Den største og minste verdien av en funksjon. Oppgave B15 (2014)

I denne artikkelen vil jeg snakke om hvordan du kan bruke ferdigheten til å finne på studiet av en funksjon: å finne dens største eller minste verdi. Og så skal vi løse flere problemer fra Oppgave B15 fra Åpne bank oppgaver for.

Som vanlig, la oss først huske teorien.

I begynnelsen av enhver studie av en funksjon finner vi den

Å finne den største eller minste verdi funksjon, må du undersøke på hvilke intervaller funksjonen øker og på hvilke den avtar.

For å gjøre dette må vi finne den deriverte av funksjonen og undersøke dens intervaller med konstant fortegn, det vil si intervallene som den deriverte beholder tegnet sitt over.

Intervaller der den deriverte av en funksjon er positiv er intervaller med økende funksjon.

Intervaller der den deriverte av en funksjon er negativ, er intervaller med avtagende funksjon.

1 . La oss løse oppgave B15 (nr. 245184)

For å løse det, vil vi følge følgende algoritme:

a) Finn definisjonsdomenet til funksjonen

b) La oss finne den deriverte av funksjonen.

c) La oss likestille det til null.

d) La oss finne intervallene for konstanttegn for funksjonen.

e) Finn punktet der funksjonen tar høyeste verdi.

f) Finn verdien av funksjonen på dette punktet.

Jeg forklarer den detaljerte løsningen på denne oppgaven i VIDEO TUTORIAL:

Nettleseren din støttes sannsynligvis ikke. For å bruke treneren " Unified State Exam Hour", prøv å laste ned
Firefox

2. La oss løse oppgave B15 (nr. 282862)

Finn den største verdien av funksjonen på segmentet

Det er åpenbart at funksjonen tar den største verdien på segmentet ved maksimumspunktet, ved x=2. La oss finne verdien av funksjonen på dette tidspunktet:

Svar: 5

3. La oss løse oppgave B15 (nr. 245180):

Finn den største verdien av funksjonen

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Fordi i henhold til definisjonsdomenet til den opprinnelige funksjonen title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Teller lik null kl. La oss sjekke om ODZ tilhører funksjonen. For å gjøre dette, la oss sjekke om betingelsen title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Tittel="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

dette betyr at punktet tilhører ODZ-funksjonen

La oss undersøke tegnet til den deriverte til høyre og venstre for punktet:

Vi ser at funksjonen får sin største verdi på punkt . La oss nå finne verdien av funksjonen på:

Merknad 1. Merk at i denne oppgaven fant vi ikke definisjonsdomenet til funksjonen: vi fikset bare restriksjonene og sjekket om punktet der den deriverte er lik null tilhører definisjonsdomenet til funksjonen. Dette viste seg å være tilstrekkelig for denne oppgaven. Dette er imidlertid ikke alltid tilfelle. Det avhenger av oppgaven.

Merknad 2. Når du studerer atferd kompleks funksjon du kan bruke denne regelen:

hvis den eksterne funksjonen til en kompleks funksjon øker, så får funksjonen sin største verdi ved samme punkt som intern funksjon tar størst verdi. Dette følger av definisjonen av en økende funksjon: en funksjon øker ved intervall I if høyere verdi argumentet fra dette intervallet tilsvarer en større verdi av funksjonen.
hvis den ytre funksjonen til en kompleks funksjon avtar, får funksjonen sin største verdi på samme punkt der den indre funksjonen får sin minste verdi . Dette følger av definisjonen av en synkende funksjon: en funksjon reduseres ved intervall I hvis en større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen

I vårt eksempel øker den eksterne funksjonen gjennom hele definisjonsdomenet. Under tegnet til logaritmen er det et uttrykk - kvadratisk trinomium, som, med en negativ ledende koeffisient, tar den største verdien på punktet . Deretter erstatter vi denne x-verdien i funksjonslikningen og finne dens største verdi.

Fra et praktisk synspunkt er den største interessen i å bruke den deriverte for å finne de største og minste verdiene til en funksjon. Hva henger dette sammen med? Maksimere fortjeneste, minimere kostnader, bestemme den optimale belastningen av utstyr ... Med andre ord, på mange områder av livet må vi løse problemer med å optimalisere noen parametere. Og dette er oppgavene med å finne de største og minste verdiene til en funksjon.

