Przygotowując się do Unified State Exam z matematyki, uczniowie muszą usystematyzować swoją wiedzę z algebry i geometrii. Chciałbym połączyć wszystkie znane informacje, na przykład, jak obliczyć pole piramidy. Co więcej, zaczynając od podstawy i krawędzi bocznych, aż po całą powierzchnię. Jeśli sytuacja ze ścianami bocznymi jest jasna, ponieważ są to trójkąty, wówczas podstawa jest zawsze inna.
Jak znaleźć obszar podstawy piramidy?
Może to być absolutnie dowolna liczba: od dowolny trójkąt do n-gon. A ta podstawa, oprócz różnicy w liczbie kątów, może być figurą regularną lub nieregularną. W zadaniach egzaminu Unified State Exam, które interesują uczniów, znajdują się tylko zadania z prawidłowymi liczbami u podstawy. Dlatego porozmawiamy tylko o nich.
Zwykły trójkąt
Czyli równoboczny. Taki, w którym wszystkie strony są równe i są oznaczone literą „a”. W tym przypadku pole podstawy piramidy oblicza się według wzoru:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kwadrat
Wzór na obliczenie jego powierzchni jest najprostszy, tutaj „a” jest znowu bokiem:
Dowolny regularny n-gon
Bok wielokąta ma takie samo oznaczenie. Dla liczby użytych kątów litera łacińska N.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
Co zrobić przy obliczaniu powierzchni bocznej i całkowitej?
Bo u podstawy leży poprawna figura, to wszystkie ściany piramidy okazują się równe. Co więcej, każdy z nich jest trójkątem równoramiennym, ponieważ żebra boczne są równe. Następnie w celu obliczenia obszar boczny piramidy, będziesz potrzebować wzoru składającego się z sumy identycznych jednomianów. Liczbę wyrazów określa liczba boków podstawy.
Kwadrat Trójkąt równoramienny oblicza się za pomocą wzoru, w którym połowa iloczynu podstawy jest mnożona przez wysokość. Ta wysokość w piramidzie nazywa się apothem. Jego oznaczenie to „A”. Ogólna formuła dla powierzchni bocznej wygląda to następująco:
S = ½ P*A, gdzie P jest obwodem podstawy piramidy.
Zdarzają się sytuacje, gdy nie są znane boki podstawy, ale podane są krawędzie boczne (c) i kąt płaski na jej wierzchołku (α). Następnie należy skorzystać z następującego wzoru, aby obliczyć pole boczne piramidy:
S = n/2 * in 2 sin α .
Zadanie nr 1
Stan : schorzenie. Znajdować Całkowita powierzchnia piramida, jeśli jej podstawa ma bok 4 cm, a apotem ma wartość √3 cm.
Rozwiązanie. Musisz zacząć od obliczenia obwodu podstawy. Ponieważ to zwykły trójkąt, wtedy P = 3*4 = 12 cm Ponieważ apotem jest znany, możemy od razu obliczyć pole całej powierzchni bocznej: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Dla trójkąta u podstawy otrzymujemy następującą wartość pola: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Aby wyznaczyć całą powierzchnię, należy dodać dwie otrzymane wartości: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odpowiedź. 10√3 cm 2.
Problem nr 2
Stan. Istnieje regularna czworokątna piramida. Długość boku podstawy wynosi 7 mm, krawędź boku 16 mm. Konieczne jest sprawdzenie jego powierzchni.
Rozwiązanie. Ponieważ wielościan jest czworokątny i regularny, jego podstawą jest kwadrat. Kiedy już poznasz pole podstawy i ścian bocznych, będziesz mógł obliczyć pole piramidy. Wzór na kwadrat podano powyżej. A w przypadku ścian bocznych znane są wszystkie boki trójkąta. Dlatego możesz użyć wzoru Herona do obliczenia ich pól.
Pierwsze obliczenia są proste i prowadzą do następującej liczby: 49 mm 2. Dla drugiej wartości musisz obliczyć półobwód: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Teraz możesz obliczyć pole trójkąta równoramiennego: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Istnieją tylko cztery takie trójkąty, więc przy obliczaniu ostatecznej liczby należy ją pomnożyć przez 4.
Okazuje się: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odpowiedź. Pożądana wartość to 267,576 mm2.
