Uansett hvilket reelt tall t tas, kan det assosieres med et unikt definert tall sin t. Riktignok er samsvarsregelen ganske kompleks som vi så ovenfor, den er som følger.
For å finne verdien av sin t ved å bruke tallet t, trenger du:
1) plasser tallsirkelen i koordinatplanet slik at sentrum av sirkelen faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, og startpunktet A for sirkelen faller i punktet (1; 0);
2) finn et punkt på sirkelen som tilsvarer tallet t;
3) finn ordinaten til dette punktet.
Denne ordinaten er sin t.
Faktisk snakker vi om funksjonen u = sin t, hvor t er et hvilket som helst reelt tall.
Alle disse funksjonene kalles trigonometriske funksjoner til det numeriske argumentet t.
Det er en rekke relasjoner som forbinder verdiene til forskjellige trigonometriske funksjoner, vi har allerede fått noen av disse relasjonene:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Fra de to siste formlene er det enkelt å få et forhold som forbinder tg t og ctg t:
Alle disse formlene brukes i tilfeller der det er nødvendig å beregne verdiene til andre trigonometriske funksjoner ved å vite verdien av en trigonometrisk funksjon.
Begrepene "sinus", "cosinus", "tangens" og "cotangent" var faktisk kjente, men de ble fortsatt brukt i en litt annen tolkning: i geometri og fysikk vurderte de sinus, cosinus, tangens og cotangens ved hodet(men ikke
tall, som var i de foregående avsnittene).
Fra geometri er det kjent at sinus (cosinus) til en spiss vinkel er forholdet mellom bena i en rettvinklet trekant og hypotenusen, og tangenten (cotangens) til en vinkel er forholdet mellom bena i en rettvinklet trekant. En annen tilnærming til begrepene sinus, cosinus, tangens og cotangens ble utviklet i de foregående avsnittene. Faktisk henger disse tilnærmingene sammen.
La oss ta en vinkel med gradmål b o og plassere den i den "numeriske sirkelen i et rektangulært koordinatsystem"-modellen som vist i fig. 14
toppen av vinkelen er kompatibel med midten
sirkler (med opprinnelsen til koordinatsystemet),
og den ene siden av hjørnet er kompatibel med
den positive strålen til x-aksen. Full stopp
skjæring av den andre siden av vinkelen med
angi med sirkelen bokstaven M. Ordina-
Fig. 14 b o, og abscissen til dette punktet er cosinus til vinkelen b o.
For å finne sinus eller cosinus til en vinkel b o er det slett ikke nødvendig å gjøre disse svært komplekse konstruksjonene hver gang.
Det er nok å merke seg at buen AM utgjør samme del av lengden på tallsirkelen som vinkelen b o utgjør fra hjørnet på 360°. Hvis lengden på buen AM er angitt med bokstaven t, får vi:
Dermed,
For eksempel,
Det antas at 30° er et gradmål for en vinkel, og et radianmål for samme vinkel: 30° = rad. I det hele tatt:
Spesielt er jeg glad for hvor vi i sin tur får det fra.
Så hva er 1 radian? Det er forskjellige mål på lengde på segmenter: centimeter, meter, yards, etc. Det er også ulike mål for å indikere størrelsen på vinklene. Vi vurderer de sentrale vinklene til enhetssirkelen. En vinkel på 1° er den sentrale vinkelen dekket av en bue som er en del av en sirkel. En vinkel på 1 radian er den sentrale vinkelen dekket av en bue med lengde 1, dvs. på en bue hvis lengde er lik sirkelens radius. Fra formelen finner vi at 1 rad = 57,3°.
Når vi vurderer funksjonen u = sin t (eller en hvilken som helst annen trigonometrisk funksjon), kan vi betrakte den uavhengige variabelen t som et numerisk argument, slik tilfellet var i de foregående avsnittene, men vi kan også betrakte denne variabelen som et mål på vinkelen, dvs. hjørneargument. Derfor, når man snakker om en trigonometrisk funksjon, gjør det i en viss forstand ingen forskjell å betrakte det som en funksjon av et numerisk eller vinkelargument.
Definisjon 1: Den numeriske funksjonen gitt av formelen y=sin x kalles sinus.
Denne kurven kalles - sinusbølge.
Egenskaper til funksjonen y=sin x
2. Funksjonsverdiområde: E(y)=[-1; 1]
3. Paritetsfunksjon:
y=sin x – oddetall,.
4. Periodisitet: sin(x+2πn)=sin x, hvor n er et heltall.
Denne funksjonen får de samme verdiene etter en viss periode. Denne egenskapen til en funksjon kalles Frekvens. Intervallet er perioden for funksjonen.