Det skal bemerkes at de største og minste verdiene til en funksjon vanligvis søkes på et visst intervall X, som enten er hele domenet til funksjonen eller en del av definisjonsdomenet. Selve intervallet X kan være et segment, et åpent intervall , et uendelig intervall.

I denne artikkelen vil vi snakke om å finne de største og minste verdiene eksplisitt gitt funksjonén variabel y=f(x) .

Sidenavigering.

Den største og minste verdien av en funksjon - definisjoner, illustrasjoner.

La oss kort se på hoveddefinisjonene.

Den største verdien av funksjonen det for hvem som helst ulikhet er sant.

Den minste verdien av funksjonen y=f(x) på intervallet X kalles en slik verdi det for hvem som helst ulikhet er sant.

Disse definisjonene er intuitive: den største (minste) verdien av en funksjon er den største (minste) aksepterte verdien på intervallet som vurderes ved abscissen.

Stasjonære punkter– dette er verdiene til argumentet der den deriverte av funksjonen blir null.

Hvorfor trenger vi stasjonære punkter når vi skal finne de største og minste verdiene? Svaret på dette spørsmålet er gitt av Fermats teorem. Fra denne teoremet følger det at hvis en differensierbar funksjon har et ekstremum (lokalt minimum eller lokalt maksimum) på et tidspunkt, så er dette punktet stasjonært. Dermed tar funksjonen ofte sin største (minste) verdi på intervallet X i en av stasjonære punkter fra dette gapet.

Dessuten kan en funksjon ofte ta på seg sine største og minste verdier på punkter der den første deriverte av denne funksjonen ikke eksisterer, og selve funksjonen er definert.

La oss umiddelbart svare på et av de vanligste spørsmålene om dette emnet: "Er det alltid mulig å bestemme den største (minste) verdien av en funksjon"? Nei ikke alltid. Noen ganger faller grensene til intervallet X sammen med grensene for definisjonsdomenet til funksjonen, eller intervallet X er uendelig. Og noen funksjoner i det uendelige og ved grensene for definisjonsdomenet kan få både uendelig store og uendelig små verdier. I disse tilfellene kan det ikke sies noe om den største og minste verdien av funksjonen.

For klarhet vil vi gi en grafisk illustrasjon. Se på bildene så blir mye klarere.

På segmentet

I den første figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene ved stasjonære punkter plassert inne i segmentet [-6;6].

Tenk på saken som er avbildet i den andre figuren. La oss endre segmentet til . I dette eksemplet oppnås den minste verdien av funksjonen ved et stasjonært punkt, og den største ved punktet med abscissen tilsvarer den høyre grensen til intervallet.

I figur 3 er grensepunktene til segmentet [-3;2] abscissen til punktene som tilsvarer funksjonens største og minste verdi.

På åpent intervall

I den fjerde figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene på stasjonære punkter innenfor det åpne intervallet (-6;6).

På intervallet kan det ikke trekkes konklusjoner om den største verdien.

I det uendelige

I eksemplet presentert i den syvende figuren tar funksjonen den største verdien (maks y) i et stasjonært punkt med abscisse x=1, og den minste verdien (min y) oppnås på høyre grense av intervallet. Ved minus uendelig nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3.

I løpet av intervallet når funksjonen verken den minste eller største verdien. Når x=2 nærmer seg fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til minus uendelig (den rette linjen x=2 er vertikal asymptote), og ettersom abscissen har en tendens til pluss uendelig, nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3. En grafisk illustrasjon av dette eksemplet er vist i figur 8.

Algoritme for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon på et segment.

La oss skrive en algoritme som lar oss finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment.

