ទម្រង់ស្តង់ដារនៃពហុធា។ មេរៀន "ទម្រង់ស្តង់ដារនៃពហុធា"

ពហុធា គឺជាផលបូកនៃ monomial ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃពហុនាមត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ (សូមមើលកថាខណ្ឌ 51) ហើយពាក្យស្រដៀងគ្នាត្រូវបានកាត់បន្ថយ អ្នកនឹងទទួលបានពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ។

កន្សោមចំនួនគត់អាចបំប្លែងទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ - នេះគឺជាគោលបំណងនៃការបំប្លែង (ភាពសាមញ្ញ) នៃកន្សោមចំនួនគត់។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដែលកន្សោមទាំងមូលត្រូវកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារនៃពហុនាម។

ដំណោះស្រាយ។ ជាដំបូង ចូរយើងនាំយកលក្ខខណ្ឌនៃពហុធាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ យើងទទួលបាន បន្ទាប់ពីនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបានពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ

ដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើមានសញ្ញាបូកនៅពីមុខតង្កៀប នោះតង្កៀបអាចត្រូវបានលុបចោល ដោយរក្សាសញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់ដែលរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀប។ ដោយប្រើច្បាប់នេះសម្រាប់បើកវង់ក្រចក យើងទទួលបាន៖

ដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើវង់ក្រចកត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញាដក នោះវង់ក្រចកអាចត្រូវបានលុបចោលដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់ដែលរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀប។ ដោយប្រើច្បាប់នេះសម្រាប់ការលាក់វង់ក្រចក យើងទទួលបាន៖

ដំណោះស្រាយ។ ផលិតផលនៃ monomial និង polynomial យោងទៅតាមច្បាប់ចែកចាយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃ monomial នេះ និងសមាជិកនីមួយៗនៃ polynomial ។ យើងទទួលបាន

ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន

វានៅសល់ដើម្បីផ្តល់ពាក្យស្រដៀងគ្នា (ពួកគេត្រូវបានគូសបញ្ជាក់) ។ យើងទទួលបាន:

53. រូបមន្តគុណសង្ខេប។

ក្នុងករណីខ្លះ ការនាំយកកន្សោមទាំងមូលទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារនៃពហុនាមត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើអត្តសញ្ញាណ៖

អត្តសញ្ញាណទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តគុណអក្សរកាត់

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដែលអ្នកត្រូវបំប្លែងកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ myogochlea ។

ឧទាហរណ៍ 1..

ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើរូបមន្ត (១) យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ ២..

ដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៣...

ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើរូបមន្ត (៣) យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើរូបមន្ត (៤) យើងទទួលបាន៖

54. កត្តាពហុនាម។

ពេលខ្លះអ្នកអាចបំប្លែងពហុនាមទៅជាផលិតផលនៃកត្តាជាច្រើន - ពហុធា ឬអនុនាម។ ការបំប្លែងអត្តសញ្ញាណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាជាកត្តានៃពហុធា។ ក្នុងករណីនេះ ពហុធាត្រូវបានគេនិយាយថាអាចបែងចែកបានដោយកត្តានីមួយៗ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីមួយចំនួនដើម្បីកត្តាពហុធា។

1) យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប។ ការផ្លាស់ប្តូរនេះគឺជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃច្បាប់ចែកចាយ (សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវសរសេរច្បាប់នេះឡើងវិញ "ពីស្តាំទៅឆ្វេង"):

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ កត្តាពហុធា

ដំណោះស្រាយ។ .

ជាធម្មតា នៅពេលយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប អថេរនីមួយៗដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃពហុនាម ត្រូវបានយកចេញជាមួយនឹងនិទស្សន្តទាបបំផុតដែលវាមាននៅក្នុងពហុនាមនេះ។ ប្រសិនបើមេគុណនៃពហុវចនៈទាំងអស់ជាចំនួនគត់ នោះមេគុណធំបំផុតនៅក្នុងម៉ូឌុលត្រូវបានយកជាមេគុណនៃកត្តាទូទៅ ការបែងចែកទូទៅមេគុណទាំងអស់នៃពហុធា។

