Wyrażenie slangowe„Vpiska” jest używana w komunikacji od dawna. W tym poście szczegółowo przeanalizujemy znaczenie tego słowa, które stało się bardzo popularne wśród młodych ludzi.
Co to znaczy?
Czyli w slangu - zaproszenie do zabawy hałaśliwe towarzystwo w czyimś mieszkaniu. Nawiasem mówiąc, żargon pojawił się w czasach sowieckich, kiedy młodzi ludzie szukali wolnego mieszkania do rozrywki i rekreacji.
Założyciele niezwykłe słowo stali się członkami subkultury hippisowskiej. Chłopaki często podróżowali po kraju, a z braku środków finansowych nocowali w domach lub mieszkaniach swoich przyjaciół, znajomych, a nawet nieznajomych. Takie noclegi nazywano zwykle „napisami”.
Spotykać się z kimś zapisy dla nastolatków- są to wizyty w domu lub mieszkaniu, które wiążą się z późniejszym noclegiem. Takie spotkania zapowiadają się hałaśliwie i długo. Przy kasach pije się napoje alkoholowe.
Bardzo często tego typu imprezy odbywają się u znajomych, gdy rodzice nastolatków wyjeżdżają na wakacje lub w podróż służbową. Najważniejsze to mieć puste mieszkanie, dom, a nawet daczę.
W niektórych przypadkach rejestracja na slang młodzieżowy może oznaczać tymczasowe przebywanie w czyimś mieszkaniu przez kilka dni.
Główny cel wydarzenia
Jaki jest cel takich partii? To proste. Ruch młodzieżowy zorganizowany jest z dala od dorosłych, którzy często zanudzają nastolatków naukami, instrukcjami i radami. Chłopaki chcą być z dala od starszych i dobrze się bawić.
Nawiasem mówiąc, czasami rejestracja jest uważana tylko za nocleg. Na przykład dana osoba nie ma pieniędzy na hotel lub czynsz, ale potrzebuje miejsca na nocleg. Albo ktoś po prostu spóźnił się na ostatni autobus lub tramwaj i właściciel apartamentu, żeby nie wyrzucić gościa przy takim późna pora, pozostawia to na noc (takie przypadki nazywane są „nieplanowaną rejestracją”).
Rodzaje przyjęć
Co robią przy tzw. „rejestracjach”? Wszystko zależy od rodzaju wydarzenia. Teraz opowiemy bardziej szczegółowo o każdym z nich.
Legion
Jeden z najbezpieczniejszych i najbardziej nieszkodliwych wpisów. Na takie wydarzenie przychodzą ludzie, którzy dobrze się znają. Gromadzą się nie tylko po to, żeby napić się alkoholu, ale także, żeby ciekawa komunikacja. Mały niuans: początkowo chłopaki zbierają się w legionach, a potem zapraszają nieznane dziewczyny do odwiedzenia. Często odbywa się to za pośrednictwem mediów społecznościowych.
Płaski
Kolejny całkowicie nieszkodliwy rodzaj wpisu. Chłopaki spotykają się, żeby razem robić to, co kochają. Może to być słuchanie muzyki lub granie w gry komputerowe.
Łódź podwodna
Mnoży się slang młodzieżowy podobne wyrażenie. Co to znaczy? Okazało się, Łódź podwodna- To niezwykły wpis, w którym młodzi ludzie zamykają się w mieszkaniu lub wiejskim domu, aby się zabawić. Jej celem jest wyrzeczenie znajomy świat. Dopóki trwa „łódź podwodna”, nie można opuszczać lokalu, domu ani mieszkania, korzystanie z nich jest zabronione telefony komórkowe i urządzenia elektryczne.
Od strony
Taka rejestracja jest uważana za niebezpieczną, ponieważ przychodzą do niej osoby, które się nie znają. Kolejnym problemem związanym z wydarzeniem jest to, że można je odwołać w ostatniej chwili.