Vi finner definisjonsdomenet til funksjonen og sjekker om den inneholder hele segmentet.
Vi finner alle punktene der den første deriverte ikke eksisterer og som er inneholdt i segmentet (vanligvis finnes slike punkter i funksjoner med et argument under modultegnet og i strømfunksjoner med en brøk-rasjonell eksponent). Hvis det ikke er slike punkter, gå videre til neste punkt.
Vi bestemmer alle stasjonære punkter som faller innenfor segmentet. For å gjøre dette, likestiller vi det til null, løser den resulterende ligningen og velger passende røtter. Hvis det ikke er noen stasjonære punkter eller ingen av dem faller inn i segmentet, gå videre til neste punkt.
Vi beregner verdiene til funksjonen ved utvalgte stasjonære punkter (hvis noen), på punkter der den første deriverte ikke eksisterer (hvis noen), så vel som ved x=a og x=b.
Fra de oppnådde verdiene for funksjonen velger vi den største og minste - de vil være henholdsvis de nødvendige største og minste verdiene for funksjonen.

La oss analysere algoritmen for å løse et eksempel for å finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment.

Eksempel.

Finn den største og minste verdien av en funksjon

på segmentet ;
på segmentet [-4;-1] .

Løsning.

Domenet til en funksjon er hele settet reelle tall, bortsett fra null, altså . Begge segmentene faller innenfor definisjonsdomenet.

Finn den deriverte av funksjonen med hensyn til:

Det er klart at den deriverte av funksjonen eksisterer på alle punkter i segmentene og [-4;-1].

Vi bestemmer stasjonære punkter fra ligningen. Den eneste ekte rot er x=2. Dette stasjonære punktet faller inn i det første segmentet.

For det første tilfellet beregner vi verdiene til funksjonen i enden av segmentet og ved det stasjonære punktet, det vil si for x=1, x=2 og x=4:

Derfor den største verdien av funksjonen oppnås ved x=1, og den minste verdien – ved x=2.

For det andre tilfellet beregner vi funksjonsverdiene bare ved endene av segmentet [-4;-1] (siden det ikke inneholder et enkelt stasjonært punkt):

Metodiske anbefalinger for å studere emnet "Flere verdier av en funksjon. De største og minste verdiene til en funksjon."

I selve matematikken er hovedmidlet

å oppnå sannhet - induksjon og analogi.

Gitt: - funksjon. La oss betegne
- definisjonsdomene for funksjonen.

Settet (domenet) med verdier til en funksjon er settet med alle de verdiene som en funksjon kan ta.
.Geometrisk betyr dette projeksjonen av grafen til en funksjon på aksen
.

Hvis det er et poeng slik for hvem som helst av settet er det en ulikhet
, så sier de at funksjonen på settet tar på seg minste verdi

Hvis det er et poeng slik at for noen av settet gjelder ulikheten
, så sier de at funksjonen på settet tar på seg høyeste verdi .

Funksjonen kalles avgrenset nedenfor på settet hvis et slikt nummer finnes
. Geometrisk betyr dette at grafen til funksjonen ikke er lavere enn den rette linjen
.

Funksjonen kalles avgrenset ovenfor på settet hvis et slikt nummer finnes , at for noen av settet er ulikheten sann
. Geometrisk betyr dette at grafen til funksjonen ikke er høyere enn den rette linjen

Funksjonen kalles begrenset på settet hvis det er avgrenset på dette settet nedenfra og ovenfra. Begrensningen til en funksjon betyr at grafen er plassert innenfor et visst horisontalt bånd.

Cauchys ulikhet om det aritmetiske gjennomsnittet og det geometriske gjennomsnittet
:

>,>0) Eksempel:

De største og minste verdiene til en funksjon på et intervall

(segment, intervall, stråle)

Egenskaper til funksjoner kontinuerlig på et intervall.

1. Hvis en funksjon er kontinuerlig på et segment, når den både maksimums- og minimumsverdiene på den.

2. En kontinuerlig funksjon kan nå sine maksimums- og minimumsverdier både i enden av et segment og inne i det

3. Hvis den største (eller minste) verdien oppnås inne i segmentet, så bare på et stasjonært eller kritisk punkt.

Algoritme for å finne de største og minste verdiene kontinuerlig funksjon på segmentet

1. Finn den deriverte
.

2. Finn stasjonære og kritiske punkter, som ligger inne i segmentet .

3. Finn verdiene til funksjonen ved utvalgte stasjonære og kritiske punkter og i enden av segmentet, dvs.
Og
.

4.Blant de funnet verdiene, velg den minste (dette vil være
) og den største (dette vil være
)

Egenskaper til kontinuerlige funksjoner som er monotone på et intervall:

Kontinuerlig økning på et segment funksjonen når sin høyeste verdi ved
, den minste – kl
.

