La oss vurdere løsningen av trigonometriske ulikheter på formen tgx>a og tgx enhetssirkel.
For å løse trenger vi en tegning av en enhetssirkel og. Radiusen til enhetssirkelen er lik 1, derfor ved å plotte segmenter på linjen med tangenter hvis lengde er lik radiusen, får vi henholdsvis punkter der tangenten er lik 1, 2, 3, etc., og nedover - -1, -2, -3 og etc.
På tangentlinjen tilsvarer tangentverdier større enn a delen som ligger over punkt a. Skyggelegg den tilsvarende strålen. Nå trekker vi en rett linje gjennom punktet O - origo - og punktet a på tangentlinjen. Den skjærer sirkelen i punktet arctan a. Følgelig på sirkelen tilsvarer løsningen av ulikheten tgx>a en bue fra punktet arctg a til n/2. For å ta hensyn til alle løsninger (og ta hensyn til periodisiteten til tangenten - uendelig sett), til hver ende av intervallet legger vi til nn, hvor n er et heltall (n tilhører Z).
For å løse ulikheten tgx>a er en halvsirkel fra -n/2 til n/2 ganske tilstrekkelig. Men hvis du skal finne for eksempel en løsning på et system av ulikheter med tangent og sinus, så trenger du hele sirkelen.
Hvis ulikheten ikke er streng, inkluderer vi punktet med arctan a i svaret (vi skygger det i figuren og skriver det i svaret med en firkantet parentes). Punktet n/2 er aldri inkludert i svaret, siden det ikke er inkludert i definisjonsområdet til tangenten (punktet er punktert, parentesen er rund).
For å løse ulikheten tgx>-a, resonnerer vi på samme måte som for ulikheten tgx>a. Siden arctg (-a)=-arctg a, er dette den eneste forskjellen i svaret.
I dette tilfellet er løsningen på ulikheten tgx
Løse tgx-ulikheten<-a аналогично решению неравенства tgx
La oss vurdere et spesifikt eksempel på å løse en ulikhet med en tangent. Løs ulikhet tgx<-1
Dermed er løsningen på ulikheten tgx<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn). Løse trigonometriske ulikheter ved hjelp av enhetssirkelen Når du løser trigonometriske ulikheter i formen, hvor --- en av de trigonometriske funksjonene, er det praktisk å bruke den trigonometriske sirkelen for å tydeligst representere løsningene på ulikheten og skrive ned svaret. Hovedmetoden for å løse trigonometriske ulikheter er å redusere dem til de enkleste typeulikhetene. La oss se på et eksempel på hvordan man løser slike ulikheter. Eksempel Løs ulikheten. Løsning. La oss tegne en trigonometrisk sirkel og merke på den punktene som ordinaten er overlegen for. For å løse denne ulikheten vil det være. Det er også klart at hvis et visst tall avviker fra et hvilket som helst tall fra det spesifiserte intervallet med, vil det heller ikke være mindre. Derfor trenger du bare å legge til løsninger i endene av det funnet segmentet. Til slutt finner vi at alle løsninger på den opprinnelige ulikheten vil være. For å løse ulikheter med tangent og cotangens er konseptet med en linje med tangenter og cotangens nyttig. Dette er de rette linjene og henholdsvis (i figur (1) og (2)), vedrørende trigonometrisk sirkel. Det er lett å se at hvis vi konstruerer en stråle med opprinnelsen ved koordinatenes opprinnelse, og danner en vinkel med den positive retningen til abscisseaksen, så vil lengden av segmentet fra punktet til skjæringspunktet for denne strålen med tangentlinjen er nøyaktig lik tangenten til vinkelen som denne strålen lager med abscisseaksen. En lignende observasjon forekommer for cotangens. Eksempel Løs ulikheten. Løsning. La oss betegne, da vil ulikheten ta den enkleste formen: . La oss vurdere et lengdeintervall lik den minste positive perioden (LPP) til tangenten. På dette segmentet, ved å bruke tangentlinjen, fastslår vi det. La oss nå huske hva som må legges til siden NPP fungerer. Så, . Tilbake til variabelen, vi får det Det er praktisk å løse ulikheter med inverse trigonometriske funksjoner ved å bruke grafer av inverse trigonometriske funksjoner. La oss vise hvordan dette gjøres med et eksempel. Løse trigonometriske ulikheter grafisk Merk at hvis --- er en periodisk funksjon, så for å løse ulikheten er det nødvendig å finne løsningen på et segment hvis lengde er lik funksjonens periode. Alle løsninger på den opprinnelige ulikheten vil bestå av de funnet verdiene, så vel som alle de som skiller seg fra de funnet av et heltall av perioder av funksjonen La oss vurdere løsningen på ulikhet (). Siden har ulikheten ingen løsninger. Hvis, så er settet med løsninger til ulikheten settet av alle reelle tall. La være. Sinusfunksjonen har den minste positiv periode, så ulikheten kan løses først på et lengdesegment, f.eks. Vi bygger grafer over funksjoner og (). På segmentet øker sinusfunksjonen, og ligningen, der, har én rot. På segmentet avtar sinusfunksjonen, og ligningen har en rot. På et numerisk intervall er grafen til en funksjon plassert over grafen til funksjonen. Derfor, for alle fra intervallet) holder ulikheten if. På grunn av periodisiteten til sinusfunksjonen er alle løsninger på ulikheten gitt av ulikheter på formen: . Vi vil løse ulikheter med tangent ved hjelp av enhetssirkelen. Eksempel 1: Løs ulikhet: $(\rm tg)(x) \leq 1.