Графики кусочно – заданных функций
Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область
Цель:
- освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
- научиться применять его в простых ситуациях.
Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.
Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.
В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.
1 . Введение
2. Определение линейного сплайна
3. Определение модуля
4. Построение графиков
5. Практическая работа
Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.
Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.
При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).
Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .
a - формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. " width="640"
- Один из способов введения таких разрывов следующий:
Пусть функция y = f(x)
при x определена формулой y = g(x),
а при xa - формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.
Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;
если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.
Графики непрерывных функций
Построить график функции:
У = |X-1| + 1
Х=1 –точка смены формул
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».
Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .
Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.
Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а
0 или х=0 у = -3х -2 при х " width="640"
Построить график функции у = 3|х|-2.
По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0
-3х -2 при х
x n) " width="640"
. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.
Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале
и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )
Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами
График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).
У=|x| - |x – 1|
Точки смены формул: х=0 и х=1.
У(0)=-1, у(1)=1.
График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.
Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).
Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .
Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном
1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0
2.Составим таблицу:
У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;
у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;
у (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;
у(3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .
Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.
1 .Точки смены формул:
х+1=0, х=-1 ;
х=0 ; х-2=0, х=2.
2 . Составим таблицу:
y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.
|x – 1| = |x + 3|
Решите уравнение:
Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|
Построим график функции /методом линейного сплайна/
- Точки смены формул:
х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.
2. Составим таблицу:
y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;
y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;
y(-1) = 0.
y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.
Ответ: -1.
1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:
у = |x – 3| + |x|;
1). Точки смены формул:
2). Составим таблицу:
2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »
А) у = |2x – 4| + |x +1|
1) Точки смены формул:
2) y() =
Б) Постройте графики функций, установите закономерность :
a) у = |х – 4| б) y = |x| +1
y = |x + 3| y = |x| - 3
y = |x – 3| y = |x| - 5
y = |x + 4| y = |x| + 4
Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.
1. Меню «Графики».
2. Вкладка «Построить график».
.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.
Постройте график функции:
1) У = 2х + 4
1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.
2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline
Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.
Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:
y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x < -3.
Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.
Упражнения.
Построить графики кусочных функций:
1)
{-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0 < x ≤ 5.
График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.
Ответ: рисунок 1.
2)
{3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 < x ≤ 4,
{3 – (x – 4) 2 , если x > 4.
Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.
Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.
График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.
График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.
Ответ: рисунок 2.
3)
{8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
{3, если x ≥ 5.
Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.
Ответ: рисунок 3.
4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .
Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:
1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .
Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:
y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x < 0.
Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.
Ответ: рисунок 4.
5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .
Решение.
Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:
1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .
2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
Перепишем.
y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x < 0.
Графики этих функций – параболы.
Ответ: рисунок 5.
6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?
Решение.
Да, существует.
Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
7
Урок по алгебре в 9А классе учителя Микитчук Ж.Н. МОУ «СОШ №23»
19.03.07г
Тема урока:
«Кусочно-заданные функции»
Цели:
- обобщить и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся по указанной теме; воспитывать у учащихся внимательность, сосредоточенность, настойчивость, уверенность в своих знаниях; развивать мыслительные способности, логическое мышление; речевую культуру, умение применять теоретические знания.
- понятие кусочно-заданной функции; формулы различных функций, соответствующие названия и изображения графиков;
- строить график кусочно-заданной функции; читать график; задавать функцию аналитически по графику.
Ход урока
I. Организационно-психологический момент. Начнем наш урок словами Д.К.Фадеева «Какую бы задачу вы не решали, в концевас ждёт счастливая минута – радостноечувство успеха, укрепление веры в свои силы.Пусть эти слова на нашем уроке обретут реальное подтверждение.II. Проверка домашнего задания. Начнем урок как обычно с проверки д/з.-Повторите определение кусочной функции и план исследования функций.1). На доске изобразить придуманные вами графики кусочных функций (рис.1,2,3)2).Карточки .№1. Расставьте порядок исследования свойств функций:- выпуклость; четность, нечётность; область значений; ограниченность; монотонность; непрерывность; наибольшее и наименьшее значение функции; область определения.
