Når eksponentiell ulikhet ikke har noen løsninger. Løse eksponentielle ulikheter: grunnleggende metoder

Diagram i figur 5:

Og følgende eksempel: Løs ulikhet 0,6 2x – 3< 0,36 .

Ved å følge diagrammet i figur 5 får vi
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Svar: (2,5; +∞) .

La oss vurdere det siste opplegget for å løse en ulikhet i formen og f(x)< b , kl a>0 Og b<0 , presentert i figur 6:

La oss for eksempel løse ulikheten:

Vi legger merke til at uansett hvilket tall vi erstatter x, er venstre side av ulikheten alltid større enn null, og i vårt tilfelle er dette uttrykket mindre enn -8, dvs. og null, som betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: ingen løsninger.

Når du vet hvordan du løser de enkleste eksponentielle ulikhetene, kan du fortsette til løse eksponentielle ulikheter.

Eksempel 1.

Finn den største heltallsverdien av x som tilfredsstiller ulikheten

Siden 6 x er større enn null (uten x går nevneren til null), multipliserer begge sider av ulikheten med 6 x, får vi:

440 – 2 6 2x > 8, da
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Svar: 1.

Eksempel 2.

Løs ulikhet 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

La oss betegne 2 x med y, få ulikheten y 2 – 3y + 2 ≤ 0, og løse denne kvadratiske ulikheten.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 og y 2 = 2.

Grenene til parabelen er rettet oppover, la oss tegne en graf:

Da vil løsningen på ulikheten være ulikhet 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Svar: (0; 1) .

Eksempel 3. Løs ulikheten 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
La oss samle uttrykk med samme grunnlag i en del av ulikheten

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

La oss sette 5 x i parentes på venstre side av ulikheten, og 3 x på høyre side av ulikheten og vi får ulikheten

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5 x< (25/3)·3 х

Del begge sider av ulikheten med uttrykket 3 3 x, tegnet på ulikheten endres ikke, siden 3 3 x er et positivt tall, får vi ulikheten:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Svar: (–∞; 2) .

Hvis du har spørsmål om å løse eksponentielle ulikheter eller ønsker å øve på å løse lignende eksempler, meld deg på leksjonene mine. Lærer Valentina Galinevskaya.

nettsiden, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Å løse de fleste matematiske problemer på en eller annen måte innebærer å transformere numeriske, algebraiske eller funksjonelle uttrykk. Ovennevnte gjelder spesielt vedtaket. I versjonene av Unified State Exam i matematikk inkluderer denne typen problemer spesielt oppgave C3. Å lære å løse C3-oppgaver er viktig ikke bare for å bestå Unified State-eksamenen, men også av den grunn at denne ferdigheten vil være nyttig når du studerer et matematikkkurs på videregående.

Når du fullfører C3-oppgaver, må du løse ulike typer ligninger og ulikheter. Blant dem er rasjonelle, irrasjonelle, eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, inneholdende moduler (absoluttverdier), så vel som kombinerte. Denne artikkelen diskuterer hovedtypene av eksponentielle ligninger og ulikheter, samt ulike metoder for å løse dem. Les om å løse andre typer ligninger og ulikheter i delen "" i artikler som er viet metoder for å løse C3-problemer fra Unified State Examination i matematikk.

Før vi begynner å analysere spesifikke eksponentielle ligninger og ulikheter, som matteveileder foreslår jeg at du frisker opp noe teoretisk materiale som vi trenger.

Eksponentiell funksjon

Hva er en eksponentiell funksjon?

Skjemaets funksjon y = en x, Hvor en> 0 og en≠ 1 kalles eksponentiell funksjon.

Grunnleggende egenskaper til eksponentiell funksjon y = en x:

Graf av en eksponentiell funksjon

Grafen til eksponentialfunksjonen er eksponent:

Grafer av eksponentielle funksjoner (eksponenter)

Løse eksponentialligninger

Veiledende kalles ligninger der den ukjente variabelen bare finnes i eksponenter for noen potenser.