For funksjonen y=sin x er perioden 2π.
Funksjonen y=sin x er periodisk, med periode Т=2πn, n er et heltall.
Den minste positive perioden er T=2π.
Matematisk kan dette skrives slik: sin(x+2πn)=sin x, hvor n er et heltall.
Definisjon 2: Den numeriske funksjonen gitt av formelen y=cosx kalles cosinus.
Egenskaper for funksjonen y=cos x
1. Funksjonsdomene: D(y)=R
2. Funksjonsverdiområde: E(y)=[-1;1]
3. Paritetsfunksjon:
y=cos x – jevn.
4. Periodisitet: cos(x+2πn)=cos x, hvor n er et heltall.
Funksjonen y=cos x er periodisk, med periode Т=2π.
Definisjon 3: Den numeriske funksjonen gitt av formelen y=tan x kalles tangens.
Egenskaper for funksjonen y=tg x
1. Domene til funksjonen: D(y) - alle reelle tall unntatt π/2+πk, k – heltall. For på disse punktene er ikke tangenten definert.
3. Paritetsfunksjon:
y=tg x – oddetall.
4. Periodisitet: tg(x+πk)=tg x, der k er et heltall.
Funksjonen y=tg x er periodisk med periode π.
Definisjon 4: Den numeriske funksjonen gitt av formelen y=ctg x kalles cotangens.
Egenskaper for funksjonen y=ctg x
1. Definisjonsdomene for funksjonen: D(y) - alle reelle tall unntatt πk, k er et heltall. For på disse punktene er ikke cotangensen definert.
2. Funksjonsområde: E(y)=R.
Trigonometriske funksjoner til et numerisk argument.
Trigonometriske funksjoner av numerisk argumentt er funksjoner av skjemaet y= pris t,
y= synd t, y= tg t, y= ctg t.
Ved å bruke disse formlene, gjennom den kjente verdien til en trigonometrisk funksjon, kan du finne de ukjente verdiene til andre trigonometriske funksjoner.
Forklaringer.
1) Ta formelen cos 2 t + sin 2 t = 1 og bruk den til å utlede en ny formel.
For å gjøre dette, del begge sider av formelen med cos 2 t (for t ≠ 0, det vil si t ≠ π/2 + π k). Så:
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Det første leddet er lik 1. Vi vet at forholdet mellom sinus og conis er tangent, som betyr at det andre leddet er lik tg 2 t. Som et resultat får vi en ny (og allerede kjent for deg) formel:
2) Del nå cos 2 t + sin 2 t = 1 med sin 2 t (for t ≠ π k):
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, hvor t ≠ π k + π k, k– heltall
synd 2 t synd 2 t synd 2 t
Forholdet mellom cosinus og sinus er cotangensen. Midler:
Når du kjenner de grunnleggende prinsippene for matematikk og har lært de grunnleggende formlene for trigonometri, kan du enkelt utlede de fleste andre trigonometriske identiteter på egen hånd. Og dette er enda bedre enn å bare lære dem utenat: det du lærer utenat blir raskt glemt, men det du forstår blir husket lenge, om ikke for alltid. For eksempel er det ikke nødvendig å huske hva summen av en og kvadratet på tangenten er lik. Hvis du har glemt det, kan du enkelt huske om du vet det enkleste: tangens er forholdet mellom sinus og cosinus. Bruk i tillegg den enkle regelen om å legge til brøker med forskjellige nevnere og få resultatet:
sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
På samme måte kan du enkelt finne summen av en og kvadratet av cotangenten, samt mange andre identiteter.
Trigonometriske funksjoner av vinkelargument.
I funksjonerpå = cost, på = syndt, på = tgt, på = ctgt variabelt kan være mer enn bare et numerisk argument. Det kan også betraktes som et mål på vinkelen - det vil si vinkelargumentet.
Ved å bruke tallsirkelen og koordinatsystemet kan du enkelt finne sinus, cosinus, tangens og cotangens for enhver vinkel. For å gjøre dette må to viktige betingelser være oppfylt:
1) toppunktet til vinkelen må være sentrum av sirkelen, som også er sentrum av koordinataksen;
2) en av sidene av vinkelen må være en positiv aksestråle x.
I dette tilfellet er ordinaten til punktet der sirkelen og den andre siden av vinkelen skjærer, sinusen til denne vinkelen, og abscissen til dette punktet er cosinus til denne vinkelen.
Forklaring. La oss tegne en vinkel, hvor den ene siden er den positive strålen på aksen x, og den andre siden kommer ut fra opprinnelsen til koordinataksen (og fra sentrum av sirkelen) i en vinkel på 30º (se figur). Da tilsvarer skjæringspunktet for den andre siden med sirkelen π/6. Vi kjenner ordinaten og abscissen til dette punktet. De er også cosinus og sinus til vinkelen vår:
√3 1
--; --
2 2
Og når du kjenner sinus og cosinus til en vinkel, kan du enkelt finne dens tangent og cotangens.
