Hasil bagi dividen dan pembahagi hasil positif. Istilah dan konsep hasil bagi integer

Hanya kerana untuk integer anda perlu mengira tanda hasil bagi. Bagaimana untuk mengira tanda hasil bagi integer? Mari kita lihat secara terperinci dalam topik.

Istilah dan konsep hasil bagi integer.

Untuk melakukan pembahagian integer, anda perlu mengingati istilah dan konsep. Dalam pembahagian terdapat: dividen, pembahagi dan hasil bagi integer.

Dividen ialah integer yang dibahagi. Pembahagi ialah integer yang dibahagi dengan. Persendirian ialah hasil pembahagian integer.

Anda boleh menyebut "Pembahagian integer" atau "Quotient of integer"; maksud frasa ini adalah sama, iaitu, anda perlu membahagikan satu integer dengan yang lain dan dapatkan jawapannya.

Pembahagian berasal daripada pendaraban. Mari lihat contoh:

Kita mempunyai dua faktor 3 dan 4. Tetapi katakan kita tahu bahawa terdapat satu faktor 3 dan hasil darab faktor adalah hasil darabnya 12. Bagaimana untuk mencari faktor kedua? Bahagian datang untuk menyelamatkan.

Peraturan untuk membahagi integer.

Definisi:

Petikan bagi dua integer adalah sama dengan hasil bagi modul mereka, dengan tanda tambah sebagai hasilnya jika nombor mempunyai tanda yang sama, dan dengan tanda tolak jika mereka mempunyai tanda yang berbeza.

Adalah penting untuk mempertimbangkan tanda hasil bagi integer. Peraturan ringkas untuk membahagi integer:

Tambah pada tambah memberi tambah.
“+ : + = +”

Dua negatif membuat afirmatif.
“– : – =+”

Tolak tambah tambah memberi tolak.
“– : + = –”

Tambah kali tolak memberi tolak.
“+ : – = –”

Sekarang mari kita lihat secara terperinci pada setiap titik peraturan untuk membahagi integer.

Membahagi integer positif.

Ingat bahawa integer positif adalah sama dengan nombor asli. Kami menggunakan peraturan yang sama seperti pembahagian nombor asli. Tanda hasil bagi untuk membahagi integer nombor positif sentiasa tambah. Dengan kata lain, apabila membahagi dua integer " tambah pada tambah memberi tambah”.

Contoh:
Bahagikan 306 dengan 3.

Penyelesaian:
Kedua-dua nombor mempunyai tanda “+”, jadi jawapannya ialah tanda “+”.
306:3=102
Jawapan: 102.

Contoh:
Bahagikan dividen 220286 dengan pembahagi 589.

Penyelesaian:
Dividen 220286 dan pembahagi 589 mempunyai tanda tambah, jadi hasil bagi juga akan mempunyai tanda tambah.
220286:589=374
Jawapan: 374

Membahagi integer negatif.

Peraturan untuk membahagi dua nombor negatif.

Mari kita mempunyai dua integer negatif a dan b. Kita perlu mencari modul mereka dan melaksanakan pembahagian.

Hasil pembahagian atau hasil bagi dua integer negatif akan mempunyai tanda “+”. atau "dua negatif membuat afirmatif".

Mari lihat contoh:
Cari hasil bagi -900:(-12).

Penyelesaian:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Jawapan: -900:(-12)=75

Contoh:
Bahagikan satu integer negatif -504 dengan yang kedua nombor negatif -14.

Penyelesaian:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Ungkapan itu boleh ditulis dengan lebih ringkas:
-504:(-14)=34

Membahagi integer dengan tanda yang berbeza. Peraturan dan contoh.

Apabila melaksanakan membahagi integer dengan tanda yang berbeza , hasil bahagi akan sama dengan nombor negatif.

Sama ada integer positif dibahagikan dengan integer negatif atau integer negatif dibahagikan dengan integer positif, hasil pembahagian akan sentiasa sama dengan nombor negatif.