2) ការប្រើប្រាស់រូបមន្តគុណអក្សរកាត់។ រូបមន្ត (1) - (7) ពីកថាខណ្ឌ 53 ដែលត្រូវបានអានពីស្តាំទៅឆ្វេង ក្នុងករណីជាច្រើនប្រែទៅជាមានប្រយោជន៍សម្រាប់កត្តាពហុនាម។

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ កត្តា។

ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន។ ការអនុវត្តរូបមន្ត (1) (ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ) យើងទទួលបាន។ ដោយការដាក់ពាក្យ

ឥឡូវនេះរូបមន្ត (4) និង (5) (ផលបូកនៃគូបភាពខុសគ្នានៃគូប) យើងទទួលបាន:

ឧទាហរណ៍ ៣...

ដំណោះស្រាយ។ ដំបូងយើងដាក់វាចេញពីតង្កៀប មេគុណទូទៅ. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងនឹងរកឃើញផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃមេគុណ 4, 16, 16 និងនិទស្សន្តតូចបំផុតដែលអថេរ a និង b ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមាសធាតុ។ ពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ monomials ។ យើងទទួលបាន:

3) វិធីសាស្រ្តនៃក្រុម។ វាត្រូវបានផ្អែកលើការពិតដែលថាវាគឺជាការផ្លាស់ប្តូរនិង ច្បាប់សមាគមការបន្ថែមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃពហុធា វិធីផ្សេងគ្នា. ជួនកាលគេអាចដាក់ជាក្រុមតាមរបៀបដែលបន្ទាប់ពីយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប ពហុធាដូចគ្នានៅតែមាននៅក្នុងតង្កៀបក្នុងក្រុមនីមួយៗ ដែលតាមវេនជាកត្តាទូទៅអាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃកត្តាពហុធា។

ឧទាហរណ៍ 4..

ដំណោះស្រាយ។ តោះធ្វើការដាក់ជាក្រុមដូចខាងក្រោម៖

នៅក្នុងក្រុមទីមួយ ចូរយើងយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀបទៅទីពីរ - កត្តារួម 5. យើងទទួលបានឥឡូវនេះ យើងដាក់ពហុធាជាកត្តារួមចេញពីតង្កៀប៖ ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ 5 ។

ដំណោះស្រាយ។ .

ឧទាហរណ៍ ៦.

ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះ គ្មានការដាក់ជាក្រុមនឹងនាំឱ្យមានរូបរាងនៃពហុធាដូចគ្នានៅក្នុងក្រុមទាំងអស់។ ក្នុងករណីបែបនេះ ជួនកាលវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការតំណាងឱ្យសមាជិកនៃពហុនាមជាផលបូក ហើយបន្ទាប់មកសាកល្បងវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុមម្តងទៀត។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងគឺជាការគួរឱ្យតំណាងឱ្យវាជាផលបូកដែលយើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ ៧.

ដំណោះស្រាយ។ បន្ថែមនិងដក monomial យើងទទួលបាន

55. ពហុធាក្នុងអថេរមួយ។

ពហុធា ដែល a, b ជាលេខអថេរ ត្រូវបានគេហៅថាពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយ។ ពហុធាដែល a, b, c ជាលេខអថេរ ហៅថាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ ឬ ត្រីកោណមាត្រ; ពហុធាដែល a, b, c, d ជាលេខ អថេរត្រូវបានគេហៅថាពហុធានៃដឺក្រេទីបី។

ជាទូទៅ ប្រសិនបើ o គឺជាអថេរ នោះវាគឺជាពហុធា

ហៅថាសញ្ញាបត្រ lsmogochnolenol (ទាក់ទងទៅនឹង x); , m-លក្ខខណ្ឌនៃពហុធា, មេគុណ, ពាក្យនាំមុខនៃពហុនាម, a គឺជាមេគុណនៃពាក្យនាំមុខ, រយៈពេលសេរីនៃពហុធា។ ជាធម្មតា ពហុនាមត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងអំណាចចុះក្រោមនៃអថេរ ពោលគឺ អំណាចនៃអថេរថយចុះជាលំដាប់ ជាពិសេសពាក្យនាំមុខគឺស្ថិតនៅកន្លែងដំបូង ហើយពាក្យសេរីគឺស្ថិតនៅកន្លែងចុងក្រោយ។ កម្រិតនៃពហុនាមគឺជាកម្រិតនៃពាក្យខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍ ពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទី 5 ដែលពាក្យនាំមុខ 1 គឺជាពាក្យសេរីនៃពហុនាម។