For løsninger eksponentielle ligninger du må kjenne til og kunne bruke følgende enkle teorem:

Teorem 1. Eksponentialligning en f(x) = en g(x) (Hvor en > 0, en≠ 1) er ekvivalent med ligningen f(x) = g(x).

I tillegg er det nyttig å huske de grunnleggende formlene og operasjonene med grader:

Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Eksempel 1. Løs ligningen:

Løsning: Vi bruker formlene ovenfor og substitusjon:

Ligningen blir da:

Diskriminanten til den resulterende kvadratiske ligningen er positiv:

Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Dette betyr at denne ligningen har to røtter. Vi finner dem:

Går vi videre til omvendt erstatning, får vi:

Den andre ligningen har ingen røtter, siden eksponentialfunksjonen er strengt tatt positiv gjennom hele definisjonsdomenet. La oss løse den andre:

Når vi tar i betraktning det som ble sagt i teorem 1, går vi videre til den ekvivalente ligningen: x= 3. Dette vil være svaret på oppgaven.

Svar: x = 3.

Eksempel 2. Løs ligningen:

Løsning: Ligningen har ingen begrensninger på rekkevidden av tillatte verdier, siden det radikale uttrykket gir mening for enhver verdi x(eksponentiell funksjon y = 9 4 -x positiv og ikke lik null).

Vi løser likningen ved ekvivalente transformasjoner ved å bruke reglene for multiplikasjon og deling av potenser:

Den siste overgangen ble utført i samsvar med teorem 1.

Svar:x= 6.

Eksempel 3. Løs ligningen:

Løsning: begge sider av den opprinnelige ligningen kan deles med 0,2 x. Denne overgangen vil være ekvivalent, siden dette uttrykket er større enn null for en hvilken som helst verdi x(den eksponentielle funksjonen er strengt tatt positiv i sitt definisjonsdomene). Deretter har ligningen formen:

Svar: x = 0.

Eksempel 4. Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen til en elementær ved hjelp av ekvivalente transformasjoner ved å bruke reglene for divisjon og multiplikasjon av potenser gitt i begynnelsen av artikkelen:

Dele begge sider av ligningen med 4 x, som i forrige eksempel, er en ekvivalent transformasjon, siden dette uttrykket ikke er lik null for noen verdier x.

Svar: x = 0.

Eksempel 5. Løs ligningen:

Løsning: funksjon y = 3x, som står på venstre side av ligningen, øker. Funksjon y = —x-2/3 på høyre side av ligningen er synkende. Dette betyr at hvis grafene til disse funksjonene krysser hverandre, så høyst ett punkt. I dette tilfellet er det lett å gjette at grafene skjærer hverandre i punktet x= -1. Det vil ikke være andre røtter.

Svar: x = -1.

Eksempel 6. Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen ved hjelp av ekvivalente transformasjoner, og husker overalt at eksponentialfunksjonen er strengt tatt større enn null for en hvilken som helst verdi x og ved å bruke reglene for å beregne produktet og potenskvoten gitt i begynnelsen av artikkelen:

Svar: x = 2.

Løse eksponentielle ulikheter

Veiledende kalles ulikheter der den ukjente variabelen bare finnes i eksponenter for noen potenser.

For løsninger eksponentielle ulikheter kunnskap om følgende teorem er nødvendig:

Teorem 2. Hvis en> 1, så ulikheten en f(x) > en g(x) tilsvarer en ulikhet med samme betydning: f(x) > g(x). Hvis 0< en < 1, то показательное неравенство en f(x) > en g(x) tilsvarer en ulikhet med motsatt betydning: f(x) < g(x).