Impreza drogowa
Impreza gdzieś w drodze. Zwykle młodzi ludzie gromadzą się w przedziale wagonu sypialnego.
Gwar
Słowo przetłumaczone z angielskiego oznacza „zmiażdżyć”. Są to zapisy przy tak dużej liczbie osób, że w mieszkaniu po prostu nie ma już miejsca. wolna przestrzeń. Nawiasem mówiąc, nie wszystkim nastolatkom podoba się ten stan rzeczy. Ale z drugiej strony jest to świetna okazja, aby spotkać kogoś, kto zaprosi Cię na kolejną imprezę.
Vpiska-kiełbasa
Impreza, na którą nie przyszła żadna z zaproszonych dziewcząt.
Jak się zarejestrować?
Rejestracja jest łatwa. Możesz po prostu skorzystać z wyszukiwarki sieć społeczna"W kontakcie z". Łatwo znaleźć tam użytkownika, który zbiera facetów u siebie w domu na imprezę na jedną lub kilka nocy.
Warto jednak pamiętać, że biorąc udział w takich wydarzeniach, należy zachować ostrożność, ponieważ konsekwencje mogą być najbardziej nieprzewidywalne!
Czy są jakieś zasady?
Aby „dopasować się” do dowolnego tłumu, powinieneś wiedzieć, że taki istnieje pewne zasady zachowanie na takich imprezach.
Warunkiem jest uprzejmość wobec obecnych. Pytanie, gdzie spać w mieszkaniu, uważa się za nieprzyzwoite. Właściciel może sam wskazać miejsce do spania, ale zazwyczaj goście siedzą bezpośrednio na podłodze.
Zabrania się zabierania rzeczy należących do właściciela domu, a w szczególności wynoszenia ich poza dom bez pytania. Z telefonu i łazienki można korzystać wyłącznie za zgodą właściciela.
Na rejestrację wskazane jest zabranie ze sobą jedzenia i napojów alkoholowych!
Nawet więcej interesująca informacja O zapisach dowiesz się z filmu:
Teraz wiesz wszystko o tych imprezach!
"Koło" Widzieliśmy, że na każdym trójkącie można opisać okrąg. Oznacza to, że dla każdego trójkąta istnieje okrąg taki, że wszystkie trzy wierzchołki trójkąta „siedzą” na nim. Lubię to:
Pytanie: czy to samo można powiedzieć o czworokącie? Czy to prawda, że zawsze będzie okrąg, na którym „siedzą” wszystkie cztery wierzchołki czworoboku?
Okazuje się, że to NIEPRAWDA! W czworokąt NIE ZAWSZE można wpisać okrąg. Jest bardzo ważny warunek:
Na naszym zdjęciu:
| . |
Spójrz, kąty i leżą naprzeciw siebie, co oznacza, że są przeciwne. A co z kątami i? Oni też wydają się być przeciwieństwami? Czy można przyjmować kąty i zamiast kątów i?
Oczywiście, że możesz! Najważniejsze jest to, że czworokąt ma jakieś dwa przeciwne kąty, których suma będzie. Pozostałe dwa kąty również się sumują. Nie wierz? Upewnijmy się. Patrzeć:
Zostawiać. Czy pamiętasz, jaka jest suma wszystkich czterech kątów dowolnego czworokąta? Z pewnością, . To znaczy - zawsze! . Ale → .
Magia tam!
Więc zapamiętaj to bardzo mocno:
Jeśli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma dowolnych dwóch z nich przeciwne rogi równy
i wzajemnie:
Jeśli czworokąt ma dwa przeciwne kąty, których suma jest równa, to czworokąt jest cykliczny.
Nie będziemy tego tutaj udowadniać (jeśli jesteś zainteresowany, zajrzyj na kolejne poziomy teorii). Ale zobaczmy, do czego prowadzi ten niezwykły fakt: w czworokącie wpisanym suma przeciwnych kątów jest równa.
Nasuwa się na przykład pytanie: czy można opisać okrąg wokół równoległoboku? Wypróbujmy najpierw „metodę szturchania”.