Zadanie nr 3
Stan. Poprawny czworokątna piramida musisz obliczyć pole. Wiadomo, że bok kwadratu ma długość 6 cm, a wysokość 4 cm.
Rozwiązanie. Najłatwiej jest użyć wzoru na iloczyn obwodu i apotema. Pierwszą wartość łatwo znaleźć. Drugie jest trochę bardziej skomplikowane.
Będziemy musieli pamiętać o twierdzeniu Pitagorasa i rozważyć Jest ono utworzone przez wysokość piramidy i apothem, czyli przeciwprostokątną. Druga noga równy połowie bokach kwadratu, gdyż wysokość wielościanu przypada na jego środek.
Poszukiwany apotem (przeciwprostokątna trójkąt prostokątny) jest równe √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Teraz możesz obliczyć wymaganą wartość: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odpowiedź. 96cm2.
Problem nr 4
Stan : schorzenie. Dana właściwa strona jego podstawy mają 22 mm, boczne żebra 61 mm. Jakie jest pole powierzchni bocznej tego wielościanu?
Rozwiązanie. Rozumowanie w nim jest takie samo jak opisane w zadaniu nr 2. Tylko tam dano piramidę z kwadratem u podstawy, a teraz jest to sześciokąt.
W pierwszej kolejności pole podstawy obliczamy korzystając z powyższego wzoru: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm 2.
Teraz musisz znaleźć półobwód trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną. (22+61*2):2 = 72 cm Pozostaje tylko obliczyć pole każdego takiego trójkąta ze wzoru Herona, a następnie pomnożyć je przez sześć i dodać do otrzymanego dla podstawy.
Obliczenia z wykorzystaniem wzoru Herona: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Obliczenia, które dadzą powierzchnię boczną: 660 * 6 = 3960 cm 2. Pozostaje je dodać, aby znaleźć całą powierzchnię: 5217,47≈5217 cm 2.
Odpowiedź. Podstawa ma wymiary 726√3 cm2, powierzchnia boku wynosi 3960 cm2, a całe pole wynosi 5217 cm2.
Cylinder to figura składająca się z cylindrycznej powierzchni i dwóch równoległych okręgów. Obliczanie pola cylindra jest problemem w geometrycznej gałęzi matematyki, który można rozwiązać po prostu. Metod jego rozwiązania jest kilka, które ostatecznie zawsze sprowadzają się do jednego wzoru.
Jak znaleźć pole cylindra - zasady obliczeń
- Aby obliczyć powierzchnię cylindra, należy dodać dwa obszary podstawy do pola powierzchni bocznej: S = Sside + 2Sbase. W bardziej szczegółowej wersji wzór ten wygląda następująco: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Pole powierzchni bocznej danej bryły geometrycznej można obliczyć, jeśli znana jest jej wysokość i promień okręgu leżącego u jej podstawy. W w tym przypadku można wyrazić promień z obwodu koła, jeśli jest dany. Wysokość można znaleźć, jeśli w warunku podana jest wartość generatora. W tym przypadku tworząca będzie równa wysokości. Wzór na powierzchnię boczną dane ciało wygląda następująco: S= 2 π rh.
- Pole podstawy oblicza się za pomocą wzoru na znalezienie pola koła: S osn= π r 2 . W niektórych przypadkach promień może nie zostać podany, ale można podać obwód. Za pomocą tego wzoru promień wyraża się dość łatwo. С=2π r, r= С/2π. Trzeba też pamiętać, że promień to połowa średnicy.
- Przy wykonywaniu tych wszystkich obliczeń liczba π zwykle nie przekłada się na 3,14159... Wystarczy ją dodać obok wartość numeryczna, który uzyskano w wyniku obliczeń.
- Następnie wystarczy pomnożyć znaleziony obszar podstawy przez 2 i dodać do otrzymanej liczby obliczony obszar powierzchni bocznej figury.
- Jeśli problem wskazuje, że cylinder zawiera przekrój osiowy a to jest prostokąt, to rozwiązanie będzie nieco inne. W tym przypadku szerokość prostokąta będzie średnicą okręgu leżącego u podstawy ciała. Długość figury będzie równa tworzącej lub wysokości cylindra. Trzeba obliczyć wymagane wartości i już zamień dobrze znana formuła. W takim przypadku szerokość prostokąta należy podzielić przez dwa, aby znaleźć pole podstawy. Aby znaleźć powierzchnię boczną, długość mnoży się przez dwa promienie i liczbę π.