ឫសនៃពហុធា គឺជាតម្លៃដែលពហុនាមបាត់។ ជាឧទាហរណ៍ លេខ 2 គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមតាំងពីពេលនោះមក

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃប្រធានបទនេះ ហើយពិចារណាលើបញ្ហាធម្មតាមួយចំនួន ពោលគឺការនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ និងការគណនាតម្លៃលេខនៃ តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យអថេរ។ យើងនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារនឹងត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយ ប្រភេទផ្សេងៗភារកិច្ច។

ប្រធានបទ៖ពហុនាម។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធជាង monomials

មេរៀន៖កាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ភារកិច្ចធម្មតា។

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន៖ ពហុធា គឺជាផលបូកនៃ monomials ។ monomial នីមួយៗដែលជាផ្នែកមួយនៃពហុនាមជាពាក្យត្រូវបានគេហៅថាសមាជិករបស់វា។ ឧទាហរណ៍:

ប៊ីណូម៉ាល់;

ពហុនាម;

ប៊ីណូម៉ាល់;

ដោយសារពហុធាមាន monomial សកម្មភាពដំបូងដែលមានពហុធាបន្តពីទីនេះ - អ្នកត្រូវនាំយក monomial ទាំងអស់ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ចូរយើងរំលឹកអ្នកថាសម្រាប់ការនេះអ្នកត្រូវគុណកត្តាលេខទាំងអស់ - ទទួលបាន មេគុណលេខ, និងគុណ ដឺក្រេដែលត្រូវគ្នា។- ទទួលបានផ្នែកអក្សរ។ លើសពីនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចិត្តទុកដាក់លើទ្រឹស្តីបទអំពីផលគុណនៃអំណាច៖ នៅពេលគុណនឹងអំណាច និទស្សន្តរបស់ពួកវាបន្ថែមឡើង។

ចូរយើងពិចារណា ប្រតិបត្តិការសំខាន់- នាំពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ឧទាហរណ៍៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ ដើម្បីនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ អ្នកត្រូវនាំយក monomials ទាំងអស់ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមាសភាពរបស់វាទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មកប្រសិនបើមាន monomials ស្រដៀងគ្នា - ហើយទាំងនេះគឺជា monomials ដែលមានផ្នែកអក្សរដូចគ្នា - ធ្វើសកម្មភាពជាមួយពួកគេ។ .

ដូច្នេះ យើងបានពិនិត្យមើលបញ្ហាធម្មតាដំបូង - ការនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

បន្ទាប់ ភារកិច្ចធម្មតា។- ការគណនា អត្ថន័យជាក់លាក់ពហុនាមសម្រាប់ផ្តល់ឱ្យ តម្លៃលេខអថេររួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ ចូរបន្តមើលឧទាហរណ៍មុន ហើយកំណត់តម្លៃនៃអថេរ៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ រំលឹកថា ឯកតានៅក្នុងណាមួយ។ សញ្ញាបត្រធម្មជាតិស្មើនឹងមួយ និងសូន្យទៅនឹងថាមពលធម្មជាតិណាមួយ។ ស្មើនឹងសូន្យលើសពីនេះ សូមចាំថា នៅពេលគុណលេខណាមួយដោយសូន្យ យើងទទួលបានសូន្យ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រតិបត្តិការធម្មតានៃការនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ និងគណនាតម្លៃរបស់វា៖

ឧទាហរណ៍ទី 1 - នាំយកទៅទម្រង់ស្តង់ដារ៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ ជំហានដំបូងគឺត្រូវនាំយក monomials ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ អ្នកត្រូវនាំយកទីមួយ ទីពីរ និងទីប្រាំមួយ។ សកម្មភាពទីពីរ - យើងនាំមកនូវពាក្យស្រដៀងគ្នា នោះគឺយើងអនុវត្តភារកិច្ចដែលបានផ្តល់ឱ្យពួកគេ។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ៖ យើងបន្ថែមលេខមួយជាមួយលេខប្រាំ ទីពីរជាមួយលេខបី ហើយអ្វីដែលនៅសល់ត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដោយមិនមានការផ្លាស់ប្តូរ ដោយសារតែវាមិនមានអ្វីដែលស្រដៀងគ្នានោះទេ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 - គណនាតម្លៃនៃពហុនាមពីឧទាហរណ៍ទី 1 ដែលផ្តល់តម្លៃនៃអថេរ៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ នៅពេលគណនា អ្នកគួរតែចាំថា ពីមួយទៅថាមពលធម្មជាតិគឺមួយ ប្រសិនបើវាពិបាកក្នុងការគណនាអំណាចពីរ អ្នកអាចប្រើតារាងអំណាច។

ឧទាហរណ៍ទី 3 - ជំនួសឱ្យសញ្ញាផ្កាយ សូមដាក់ monomial ដែលលទ្ធផលមិនមានអថេរ៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ ដោយមិនគិតពីភារកិច្ច សកម្មភាពដំបូងគឺតែងតែដូចគ្នា - នាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង សកម្មភាពនេះចុះមកដើម្បីនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា។ បន្ទាប់ពីនេះអ្នកគួរតែអានដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលក្ខខណ្ឌម្តងទៀតហើយគិតអំពីរបៀបដែលយើងអាចកម្ចាត់ monomial ។ ជាក់ស្តែងសម្រាប់ការនេះអ្នកត្រូវបន្ថែម monomial ដូចគ្នាទៅវាប៉ុន្តែជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ- . បន្ទាប់មកទៀត យើងជំនួសសញ្ញាផ្កាយដោយ monomial នេះហើយត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយរបស់យើងត្រឹមត្រូវ។

ក្នុងការសិក្សាប្រធានបទនៃពហុនាម វាមានតម្លៃនិយាយដាច់ដោយឡែកពីគ្នាថា ពហុនាមកើតឡើងទាំងទម្រង់ស្តង់ដារ និងមិនមែនស្តង់ដារ។ ក្នុងករណីនេះពហុធានៃទម្រង់មិនស្តង់ដារអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ តាមពិតសំណួរនេះនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ ចូរពង្រឹងការពន្យល់ជាមួយឧទាហរណ៍ ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលំអិតជាជំហានៗ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

អត្ថន័យនៃការកាត់បន្ថយពហុធាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ

ចូរស្វែងយល់ឱ្យស៊ីជម្រៅបន្តិចទៅក្នុងគំនិតខ្លួនវា សកម្មភាព - "នាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ" ។

ពហុនាម ដូចជាកន្សោមផ្សេងទៀត អាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ។ ជាលទ្ធផល ក្នុងករណីនេះ យើងទទួលបានកន្សោមដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងកន្សោមដើម។

និយមន័យ ១

កាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ- មានន័យថាការជំនួសពហុនាមដើមជាមួយនឹងពហុនាមស្មើគ្នានៃទម្រង់ស្តង់ដារ ដែលទទួលបានពីពហុនាមដើមដោយប្រើការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់កាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ

ចូរយើងប៉ាន់ស្មានលើប្រធានបទនៃអ្វីដែលការបំប្លែងអត្តសញ្ញាណនឹងនាំពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

និយមន័យ ២

យោងតាមនិយមន័យ ពហុនាមនីមួយៗនៃទម្រង់ស្ដង់ដារមាន monomial នៃទម្រង់ស្តង់ដារ ហើយមិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នាទេ។ ពហុនាមនៃទម្រង់មិនស្តង់ដារអាចរួមបញ្ចូល monomial នៃទម្រង់មិនស្តង់ដារ និងពាក្យស្រដៀងគ្នា។ ពីខាងលើ ច្បាប់មួយត្រូវបានគណនាដោយធម្មជាតិអំពីរបៀបកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖

ដំបូងបង្អស់ ម៉ូណូមីលដែលបង្កើតជាពហុនាមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។
បន្ទាប់មកការកាត់បន្ថយសមាជិកស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍និងដំណោះស្រាយ

ចូរយើងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍លម្អិត ដែលយើងកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ យើងនឹងអនុវត្តតាមច្បាប់ដែលបានចែងខាងលើ។

ចំណាំថាពេលខ្លះលក្ខខណ្ឌនៃពហុនាមនៅក្នុងរដ្ឋដំបូងមានទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ ហើយអ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា។ វាកើតឡើងថាបន្ទាប់ពីជំហានដំបូងនៃសកម្មភាពមិនមានលក្ខខណ្ឌបែបនេះទេបន្ទាប់មកយើងរំលងជំហានទីពីរ។ ក្នុងករណីទូទៅ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពទាំងពីរពីច្បាប់ខាងលើ។

ឧទាហរណ៍ ១

ពហុនាមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

វាចាំបាច់ក្នុងការនាំពួកគេទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូងយើងពិចារណាពហុនាម 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : សមាជិករបស់វាមានទម្រង់ស្ដង់ដារ មិនមានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាទេ ដែលមានន័យថាពហុនាមត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ ហើយមិនត្រូវការសកម្មភាពបន្ថែមទេ។

ឥឡូវយើងក្រឡេកមើលពហុនាម 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 ។ វារួមបញ្ចូល monomials ដែលមិនស្តង់ដារ៖ 2 · a 3 · 0, 6 និង − b · a · b 4 · b 5, i.e. យើងត្រូវនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ ដែលជំហានដំបូងគឺការបំប្លែង mononomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖

2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 ដូច្នេះយើងទទួលបានពហុនាមខាងក្រោម៖

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10 ។

នៅក្នុងពហុនាមលទ្ធផល ពាក្យទាំងអស់គឺជាស្តង់ដារ មិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នា ដែលមានន័យថាសកម្មភាពរបស់យើងក្នុងការនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារត្រូវបានបញ្ចប់។

ពិចារណាពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យទីបី៖ 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

ចូរនាំសមាជិករបស់ខ្លួនទៅកាន់ទម្រង់ស្តង់ដារ និងទទួលបាន៖

2 3 7 · x 2 − x · y − 1 6 7 · x 2 + 9 − 4 7 · x 2 − 8 .

យើងឃើញថាពហុនាមមានសមាជិកស្រដៀងគ្នា សូមនាំយកសមាជិកស្រដៀងគ្នា៖

2 3 7 x 2 − x y − 1 6 7 x 2 + 9 − 4 7 x 2 − 8 = = 2 3 7 x 2 − 1 6 7 x 2 − 4 7 x 2 − x · y + (9 − 8) = = x 2 · 2 3 7 − 1 6 7 − 4 7 − x · y + 1 = = x 2 · 17 7 − 13 7 − 4 7 − x · y + 1 = = x 2 0 − x y + 1 = x y + 1

ដូច្នេះពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 យកទម្រង់ស្តង់ដារ − x y + 1 ។

ចម្លើយ៖

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- ពហុធាត្រូវបានកំណត់ជាស្តង់ដារ;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 − 4 7 · x 2 - 8 = − x · y + 1 ។

នៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើន សកម្មភាពនៃការកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារគឺកម្រិតមធ្យមនៅពេលស្វែងរកចម្លើយ សំណួរសួរ. ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ។

ឧទាហរណ៍ ២

ពហុនាម 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ 5 · z 2 + z 3 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការនាំវាទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ ចង្អុលបង្ហាញដឺក្រេរបស់វា និងរៀបចំលក្ខខណ្ឌនៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកម្រិតចុះក្រោមនៃអថេរ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌនៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 ។ 5 · z 2 + z 3 ។

ជំហានបន្ទាប់នេះគឺជាពាក្យស្រដៀងគ្នាមួយចំនួន៖

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 ។ 5 z 2 + z 3 = 11 + − 2 3 z 3 + z 3 + z 5 − 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 − 0, 5 z 2

យើងបានទទួលពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កម្រិតនៃពហុនាម (ស្មើនឹងកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៃសមាសធាតុផ្សំរបស់វា)។ ជាក់ស្តែងសញ្ញាបត្រដែលត្រូវការគឺ 5 ។

អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺការរៀបចំលក្ខខណ្ឌក្នុងការថយចុះអំណាចនៃអថេរ។ ចំពោះគោលបំណងនេះ យើងគ្រាន់តែរៀបចំឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌនៅក្នុងពហុនាមលទ្ធផលនៃទម្រង់ស្តង់ដារ ដោយគិតគូរពីតម្រូវការ។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