А) у = kx + b, k0; Б) y = kx, k0;
В) у = , k0.
3).Устная работа . – 2мин
- Какая функция называется кусочной?
- Из каких функций состоят кусочные функции, изображенные на рис.1,2,3? Какие ещё названия функций вы знаете? Как называются графики соответствующих функций? Является ли графиком какой-либо функции, фигура, изображенная на рис.4? Почему?
- повторить шаги построения кусочно-заданной функции; применять обобщенные знания при решении нестандартных задач.
Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы.Пример: изученная вами в 9-ом классе формула определения сопротивления нагретой лампы (R) при постоянной мощности (Р) и изменяющемся напряжении (U). ФормулаR =
, график – ветвь параболы, расположен-ная в I четверти.На протяжении трёх лет наши знания о функциях обогащались, количество изученных функций росло, пополнялся и набор заданий для решения которых приходится прибегать к графикам.Назовите эти типы заданий…- решение уравнений; - решение систем уравнений; - решение неравенств; - исследование свойств функций. V.Подготовка уч-ся к обобщающей деятельности. Вспомним один из типов заданий, а именно – исследование свойств функций или чтение графика.Обратимся к учебнику. Страница 65 рис.20а из №250.Задание: прочитать график функции. Порядок исследования функции перед нами.1. область определения – (-∞; +∞) 2. четность, нечётность – ни четная, ни нечётная 3. монотонность- возрастает [-3; +∞), убывает [-5;-3], постоянна (-∞; -5]; 4. ограниченность – ограничена снизу 5. наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует; 6. непрерывность- непрерывна на всей области определения; 7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞). VI. Воспроизведение знаний на новом уровне. Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 - №4.19-1).Решение: 1).у = - x, - квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а 0). х -2 -1 0 1 2 у -4 -1 0 1 4 2) у= 3х – 10, - линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х 3
3
у 0 -1
3) у= -3х -10, - линейная функция, график – прямая
Составим таблицу некоторых значений
х -3 -3
у 0 -1
4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.
Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны. Ответ: f(x) 0 при х = 0 и при
3VII.Работа над нестандартными заданиями.
№4.29-1), стр. 121.
Решение:
1)Прямая (слева) у =
kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4
k + b = 0,-2
k + b = 2; 
k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х
-2
у = , если -2
х £
3
3, если х
3
VIII.Контроль знаний. Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3» I вариант№ У
2 1 -1 -1 1 Х
- D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения
Аналитическое задание функции
Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом , если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции.
Пример
- %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb{R}%%;
- %% y = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5%%;
- %% y = \sqrt{x}, x \geq 0%%.
Так, например, в физике при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой %%v = v_0 + a t%%, а формула для перемещения %%s%% тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от %%0%% до %%t%% записывается в виде: %% s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} %%.
Кусочно-заданные функции
Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin{cases} x ^ 2,~ если~x < 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$
Функции такого вида иногда называют составными или кусочно-заданными . Примером такой функции является %%y = |x|%%
Область определения функции
Если функция задана явным аналитическим способом с помощью формулы, но область определения функции в виде множества %%D%% не указана, то под %%D%% будем всегда подразумевать множество значений аргумента %%x%%, при которых данная формула имеет смысл. Так для функции %%y = x^2%% областью определения служит множество %%D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)%%, поскольку аргумент %%x%% может принимать любые значения на числовой прямой . А для функции %%y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}%% областью определения будет множество значений %%x%% удовлетворяющих неравенству %%1 - x^2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.
Преимущества явного аналитического задания функции
Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.
Некоторые из этих действий - алгебраические (сложение, умножение и др.) - хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.
Неявное задание функции
Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.
При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию , имеющую при данном значении аргумента более одного значения.
Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 - 1 = 0%%
и равенство %%y = \sqrt{1 - x}%% определяют одну и ту же функцию.
Параметрическое задание функции
Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде
$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;
тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.
Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.
Графический способ
Пример графического задания функции
Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.
Табличный способ
Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.
Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.
Пример
| x | 3 | 5.1 | 10 | 12.5 |
| y | 9 | 23 | 80 | 110 |
Алгоритмический и словесный способы задания функций
Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.
Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.
Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in }