Eksempel 7. Løs ulikheten:

Løsning: La oss presentere den opprinnelige ulikheten i formen:

La oss dele begge sider av denne ulikheten med 3 2 x, i dette tilfellet (på grunn av positiviteten til funksjonen y= 3 2x) ulikhetstegnet vil ikke endre seg:

La oss bruke erstatningen:

Da vil ulikheten ta formen:

Så løsningen på ulikheten er intervallet:

går vi til omvendt erstatning, får vi:

Den venstre ulikheten, på grunn av positiviteten til den eksponentielle funksjonen, tilfredsstilles automatisk. Ved å bruke den velkjente egenskapen til logaritmen går vi videre til ekvivalent ulikhet:

Siden grunnlaget for graden er et tall større enn én, er ekvivalent (ved teorem 2) overgangen til følgende ulikhet:

Så, endelig får vi det svar:

Eksempel 8. Løs ulikheten:

Løsning: Ved å bruke egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser, omskriver vi ulikheten i formen:

La oss introdusere en ny variabel:

Når denne substitusjonen tas i betraktning, har ulikheten formen:

Ved å multiplisere telleren og nevneren til brøken med 7, får vi følgende ekvivalente ulikhet:

Så følgende verdier av variabelen tilfredsstiller ulikheten t:

Så går vi til omvendt erstatning, får vi:

Siden grunnlaget for graden her er større enn én, vil overgangen til ulikheten være ekvivalent (ved teorem 2):

Endelig får vi svar:

Eksempel 9. Løs ulikheten:

Løsning:

Vi deler begge sider av ulikheten med uttrykket:

Det er alltid større enn null (på grunn av positiviteten til eksponentialfunksjonen), så ulikhetstegnet trenger ikke å endres. Vi får:

t plassert i intervallet:

Går vi videre til omvendt substitusjon, finner vi at den opprinnelige ulikheten deler seg i to tilfeller:

Den første ulikheten har ingen løsninger på grunn av positiviteten til eksponentialfunksjonen. La oss løse den andre:

Eksempel 10. Løs ulikheten:

Løsning:

Parabelgrener y = 2x+2-x 2 er rettet nedover, derfor er den begrenset ovenfra av verdien som den når ved toppunktet:

Parabelgrener y = x 2 -2x+2 i indikatoren er rettet oppover, noe som betyr at den er begrenset nedenfra av verdien som den når ved toppunktet:

Samtidig viser funksjonen seg også å være avgrenset nedenfra y = 3 x 2 -2x+2, som er på høyre side av ligningen. Den når sin minste verdi på samme punkt som parabelen i eksponenten, og denne verdien er 3 1 = 3. Så den opprinnelige ulikheten kan bare være sann hvis funksjonen til venstre og funksjonen til høyre tar på seg verdien , lik 3 (skjæringspunktet mellom verdiområdene til disse funksjonene er bare dette tallet). Denne betingelsen er oppfylt på et enkelt punkt x = 1.

Svar: x= 1.

For å lære å bestemme eksponentielle ligninger og ulikheter, det er nødvendig å hele tiden trene i å løse dem. Ulike læremidler, problembøker i elementær matematikk, samlinger av konkurranseproblemer, matematikktimer på skolen, samt individuelle timer med en profesjonell veileder kan hjelpe deg i denne vanskelige oppgaven. Jeg ønsker deg oppriktig suksess med forberedelsene dine og utmerkede resultater på eksamen.

Sergey Valerievich

P.S. Kjære gjester! Vennligst ikke skriv forespørsler om å løse ligningene dine i kommentarene. Dessverre har jeg absolutt ikke tid til dette. Slike meldinger vil bli slettet. Vennligst les artikkelen. Kanskje vil du i den finne svar på spørsmål som ikke tillot deg å løse oppgaven din på egen hånd.

Eksponentielle ligninger og ulikheter er de der det ukjente er inneholdt i eksponenten.