Tolak tambah tambah memberi tolak.
Tambah kali tolak memberi tolak.

Contoh:
Cari hasil bagi dua integer dengan tanda berbeza -2436:42.

Penyelesaian:
-2436:42=-58

Contoh:
Kira pembahagian 4716:(-524).

Penyelesaian:
4716:(-524)=-9

Sifar dibahagikan dengan integer. peraturan.

Apabila sifar dibahagikan dengan integer, jawapannya ialah sifar.

Contoh:
Lakukan pembahagian 0:558.

Penyelesaian:
0:558=0

Contoh:
Bahagikan sifar dengan integer negatif -4009.

Penyelesaian:
0:(-4009)=0

Anda tidak boleh membahagi dengan sifar.

Anda tidak boleh membahagi 0 dengan 0.

Menyemak pembahagian separa integer.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, pembahagian dan pendaraban adalah berkait rapat. Oleh itu, untuk menyemak hasil pembahagian dua integer, anda perlu mendarabkan pembahagi dan hasil bagi, menghasilkan dividen.

Menyemak keputusan pembahagian ialah formula ringkas:
Divisor ∙ Quotient = Dividen

Mari lihat contoh:
Lakukan pembahagian dan semak 1888:(-32).

Penyelesaian:
Beri perhatian kepada tanda-tanda integer. Nombor 1888 adalah positif dan mempunyai tanda "+". Nombor (-32) adalah negatif dan mempunyai tanda “–”. Oleh itu, apabila membahagikan dua integer dengan tanda yang berbeza, jawapannya akan menjadi nombor negatif.
1888:(-32)=-59

Sekarang mari kita semak jawapan yang ditemui:
1888 - boleh dibahagikan,
-32 – pembahagi,
-59 – persendirian,

Kami mendarabkan pembahagi dengan hasil bagi.
-32∙(-59)=1888

Fungsi a n =f (n) bagi hujah semula jadi n (n=1; 2; 3; 4;...) dipanggil urutan nombor.

Nombor a 1; a 2; a 3; a 4 ;…, membentuk jujukan, dipanggil ahli jujukan berangka. Jadi a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Jadi, ahli-ahli urutan ditetapkan oleh huruf yang menunjukkan indeks - nombor siri ahli mereka: a 1 ; a 2; a 3; a 4 ;…, oleh itu, a 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;

a 2 ialah sebutan kedua bagi jujukan;

a 3 ialah ahli ketiga bagi jujukan;

a 4 ialah sebutan keempat bagi jujukan, dsb.

Secara ringkas urutan berangka ditulis seperti berikut: a n =f (n) atau (a n).

Terdapat cara berikut untuk menentukan urutan nombor:

1) Kaedah lisan. Mewakili corak atau peraturan untuk susunan ahli urutan, diterangkan dalam perkataan.

Contoh 1. Tulis urutan semua nombor bukan negatif, gandaan 5.

Penyelesaian. Oleh kerana semua nombor yang berakhir dengan 0 atau 5 boleh dibahagi dengan 5, urutan akan ditulis seperti ini:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Contoh 2. Diberi urutan: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Tanya secara lisan.

Penyelesaian. Kami perasan bahawa 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Kami membuat kesimpulan: diberi urutan yang terdiri daripada kuasa dua nombor asli.

2) Kaedah analisis. Urutan diberikan oleh formula sebutan ke-n: a n =f (n). Menggunakan formula ini, anda boleh mencari mana-mana ahli jujukan.

Contoh 3. Ungkapan bagi sebutan ke-k bagi urutan nombor diketahui: a k = 3+2·(k+1). Kira empat sebutan pertama jujukan ini.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Contoh 4. Tentukan peraturan untuk mengarang jujukan berangka menggunakan beberapa ahli pertamanya dan nyatakan istilah am jujukan menggunakan formula yang lebih mudah: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Penyelesaian. Kami perasan bahawa kami diberi urutan nombor ganjil. mana-mana nombor ganjil boleh ditulis dalam bentuk: 2k-1, di mana k ialah nombor asli, i.e. k=1; 2; 3; 4; ... . Jawapan: a k =2k-1.