Kontinuerlig reduksjon på et segment funksjonen når sin høyeste verdi ved , og minimum ved .

Hvis funksjonsverdien
ikke-negativ på et eller annet intervall, deretter denne funksjonen og funksjonen
, hvor n er et naturlig tall, tar den største (minste) verdien i samme punkt.

Finne de største og minste verdiene kontinuerlig funksjon på intervallet
eller på bjelke

(optimeringsproblemer).

Hvis en kontinuerlig funksjon har et enkelt ekstremumpunkt på et intervall eller en stråle og dette ekstremumet er et maksimum eller minimum, oppnås ved dette punktet maksimums- eller minimumsverdien til funksjonen ( eller ).

Anvendelse av egenskapen til monotonisitet av funksjoner.

1. En kompleks funksjon sammensatt av to økende funksjoner øker.

2.Hvis funksjonen øker og funksjonen
reduseres, deretter funksjonen
- minkende.

3. Summen av to økende (minkende) funksjoner, økende (minkende) funksjon.

4. Hvis i lign.
venstre side er en økende (eller minkende) funksjon, da har ligningen høyst én rot.

5.Hvis funksjonen øker (avtagende), og funksjonen avtar (øker), så er ligningen
har høyst én løsning.

6. Ligning
har minst én rot hvis og bare hvis

tilhører flere betydninger
funksjoner .

Anvendelse av egenskapen til avgrensede funksjoner.

1. Hvis venstre side av ligningen (ulikhet) (
mindre enn eller lik et eller annet tall (
), og høyre side er større enn eller lik dette tallet (), deretter systemet
hvis løsning er løsningen på selve ligningen (ulikheten).

Selvkontrolloppgaver

Applikasjon:

3. Finn alle verdiene som ligningen for
har en løsning.

Hjemmelekser

1.Finn den største verdien av funksjonen:

, Hvis
.

2. Finn den minste verdien av funksjonen:

3. Finn den største heltallsverdien til funksjonen:

. de som tilsvarer størst. Ideell -...

Metodiske anbefalinger for praktiske timer Tema: Introduksjon. En kort historie om det latinske språket. Alfabet. Fonetikk

Retningslinjer

Stor, øvre, liten, foran, minst, størst. 3) Oversett: A. Mm. palati og... betydning a) Streptocidum b) Barbamylum c) Corticotropinum d) Cholosasum e) Agovirin Fakultet: MTD-modul: latinsk språk Metodisk anbefalinger Til ...

Retningslinjer

... . Størst Og minste verdier funksjoner Størst Og minst verdier 2 14. Antiderivat funksjoner Antiderivat 2 15. Begrepet differensiallikninger Eksempler på bruk av et derivat Til ...

Metodiske anbefalinger for egentrening av kadetter og studenter i disiplinen "Fysisk trening" Krasnodar

Retningslinjer

... Størst hastighet på vilkårlig enkelt bevegelse Og minste... Tilgjengelig en haug med anbefalinger Av... betydning har en rasjonell kombinasjon av virkemidler for generell og lokal handling. 4. Metodisk anbefalinger Til uavhengig studerer ... funksjoner. De de ...

Metodiske anbefalinger for bruk av lærebøker "Algebra og matematisk analyse, 10", "Algebra og matematisk analyse, 11" (forfattere: N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd) når man studerer emnet på profilnivå

Retningslinjer

... , en haug med verdier funksjoner, nuller funksjoner, intervaller med konstant fortegn funksjoner, jevnhet, særhet, periodisitet. Monotone funksjoner, monotonisitetsintervaller, ekstrema funksjoner. Størst Og minst verdier funksjoner ...

