистон близ Эдинбурга, там же и умер 4 апреля 1617 года. Учился он в Эдинбургском университете, а затем долго путешествовал в поисках знаний по Европе. В итоге своих странствий, как и большинство ученых своего времени, Непер стал универсалом, специалистом широкого профиля. Большую часть последующей жизни Непер отдал богословию, активно участвовал в теософских спорах, где, как настоящий шотландец, отличался истовостью.

В качестве теолога он известен тем, что в 1593 году опубликовал «Простое изъяснение всего Откровения Иоанна Богослова», первое толкование Священного Писания на шотландском языке, но при том Непер был не чужд модным тогда наукам - астрологии и алхимии. Наряду с этими увлечениями, он также был и инженером, придумал целый ряд машин для обработки земли и водяные насосы для орошения. А еще он сделал несколько «секретных» изобретений, среди которых зеркало для поджигания вражеских кораблей, устройство для плавания под водой (акваланг), повозка, не пробиваемая пулями (танк), и нечто, напоминающее неуправляемый ракетный снаряд.

Однако вполне возможно, что вся эта успешная по тому времени деятельность, имевшая значение для современников, так и осталась бы неизвестной потомкам, если бы не его главные работы, выполненные на седьмом десятке, незадолго до смерти. Хронологически первым из них был математический труд - система логарифмов «Описание удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614)», в нем была предложена (без раскрытия способа ее построения) первая таблица логарифмов, а также и сам термин «логарифм». Позже способ построения был раскрыт в сочинении «Построение удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis constructio)», вышедшем в 1619 году, уже после смерти автора. К появлению этих работ имел непосредственное отношение профессор лондонского Грэшем-колледжа Генри Бригс, который позднее стал публикатором, преемником и биографом Непера. Случилось так, что, познакомившись с «Описанием...», Бригс стал верным последователем идей Непера, поэтому, движимый желанием помогать ему, он отправился в Шотландию для личной встречи с автором и в последствии посвятил свою жизнь тому, что довел его дело до конца. Немалую роль в сохранении памяти о Непере сыграли его потомки.

Оба названных труда представляют интерес скорее для истории математики, а для истории компьютеров существенным является главнейшее и на первый взгляд очень простое технически изобретение шотландского ученого, которое в последующем стали называть палочками (или костями) Непера. Оно стало вторым после абака в истории человечества практическим приспособлением, облегчающим расчеты. Справедливости ради следует сказать, что есть более ранний по времени рисунок да Винчи, который считают изображением счетной машины, есть даже современные попытки ее реконструкции, но никаких документальных свидетельств о работе и практическом использовании калькулятора да Винчи нет. А с палочек Непера, несмотря на всю их видимую простоту, началась цепочка устройств, которая, в конечном счете, привела к современному ПК.

Видимо, понимая значимость своего изобретения, последний год жизни Непер отдал подготовке к печати завершающего творческий путь трактата - «Рабдология, или Две книги о счете с помощью палочек», в предисловии к которому он написал: «Теперь мы также нашли значительно лучшую разновидность логарифмов и намерены (если Бог дарует долгую жизнь и хорошее здоровье) опубликовать как метод их вычисления, так и способ использования. Но, по причине нашей телесной слабости, вычисление этих новых таблиц мы предоставляем людям, опытным в такого рода занятиях, и прежде всего ученейшему мужу Генри Бригсу, профессору геометрии и нашему дражайшему другу».

В «Рабдологии...» Непер описал способ перемножения чисел посредством особых брусков-палочек с нанесенными на них цифрами, они внешне похожи на кости домино, но с большим числом полей на каждом из них. Идея автоматизации с помощью заранее размеченных палочек явно восходит к одному из древнейших способов умножения, который назвался gelosia. Сегодня никто не задумывается о внутренней сложности этого арифметического действия, даже словосочетание «способ умножения» звучит как-то странно, ведь единственный известный большинству алгоритм «в столбик» проходят в третьем классе. А в те далекие времена умножение было наукой, которой посвящали целые трактаты. Наиболее известен труд Луки Пачоли Summa de arithmetica, где среди прочих описан и этот способ gelosia, изобретенный в Индии и в XIV веке пришедший в Европу при посредничестве персов и арабов. Тем, кто заинтересуется методами умножения, рекомендую статью Multiplication Methods (www.ex.ac.uk/cimt/res2/trolfg.pdf ), где прекрасно описаны различные древние приемы.