- Pole danej bryły geometrycznej możesz obliczyć poprzez jej objętość. Aby to zrobić, należy wyprowadzić brakującą wartość ze wzoru V=π r 2 h.
- Obliczanie powierzchni cylindra nie jest skomplikowane. Wystarczy znać wzory i umieć z nich wyprowadzić wielkości niezbędne do przeprowadzenia obliczeń.
Piramida- jedna z odmian wielościanu utworzonego z wielokątów i trójkątów leżących u podstawy i stanowiących jego ściany.
Co więcej, na szczycie piramidy (tj. w jednym punkcie) wszystkie twarze są zjednoczone.
Aby obliczyć pole piramidy, warto ustalić, że jest to powierzchnia boczna składa się z kilku trójkątów. I możemy łatwo znaleźć ich obszary za pomocą
różne formuły. W zależności od tego, jakie dane znamy o trójkątach, szukamy ich pola.
Podajemy kilka formuł, których można użyć do znalezienia obszaru trójkątów:
- S = (a*h)/2 . W tym przypadku znamy wysokość trójkąta H , który jest obniżony na bok A .
- S = a*b*sinβ . Oto boki trójkąta A , B , a kąt między nimi wynosi β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Oto boki trójkąta a, b, c . Promień okręgu wpisanego w trójkąt wynosi R .
- S = (a*b*c)/4*R . Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ta formuła należy stosować tylko wtedy, gdy trójkąt jest trójkątem prostokątnym.
- S = (a²*√3)/4 . Stosujemy ten wzór do trójkąta równobocznego.
Dopiero po obliczeniu pól wszystkich trójkątów będących ścianami naszej piramidy możemy obliczyć pole jej powierzchni bocznej. W tym celu skorzystamy z powyższych formuł.
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej piramidy, nie ma żadnych trudności: musisz znaleźć sumę pól wszystkich trójkątów. Wyraźmy to za pomocą wzoru:
Sp = ΣSi
Tutaj Si jest obszarem pierwszego trójkąta i S P - obszar bocznej powierzchni piramidy.
Spójrzmy na przykład. Dana zwykła piramida, jej boczne twarze utworzony przez kilka trójkątów równobocznych,
« Geometria jest najpotężniejszym narzędziem wyostrzającym nasze zdolności umysłowe».
Galileo Galilei.
a kwadrat jest podstawą piramidy. Ponadto krawędź piramidy ma długość 17 cm. Znajdźmy pole powierzchni bocznej tej piramidy.
Rozumujemy w ten sposób: wiemy, że ściany piramidy są trójkątami, są równoboczne. Wiemy również, jaka jest długość krawędzi tej piramidy. Wynika z tego, że wszystkie trójkąty są równe boki, ich długość wynosi 17 cm.
Aby obliczyć powierzchnię każdego z tych trójkątów, możesz skorzystać z następującego wzoru:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Skoro więc wiemy, że kwadrat leży u podstawy piramidy, okazuje się, że mamy cztery trójkąt równoboczny. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy można łatwo obliczyć za pomocą następującą formułę: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Nasza odpowiedź jest następująca: 500,548 cm² - jest to powierzchnia bocznej powierzchni tej piramidy.
Równoległościan to czworokątny pryzmat z równoległobokiem u podstawy. Istnieją gotowe wzory do obliczania bocznych i pełny obszar powierzchnie figury, dla których potrzebne są tylko długości trzech wymiarów równoległościanu.
Jak znaleźć pole powierzchni bocznej prostokątnego równoległościanu
Konieczne jest rozróżnienie prostokątnego i prostego równoległościanu. Podstawą figury prostej może być dowolny równoległobok. Pole takiej figury należy obliczyć za pomocą innych wzorów.
Sumę S ścian bocznych równoległościanu prostokątnego oblicza się za pomocą prostego wzoru P*h, gdzie P to obwód, a h to wysokość. Rysunek pokazuje, że przeciwległe boki prostokątnego równoległościanu są równe, a wysokość h pokrywa się z długością krawędzi prostopadłych do podstawy.