3) Kaedah berulang. Urutan juga diberikan oleh formula, tetapi bukan oleh formula istilah umum, yang bergantung hanya pada bilangan istilah. Satu formula ditentukan yang mana setiap istilah seterusnya ditemui melalui istilah sebelumnya. Dalam kes kaedah berulang untuk menentukan fungsi, satu atau beberapa ahli pertama jujukan sentiasa dinyatakan tambahan.

Contoh 5. Tulis empat sebutan pertama bagi jujukan (a n ),

jika a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Jawapan: 7; 12; 17; 22; ... .

Contoh 6. Tulis lima sebutan pertama bagi urutan (b n),

jika b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Jawapan: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Kaedah grafik. Urutan berangka diberikan oleh graf, yang mewakili titik terpencil. Absis bagi titik ini ialah nombor asli: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinan ialah nilai anggota jujukan: a 1 ; a 2; a 3; a 4;… .

Contoh 7. Tuliskan kesemua lima sebutan bagi turutan berangka yang diberi secara grafik.

Setiap titik dalam ini satah koordinat mempunyai koordinat (n; a n). Mari kita tuliskan koordinat titik yang ditanda dalam tertib menaik bagi abscissa n.

Kami dapat: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Oleh itu, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Jawapan: -3; 1; 4; 6; 7.

Disemak urutan nombor sebagai fungsi (dalam contoh 7) diberikan pada set lima nombor asli pertama (n=1; 2; 3; 4; 5), oleh itu, adalah urutan nombor terhingga(terdiri daripada lima orang ahli).

Jika urutan nombor sebagai fungsi diberikan pada keseluruhan set nombor asli, maka jujukan sedemikian akan menjadi urutan nombor tak terhingga.

Urutan nombor dipanggil semakin meningkat, jika ahlinya bertambah (a n+1 >a n) dan berkurangan, jika ahlinya semakin berkurangan(a n+1

Urutan nombor bertambah atau berkurang dipanggil membosankan.

Nombor yang sangat besar dan sangat kecil biasanya ditulis dalam bentuk standard: a∙10 n, Di mana 1≤a<10 Dan n(semula jadi atau integer) – ialah susunan nombor yang ditulis dalam bentuk piawai.

Contohnya, 345.7=3.457∙10 2; 123456=1.23456∙10 5 ; 0.000345=3.45∙10 -4.

Contoh.

Tulis nombor dalam bentuk piawai: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Penyelesaian.

1) 40503=4.0503·10 4;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

Lebih banyak contoh tentang bentuk nombor piawai.

5) Bilangan molekul gas dalam 1 cm 3 pada 0°C dan tekanan 760 mm ps.st adalah sama dengan

27 000 000 000 000 000 000.

Penyelesaian.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 parsec(unit panjang dalam astronomi) adalah sama dengan 30,800,000,000,000 km. Tulis nombor ini dalam bentuk piawai.

Penyelesaian.

1 parsec=30 800 000 000 000=3.08∙10 13 km.

Mengenai topik:

Kilowatt jam ialah unit luar sistem tenaga atau kerja, digunakan dalam kejuruteraan elektrik, dilambangkan kWj.

1 kWj=3.6∙10 6 J(Joule).

Selalunya anda perlu mencari jumlah kuasa dua (x 1 2 +x 2 2) atau hasil tambah kubus (x 1 3 +x 2 3) punca-punca persamaan kuadratik, kurang kerap - jumlah nilai salingan ​daripada kuasa dua punca atau jumlah punca kuasa dua aritmetik bagi punca-punca persamaan kuadratik:

Teorem Vieta boleh membantu dengan ini:

Jumlah punca bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +px+q=0 adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Jom luahkan melalui hlm Dan q:

1) hasil tambah kuasa dua punca persamaan x 2 +px+q=0;

2) hasil tambah kubus akar-akar persamaan x 2 +px+q=0.

