1. Konsep masalah kedudukan. Ingat bahawa pesawat itu dipanggil memotong kapal terbang polihedron jika terdapat titik polihedron pada kedua-dua belah satah ini. Bahagian polihedron Satah ialah poligon yang sisinya ialah segmen sepanjang satah pemotongan bersilang dengan muka polihedron.
Dalam Rajah. 30 menunjukkan sebuah prisma segi tiga. (Dalam lukisan unjuran ini, imej titik ditunjukkan oleh huruf yang sama dengan titik asal yang sepadan). Mari kita bayangkan bahawa kita perlu menandakan mata: a) M, berbaring di tepi; b) N, berbaring di muka; c) terletak di dalam prisma.
Jika kita menggambarkan titik-titik ini seperti yang dilakukan dalam rajah a), maka hanya mengenai titik itu M kita secara kasar boleh mengatakan bahawa ia terletak di tepi . Kedudukan mata N Dan K Ia adalah mustahil untuk menentukan dari gambar ini. Rajah b) sudah membolehkan kita membuat kesimpulan bahawa perkara itu N terletak di muka, dan intinya adalah
 |
di dalam prisma. Bagaimanakah kesimpulan ini boleh dibuat? Hakikatnya ialah dalam angka kedua kami menetapkan unjuran mata N Dan K pada satah tapak yang selari dengan tepi sisi prisma itu. Tegasnya, untuk memastikan bahawa perkara itu M terletak di tepi, bersendirian persepsi visual juga tidak mencukupi. (Dalam reka bentuk yang mana imej prisma itu dibuat, titik M berfungsi sebagai unjuran mana-mana titik pada garis selari dengan arah reka bentuk dan melaluinya.)
Jika kita menunjukkan bahawa apabila mereka bentuk selari dengan tepi sisi prisma, titik M diunjurkan ke pangkalan pada satu titik A, maka keyakinan sedemikian muncul.
Keadaan yang sama ditunjukkan dalam Rajah. 31. Di sini anda perlu menandakan mata: a) M di tepi tepi S.A.; b) N- di ambang SAB;
V) KEPADA- di dalam piramid. Perbezaannya ialah rajah yang betul menggunakan unjuran pusat titik bertanda pada satah asas piramid dari atasnya S.
Untuk membuat imej jelas, dalam contoh yang dibincangkan adalah perlu untuk menggunakan bukan satu reka bentuk, tetapi dua. Reka bentuk pertama, dengan bantuan yang mana imej polihedron dibuat, dipanggil luaran Reka bentuk kedua adalah bersifat tambahan. Ia dikaitkan dengan angka itu sendiri - ini, sebagai peraturan, unjuran ke satah yang mengandungi salah satu muka polihedron. Kami hanya akan berurusan dengan prisma dan piramid, dan paling kerap memilih satah asas mereka sebagai satah sedemikian. Reka bentuk dibantu dipanggil dalaman. Daripada contoh yang dipertimbangkan, jelas bahawa untuk prisma adalah mudah untuk menggunakan reka bentuk selari dalaman, dan untuk piramid - pusat.
biarlah F 0 – beberapa angka di angkasa, yang diunjurkan secara selari ke atas pesawat hlm(reka bentuk luaran). Agar imej rajah menjadi jelas, kami memilih satah tertentu di angkasa selain satah hlm, dan pertimbangkan reka bentuk baharu, selari atau tengah, bagi titik-titik rajah itu F 0 ke satah ini (unjuran dalaman).
Pertimbangkan satu titik dalam ruang M 0 dan unjurannya ke pesawat p 0 ¢ semasa reka bentuk dalaman. Mari kita unjurkan kedua-dua titik ini ke dalam pesawat hlm. Dalam kes ini, unjuran M mata M 0 dipanggil asas(atau hanya unjuran), dan unjuran M¢ titik - menengah.