Pole powierzchni prostopadłościanu
Całkowita powierzchnia figury składa się z boku i obszaru 2 podstaw. Jak znaleźć obszar prostokątnego równoległościanu:
Gdzie a, b i c są wymiarami bryły geometrycznej.
Opisane wzory są łatwe do zrozumienia i przydatne w rozwiązywaniu wielu problemów geometrycznych. Przykład typowe zadanie przedstawione na poniższym obrazku.
Rozwiązując problemy tego typu, należy pamiętać, że podstawa czworokątny pryzmat jest wybierany losowo. Jeśli za podstawę przyjmiemy twarz o wymiarach x i 3, wówczas wartości Sside będą inne, a Stotal pozostanie 94 cm2.
Powierzchnia sześcianu
Kostka jest prostopadłościan, w którym wszystkie 3 wymiary są sobie równe. Pod tym względem wzory na powierzchnię całkowitą i boczną sześcianu różnią się od standardowych.
Obwód sześcianu wynosi 4a, zatem Sside = 4*a*a = 4*a2. Wyrażenia te nie są wymagane do zapamiętywania, ale znacznie przyspieszają rozwiązywanie zadań.
Cylinder jest geometryczne ciało, ograniczone do dwóch płaszczyzny równoległe I powierzchnia cylindryczna. W artykule porozmawiamy o tym, jak znaleźć pole cylindra i korzystając ze wzoru, rozwiążemy na przykład kilka problemów.
Cylinder ma trzy powierzchnie: górę, podstawę i powierzchnię boczną.
Góra i podstawa cylindra mają kształt okręgów i są łatwe do zidentyfikowania.
Wiadomo, że pole koła jest równe πr 2. Dlatego wzór na pole dwóch okręgów (góry i podstawy walca) będzie wynosił πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Trzecia, boczna powierzchnia cylindra, to zakrzywiona ściana cylindra. Aby lepiej wyobrazić sobie tę powierzchnię, spróbujmy ją przekształcić, aby uzyskać rozpoznawalny kształt. Wyobraź sobie, że cylinder to zwykła puszka, która nie ma górnej pokrywy ani dna. Zróbmy pionowe nacięcie na bocznej ściance od góry do dołu puszki (Krok 1 na rysunku) i spróbujmy maksymalnie otworzyć (wyprostować) powstałą figurę (Krok 2).
Po całkowitym otwarciu powstałego słoika zobaczymy znajomą figurę (krok 3), jest to prostokąt. Pole prostokąta jest łatwe do obliczenia. Ale zanim to wróćmy na chwilę do oryginalnego cylindra. Wierzchołek pierwotnego walca jest okręgiem, a wiemy, że obwód oblicza się ze wzoru: L = 2πr. Na rysunku jest on zaznaczony na czerwono.
Kiedy ścianka boczna cylindra jest całkowicie otwarta, widzimy, że obwód staje się długością powstałego prostokąta. Bokami tego prostokąta będzie obwód (L = 2πr) i wysokość walca (h). Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego boków - S = długość x szerokość = L x h = 2πr x h = 2πrh. W rezultacie otrzymaliśmy wzór do obliczenia pola powierzchni bocznej cylindra.
Wzór na powierzchnię boczną cylindra
Strona S = 2πrh
Całkowita powierzchnia cylindra
Na koniec, jeśli dodamy obszar wszystkich trzy powierzchnie, otrzymujemy wzór na pole pełna powierzchnia cylinder. Pole powierzchni cylindra jest równe powierzchni górnej części cylindra + powierzchni podstawy cylindra + powierzchni bocznej cylindra lub S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Czasami wyrażenie to zapisuje się identycznie jak wzór 2πr (r + h).
Wzór na całkowitą powierzchnię cylindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – promień cylindra, h – wysokość cylindra
Przykłady obliczania pola powierzchni cylindra
Aby zrozumieć powyższe wzory, spróbujmy obliczyć pole powierzchni walca na przykładach.
1. Promień podstawy cylindra wynosi 2, wysokość wynosi 3. Określ pole powierzchni bocznej cylindra.
Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru: bok S. = 2πrh
Strona S = 2 * 3,14 * 2 * 3
Strona S = 6,28 * 6
Strona S = 37,68
Pole powierzchni bocznej cylindra wynosi 37,68.
2. Jak znaleźć powierzchnię walca, jeśli wysokość wynosi 4, a promień wynosi 6?
Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24