Алгоритм gelosia по-своему очень изящен, суть его в том, что сомножители записываются справа и сверху от специальной счетной матрицы, состоящей из полей-квадратов, каждый из которых разделен диагональю, а совместно расположенные по диагонали треугольники образуют «косые» строки-столбцы. Итак, сверху и справа записывают сомножители, а промежуточные произведения каждой пары разрядов, от единиц до самого старшего, записывают в квадраты, разделяя внутри каждого единицы и десятки, единицы в нижний треугольник, а десятки - в верхний. При суммировании «по косой» получается результат, его нужно читать сверху вниз и слева направо. Собственная идея Непера была на первый взгляд очень простой: нужно разрезать таблицу на столбцы и выполнять действия, подбирая нужные палочки в соответствии с составом числа. Естественно, что для «ввода» числа в наборе должно быть больше палочек, цифры могут повторяться. Таким образом, умножение становится тривиальной задачей, но этим потенциал палочек не исчерпывается, с ними можно выполнять и деление, и возведение в степень, и извлечение корня, опираясь на сложение и вычитание логарифмов.

Идея палочек получила развитие в Германии. Через десять лет после опубликования «Рабдологии...» профессор восточных языков Вильгельм Шиккард из Тюбингенского университета изобрел механизм, упрощающий работу с палочками, который был описан им в переписке с Иоганном Кеплером. Как известно, письма были в ту пору единственной формой публикации. Была ли эта машина построена или нет, сейчас сказать сложно, но во всяком случае это была первая математически обоснованная модель калькулятора. Сейчас в Германии воссоздано несколько работоспособных образцов механизма Шиккарда. История создания калькулятора и жизнеописание автора удачно описаны в статье Юрия Полунова (http:// museum.iu4.bmstu.ru/ firststeps/ letters.shtml ).

Палочкам Непера суждена была долгая жизнь. Они долгое время широко использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях, палочки повлияли на создание логарифмической линейки, ставшей классическим инженерным инструментом XIX и XX веков, а в Великобритании вплоть до середины 60-х годов палочки Непера применялись для обучения школьников арифметике.

14. Ученики 6-го класса прочитали стихотворение Н. П. Кончалов­ской и поспорили.

Марина утверждала, что ничего нового по сравнению с тек­стом о Науме Грамотнике она не прочитала в этом стихотво­рении. А Юра сказал, что в стихотворении есть важная но­вая информация.

С кем из учеников ты согласишься? Запиши свой ответ и приведи обоснование.

15. На уроке ученикам предложили придумать собственную под­пись к картине художника Б. М. Кустодиева. Какая из пред­ложенных подписей наиболее точно отражает содержание кар­тины? Запиши номер правильного ответа.

1) «Азбуку учат - на всю избу кричат».

2) Урок в школе Древней Руси.

3) Учение - свет.

4) Урок чтения.

16. Сколько времени проходило в старину от начала учебного года до обряда посвящения в ученики? Запиши номер правильного ответа.

2) 2 месяца

3) 3 месяца

4) 6 месяцев

17. Какие приметы существовали в древнерусской школе? Запиши две приметы.

18. День учителя отмечался как один из первых профессиональ­ных праздников на Руси. И в современной России День учи­теля является всенародным праздником. Как ты думаешь, по­чему этот праздник пережил века? Запиши слова (обоснова­ние) из текста, подтверждающие твоё мнение.

ПАЛОЧКИ НЕПЕРА

Прочитай текст и выполни задания 19-27

Я всегда старался, насколько позво­ляли мои силы

и способности, осво­бодить людей от трудности и

скуки вычислений, докучливость которых

обыкновенно отпугивает очень многих от

изучения математики.

Джон Непер,

шотландский богослов и любитель математ ики

Джон Непер

В 1617 году Непер опубликовал трактат под названием «Рабдология, или Искусство счёта с помощью палочек» (рис. 1). В нём он описал способ, благодаря которому мож­но было без труда умножать числа. Сегодня никто не задумывается о сложности этого арифметического действия, даже словосочетание «способ умножения» звучит как-то странно, ведь единственный извест­ный большинству алгоритм умножения «в столбик» проходят в третьем классе. А в те далёкие времена умножение было наукой, которой посвящали целые тракта­ты.