Jika untuk satu mata M 0 angka F 0 unjuran dan unjuran sekundernya diketahui, maka dari imej kita boleh menilai kedudukan titik ini pada yang asal. Dalam kes ini mereka mengatakan bahawa perkara itu M 0 kepunyaan angka itu F 0 ialah diberi pada lukisan unjuran. Gambar rajah F 0, di mana setiap titik rajah diberikan, dipanggil penuh.
Dalam lukisan unjuran, selalunya perlu untuk menyelesaikan masalah mencari persimpangan pelbagai tokoh. Tugas sedemikian dipanggil kedudukan. Jika sesetengah imej telah lengkap, maka sebarang masalah kedudukan boleh diselesaikan pada imej ini.
Sebagai kesimpulan, kami perhatikan perkara berikut. Jika M 0 ¢ , N 0 ¢, K 0 ¢, ... – imej mata M 0 , N 0 , K 0 , ... untuk reka bentuk dalaman, kemudian untuk imej reka bentuk luaran (selari). MM¢, NN¢, KK¢, ... garis selari M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... dalam kapal terbang hlm juga akan selari. Jika M 0 ¢, N 0 ¢, K 0 ¢, ... – imej mata M 0 , N 0 , K 0, ... dengan reka bentuk pusat dalaman dengan pusat S 0 , kemudian imej MM¢, NN¢, KK¢, ... langsung M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... semasa reka bentuk luaran bersilang pada satah hlm pada satu ketika S. Titik ini akan menjadi imej titik S 0 .
Antara masalah kedudukan, kita hanya akan berminat dengan masalah yang berkaitan dengan pembinaan bahagian poligon. Mari kita pertimbangkan kaedah utama untuk membina bahagian tersebut. Biasanya, apabila menyelesaikan masalah stereometrik, imej titik rajah dalam lukisan unjuran dilambangkan dengan huruf yang sama dengan titik yang sepadan pada angka asal. Kami juga akan mematuhi peraturan ini pada masa hadapan.
2. Pembinaan keratan berdasarkan sifat garis dan satah selari. Kaedah ini terutamanya sering digunakan apabila membina bahagian parallelepiped. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa sisi bertentangan parallelepiped adalah selari. Dengan teorem persilangan satah selari satah ketiga bagi garis persilangan muka selari ialah segmen selari.
Tugasan 1. Asasnya piramid segi empat SABCD ialah segiempat selari. Bina bahagian piramid dengan satah melalui titik yang terletak di tepi sisi AS, selari dengan pepenjuru BD alasan.
Berapakah bilangan pesawat sedemikian yang boleh dibina? Apakah bentuk yang boleh diperolehi dalam keratan rentas?
Penyelesaian. Dalam satah asas piramid kita melukis garis lurus sewenang-wenangnya a, selari dengan pepenjuru BD. Sebuah satah melalui garis dan titik ini a, dan satu-satunya pada masa itu. Berdasarkan keselarian garis lurus dan satah dan, oleh itu, satah a adalah apa yang kita cari.
Dalam satah tapak terdapat banyak garisan tak terhingga selari dengan garis itu B.D. oleh itu, terdapat banyak pesawat yang tidak terhingga yang memenuhi syarat masalah.
 |
Jenis poligon yang diperoleh dalam bahagian bergantung pada bilangan muka yang bersilang satah a. Oleh kerana piramid segi empat mempunyai lima muka, keratan rentas boleh menghasilkan segi tiga, segi empat dan pentagon.
Dalam Rajah. 32 menunjukkan pelbagai kes lokasi garis lurus a relatif kepada segi empat selari ABCD. Jelas sekali, bergantung pada lokasi ini, jenis bahagian poligon akan ditentukan.
Di sebelah kiri dalam Rajah. 33 kes itu dipertimbangkan apabila garis lurus a 1 melintasi sisi AD,AB pada titik M, N masing-masing, dan terletak dengan titik dalam separuh ruang yang sama dengan sempadan BSD. Di sini keratan rentas ialah segi tiga MKN.