Penyelesaian.

1) Ungkapan x 1 2 +x 2 2 diperoleh dengan mengkuadratkan kedua-dua belah persamaan x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; buka kurungan: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; kami menyatakan jumlah yang diperlukan: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Kami mendapat persamaan yang berguna: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Ungkapan x 1 3 +x 2 3 Mari kita mewakili jumlah kubus menggunakan formula:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Satu lagi persamaan berguna: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Contoh.

3) x 2 -3x-4=0. Tanpa menyelesaikan persamaan, hitung nilai ungkapan itu x 1 2 +x 2 2.

Penyelesaian.

x 1 +x 2 =-p=3, dan kerja x 1 ∙x 2 =q=dalam contoh 1) persamaan:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Kami ada -hlm=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Kemudian x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Jawapan: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Kira: x 1 3 +x 2 3 .

Penyelesaian.

Dengan teorem Vieta, jumlah punca persamaan kuadratik terkecil ini ialah x 1 +x 2 =-p=2, dan kerja x 1 ∙x 2 =q=-4. Mari kita gunakan apa yang telah kita terima ( dalam contoh 2) kesamarataan: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Jawapan: x 1 3 +x 2 3 =32.

Soalan: bagaimana jika kita diberi persamaan kuadratik tidak dikurangkan? Jawapan: ia sentiasa boleh "dikurangkan" dengan membahagikan sebutan dengan sebutan dengan pekali pertama.

5) 2x 2 -5x-7=0. Tanpa membuat keputusan, hitung: x 1 2 +x 2 2.

Penyelesaian. Kami diberi persamaan kuadratik lengkap. Bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 2 (pekali pertama) dan dapatkan persamaan kuadratik berikut: x 2 -2.5x-3.5=0.

Menurut teorem Vieta, jumlah punca adalah sama dengan 2,5 ; hasil darab akar adalah sama dengan -3,5 .

Kami menyelesaikannya dengan cara yang sama seperti contoh 3) menggunakan persamaan: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Jawapan: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Cari:

Marilah kita mengubah kesamaan ini dan, menggunakan teorem Vieta, menggantikan jumlah punca melalui -hlm, dan hasil darab akar melalui q, kami mendapat satu lagi formula yang berguna. Apabila memperoleh formula, kami menggunakan kesamaan 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Dalam contoh kita x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula yang dihasilkan:

7) x 2 -13x+36=0. Cari:

Mari kita ubah jumlah ini dan dapatkan formula yang boleh digunakan untuk mencari jumlah punca kuasa dua aritmetik daripada punca persamaan kuadratik.

Kami ada x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula yang dihasilkan:

Nasihat : sentiasa semak kemungkinan mencari punca persamaan kuadratik menggunakan kaedah yang sesuai, kerana 4 disemak formula yang berguna membolehkan anda menyelesaikan tugas dengan cepat, terutamanya dalam kes di mana pendiskriminasi adalah nombor "menyusahkan". Dalam semua kes mudah, cari akar dan kendalikannya. Sebagai contoh, dalam contoh terakhir kita memilih punca menggunakan teorem Vieta: jumlah punca hendaklah sama dengan 13 , dan hasil daripada akar 36 . Apakah nombor ini? Sudah tentu, 4 dan 9. Sekarang hitung jumlah punca kuasa dua nombor ini: 2+3=5. Itu sahaja!

Pembahagian ditakrifkan sebagai songsangan bagi pendaraban.

Membahagi satu nombor dengan yang lain bermakna mencari nombor ketiga yang, apabila didarab dengan pembahagi, akan memberikan dividen dalam hasil darab:

Berdasarkan takrifan ini, kami memperoleh peraturan bahagi untuk nombor rasional.