$ Dermed vil løsningen ha formen: $x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$ Viktig! Peker $-\frac(\pi)(2)$ og $\frac(\pi)(2)$ ved tangenten alltid (uavhengig av ulikhetstegnet) revet ut! Eksempel 2: Løs ulikhet: $(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$ Vi markerer punktet $- \sqrt(3)$ på tangentlinjen og tegner en rett linje fra origo til denne. Skjæringspunktet mellom denne linjen og halvsirkelen vil ikke være skyggelagt, siden ulikheten er streng. Området vil ligge over den rette linjen og opp til sirkelen, siden ulikhetstegnet er $>$. la oss finne skjæringspunktet: $x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$ $t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$ La oss gå tilbake til den opprinnelige variabelen: $\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\høyre).$ Sistnevnte tilsvarer systemet med ulikheter $\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$ har løst som vi får svaret. Egentlig, $\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$ $\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $ Og til slutt får vi: $x \i \venstre(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\høyre), \n \i Z.$ Ulikheter er relasjoner av formen a › b, der a og b er uttrykk som inneholder minst én variabel. Ulikheter kan være strenge - ‹, › og ikke-strenge - ≥, ≤. Trigonometriske ulikheter er uttrykk for formen: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, der F(x) er representert ved en eller flere trigonometriske funksjoner . Et eksempel på den enkleste trigonometriske ulikheten er: sin x ‹ 1/2. Bestemme seg for lignende oppgaver akseptert grafisk, er det utviklet to metoder for dette. For å finne et intervall som tilfredsstiller betingelsene ulikhet sin x ‹ 1/2, må du utføre følgende trinn: Når det er strenge skilt i et uttrykk, er ikke skjæringspunktene løsninger. Siden den minste positive perioden til en sinusoid er 2π, skriver vi svaret som følger: Hvis fortegnene til uttrykket ikke er strenge, må løsningsintervallet omsluttes firkantede parenteser— . Svaret på problemet kan også skrives som følgende ulikhet: Lignende problemer kan enkelt løses ved hjelp av en trigonometrisk sirkel. Algoritmen for å finne svar er veldig enkel: La oss se på trinnene i løsningen ved å bruke et eksempel ulikheter synd x › 1/2. Punktene α og β er markert på sirkelen - verdier Punktene på buen plassert over α og β er intervallet for å løse den gitte ulikheten. Hvis du trenger å løse et eksempel for cos, vil svarbuen være plassert symmetrisk til OX-aksen, ikke OY. Du kan vurdere forskjellen mellom løsningsintervallene for sin og cos i diagrammene under i teksten. Grafiske løsninger for tangent- og cotangente ulikheter vil avvike fra både sinus og cosinus. Dette er på grunn av egenskapene til funksjoner. Arktangens og arccotangent er tangenter til en trigonometrisk sirkel, og minimumsperioden for begge funksjoner er π. For raskt og riktig å bruke den andre metoden, må du huske på hvilken akse synd verdier, cos, tg og ctg. Tangenttangenten går parallelt med OY-aksen. Hvis vi plotter verdien av arctan a på enhetssirkelen, vil det andre nødvendige punktet være plassert i diagonalkvartalet. Vinkler De er bruddpunkter for funksjonen, siden grafen har en tendens til dem, men aldri når dem. Når det gjelder cotangens, går tangenten parallelt med OX-aksen, og funksjonen avbrytes i punktene π og 2π. Hvis argumentet til ulikhetsfunksjonen ikke bare er representert av en variabel, men av et helt uttrykk som inneholder en ukjent, så snakker vi allerede om kompleks ulikhet. Prosessen og prosedyren for å løse det er noe forskjellig fra metodene beskrevet ovenfor. Anta at vi må finne en løsning på følgende ulikhet: Den grafiske løsningen innebærer å konstruere en vanlig sinusformet y = sin x ved å bruke vilkårlig valgte verdier av x. La oss beregne en tabell med koordinater for kontrollpunktene til grafen: Resultatet skal være en vakker kurve. For å gjøre det lettere å finne en løsning, la oss erstatte kompleks argumentasjon funksjoner Flest studenter trigonometriske ulikheter mislikte. Men til ingen nytte. Som en karakter pleide å si, "Du vet bare ikke hvordan du skal lage dem" Så hvordan "lage mat" og med hva du skal sende inn ulikhet med sinus vil vi finne ut i denne artikkelen. Vi bestemmer på en enkel måte– ved hjelp av en enhetssirkel. Så først av alt trenger vi følgende algoritme. Viktig: d gitt algoritme virker ikke for ulikheter av formen $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$. Det er også viktig å merke seg følgende tilfeller, som er mye mer praktisk å løse logisk uten å bruke algoritmen ovenfor. Spesielt tilfelle 1.