Jakoś to nie wychodzi.
Teraz zastosujmy wiedzę:
Załóżmy, że jakimś cudem udało nam się zmieścić okrąg na równoległoboku. Zatem z pewnością musi być: , to znaczy.
Przypomnijmy sobie teraz właściwości równoległoboku:
Każdy równoległobok ma równe przeciwne kąty.
Okazało się że
A co z kątami i? Cóż, oczywiście to samo.
Wpisano → →
Równoległobok → →
Niesamowite, prawda?
Okazuje się, że jeśli równoległobok wpisano w okrąg, to wszystkie jego kąty są równe, czyli jest to prostokąt!
I w tym samym czasie - środek okręgu pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych tego prostokąta. Jest to, że tak powiem, uwzględnione jako bonus.
A to oznacza, że dowiedzieliśmy się, że równoległobok wpisany w okrąg jest prostokąt.
Porozmawiajmy teraz o trapezie. Co się stanie, jeśli trapez zostanie wpisany w okrąg? Okazuje się jednak, że będzie trapez równoramienny . Dlaczego?
Niech trapez będzie wpisany w okrąg. Z drugiej strony, ale ze względu na równoległość linii i.
Oznacza to, że mamy: → → trapez równoramienny.
Jeszcze łatwiej niż z prostokątem, prawda? Ale musisz mocno pamiętać - przyda się:
Wymieńmy jeszcze raz te najważniejsze główne stwierdzenia styczna do czworokąta wpisanego w okrąg:
- Czworokąt wpisano w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego dwóch przeciwległych kątów jest równa
- Z pewnością równoległobok wpisany w okrąg prostokąt a środek okręgu pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych
- Trapez wpisany w okrąg jest równoboczny.
Wpisany czworokąt. Średni poziom
Wiadomo, że dla każdego trójkąta istnieje okrąg opisany (udowodniliśmy to w temacie „Okrąg opisany”). Co można powiedzieć o czworoboku? Okazało się, że NIE KAŻDY czworokąt daje się wpisać w okrąg, i istnieje takie twierdzenie:
Czworokąt wpisano w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego przeciwległych kątów jest równa.
Na naszym rysunku -
Spróbujmy zrozumieć, dlaczego tak jest? Innymi słowy, udowodnimy teraz to twierdzenie. Ale zanim to udowodnisz, musisz zrozumieć, jak działa samo stwierdzenie. Czy zwróciłeś uwagę na słowa „wtedy i tylko wtedy” w tym stwierdzeniu? Takie słowa oznaczają, że szkodliwi matematycy upchnęli dwa stwierdzenia w jednym.
Rozszyfrujmy:
- „Wtedy” oznacza: Jeśli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma dowolnych dwóch jego przeciwnych kątów jest równa.
- „Tylko wtedy” oznacza: Jeżeli czworokąt ma dwa przeciwne kąty, których suma jest równa, to taki czworokąt można wpisać w okrąg.
Podobnie jak Alicja: „Myślę, co mówię” i „Mówię, co myślę”.
Zastanówmy się teraz, dlaczego zarówno 1, jak i 2 są prawdziwe?
Pierwszy 1.
Niech czworokąt będzie wpisany w okrąg. Zaznaczmy jego środek i narysujmy promienie i. Co się stanie? Czy pamiętasz, że kąt wpisany jest o połowę mniejszy od odpowiadającego mu kąta środkowego? Jeśli pamiętasz, skorzystamy z niego teraz, a jeśli nie, zerknij do tematu "Koło. Kąt wpisany”.
Wpisany
Wpisany
Ale spójrz: .
Otrzymujemy, że jeśli - jest wpisane, to
Cóż, jasne jest, że to również się sumuje. (też musimy to rozważyć).
Teraz „odwrotnie”, czyli 2.