Рис. 1. Одно из первых

изданий трактата Непера

В набор для вычислений, описанный Непером (рис. 2), входили: одна палочка с цифрами от 1 до 9 (это указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой палочки были нанесены числа от 1 до 9, а по всей длине результаты умножения этого числа на числа от 1 до 9, причём для записи результата ячейка разделена по диагонали на две части: в верхней записан разряд десятков, а в нижней - единиц (рис. 3).

Палочки были похожи на кости домино, кроме того для их изготовления нередко использовалась слоновая кость.

Для умножения выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Слева прикладывали указатель строк - по нему выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем числа суммировались вдоль диагональной линии. Суммирование проводилось поразрядно с переносом переполнения в стар­ший разряд.

Например, чтобы умножить 187 на 3, необ­ходимо выбрать три палочки, соответствующиее числам 1, 8 и 7, и выстроить их так, как изображено на рисунке 4. Третья строка пока­зывает следующее:

Суммируем два числа, одно из которых находится под диагональю, а другое - над диагональю, но не этого квадрата, а соседнего справа (рис. 5).

Эти суммы и дают нам разряды произведения: 561.

В основу своего счётного устройства Непер положил принцип умножения решёткой, широко распространённый в его время. Для умножения решёткой рисовали таблицу, содержащую столько столбцов, сколько разрядов у множимо­го, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывали множимое так, чтобы разря­ды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывали множитель (рис. 6).

Умножение решёткой

Затем заполняли клетки таблицы результатами умножения разряда множимого, находящегося над этой клеткой, и разряда множителя, находящегося справа от этой клетки. Именно эти дей­ствия Непер и упростил, нанеся таблицу умножения на палочки. Далее произведения суммировались, как и в слу­чае с палочками.

Палочкам Непера была суждена долгая жизнь: несколько веков они использовались для вычислений в самых разных областях деятельности человека. Они повлияли на создание логарифмической линейки, ставшей классическим инженер­ным инструментом XIX и XX веков, и благополучно дожи­ли до эры компьютеров и калькуляторов.

Задания

19. Какую основную цель преследовал Джон Непер, работая над созданием счётного устройства, получившего его имя? Напиши верный номер ответа.

1) привлечь людей к изучению математики;

2) заложить начало новой науки - вычислительной математики;

3) освободить людей от трудности вычислений;

4) разработать новый способ вычислений, отличный от умножения «в столбик».

20. О том, как устроены палочки Непера, говорится во вто­ром абзаце текста. Прочитай его ещё раз и ответь на вопрос: какое число должно быть написано в верхнем квадрате палочки, изображённой на рисунке? Запиши получившееся число.

21. С помощью палочек Непера надо выполнить умножение: 4169·5. Палочки, соответствующие каким числам, надо вы­брать? Запиши номера соответствующихпалочек.

22. Второе название описанного счётного устройства - кости Не­пера. С чем связано это название? Найди в тексте те слова, которые содержат ответ на этот вопрос, и запиши их.

23. С помощью палочек Непера умножают 187 на 4. Используя рисунки 4 и 5, выполни задания А-В.

А. Какую строку надо выбрать?

Б. Запиши все необходимые суммы.

В. Запиши результат.

24. Представь, что тебе надо рассказать младшему брату - третьекласснику, как умножить решёткой двузначное число на одно­значное. Ниже описаны отдельные шаги этого алгоритма. Ис­пользуя рисунок 6 и описание в тексте, запиши для каждого шага его порядковый номер. Первый шаг уже указан: D-1

A. Записываем полученное число.

B. Умножаем разряд единиц множимого на множитель, записываем результат во вторую клетку.

C. Суммируем поразрядно числа в ячейках по диагона­ли.

D. Чертим таблицу с двумя столбцами и одной строкой.

E. Умножаем разряд десятков множимого на множи­тель, записываем результат в первую клетку.

F. Каждую клетку таблицы разделяем по диагонали на две ячейки.

25. Как умножали числа, в разряде которых был 0? Как бы ты умножал(-а) 1807 на 3, используя палочки Непера? Нарисуй схему и запиши ответ: 1807·3=

26. Таня прочитала в энциклопедии, что палочки Непера долгое время использовались для вычислений в астрономии, артилле­рии и других областях, а на родине автора - в Шотлан­дии - на протяжении нескольких столетий они применялись для обучения школьников арифметике. Она пытается понять, чем этот способ был так привлекателен в те времена. У неё есть несколько предположений.