Å løse eksponentielle ligninger kommer ofte ned til å løse ligningen a x = a b, der a > 0, a ≠ 1, x er ukjent. Denne ligningen har en enkelt rot x = b, siden følgende teorem er sant:

Teorem. Hvis a > 0, a ≠ 1 og a x 1 = a x 2, så er x 1 = x 2.

La oss underbygge den vurderte påstanden.

La oss anta at likheten x 1 = x 2 ikke holder, dvs. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, så øker eksponentialfunksjonen y = a x og derfor må ulikheten a x 1 være tilfredsstilt< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >en x 2. I begge tilfeller fikk vi en motsetning til betingelsen a x 1 = a x 2.

La oss vurdere flere problemer.

Løs ligningen 4 ∙ 2 x = 1.

Løsning.

La oss skrive ligningen på formen 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, hvorfra vi får x + 2 = 0, dvs. x = -2.

Svar. x = -2.

Løs ligning 2 3x ∙ 3 x = 576.

Løsning.

Siden 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, kan ligningen skrives som 8 x ∙ 3 x = 24 2 eller som 24 x = 24 2.

Herfra får vi x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Løsning.

Hvis vi tar fellesfaktoren 3 x - 2 ut av parentes på venstre side, får vi 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

hvorav 3 x - 2 = 1, dvs. x – 2 = 0, x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x = 7 x.

Løsning.

Siden 7 x ≠ 0, kan ligningen skrives som 3 x /7 x = 1, hvorav (3/7) x = 1, x = 0.

Svar. x = 0.

Løs ligningen 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Løsning.

Ved å erstatte 3 x = a, reduseres denne likningen til den andregradsligningen a 2 – 4a – 45 = 0.

Ved å løse denne ligningen finner vi røttene: a 1 = 9, og 2 = -5, hvorav 3 x = 9, 3 x = -5.

Ligningen 3 x = 9 har rot 2, og ligningen 3 x = -5 har ingen røtter, siden eksponentialfunksjonen ikke kan ta negative verdier.

Svar. x = 2.

Å løse eksponentielle ulikheter kommer ofte ned til å løse ulikhetene a x > a b eller a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

La oss se på noen problemer.

Løs ulikhet 3 x< 81.

Løsning.

La oss skrive ulikheten på formen 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, så øker funksjonen y = 3 x.

Derfor, for x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Altså ved x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Svar. X< 4.

Løs ulikheten 16 x +4 x – 2 > 0.

Løsning.

La oss betegne 4 x = t, så får vi den kvadratiske ulikheten t2 + t – 2 > 0.

Denne ulikheten gjelder for t< -2 и при t > 1.

Siden t = 4 x, får vi to ulikheter 4 x< -2, 4 х > 1.

Den første ulikheten har ingen løsninger, siden 4 x > 0 for alle x € R.

Vi skriver den andre ulikheten på formen 4 x > 4 0, derfra x > 0.

Svar. x > 0.

Løs grafisk ligningen (1/3) x = x – 2/3.

Løsning.

1) La oss bygge grafer for funksjonene y = (1/3) x og y = x – 2/3.

2) Basert på figuren vår kan vi konkludere med at grafene til de betraktede funksjonene skjærer hverandre i punktet med abscissen x ≈ 1. Kontroll viser at

x = 1 er roten til denne ligningen:

(1/3) 1 = 1/3 og 1 – 2/3 = 1/3.

Vi har med andre ord funnet en av røttene til ligningen.

3) La oss finne andre røtter eller bevise at det ikke finnes noen. Funksjonen (1/3) x er avtagende, og funksjonen y = x – 2/3 øker. Derfor, for x > 1, er verdiene til den første funksjonen mindre enn 1/3, og den andre - mer enn 1/3; på x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 og x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Svar. x = 1.