Pertama sekali, mari kita nyatakan sekali dan untuk semua bahawa pembahagi tidak boleh menjadi sifar. Pembahagian dengan sifar dikecualikan atas sebab yang sama ia dikecualikan dalam aritmetik.

Nilai mutlak a adalah sama dengan hasil darab nilai mutlak dan c. Ini bermakna nilai mutlak b adalah sama dengan nilai mutlak a dibahagikan dengan nilai mutlak

Mari kita takrifkan tanda hasil bagi s.

Jika dividen dan pembahagi mempunyai tanda yang sama, maka hasil bagi ialah nombor positif. Sesungguhnya, jika a dan adalah positif, maka hasil bahagi o juga akan menjadi nombor positif.

Contoh. kerana

Jika a dan adalah negatif, maka hasil bagi c juga mestilah positif dalam kes ini, kerana dengan mendarab dengan nombor negatifnya kita mesti memperoleh nombor negatif a.

Contoh. kerana

Jika dividen dan pembahagi mempunyai tanda yang berbeza, maka hasil bagi adalah nombor negatif. Sesungguhnya, jika a adalah positif dan a adalah negatif, maka c mestilah negatif, kerana dengan mendarabkan nombor negatif dengannya kita mesti memperoleh nombor positif a.

Contoh. kerana

Jika a adalah negatif dan a adalah positif, maka dalam kes ini c mestilah nombor negatif, kerana dengan mendarabkan nombor positif dengannya kita mesti memperoleh nombor negatif a.

Contoh. kerana

Jadi, kami sampai kepada peraturan pembahagian berikut:

Untuk membahagikan satu perkara dengan yang lain, anda perlu membahagikan nilai mutlak dividen dengan nilai mutlak pembahagi dan meletakkan tanda tambah di hadapan hasil bahagi, jika dividen dan pembahagi mempunyai tanda yang sama, dan tanda tolak. ,

jika dividen dan pembahagi mempunyai tanda yang bertentangan.

Seperti yang telah kita katakan, pembahagian dengan sifar adalah mustahil, mari kita jelaskan ini dengan lebih terperinci. Katakan anda perlu membahagikan beberapa nombor bukan sifar, contohnya -3, dengan 0.

Jika nombor a ialah hasil bahagi yang dikehendaki, maka dengan mendarabnya dengan pembahagi, iaitu, dengan 0, kita mesti memperoleh dividen, iaitu, - 3. Tetapi hasil darabnya bersamaan dengan 0, dan dividen - 3 tidak boleh diperolehi. Daripada ini kita membuat kesimpulan bahawa bilangan

Anda tidak boleh membahagi 3 dengan sifar.

Biarkan nombor 0 dibahagikan dengan 0. Biarkan a menjadi hasil bagi yang diperlukan; mendarab a dengan pembahagi 0, kita memperoleh 0 dalam hasil darab untuk sebarang nilai a:

Oleh itu, kita tidak mendapat sebarang nombor tertentu: mendarab sebarang nombor dengan 0, kita mendapat 0. Oleh itu, membahagikan sifar dengan sifar juga dianggap mustahil.

Untuk nombor rasional, sifat asas hasil bahagi berikut kekal berkuat kuasa:

Hasil bagi dua nombor tidak akan berubah jika dividen dan pembahagi didarab dengan nombor yang sama (tidak sama dengan sifar).

Mari kita jelaskan ini dengan contoh berikut.

1. Pertimbangkan hasil bagi, darab dividen dan pembahagi dengan - 4; maka kita mendapat hasil bagi yang baru

Jadi, dalam hasil bagi baharu kami mendapat nombor 2 yang sama.

2. Pertimbangkan hasil bahagi, darabkan dividen dan pembahagi dengan - maka kita mendapat hasil bahagi berikut:

Hasil bagi tidak berubah kerana hasilnya adalah nombor yang sama