Den rette linjen y = f(x) vil være tangent til grafen vist i figuren ved punkt x0 forutsatt at den går gjennom dette punktet med koordinater (x0; f(x0)) og har skråningen f"(x0). Å finne denne koeffisienten, tatt i betraktning egenskapene til tangenten, er ikke vanskelig.
Du vil trenge
- - matematisk oppslagsbok;
- - notisbok;
- - en enkel blyant;
- - penn;
- - gradskive;
- - kompass.
Bruksanvisning
- Vær oppmerksom på at grafen til den differensierbare funksjonen f(x) i punktet x0 ikke er forskjellig fra tangentsegmentet. Derfor er den ganske nær segmentet l, og går gjennom punktene (x0; f(x0)) og (x0+Δx; f(x0 + Δx)). For å spesifisere en rett linje som går gjennom punkt A med koeffisienter (x0; f(x0)), spesifiser dens helning. Dessuten er den lik Δy/Δx sekanttangens (Δх→0), og har også en tendens til tallet f'(x0).
- Hvis det ikke er noen verdier for f'(x0), så er det kanskje ingen tangent, eller kanskje den løper vertikalt. Basert på dette forklares tilstedeværelsen av den deriverte av funksjonen i punktet x0 av eksistensen av en ikke-vertikal tangent, som er i kontakt med grafen til funksjonen i punktet (x0, f(x0)). I i dette tilfellet vinkelkoeffisienten til tangenten er lik f"(x0). Det blir tydelig geometrisk betydning derivert, det vil si å beregne stigningstallet til tangenten.
- Det vil si at for å finne stigningen til tangenten, må du finne verdien av den deriverte av funksjonen ved tangenspunktet. Eksempel: finn vinkelkoeffisienten til tangenten til grafen til funksjonen y = x³ i punktet med abscisse X0 = 1. Løsning: Finn den deriverte av denne funksjonen y΄(x) = 3x²; finn verdien av den deriverte i punktet X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Vinkelkoeffisienten til tangenten i punktet X0 = 1 er 3.
- Tegn flere tangenter i figuren slik at de berører grafen til funksjonen på følgende punkter: x1, x2 og x3. Merk vinklene som dannes av disse tangentene med abscisseaksen (vinkelen telles i positiv retning - fra aksen til tangentlinjen). For eksempel vil den første vinkelen α1 være spiss, den andre (α2) vil være stump, og den tredje (α3) vil være lik null, siden den tegnede tangentlinjen er parallell akseÅH. I dette tilfellet tangent stump vinkel Det er negativ betydning, og tangent spiss vinkel– positiv, ved tg0 og resultatet er null.
Lær å ta deriverte av funksjoner. Den deriverte karakteriserer endringshastigheten til en funksjon på et bestemt punkt som ligger på grafen til denne funksjonen. I dette tilfellet kan grafen enten være en rett eller buet linje. Det vil si at den deriverte karakteriserer endringshastigheten til en funksjon på et bestemt tidspunkt. Huske generelle regler, hvorved derivater tas, og bare deretter fortsette til neste trinn.
- Les artikkelen.
- Hvordan ta de enkleste derivatene, for eksempel derivater eksponentiell ligning, beskrevet. Beregningene presentert i neste skritt, vil være basert på metodene beskrevet deri.
Lær å skille problemer der helningen må beregnes gjennom den deriverte av en funksjon. Problemer ber deg ikke alltid finne helningen eller deriverten til en funksjon. For eksempel kan du bli bedt om å finne endringshastigheten til en funksjon i punkt A(x,y). Du kan også bli bedt om å finne stigningstallet til tangenten i punktet A(x,y). I begge tilfeller er det nødvendig å ta den deriverte av funksjonen.
Ta den deriverte av funksjonen gitt til deg. Det er ikke nødvendig å bygge en graf her - du trenger bare ligningen til funksjonen. I vårt eksempel, ta den deriverte av funksjonen. Ta derivatet i henhold til metodene som er skissert i artikkelen nevnt ovenfor:
- Derivat:
Bytt ut koordinatene til punktet gitt til deg med den funnet deriverte for å beregne helningen. Den deriverte av en funksjon er lik helningen på et bestemt punkt. Med andre ord, f"(x) er helningen til funksjonen på et hvilket som helst punkt (x,f(x)). I vårt eksempel:
- Finn helningen til funksjonen f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) ved punkt A(4,2).
- Derivert av en funksjon:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Erstatt verdien av "x"-koordinaten til dette punktet:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Finn bakken:
- Skråningsfunksjon f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) ved punkt A(4,2) er lik 22.
Hvis mulig, sjekk svaret ditt på en graf. Husk at skråningen ikke kan beregnes på hvert punkt. Differensialregning vurderer komplekse funksjoner og komplekse grafer, der helningen ikke kan beregnes på hvert punkt, og i noen tilfeller ligger ikke punktene på grafene i det hele tatt. Hvis mulig, bruk en grafisk kalkulator for å sjekke at helningen til funksjonen du får oppgitt er riktig. I ellers tegne en tangent til grafen på punktet gitt til deg og tenk på om helningsverdien du fant samsvarer med det du ser på grafen.
- Tangenten vil ha samme helning som grafen til funksjonen ved et bestemt punkt. For å tegne en tangent ved et gitt punkt, flytt til venstre/høyre på X-aksen (i vårt eksempel, 22 verdier til høyre), og deretter opp en på Y-aksen poeng gitt til deg. I vårt eksempel kobler du punktene med koordinatene (4,2) og (26,3).