Niech się okaże, że w czworokącie suma dwóch przeciwległych kątów jest równa. Powiedzmy niech
Nie wiemy jeszcze, czy potrafimy opisać okrąg wokół niego. Ale wiemy na pewno, że mamy gwarancję, że będziemy w stanie opisać okrąg wokół trójkąta. Więc zróbmy to.
Jeśli punkt nie „siedzi” na okręgu, to nieuchronnie znajdzie się albo na zewnątrz, albo wewnątrz.
Rozważmy oba przypadki.
Niech najpierw punkt będzie na zewnątrz. Następnie odcinek przecina w pewnym punkcie okrąg. Połączmy się i. Rezultatem jest wpisany (!) czworobok.
Wiemy już o tym, że suma jego przeciwnych kątów jest równa, czyli i zgodnie z naszym warunkiem.
Okazuje się, że tak właśnie powinno być.
Ale to nie może być spowodowane tym, że... narożnik zewnętrzny dla i oznacza.
A co z wnętrzem? Zróbmy podobne rzeczy. Niech sprawa będzie wewnątrz.
Następnie kontynuacja odcinka przecina okrąg w punkcie. Znowu - czworobok wpisany i zgodnie z warunkiem musi być spełniony, ale - kąt zewnętrzny dla i środków, czyli znowu nie może nim być.
Oznacza to, że punkt nie może znajdować się ani na zewnątrz, ani wewnątrz okręgu - to znaczy, że znajduje się na okręgu!
Całe twierdzenie zostało udowodnione!
Zobaczmy teraz, jakie dobre konsekwencje daje to twierdzenie.
Wniosek 1
Równoległobok wpisany w okrąg może być tylko prostokątem.
Rozumiemy, dlaczego tak jest. Niech równoległobok zostanie wpisany w okrąg. Wtedy należy to zrobić.
Ale z właściwości równoległoboku wiemy to.
I to samo, oczywiście, jeśli chodzi o kąty i.
Okazuje się, że jest to prostokąt - wszystkie rogi są wzdłuż.
Ale dodatkowo jest dodatkowy przyjemny fakt: środek okręgu opisanego na prostokącie pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych.
Rozumiemy dlaczego. Mam nadzieję, że dobrze pamiętasz, że kąt wyznaczony przez średnicę jest linią prostą.
Średnica,
Średnica
co oznacza, że jest to centrum. To wszystko.
Konsekwencja 2
Trapez wpisany w okrąg to równoramienny.
Niech trapez będzie wpisany w okrąg. Następnie.
I również.
Czy omówiliśmy wszystko? Nie bardzo. W rzeczywistości istnieje inny, „tajny” sposób rozpoznania wpisanego czworoboku. Metody tej nie będziemy formułować bardzo ściśle (ale jasno), ale udowodnimy ją dopiero na ostatnim poziomie teorii.
Jeżeli w czworokąt można zaobserwować taki obraz jak tutaj na rysunku (tutaj kąty „patrzą” na boki punktów i są równe), to taki czworobok jest wpisany.
To bardzo ważny rysunek - w problemach często łatwiej go znaleźć równe kąty, niż suma kątów i.
Mimo całkowitego braku rygoru w naszym sformułowaniu jest ono prawidłowe, a co więcej, zawsze akceptowane przez egzaminatorów Unified State Exam. Powinieneś napisać coś takiego:
„- wpisano” - i wszystko będzie dobrze!
Nie zapomnij o tym ważny znak- zapamiętaj zdjęcie, a być może przyciągnie ono Twoją uwagę w czasie rozwiązywania problemu.
Wpisany czworokąt. Krótki opis i podstawowe wzory
Jeśli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma dowolnych dwóch jego przeciwnych kątów jest równa
i wzajemnie:
Jeśli czworokąt ma dwa przeciwne kąty, których suma jest równa, to czworokąt jest cykliczny. 
Czworokąt wpisano w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego dwóch przeciwległych kątów jest równa.
Równoległobok wpisany w okrąg- z pewnością prostokąt, a środek okręgu pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych.
Trapez wpisany w okrąg to równoramienny.
W przypadku trójkąta możliwe jest zawsze zarówno okrąg wpisany, jak i okrąg opisany.
W czworokąt można wpisać okrąg tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych boków są takie same. Ze wszystkich równoległoboków tylko romb i kwadrat można wpisać w okrąg. Jego środek leży na przecięciu przekątnych.
Okrąg można opisać wokół czworoboku tylko wtedy, gdy suma przeciwległych kątów wynosi 180°. Ze wszystkich równoległoboków tylko prostokąt i kwadrat można opisać jako okrąg. Jego środek leży na przecięciu przekątnych.
Można opisać okrąg wokół trapezu lub można wpisać okrąg w trapez, jeśli trapez jest równoramienny.
Okrągśrodkowy
Twierdzenie. Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych do boków trójkąta.
Środek okręgu opisanego na wielokącie jest punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych do boków tego wielokąta.
Środkowy okrąg wpisany
Definicja. Wpisany w wypukły wielokąt okrąg to okrąg, który dotyka wszystkich boków tego wielokąta (tzn. każdy z boków wielokąta jest styczny do okręgu).
Środek okręgu wpisanego leży wewnątrz wielokąta.
Wielokąt, w który wpisano okrąg, nazywa się opisanym.
W wielokąt wypukły można wpisać okrąg, jeżeli dwusieczne jego całego narożniki wewnętrzne przecinają się w jednym punkcie.
Środek okręgu wpisanego w wielokąt- punkt przecięcia jego dwusiecznych.
Środek okręgu wpisanego jest w jednakowej odległości od boków wielokąta. Odległość od środka do dowolnego boku jest równa promieniowi okręgu wpisanego.Zgodnie z właściwością stycznych poprowadzonych z jednego punktu, każdy wierzchołek opisanego wielokąta jest w jednakowej odległości od punktów stycznych leżących na bokach wychodzących z tego wierzchołka.
W dowolny trójkąt można wpisać okrąg. Środek okręgu wpisanego w trójkąt nazywa się środkiem.
Okrąg można wpisać w czworokąt wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy jest to suma jego długości przeciwne strony są równe. W szczególności w trapez można wpisać okrąg, jeśli suma jego podstaw jest równa sumie jego boków.
W dowolny wielokąt foremny można wpisać okrąg. Wokół dowolnego regularny wielokąt Możesz także opisać okrąg. Środek okręgu wpisanego i okręgu opisanego leży w środku foremnego wielokąta.
Dla dowolnego wielokąta opisanego promień okręgu wpisanego można obliczyć za pomocą wzoru
Gdzie S jest obszarem wielokąta, p jest jego półobwodem.
Regularne n-gon - wzory
Wzory na długość boku regularnego n-kąta
1. Wzór na bok regularnego n-kąta w funkcji promienia okręgu wpisanego:
2. Wzór na bok n-kąta foremnego w funkcji promienia opisanego okręgu:
Wzór na promień okręgu regularnego n-kąta
Wzór na promień okręgu wpisanego w n-kąt na podstawie długości boku:
4. Wzór na promień obrzezania zwykły trójkąt długość boku:
6. Wzór na pole trójkąta foremnego w odniesieniu do promienia okręgu wpisanego: S = r 2 3√3
7. Wzór na pole trójkąta foremnego w odniesieniu do promienia okręgu opisanego:
4. Wzór na promień obwodu foremnego czworoboku ze względu na długość boku:
2. Formuła poboczna zwykły sześciokąt przez promień opisanego okręgu: a = R
3. Wzór na promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny w zależności od długości boku:
6. Wzór na pole sześciokąta foremnego w odniesieniu do promienia okręgu wpisanego: S = r 2 2√3
7. Wzór na pole sześciokąta foremnego w odniesieniu do promienia okręgu opisanego:
| S= | R 2 3√3 |
8. Kąt między bokami sześciokąta foremnego: α = 120°
Znaczenie liczby(wyraźny "Liczba Pi") - stała matematyczna, równy stosunkowi
obwód koła do długości jego średnicy, wyraża się to jako nieskończony ułamek dziesiętny.