Rajah yang betul menunjukkan kes apabila garis lurus a 3 terletak dengan satu mata bersama sisi yang berbeza dari kapal terbang BSD dan melintasi sisi DC, B.C. asas pada titik M, N masing-masing. Mari kita nyatakan dengan X titik persilangan garis AD Dan a 3 . Memandangkan ia lurus AD terletak pada satah muka A.S.D., maka intinya terletak pada wajah ini X. Sebaliknya, tunjuk X tergolong dalam barisan a 3 berbaring di dalam pesawat pemotongan. Oleh itu, garis lurus akan menjadi garis persilangan satah pemotongan dan satah muka ASD. Ini membolehkan anda mencari titik R=SDÇ KX. Begitu juga, titik membolehkan anda membina bucu TÎ B.S. bahagian yang dikehendaki. Dalam kes yang dipertimbangkan, satah pemotong memotong semua muka piramid dan bahagiannya ialah pentagon.
Kes lain kedudukan relatif langsung a dan periksa sendiri dasar piramid itu.
Mari kita pertimbangkan kaedah khas untuk membina bahagian.
4. Kaedah surih. Jika satah pemotongan tidak selari dengan muka polihedron, maka ia memotong satah muka ini dalam garis lurus. Garis lurus di mana satah pemotong bersilang dengan satah muka polihedron dipanggil mengikuti satah pemotongan pada satah muka ini. Salah satu kaedah untuk membina bahagian polyhedra adalah berdasarkan menggunakan kesan satah pemotongan pada satah salah satu mukanya. Selalunya, apabila membina bahagian prisma dan piramid terpotong, satah tapak bawah dipilih sebagai satah sedemikian, dan dalam kes piramid, satah tapaknya.
Mari kita lihat pembinaan bahagian menggunakan kaedah surih menggunakan contoh.
Tugasan 2. Imej diberikan prisma segi empatABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Nyatakan tiga titik kepunyaan muka sisi yang berbeza dan bina bahagian yang melalui tiga titik ini.
Penyelesaian. Mari kita ingat bahawa untuk menentukan titik dalam lukisan unjuran, adalah perlu untuk menentukan unjuran primer dan sekundernya. Dalam kes prisma, kami bersetuju untuk menggunakan reka bentuk selari dalaman untuk menentukan unjuran sekunder. Oleh itu, untuk menetapkan titik M, baring di muka ABB 1 A 1, nyatakan unjurannya M 1 pada satah tapak selari dengan tepi sisi prisma itu. Mata ditetapkan dengan cara yang sama N Dan K, berbaring di muka AD 1 D.A. 1 , CDD 1 C 1 masing-masing (Rajah 34). Mari kita bina jejak satah pemotongan pada satah tapak bawah prisma itu. Garis selari MM 1 terletak pada satah yang sama dan, oleh itu, dalam kes am garis lurus bersilang pada satu titik X. Oleh kerana garis lurus terletak pada satah pemotongan, dan garis lurus terletak pada satah tapak bawah, maka titik X tergolong dalam kesan satah pemotongan pada satah tapak bawah prisma itu. Begitu juga, mata K, N dan unjuran sekunder mereka K 1 , N 1 membolehkan anda mencari titik kedua Y, tergolong dalam jejak yang diingini.
Lurus AB, baring di muka ABB 1 A 1, melintasi laluan XY pada titik Z, oleh itu lurus MZ terletak pada satah muka ABB 1 A 1 dan dalam satah secant. Segmen TR, Di mana T=MZÇ A.A. 1 , P=MZÇ BB 1 akan menjadi sisi poligon bahagian. Seterusnya, kami membina sisinya secara berurutan TR Dan RQ, melalui titik-titik ini N Dan K masing-masing. Akhirnya, kami membina sisi PQ.