Løs ulikhet: $\sin(x)\leq 1.$ På grunn av det faktum at rekkevidden av verdier trigonometrisk funksjon$y=\sin(x)$ er ikke større enn modulo $1$, da venstre side ulikheter til enhver$x$ fra definisjonsdomenet (og definisjonsdomenet til sinus er alt reelle tall) ikke mer enn $1$. Og derfor skriver vi i svaret: $x \i R$. Konsekvens: $\sin(x)\geq -1.$ Spesialtilfelle 2. Løs ulikhet: $\sin(x)< 1.$ Ved å bruke argumenter som ligner på spesialtilfelle 1, finner vi at venstre side av ulikheten er mindre enn $1$ for alle $x \i R$, bortsett fra punkter som er løsninger på ligningen $\sin(x) = 1$. Ved å løse denne ligningen vil vi ha: $x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$ Og derfor skriver vi i svaret: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$. Konsekvens: ulikheten løses på samme måte $\sin(x) > -1.$ Eksempel 1: Løs ulikhet: $\sin(x) \geq \frac(1)(2).$ Dermed vil løsningen ha formen: $x \in \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \i Z.$ Eksempel 2: Løs ulikhet: $\sin(x)< -\frac{1}{2}$ La oss merke koordinaten $-\frac(1)(2)$ på sinusaksen og tegne en rett linje parallelt med cosinusaksen og som går gjennom dette punktet. La oss markere skjæringspunktene. De vil ikke skygges, siden ulikheten er streng. Ulikhetstegnet $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin(x)=-\frac(1)(2)$ $x=(-1)^(n)\arcsin(\venstre(-\frac(1)(2)\høyre))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$. Hvis vi videre antar $n=0$, finner vi det første skjæringspunktet: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Området vårt går i negativ retning fra det første punktet, noe som betyr at vi setter $n$ lik $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$. $x \i \venstre(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\høyre), \n \i Z.$ Eksempel 3: Løs ulikhet: $1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$ Dette eksemplet kan ikke løses umiddelbart ved hjelp av en algoritme. Først må du transformere den. Vi gjør akkurat det vi ville gjort med en ligning, men ikke glem tegnet. Å dele eller multiplisere med et negativt tall reverserer det! Så, la oss flytte alt som ikke inneholder en trigonometrisk funksjon til høyre side. Vi får: $- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$ La oss dele venstre og høyre side med $-2$ (ikke glem tegnet!). Vil ha: $\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$ Igjen har vi en ulikhet som vi ikke kan løse ved hjelp av en algoritme. Men her er det nok å endre variabelen: $t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$ Vi får en trigonometrisk ulikhet som kan løses ved hjelp av algoritmen: $\sin(t) \geq \frac(1)(2).$ Denne ulikheten ble løst i eksempel 1, så la oss låne svaret derfra: $t \in \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\høyre].$ Avgjørelsen er imidlertid ikke over ennå. Vi må gå tilbake til den opprinnelige variabelen. $(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \i \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\høyre].$ La oss forestille oss intervallet som et system: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$ På venstre side av systemet er det et uttrykk ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), som hører til intervallet. Den venstre grensen av intervallet er ansvarlig for den første ulikheten, og den høyre grensen er ansvarlig for den andre. Dessuten spiller parentes en viktig rolle: hvis braketten er firkantet, vil ulikheten bli avslappet, og hvis den er rund, vil den være streng. vår oppgave er å få $x$ fra venstre i begge ulikhetene. La oss flytte $\frac(\pi)(6)$ fra venstre side til høyre side, vi får: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$. For å forenkle har vi: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$ Multipliserer venstre og høyre side med $4$, får vi: $\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $ Ved å sette sammen systemet i intervallet får vi svaret: $x \i \venstre[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \i Z.$
Algoritme for å løse ulikheter med tangent:
Eksempler på å løse ulikheter ved hjelp av en algoritme.
Metode 1 - Løse ulikheter ved å tegne en funksjon grafisk
Metode 2 - Løse trigonometriske ulikheter ved hjelp av enhetssirkelen
Komplekse trigonometriske ulikheter
Algoritme for å løse ulikheter med sinus:
Algoritmebegrensning
Spesielle tilfeller ved løsning av ulikheter med sinus
Eksempler på å løse ulikheter ved hjelp av en algoritme.
Så løsningen på denne ulikheten vil være intervallet: