ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯ

• ಕಾರ್ಯ y=F(x)ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y=f(x)ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X,ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದ್ದರೆ X ∈Xಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: F′(x) = f(x)

ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಓದಬಹುದು:

1. f ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಫ್
2. ಎಫ್ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಆಸ್ತಿ

• ಒಂದು ವೇಳೆ F(x)- ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿ f(x)ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು F(x) + C, ಇಲ್ಲಿ ಸಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

• ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು f(x)ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಗಳು O ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಲ್ಲಿ.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು

1. ಮೊತ್ತದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ F(x)- ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x), ಮತ್ತು G(x) ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ g(x), ಅದು F(x) + G(x)- ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x) + g(x).
2. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಕಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ F(x)- ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x), ಮತ್ತು ಕೆ- ಸ್ಥಿರ, ನಂತರ k·F(x)- ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ k f(x).
3. ಒಂದು ವೇಳೆ F(x)- ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x), ಮತ್ತು ಕೆ, ಬಿ- ಸ್ಥಿರ, ಮತ್ತು k ≠ 0, ಅದು 1/k F(kx + b)- ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(kx + b).

ನೆನಪಿಡಿ!

ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ F(x) = x 2 + C , ಇಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ಮಾತ್ರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ f(x) = 2x.

• ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,ಏಕೆಂದರೆ F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,ಏಕೆಂದರೆ F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ:

1. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ f(x)>0 F(x)ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
2. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ f(x)<0 ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ F(x)ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
3. ಒಂದು ವೇಳೆ f(x)=0, ನಂತರ ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ F(x)ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವಿಕೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ).

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

• f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು F(x) + C ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ f(x) ನ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• f(x) dx- ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• X- ಏಕೀಕರಣದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• F(x)- f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು;
• ಜೊತೆಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. ಸಮಗ್ರತೆಯ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೆ, ಬಿಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು k ≠ 0, ನಂತರ \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಕಾರ್ಯ f(x)	ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ F(x) + C	ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು \int f(x) dx = F(x) + C
0	ಸಿ	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರ

ಅವಕಾಶ f(x)ಈ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ಅದರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= ಎಫ್(ಬಿ) - ಎಫ್(ಎ)

ಎಲ್ಲಿ F(x)- ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(x)

ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ f(x)ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿಮತ್ತು ಎ.

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶ

ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ f, ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು x = aಮತ್ತು x = ಬಿ.

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಪ್ರದೇಶ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಆಕೃತಿಯು ಅನಿಯಮಿತ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವಲಂಬಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಸಮಗ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ [ a ; b ] , ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮುಂದೆ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

Yandex.RTB R-A-339285-1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

y = f(x), y = 0, x = a ಮತ್ತು x = b ರೂಪದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ G ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್. ಇದು S(G) ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡೋಣ.

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ [a; ಬಿ ] ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n ಜೊತೆಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು a = x 0 ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು P ⊂ G ⊂ Q ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ n, ನಾವು S - s ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S - s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ∫ a b f (x) d x ರೂಪದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು y = f (x) ರೂಪದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.

∫ a b f (x) d x ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು y = f (x), y = 0, x = a ಮತ್ತು x = b ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್: y = f (x) ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ [ a ; b ], ನಂತರ ನಾವು S (G) = - ∫ a b f (x) d x ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

y = 2 · e x 3, y = 0, x = - 2, x = 3 ರೂಪದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಪರಿಹರಿಸಲು, ಓ y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ x = - 2 ಮತ್ತು x = 3 ರೂಪದ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ O x ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ y = 0 ಇರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. , y = e x ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕರ್ವ್ y = 2 e x 3 ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

S (G) = ∫ - 2 3 2 e x 3 d x = 6 e x 3 - 2 3 = 6 e 3 3 - 6 e - 2 3 = 6 e - e - 2 3

ಉತ್ತರ: ಎಸ್ (ಜಿ) = 6 ಇ - ಇ - 2 3

ಕಾಮೆಂಟ್: ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತಿಳಿದಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ [ a ; b ] , S G = ∫ a b f (x) d x ಅಥವಾ S G = - ∫ a b f (x) d x ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4 ರೂಪದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, y = 0 O x ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x = - 2 ಮತ್ತು x = 4 O y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದ್ದು, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (- 1 ; 3) ಅದರ ಶೃಂಗವು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮೇಲಕ್ಕೆ. O x ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4

ಇದರರ್ಥ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಓಹ್ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (4; 0) ಮತ್ತು (2; 0) ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. G ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಆಕೃತಿಯು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ [ - 2 ; 4 ] . ಅಂಕಿ G ಅನ್ನು ಎರಡು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು G = G 1 ∪ G 2, ಪ್ರದೇಶದ ಸಂಕಲನದ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು S (G) = S (G 1) + S (G 2) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ವಿಭಾಗ [- 2 ; 4 ] ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಪ್ರದೇಶವು S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವಿಭಾಗ [- 2 ; 2 ] y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9

S (G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ S (G 2) - S (G 1).

ಉತ್ತರ: S (G) = S (G 1) + S (G 2) = 124 9

ಅಂಕಿಗಳನ್ನು y = c, y = d, x = 0 ಮತ್ತು x = g (y) ರೂಪದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು x = g (y) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [ ಸಿ; d ], ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟಾರ್ಪೆಜಿಯಮ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

∫ c d g (y) d y ಎಂದರೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು x = g (y) ರೂಪದ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ [c ; ಡಿ] .

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು x = 4 ln y + 3, y = 1, y = 4 ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ

x = 4 ln y y + 3 ರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಇಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. y ನ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ [1 ; 4 ] . ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಂತರ ವಿಭಾಗವಲ್ಲ [1; 4 ] ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ln y ≥ 0. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ln y y , ಅದೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ. x = 4 ln y y + 3 ಕಾರ್ಯವು [1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು; 4 ] . ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು S (G) = ∫ 1 4 4 ln y + 3 d y ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು x = 4 ln y y + 3 ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 y + 3 ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9

ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉತ್ತರ: S (G) = 8 ln 2 2 + 9

ಫಲಿತಾಂಶಗಳು

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. y = f (x), x = g (y) ಗೆರೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಸತ್ಯ 1. ಏಕೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ತಿಳಿದಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಫ್(X) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರೋಧಿ ಉತ್ಪನ್ನಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(X).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X f(X) ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ Xಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಫ್ "(X)=f(X), ಅಂದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯ f(X) ಎಂಬುದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಫ್(X). .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X) = ಪಾಪ X ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿಯಾಗಿದೆ f(X) = cos X ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ (ಪಾಪ X)" = (ಕಾಸ್ X) .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ f(X) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

∫

f(X)dx

,

ಚಿಹ್ನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ∫ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ, ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(X) - ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು f(X)dx - ಸಮಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವೇಳೆ ಎಫ್(X) - ಕೆಲವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(X), ಅದು

∫

f(X)dx = ಎಫ್(X) +ಸಿ

ಎಲ್ಲಿ ಸಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ).

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಾಗಿಲು (ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಮರದ ಬಾಗಿಲು) ಇರಲಿ. ಅದರ ಕಾರ್ಯವು "ಬಾಗಿಲು" ಆಗಿದೆ. ಬಾಗಿಲು ಯಾವುದರಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ? ಮರದಿಂದ ಮಾಡಿದ. ಇದರರ್ಥ “ಬಾಗಿಲು” ಕ್ರಿಯೆಯ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, “ಟ್ರೀ + ಸಿ” ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಮಾಡಬಹುದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮರದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಕೆಲವು ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮರದಿಂದ ಬಾಗಿಲು ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ "ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ" ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಕಲಿತ ಸೂತ್ರಗಳು.

ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಸ್ತುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು (“ಬಾಗಿಲು” - “ಮರವಾಗಿರಲು”, “ಚಮಚವಾಗಿರಲು” - “ಲೋಹವಾಗಿರಲು”, ಇತ್ಯಾದಿ) ಮೂಲಭೂತ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು "ತಯಾರಿಸಿದ" ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೂಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯತ್ನವಿಲ್ಲದೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಟೇಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸತ್ಯ 2. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ) ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಿ, ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ ಅನಂತದವರೆಗಿನ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬರೆಯದಿರಲು, ನೀವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ: 5 X³+C. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ) ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 X³+4 ಅಥವಾ 5 X³+3 ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸಿದಾಗ, 4 ಅಥವಾ 3, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಏಕೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡೋಣ: ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(X) ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಫ್(X), ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(X).

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(Xವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಫ್(X) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(X), ಅಥವಾ, ಅದೇ ವಿಷಯ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಎಫ್(X) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(X) dx, ಅಂದರೆ

(2)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಕೇವಲ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಲ್ಲ. ಅವು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿಯೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ

ಎಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ. ಇದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಇದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾದ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (ವಾಸ್ತವ 2 ರ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆ).ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಫ್(X) - ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(X) ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ f(X) ಅದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಫ್(X) + ಸಿ, ಎಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ.

ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಂತರ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಓದುವ ಮೊದಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಇದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಂತರ, ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು "ತಯಾರಿಸಿದ" ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವಾಗ, ಅಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಈಗ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮುಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

1) ಫಾರ್ಮುಲಾ (7) ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಎನ್= 3, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2) ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು (10) ಬಳಸುವುದು ಎನ್= 1/3, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

3) ರಿಂದ

ನಂತರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (7) ಜೊತೆಗೆ ಎನ್= -1/4 ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಅಲ್ಲ. f, ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮೂಲಕ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ dx. ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಯಾವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

, ;

ಇಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ z .

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ನಾವು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ y=F(x)ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ f(x)ಈ ಹಂತದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದ ಪ್ರಕಾರ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ y=F(x)ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಫ್"(x). ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು F(x), ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ F"(x)=f(x). ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ F(x)ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ f(x). ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. y=F(x)- ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು ಓಹ್.

ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯೋಣ f(x)ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್. ಒಂದು ವೇಳೆ F"(x)=f(x), ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y=F(x)ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಇದೆ.

ಸತ್ಯ 3. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ , ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರತಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸತ್ಯ 4. ಪ್ರಮೇಯ 1. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಗ್ರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸತ್ಯ 5. ಪ್ರಮೇಯ 2. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ f(X) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(X) ನಿರಂತರ ಅವಧಿಯವರೆಗೆ , ಅಂದರೆ

(3)

1 ಮತ್ತು 2 ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣವು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸತ್ಯ 6. ಪ್ರಮೇಯ 3. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು , ಅಂದರೆ

ಈ ಪಾಠವು ಏಕೀಕರಣದ ವೀಡಿಯೊಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು. ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಏನೆಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ: ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. :)

ಇದು ನಮ್ಮ ಹೊಸ ವಿಷಯದ ಮೊದಲ ಪಾಠವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇಂದು ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಇಂದು ನಾವು ಕಲಿಯುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. .

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಚಿತನಾಗಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂಲಭೂತ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಸ್ಪಷ್ಟ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕಪಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ, ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಟುಪಿಡ್ ಮತ್ತು ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಾನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ?

ನಮಗೆ ಈ ಸೂತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ:

\[((\left((((x))^(n))) ಬಲ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು $((x)^(2))$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

\[((x)^(2))=\frac((\ಎಡ(((x)^(3)) \ಬಲ))^(\ಪ್ರೈಮ್ )))(3)\]

ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x))^(3))))(3) \ಬಲಕ್ಕೆ))^(\ಪ್ರೈಮ್ ))\]

ಮತ್ತು ಈಗ ಗಮನ: ನಾವು ಈಗ ಬರೆದದ್ದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು:

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

\[((x)^(n))\to \frac((((x)^(n+1)))(n+1)\]

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಕೇಳಿದ ನಂತರ, ಗಮನಹರಿಸುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಹಲವಾರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ:

1. ಸರಿ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $n=1$ ನೊಂದಿಗೆ, ನಮಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ: "ಶೂನ್ಯ" ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು "ಶೂನ್ಯ" ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
2. ಸೂತ್ರವು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.
3. ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದಾದರೆ, ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ಕೊನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಾನು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೇನೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್, ಉತ್ಪನ್ನದಂತಲ್ಲದೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಈಗ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, $((x)^(-1))$ ಗಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ನಂತರ ಏನು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ? ನಾವು $((x)^(-1))$ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೇ? ಖಂಡಿತ ನಾವು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[(((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

ಈಗ ನಾವು ಯೋಚಿಸೋಣ: ಯಾವ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನವು $\frac(1)(x)$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ:

\[(\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ to \ln x\]

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿದೆ:

• ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ - $((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ - $=const\ to \cdot x$
• ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ $\frac(1)(x)\to \ln x$

ಮತ್ತು ನಾವು ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಟ್ರಿಕಿ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ - ಭವಿಷ್ಯದ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೆನಪಿಡಿ: ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೋಲುವ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ.

ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಕೃತಿಗಳ ಮೂಲಮಾದರಿ ಮತ್ತು ವಿವರಗಳನ್ನು "ಬಿಂದುವಿಗೆ" ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

ನಾವು ಭಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಒಳ್ಳೆಯ ಸುದ್ದಿ ಏನೆಂದರೆ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೇಗಾದರೂ, ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋಗೋಣ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ. ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ $((x)^(n))$ ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಅನೇಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)((((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

ಈ ಎಲ್ಲಾ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಆಗಿರಬಹುದು

• ಗುಣಿಸಿ (ಡಿಗ್ರಿ ಸೇರಿಸಿ);
• ಭಾಗಿಸಿ (ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ);
• ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ;
• ಇತ್ಯಾದಿ

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ #1

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot ((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=(\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=(\left(((x)^(\frac(\frac(\sqrt(x)\right)) 1)(2))) \ಬಲ))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac((((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3

ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ $\sqrt(x)$ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2))\ to \frac((((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2)))(5)\]

ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಈಗ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿರುವುದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರಚನೆಗಳು ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಿದರೆ ನಾನು ಯಾರಿಗೂ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಈಗ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:

\[((x)^(\frac(2)(3))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3))\ to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ಬಿ)^(3))\]

ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ:

ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ಪ್ರತಿ ಅವಧಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac((((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ to \ln x\]

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3

ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

\[\frac((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\ಎಡ(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈಗ ಗಮನ! ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ, ಇದು ಸಿಂಹಪಾಲು ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ತರುವುದು, ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ಯೋಚಿಸಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು "ಶೂನ್ಯ" ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

1. $((x)^(2))\to \frac((((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ: ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೊಸದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ನಾವು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ, "ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ" ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ. ಆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇಡೀ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವರು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ $C $ ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸದಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು $C$ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೇರಿಸಬೇಕು - $C=const$.

ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದು:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಏಕೈಕ ಒಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದಾಗ ಮುಂದಿನ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. . ಈ ಕಾರ್ಯವೇನು?

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಒಂದೇ ಒಂದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಕೇವಲ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರಿಸಿ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆ #1

ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಎಣಿಸೋಣ:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac((((x)^(4)))(4)\]

ಈಗ ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಕಾರ್ಯವು $M\left(-1;4 \right)$ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗಬೇಕು. ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಏನು? ಇದರರ್ಥ ನಾವು $x$ ಬದಲಿಗೆ $-1$ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಹಾಕಿದರೆ ಮತ್ತು $F\left(x \right)$ - $-4$ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ನಾವಿದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು $C$ ಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ಮೂಲ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈಗ ನಾವು $C$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

ನಾವು $C$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ನಾವು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಅಂತಿಮ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ನಂತರ ಈ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ $ M$ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಏಕೈಕ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ.

ಮುಂದೆ ನೋಡುತ್ತಿರುವಾಗ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಈಗ ಬಳಸುವ ತಂತ್ರವು ಸ್ವಯಂ-ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\cos )^(2))x)\]

ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆ ಎಂದು ಈಗ ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[(\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)((\sin )^(2))x)\]

"ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\sin )^(2))x)\]

ನಮ್ಮ ವಿನ್ಯಾಸ ಇಲ್ಲಿದೆ

ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಿಮ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಲು ಬಯಸಿದ್ದೆ ಅಷ್ಟೆ. ನಾವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪವಾದರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಪಾಠವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ನನಗೂ ಅಷ್ಟೆ. ಮತ್ತೆ ಭೇಟಿ ಆಗೋಣ!