Masalah 3 . Imej piramid pentagon diberikan SABCDE. Tetapkan mata N Dan K, kepunyaan tepi sisi S.C., SD sewajarnya perkara itu M, baring di muka ASE. Bina bahagian yang melalui mata yang diberikan.
Penyelesaian. Untuk menetapkan mata K,N Dan M Mari kita gunakan unjuran pusat dalaman dengan pusat di bahagian atas piramid. Dalam kes ini, unjuran mata K Dan N akan ada titik D Dan C, dan unjuran titik M– titik (Rajah 35).
Garisan dan baring di dalam pesawat biasanya bersilang pada satu titik X, berbaring di dalam pesawat pemotongan. Sebaliknya, tunjuk X terletak pada satah tapak, dan, oleh itu, ia tergolong dalam kesan satah sekan pada satah tapak. Titik kedua bagi jejak yang dikehendaki akan menjadi titik. Lurus AE, baring di muka ASE piramid, melintasi jejak XY pada titik Z. Melukis garis lurus ZM, cari sebelah LP bahagian poligon. Untuk mencari bucu bahagian, kami membina satu titik dan kemudian garis lurus.
5. Kaedah reka bentuk dalaman. Intipati kaedah ini ialah di sini, menggunakan unjuran dalaman, titik bahagian dicari oleh unjuran sekunder yang diketahui. Kaedah reka bentuk dalaman amat mudah digunakan dalam kes di mana jejak satah pemotongan jauh dari angka yang diberikan. Kaedah ini juga amat diperlukan apabila beberapa garisan yang mengandungi sisi tapak polihedron bersilang dengan jejak di luar lukisan. Mari kita lihat aplikasi kaedah menggunakan contoh.
Masalah 4. Diberi imej prisma heksagon dan tiga mata terletak dalam tiga muka sisi, tiada dua daripadanya bersebelahan. Bina satu bahagian prisma dengan satah yang melalui titik-titik yang diberi.
Penyelesaian. Biarkan mata yang diberikan M,L,K berbaring di muka , , , dan M¢,L¢,K¢– unjuran sekunder mereka
(Gamb. 36).
Mari kita cari titik di mana satah pemotong bersilang dengan tepi sisi. Untuk melakukan ini, menggunakan unjuran dalaman untuk titik, kita dapati unjuran utama X, berbaring di dalam pesawat pemotongan. Titik carian X ialah titik persilangan garis yang melalui titik itu X¢ selari dengan tepi sisi prisma, dan lurus M.L., berbaring di dalam pesawat pemotongan. titik X membolehkan anda membina bucu dan kemudian sisi QR bahagian. Begitu juga, menggunakan titik, kita membina titik Y, lurus KY dan cari bahagian atas R bahagian. Seterusnya, sisi dibina PQ Dan P.O. bahagian.
Pembinaan selebihnya dijalankan di urutan seterusnya:
1) membina titik Z¢=AK¢Ç BD;
2) cari titik Z (ZÎ PK);
3) kami menjalankan secara langsung OZ dan cari bahagian atas S (SÎ DD 1) bahagian;
4) membina sisi secara berurutan S.R.,ST Dan KEPADA bahagian.
Masalah 5 . Imej piramid segi empat tepat dan tiga titik terletak pada tepi sisinya diberikan. Bina bahagian yang melalui titik yang diberi.
Penyelesaian. biarlah S.A.B.C.D. piramid ini, A M,N, K– data titik (Rajah 37). Unjuran mata kedua M, N, K dalam unjuran tengah dalaman dari atas S titik pada satah asas A, C Dan D masing-masing. Perhatikan bahawa dalam masalah ini sisi dan KN bahagian segera dibina. Yang tinggal hanyalah mencari puncak bahagian L, baring di tepi tepi S.B.. Untuk melakukan ini, kami akan membina satu titik dan "menaikkannya" ke satah pemotongan menggunakan unjuran dalaman. Praimej titik X¢ dalam kes ini reka bentuk pusat akan menjadi titik utama X=X¢SÇ MN. Puncak L, kepunyaan tepi S.B., terletak pada garis lurus KX.
6. Kaedah gabungan.
Intipati kaedah ini adalah untuk menggabungkan kaedah surih atau kaedah reka bentuk dalaman dengan binaan berdasarkan sifat garisan dan satah selari.
Pertimbangkan contoh berikut.
Masalah 6. Titik M ialah titik tengah tepi AD Cuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Bina bahagian kubus dengan satah yang melalui satu titik M selari dengan pepenjuru ВD tapak dan pepenjuru AB 1 tepi tepi AA 1 DALAM 1 DALAM.
Penyelesaian. Memotong kapal terbang a selari dengan pepenjuru BD asas dan melalui titik M, juga terletak di pangkal, jadi ia memotong pangkal dalam garis lurus
(Gamb. 38).
Lurus l akan menjadi jejak pesawat a pada satah tapak bawah kubus. Mari kita nyatakan. Jejak m kapal terbang a pada satah muka ABB 1 A 1 dibina sama. Jejak ini melalui titik itu N, selari AB 1. Mari kita nyatakan.
Anda boleh terus membina bahagian itu tanpa perlu kaedah khas. Walau bagaimanapun, kami akan menggunakan kaedah jejak. Biar lurus Matahari melintasi denai l pada titik X. mata X dan pesawat yang dikehendaki a juga terletak di satah muka VSS 1 DALAM 1 . Mari kita nyatakan dengan L titik persilangan garis dan tepi DALAM 1 DENGAN 1. Seterusnya, adalah mudah untuk menggunakan teorem tentang persilangan dua satah selari dengan satah ketiga. Berdasarkan teorem ini, . Di sini RÎ DD 1 ,PÎ C 1 D 1 .
Buktikan bahawa heksagon yang diperoleh dalam bahagian adalah sekata.
Imej bulatan
1. Ellipse dan sifat-sifatnya. Apabila menggambarkan silinder, kon dan bola (sfera), kita perlu melukis elips. Elips boleh ditakrifkan dalam pelbagai cara. Mari kita kurangkan definisi dengan memampatkan satah kepada garis lurus.
 |
Ellipse dipanggil garisan, iaitu imej bulatan apabila satah dimampatkan kepada garis lurus yang melalui pusat bulatan (Gamb. 39).
Jika bulatan, garis lurus yang melalui pusatnya, dan nisbah mampatan diberikan, menggunakan definisi di atas adalah mudah untuk membina imej bagi mana-mana titik pada bulatan yang diberikan. Dengan membina beberapa titik imej dan menyambungkannya dengan garis licin, anda boleh melukis elips, iaitu imej bulatan.
Oxy supaya paksinya lembu bertepatan dengan pemampatan langsung l, dan permulaan TENTANG adalah pusat bulatan w jejari a(Gamb. 40). Dalam sistem koordinat ini, bulatan w ditentukan oleh persamaan: atau
Ini bermakna mana-mana titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (1) tergolong dalam bulatan w, dan titik yang koordinatnya tidak memenuhi (1) tidak tergolong.
biarlah
ialah nisbah mampatan, ialah titik arbitrari bagi satah, dan M 0 – unjurannya ke garisan l. Apabila dimampatkan ke satu titik M pergi ke satu tahap sedemikian 
. Memandangkan ia lurus MM 1 selari dengan paksi Oy, kemudian , dan unjuran M 0 daripada titik ini pada garisan mampatan lembu ditentukan oleh koordinat.
Dari sini, . Oleh itu, formula mampatan mempunyai bentuk
Sebaliknya, formula (2) menentukan mampatan satah ke paksi lembu dengan nisbah mampatan , di mana titik pergi ke titik.