Merk at fra løsningen av dette problemet, spesielt, følger det at ulikheten (1/3) x > x – 2/3 er tilfredsstilt for x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

nettsiden, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Leksjon og presentasjon om emnet: "Eksponentielle ligninger og eksponentielle ulikheter"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9–11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10–11 "Logarithms"

Definisjon av eksponentialligninger

Definisjon. Ligninger av formen: $a^(f(x))=a^(g(x))$, der $a>0$, $a≠1$ kalles eksponentialligninger.

Når vi husker teoremene som vi studerte i emnet "Eksponentiell funksjon", kan vi introdusere et nytt teorem:
Teorem. Eksponentialligningen $a^(f(x))=a^(g(x))$, der $a>0$, $a≠1$ er ekvivalent med ligningen $f(x)=g(x) $.

Eksempler på eksponentialligninger

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Deretter kan ligningen vår skrives om: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5)) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Svar: $x=0$.

C) Den opprinnelige ligningen tilsvarer ligningen: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ og $x_2=-3$.
Svar: $x_1=6$ og $x_2=-3$.

Eksempel.
Løs ligningen: $\frac((((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Løsning:
La oss utføre en rekke handlinger sekvensielt og bringe begge sider av ligningen vår til samme base.
La oss utføre en rekke operasjoner på venstre side:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
La oss gå videre til høyre side:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Den opprinnelige ligningen tilsvarer ligningen:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Svar: $x=0$.

Eksempel.
Løs ligningen: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Løsning:
La oss omskrive ligningen vår: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
La oss gjøre en endring av variabler, la $a=3^x$.
I de nye variablene vil ligningen ha formen: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ og $a_2=3$.
La oss utføre omvendt endring av variabler: $3^x=-12$ og $3^x=3$.
I den siste leksjonen lærte vi at eksponentielle uttrykk bare kan ha positive verdier, husk grafen. Dette betyr at den første ligningen ikke har noen løsninger, den andre ligningen har én løsning: $x=1$.
Svar: $x=1$.

La oss minne om hvordan man løser eksponentialligninger:
1. Grafisk metode. Vi representerer begge sider av ligningen i form av funksjoner og bygger grafene deres, finner skjæringspunktene til grafene. (Vi brukte denne metoden i forrige leksjon).
2. Prinsippet om likhet av indikatorer. Prinsippet er basert på det faktum at to uttrykk med samme base er like hvis og bare hvis gradene (eksponentene) til disse basene er like. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Variabel erstatningsmetode. Denne metoden bør brukes hvis ligningen, når den erstatter variabler, forenkler formen og er mye lettere å løse.

Eksempel.
Løs ligningssystemet: $\begin (tilfeller) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (cases)$.
Løsning.
La oss vurdere begge likningene til systemet separat:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Tenk på den andre ligningen:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
La oss bruke metoden for endring av variabler, la $y=2^(x+y)$.
Deretter vil ligningen ha formen:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ og $y_2=-3$.
La oss gå videre til de innledende variablene, fra den første ligningen får vi $x+y=2$. Den andre ligningen har ingen løsninger. Da er vårt første ligningssystem ekvivalent med systemet: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (cases)$.
Trekk den andre fra den første ligningen, vi får: $\begin (tilfeller) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (cases)$.
$\begin (tilfeller) y=-1, \\ x=3. \end (cases)$.
Svar: $(3;-1)$.

Eksponentielle ulikheter

Teorem. Hvis $a>1$, så er den eksponentielle ulikheten $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekvivalent med ulikheten $f(x)>g(x)$.
Hvis $0 a^(g(x))$ er ekvivalent med ulikheten $f(x)

Eksempel.
Løs ulikheter:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Løsning.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Vår ulikhet er ekvivalent med ulikhet:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) I vår ligning er grunntallet når graden er mindre enn 1, så Når du erstatter en ulikhet med en ekvivalent, er det nødvendig å endre fortegnet.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Vår ulikhet er ekvivalent med ulikheten:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
La oss bruke intervallløsningsmetoden:
Svar: $(-∞;-5]U)