Tallsirkelen, plassert i et koordinatsystem, er således en praktisk måte å finne sinus, cosinus, tangens eller cotangens til en vinkel.
Men det er en enklere måte. Du trenger ikke tegne en sirkel og et koordinatsystem. Du kan bruke enkle og praktiske formler:
Eksempel: finn sinus og cosinus til en vinkel lik 60º.
Løsning :
π 60 π √3
synd 60º = synd --- = synd -- = --
180 3 2
π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2
Forklaring: vi fant ut at sinus og cosinus i en vinkel på 60º tilsvarer verdiene til et punkt på en sirkel π/3. Deretter finner vi bare verdiene til dette punktet i tabellen - og løser dermed vårt eksempel. Tabellen over sinus og cosinus for hovedpunktene i tallsirkelen er i forrige seksjon og på "Tabell"-siden.
I dette kapittelet vil vi introdusere trigonometriske funksjoner til et numerisk argument. Mange spørsmål innen matematikk, mekanikk, fysikk og andre vitenskaper fører til trigonometriske funksjoner ikke bare av en vinkel (bue), men også av argumenter av en helt annen karakter (lengde, tid, temperatur, etc.). Inntil nå ble argumentet for en trigonometrisk funksjon forstått som en vinkel målt i grader eller radianer. Vi vil nå generalisere begrepene sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosecant ved å introdusere dem som funksjoner av et numerisk argument.Definisjon. Trigonometriske funksjoner til et numerisk argument er de samme navngitte trigonometriske funksjonene med en vinkel lik radianer.
La oss forklare denne definisjonen med spesifikke eksempler.
Eksempel 1. La oss beregne verdien. Her mener vi et abstrakt irrasjonelt tall. Etter definisjonen. Så, .
Eksempel 2. La oss beregne verdien. Her mener vi med 1,5 et abstrakt tall. Som definert (se vedlegg II).
Eksempel 3. Regn ut verdien vi får på samme måte som den forrige (se vedlegg II).
Så, i fremtiden, ved argumentet om trigonometriske funksjoner vil vi forstå en vinkel (bue) eller bare et tall, avhengig av problemet vi løser. Og i noen tilfeller kan argumentet være en størrelse som har en annen dimensjon, for eksempel tid osv. Ved å kalle et argument en vinkel (bue), kan vi med det mene tallet som det måles med i radianer.
Leksjon og presentasjon om emnet: "Trigonometrisk funksjon av et numerisk argument, definisjon, identiteter"
Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 10. klasse
Algebraiske problemer med parametere, klassetrinn 9–11
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Hva vi skal studere:
1. Definisjon av et numerisk argument.
2. Grunnleggende formler.
3. Trigonometriske identiteter.
4. Eksempler og oppgaver for selvstendig løsning.
Definisjon av en trigonometrisk funksjon av et numerisk argument
Gutter, vi vet hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er.La oss se om det er mulig å finne verdiene til andre trigonometriske funksjoner ved å bruke verdiene til noen trigonometriske funksjoner?
La oss definere den trigonometriske funksjonen til et numerisk element som: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
La oss huske de grunnleggende formlene:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Forresten, hva er navnet på denne formelen?
$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, med $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, for $t≠πk$.
La oss utlede nye formler.
Trigonometriske identiteter
Vi kjenner den grunnleggende trigonometriske identiteten: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Gutter, la oss dele begge sider av identiteten med $cos^2(t)$.
Vi får: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
La oss transformere: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Vi får identiteten: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, med $t≠\frac(π)(2)+πk$.
La oss nå dele begge sider av identiteten med $sin^2(t)$.
Vi får: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
La oss transformere: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Vi får en ny identitet som er verdt å huske:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, for $t≠πk$.
Vi klarte å få til to nye formler. Husk dem.
Disse formlene brukes hvis det ut fra en kjent verdi av en trigonometrisk funksjon er nødvendig å beregne verdien av en annen funksjon.
Løse eksempler på trigonometriske funksjoner av et numerisk argument
Eksempel 1.$cos(t) =\frac(5)(7)$, finn $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ for alle t.
Løsning:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Deretter $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
Eksempel 2.
$tg(t) = \frac(5)(12)$, finn $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, for alle $0 Løsning:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Deretter $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Vi får at $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Deretter $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, men $0
Vi får: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.Problemer å løse selvstendig
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, finn $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, for alle $\frac(π)(2)
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, finn $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ for alle $t$.