Daripada formula ini, . Menggantikan x Dan y ke dalam persamaan (1), kita dapat: . Ini bermakna bahawa koordinat titik M 1, iaitu imej titik pada bulatan, memenuhi persamaan
mana . Ini adalah persamaan dalam sistem Oxy mentakrifkan elips g, yang diperoleh dengan memampatkan bulatan w kepada paksi lembu. Ingat bahawa persamaan (3) dipanggil persamaan kanonik elips.
Menggunakan persamaan kanonik elips, anda boleh mengkajinya sifat geometri. Mari kita ingat beberapa konsep yang berkaitan dengan elips dan sifatnya.
Biarkan elips g diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat oleh persamaan kanonik (3). Kerana x Dan y masukkan ke dalam persamaan ini ke tahap kedua, kita boleh membuat kesimpulan berikut.
Jika , maka О g(Gamb. 41). Ia berikutan bahawa asal usul TENTANG ialah pusat simetri elips. Pusat simetri elips dipanggilnya pusat.
Jika , maka . Ia mengikuti garis lurus itu lembu Dan Oy ialah paksi simetri elips. Paksi simetri elips dipanggilnya paksi. Setiap paksi memotong elips pada dua titik. paksi lembu mempunyai persamaan , oleh itu daripada persamaan (3) untuk absis titik A 1 , A 2 kita ada persimpangan. Dari sini A 1 (a;0), A 2 (–a;0). Begitu juga, kita dapati bahawa paksi Oy memotong elips pada titik DALAM 1 (0;b) Dan DALAM 2 (0;–b). Titik persilangan elips dengan paksinya dipanggil puncak elips. Segmen A 1 A 2 dan DALAM 1 DALAM 2 juga dipanggil paksi elips. Pusat elips TENTANG ialah titik tengah biasa bagi setiap segmen ini.
 |
Segmen yang hujungnya tergolong dalam elips dipanggil kord elips ini. Kord elips yang melalui pusatnya dipanggil diameter elips. Bermaksud, Paksi elips adalah diameternya yang saling berserenjang.
Ambil perhatian bahawa untuk , kami ada . Dalam kes ini A 1 A 2 >B 1 B 2 dan segmen A 1 A 2 , B 1 B 2 dinamakan sesuai paksi besar dan kecil elips. Dalam kes ini, nombor dipanggil sewajarnya paksi utama dan paksi kecil elips. Apabila , sebaliknya, . Di sini nama paksi berubah dengan sewajarnya.
Mari kita pertimbangkan persamaan parametrik elips dan kaedah membina titik elips berdasarkannya.
Biarkan segmen A 1 A 2 dan DALAM 1 DALAM 2 ialah paksi bagi elips. Mari kita bina bulatan sepusat pada mereka, seperti pada diameter. w 1 dan w 2 masing-masing (Rajah 42). Pertimbangkan sinar h bermula pada satu titik TENTANG. Sinar ini memotong bulatan w 1 dan w 2 pada mata M 1 dan M 2. Melalui titik M 1 lukis garis lurus selari dengan paksi kecil DALAM 1 DALAM 2, dan melalui titik M 2 – garis lurus selari dengan paksi utama A 1 A 2. Mari kita tunjukkan perkara itu M persilangan garisan ini tergolong dalam elips dengan paksi yang diberikan.
Jom pilih sistem segi empat tepat koordinat Oxy bermula pada satu titik TENTANG. Biar ada titik dalam sistem ini M mempunyai koordinat ( x;y). Seterusnya, biarkan rasuk h terbentuk dengan sinar OA 1 sudut t. Jika , maka 
, 
. Sejak mata M Dan M 1 mempunyai abscissas yang sama, dan mata M Dan M 2 – koordinat sama,
Daripada kesamaan (4) , , Oleh itu, disebabkan oleh utama identiti trigonometri 
kita ada, i.e. titik yang dibina tergolong dalam elips dengan separa paksi a Dan b.
Untuk sebarang nilai tÎ}