Oznaczone literą „pi” alfabetu greckiego. Ile wynosi pi? W proste przypadki Wystarczy znać pierwsze 3 znaki (3.14).
53. Znajdź długość łuku koła o promieniu R odpowiadającego kątowi środkowemu n°
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu, nazywa się kątem 1 radiana.
Miara stopnia kąta 1 radiana wynosi:
Od długości łuku π
R (półkole), wynika kąt środkowy o 180 °
, następnie łuk o długości R opiera się na tym kącie π
razy mniejsze, tj. 
I wzajemnie
Ponieważ π = 3,14, następnie 1 rad = 57,3°
Jeśli kąt zawiera A radian, potem to miara stopnia równy 
I wzajemnie 
Zwykle przy oznaczaniu miary kąta w radianach pomija się nazwę „rad”.
Na przykład 360° = 2π rad, piszą 360° = 2π
Tabela pokazuje najczęściej spotykane kąty w stopniach i radianach.
WCHODZIĆ
WCHODZIĆ
1. ktoś-co. Zapisz, wprowadź, umieść na liście (oficjalne).
2. Co. Atrybut pomiędzy, w pobliżu tego, co jest napisane. Uzupełnij brakujące słowa.
3. Co. Narysuj jedną figurę wewnątrz drugiej tak, aby była wpisana (w 2 wartościach, mat.). Wpisz trójkąt w okrąg.
Słownik wyjaśniający Uszakowa. D.N. Uszakow. 1935-1940.
Antonimy:
Zobacz, co kryje się pod słowem „ENTER” w innych słownikach:
Zapisz, wpisz, wpisz. Mrówka. usuń Słownik rosyjskich synonimów. wprowadź wstaw, wprowadź, wprowadź zobacz także zapisz Słownik synonimów języka rosyjskiego. Praktyczny przewodnik. M.: Język rosyjski. Z. E. Alexandrova ... Słownik synonimów
WEJDŹ, patrzę, patrzę; isan; Suwerenny 1. kogo (co) w co. Po napisaniu wpisz, podaj gdzie n. B. cytat w tekście. B. nazwisko na liście. V. chwalebna karta historii (tłum. wysoka). 2. co. W matematyce: narysuj jedną figurę w drugiej za pomocą... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa
Wchodzić- Co jest co. Wpisz brakujące słowo w tekście. Kto w chwili gniewu nie żądał od nich [ zawiadowcy stacji] fatalna książka, aby zapisać w niej swoją bezużyteczną skargę... (Puszkin) ... Słownik kontrolny
Wchodzić- WEJDŹ, och, och; Niesow. (sowa. ENTER, wejdę, ty wejdziesz). 1. kto dokąd idzie. Niech przenocują; spać. 2. do kogo, gdzie. Uderz uderz. Włóż mu haczyk w usta (w twarz)... Słownik rosyjskiego argotu
Wchodzić- Piszę/, piszę/szyję; wpisany; san, a, o; Św. Zobacz też wpisz, zmieść, wpisz co 1) Wstaw co l. dodatkowo do już napisanego tekstu; wstawić wstawkę, postscriptum pomiędzy lub w pobliżu tego, co jest napisane, wydrukowane... Słownik wielu wyrażeń
ja sowy przeł. zobacz wejście I II sowy. przeł. patrz wejście II Słownik wyjaśniający Efremowej. T. F. Efremova. 2000... Nowoczesny Słownik Jezyk rosyjski Efremowa
Napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz, napisz , pisać, pisać, pisać, pisać, pisać, pisać, pisać, pisać, pisać, ... ... Formy słów
Napisz, przekreśl... Słownik antonimów
Wchodzić- pisz, pisz, vp szuka... Słownik ortografii rosyjskiej
Wchodzić- (Ja)‚ napiszę/(e)‚ napiszę/sesh(y)‚ żart(y)… słownik ortograficzny Język rosyjski
Książki
- Mój osobisty pamiętnik Mint (z kopertami i naklejką prezentową), . Smashbook to miejsce wolnej kreatywności! Nie ma żadnych zasad i warunków – rób co chcesz. Rozsyp klej, posyp koralikami, suchymi listkami, pięknymi wstążkami, guzikami, rysuj,...
- Pełna kontrola. Planista pamiętników, Icchak Pintosevich. Ten dziennik planisty to wyjątkowe opracowanie autora bestsellerów o rozwoju osobowości, Itzaka Pintosevicha. Pomaga prawidłowo zarządzać czasem, wyznaczać cele i je osiągać...
Definicje
Okrąg \(S\) jest wpisany w kąt \(\alfa\), jeśli \(S\) dotyka boków kąta \(\alfa\) .
Okrąg \(S\) jest wpisany w wielokąt \(P\), jeśli \(S\) dotyka wszystkich boków \(P\) .
W tym przypadku mówi się, że wielokąt \(P\) jest opisany na okręgu.
Twierdzenie
Środek okręgu wpisanego pod kątem leży na jego dwusiecznej.
Dowód
Niech \(O\) będzie środkiem jakiegoś okręgu wpisanego w kąt \(BAC\) . Niech \(B"\) będzie punktem styku okręgu i \(AB\) , a \(C"\) będzie punktem styku okręgu i \(AC\) , wtedy \(OB"\ ) i \(OC"\) – promienie poprowadzone do punktów styczności, zatem \(OC"\perp AC\) , \(OB"\perp AB\) , \(OC" = OB"\) .
Oznacza to, że trójkąty \(AC"O\) i \(AB"O\) są trójkąty prostokątne, które mają równe nogi i wspólną przeciwprostokątną, zatem są równe, skąd \(\kąt CAO = \kąt BAO\), i to należało udowodnić.
Twierdzenie
W dowolny trójkąt można wpisać pojedynczy okrąg, a środek tego okręgu wpisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych trójkąta.
Dowód
Narysujmy dwusieczne kątów \(\kąt A\) i \(\kąt B\) . Niech przecinają się w punkcie \(O\) .
Ponieważ \(O\) leży na dwusiecznej \(\kąta A\), to odległości od punktu \(O\) do boków kąta są równe: \(ON=OP\) .
Ponieważ \(O\) również leży na dwusiecznej \(\kąt B\) , a następnie \(ON=OK\) . Zatem \(OP=OK\), zatem punkt \(O\) jest w równej odległości od boków kąta \(\kąt C\), zatem leży na jego dwusiecznej, tj. \(CO\) jest dwusieczną \(\kąta C\) .
Zatem punkty \(N, K, P\) są w jednakowej odległości od punktu \(O\), to znaczy leżą na tym samym okręgu. Z definicji jest to okrąg wpisany w trójkąt.
Ten krąg jest wyjątkowy, ponieważ jeśli założymy, że w \(\trójkąt ABC\) istnieje inny okrąg wpisany, to będzie on miał ten sam środek i ten sam promień, czyli będzie pokrywał się z pierwszym okręgiem.
W ten sposób jednocześnie udowodniono następujące twierdzenie:
Konsekwencja
Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Twierdzenie o obszarze opisanym
Jeżeli \(a,b,c\) są bokami trójkąta, a \(r\) jest promieniem okręgu w niego wpisanego, to pole trójkąta \gdzie \(p=\dfrac( a+b+c)2\) jest trójkątem półobwodowym.
Dowód
\(S_(\trójkąt ABC)=S_(\trójkąt AOC)+S_(\trójkąt AOB)+S_(\trójkąt BOC)=\frac12OP\cdot AC+\frac12 ON\cdot AB+\frac12 OK\cdot BC\).
Ale \(ON=OK=OP=r\) są zatem promieniami okręgu wpisanego
Konsekwencja
Jeśli okrąg jest wpisany w wielokąt, a \(r\) jest jego promieniem, wówczas powierzchnia wielokąta jest równa iloczynowi połowy obwodu wielokąta przez \(r\) : \
Twierdzenie
W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych boków są równe.
Dowód
Konieczność. Udowodnijmy, że jeśli w \(ABCD\) wpisano okrąg, to \(AB+CD=BC+AD\) .
Niech \(M,N,K,P\) będą punktami stycznymi okręgu i boków czworoboku. Wtedy \(AM, AP\) są odcinkami stycznymi do okręgu poprowadzonymi z jednego punktu, zatem \(AM=AP=a\) . Podobnie, \(BM=BN=b, \CN=CK=c, \DK=DP=d\).
Następnie: \(AB+CD=a+b+c+d=BC+AD\) .
Adekwatność. Udowodnijmy, że jeśli sumy przeciwległych boków czworokąta są równe, to można w niego wpisać okrąg.
Narysujmy dwusieczne kątów \(\kąt A\) i \(\kąt B\) , niech przecinają się w punkcie \(O\) . Wtedy punkt \(O\) jest w równej odległości od boków tych kątów, to znaczy od \(AB, BC, AD\) . Wpiszmy okrąg w \(\kąt A\) i \(\kąt B\) ze środkiem w punkcie \(O\) . Udowodnimy, że to koło będzie również dotykać boku \(CD\) .
Załóżmy, że tak nie jest. Wtedy \(CD\) jest albo sieczną, albo jej nie ma punkty wspólne z kółkiem. Rozważmy drugi przypadek (pierwszy zostanie udowodniony w podobny sposób).
Narysujmy styczną \(C"D" \parallel CD\) (jak pokazano na rysunku). Wtedy \(ABC"D"\) jest czworokątem opisanym, zatem \(AB+C"D"=BC"+AD"\) .
Ponieważ \(BC"=BC-CC", \AD"=AD-DD"\) , następnie:
Ustaliliśmy, że w czworokącie \(C"CDD"\) suma trzech boków jest równa czwartej, co jest niemożliwe*. Zatem założenie jest fałszywe, co oznacza, że \(CD\) jest styczna do okręgu.
Komentarz*. Udowodnijmy to w wypukły czworobok strona nie może być równa sumie pozostałych trzech.
Ponieważ w dowolnym trójkącie suma dwóch boków jest zawsze większa niż trzecia, wówczas \(a+x>d\) i \(b+c>x\) . Dodając te nierówności otrzymujemy: \(a+x+b+c>d+x \Strzałka w prawo a+b+c>d\). Dlatego suma dowolnych trzech boków jest zawsze większa niż czwarta strona.
Twierdzenia
1. Jeżeli w równoległobok wpisano okrąg, to jest to romb (ryc. 1).
2. Jeżeli okrąg wpisano w prostokąt, to jest on kwadratem (rys. 2).
Prawdziwe są także stwierdzenia odwrotne: okrąg można zmieścić w dowolnym rombie lub kwadracie i tylko w jednym.
Dowód
1) Rozważmy równoległobok \(ABCD\), w który wpisany jest okrąg. Następnie \(AB+CD=BC+AD\) . Ale w równoległoboku przeciwne strony są równe, tj. \(AB=CD, \BC=AD\) . Zatem \(2AB=2BC\), co oznacza \(AB=BC=CD=AD\), tj. to jest romb.
Odwrotne stwierdzenie jest oczywiste, a środek tego okręgu leży na przecięciu przekątnych rombu.
2) Rozważmy prostokąt \(QWER\) . Ponieważ prostokąt jest równoległobokiem, to zgodnie z pierwszym punktem \(QW=WE=ER=RQ\), tj. to jest romb. Ale ponieważ Wszystkie jego kąty są proste, to jest to kwadrat.
Odwrotne stwierdzenie jest oczywiste, a środek tego okręgu leży na przecięciu przekątnych kwadratu.