På mange områder av livet kan du bli møtt med det faktum at du trenger å løse noe ved å bruke tall, for eksempel i økonomi og regnskap, kan du finne ut minimum og maksimum av noen indikatorer bare ved å optimalisere de gitte parameterne. Og dette er ikke annet enn å finne de største og minste verdiene på gitt segment funksjoner. La oss nå se på hvordan du finner den største verdien av en funksjon.

Finne den største verdien: instruksjoner

Finn ut på hvilket segment av funksjonen du trenger for å beregne verdien, angi den med prikker. Dette intervallet kan være åpent (når funksjonen er lik segmentet), lukket (når funksjonen er på segmentet) og uendelig (når funksjonen ikke slutter).
Finn den deriverte funksjonen.
Finn punktene på funksjonssegmentet der den deriverte er null og alle kritiske punkter. Regn deretter ut verdiene til funksjonen på disse punktene og løs ligningen. Finn den største blant de oppnådde verdiene.
Vis funksjonsverdier på endepunkter, bestemme den største av dem
Sammenlign dataene med den største verdien og velg den største. Dette vil være den største verdien av funksjonen.

Hvordan finne den største heltallsverdien til en funksjon? Du må beregne om funksjonen er partall eller oddetall, og deretter løse spesifikt eksempel. Hvis tallet er oppnådd med en brøk, må du ikke ta det i betraktning resultatet av den største heltallsverdien til funksjonen vil bare være et heltall.

Studie av et slikt objekt matematisk analyse som en funksjon har stor betydning og i andre vitenskapsfelt. For eksempel i økonomisk analyse atferd er stadig nødvendig å bli vurdert funksjoner fortjeneste, nemlig å bestemme dens største betydning og utvikle en strategi for å oppnå det.

Bruksanvisning

Studiet av enhver atferd bør alltid begynne med et søk etter definisjonsdomenet. Vanligvis etter tilstand spesifikk oppgave det er nødvendig å bestemme den største betydning funksjoner enten over hele dette området, eller over et spesifikt intervall av det med åpne eller lukkede grenser.

Basert på er den største betydning funksjoner y(x0), der ulikheten y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) gjelder for ethvert punkt i definisjonsdomenet. Grafisk vil dette punktet være det høyeste hvis argumentverdiene er plassert langs abscisseaksen, og selve funksjonen langs ordinataksen.

For å bestemme den største betydning funksjoner, følg tre-trinns algoritmen. Vær oppmerksom på at du må kunne jobbe med ensidig og , samt beregne den deriverte. Så la en funksjon y(x) bli gitt, og du må finne den største betydning på et visst intervall med grenseverdier A og B.

Finn ut om dette intervallet er innenfor rammen av definisjonen funksjoner. For å gjøre dette, må du finne det ved å vurdere alle mulige begrensninger: tilstedeværelsen av en brøkdel i uttrykket, kvadratrot etc. Definisjonsdomenet er settet med argumentverdier som funksjonen gir mening for. Bestemme hvorvidt gitt intervall dens undergruppe. Hvis ja, gå til neste nivå.

Finn den deriverte funksjoner og løse den resulterende ligningen ved å likestille den deriverte til null. På denne måten får du verdiene til de såkalte stasjonære poengene. Vurder om minst én av dem tilhører intervallet A, B.

På det tredje stadiet, vurder disse punktene og bytt inn verdiene deres i funksjonen. Utfør følgende tilleggstrinn, avhengig av intervalltypen. Hvis det er et segment av formen [A, B], er grensepunktene inkludert i intervallet, dette er angitt med parentes. Beregn verdier funksjoner for x = A og x = B. If åpent intervall(A, B), grenseverdiene er punktert, dvs. er ikke inkludert i den. Løs ensidige grenser for x→A og x→B. Et kombinert intervall av formen [A, B) eller (A, B), hvis grenser tilhører den, finner den andre ikke den ensidige grensen som x har en tendens til den punkterte verdien, og sett inn den andre funksjonen uendelig tosidig intervall (-∞, +∞) eller ensidige uendelige intervaller av formen: , (-∞, B, fortsett i henhold til prinsippene som allerede er beskrevet, og for). uendelige, se etter grenser for henholdsvis x→-∞ og x→+∞.

Oppgaven på dette stadiet