ចម្លើយ៖

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 − 0, 5 · z 2 ខណៈពេលដែលដឺក្រេនៃ ពហុធា - 5; ជាលទ្ធផលនៃការរៀបចំលក្ខខណ្ឌនៃពហុធាក្នុងដឺក្រេចុះក្រោម ពហុនាមអថេរនឹងយកទម្រង់៖ z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃប្រធានបទនេះ ហើយពិចារណាលើបញ្ហាធម្មតាមួយចំនួន ពោលគឺកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ និងការគណនាតម្លៃលេខសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអថេរ។ យើងនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារនឹងត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទ។

ប្រធានបទ៖ពហុនាម។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើ monomials

មេរៀន៖កាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ភារកិច្ចធម្មតា។

ប៊ីណូម៉ាល់;

ពហុនាម;

ប៊ីណូម៉ាល់;

ដោយសារពហុធាមាន monomial សកម្មភាពដំបូងដែលមានពហុធាបន្តពីទីនេះ - អ្នកត្រូវនាំយក monomials ទាំងអស់ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរំលឹកអ្នកថាដើម្បីធ្វើដូច្នេះអ្នកត្រូវគុណកត្តាលេខទាំងអស់ - ទទួលបានមេគុណលេខហើយគុណនឹងអំណាចដែលត្រូវគ្នា - ទទួលបានផ្នែកអក្សរ។ លើសពីនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចិត្តទុកដាក់លើទ្រឹស្តីបទអំពីផលគុណនៃអំណាច៖ នៅពេលគុណនឹងអំណាច និទស្សន្តរបស់ពួកវាបន្ថែមឡើង។

ចូរយើងពិចារណាប្រតិបត្តិការដ៏សំខាន់មួយ - កាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ឧទាហរណ៍៖

បញ្ហាធម្មតាបន្ទាប់គឺការគណនាតម្លៃជាក់លាក់នៃពហុធាសម្រាប់តម្លៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអថេររួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ ចូរបន្តមើលឧទាហរណ៍មុន ហើយកំណត់តម្លៃនៃអថេរ៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញថា ពីមួយទៅថាមពលធម្មជាតិគឺស្មើនឹងមួយ ហើយសូន្យទៅថាមពលធម្មជាតិណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ លើសពីនេះ យើងចាំថា នៅពេលគុណលេខណាមួយដោយសូន្យ យើងទទួលបានសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ទី 1 - នាំយកទៅទម្រង់ស្តង់ដារ៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ ជំហានដំបូងគឺត្រូវនាំយក monomials ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ អ្នកត្រូវនាំយកទីមួយ ទីពីរ និងទីប្រាំមួយ។ សកម្មភាពទីពីរ - យើងនាំមកនូវពាក្យស្រដៀងគ្នា នោះគឺយើងអនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យលើពួកគេ៖ យើងបន្ថែមទីមួយជាមួយទីប្រាំទីពីរជាមួយទីបីយើងសរសេរឡើងវិញដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរព្រោះវាមិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នាទេ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 - គណនាតម្លៃនៃពហុនាមពីឧទាហរណ៍ទី 1 ដែលផ្តល់តម្លៃនៃអថេរ៖

ឧទាហរណ៍ទី 3 - ជំនួសឱ្យសញ្ញាផ្កាយ សូមដាក់ monomial ដែលលទ្ធផលមិនមានអថេរ៖

សេចក្តីអធិប្បាយ៖ ដោយមិនគិតពីភារកិច្ច សកម្មភាពដំបូងគឺតែងតែដូចគ្នា - នាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង សកម្មភាពនេះចុះមកដើម្បីនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា។ បន្ទាប់ពីនេះអ្នកគួរតែអានដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលក្ខខណ្ឌម្តងទៀតហើយគិតអំពីរបៀបដែលយើងអាចកម្ចាត់ monomial ។ ជាក់ស្តែងដើម្បីធ្វើដូច្នេះអ្នកត្រូវបន្ថែម monomial ដូចគ្នាទៅវាប៉ុន្តែជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយ - . បន្ទាប់មកទៀត យើងជំនួសសញ្ញាផ្កាយដោយ monomial នេះហើយត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយរបស់យើងត្រឹមត្រូវ។

យើងបាននិយាយថាមានទាំងពហុនាមស្តង់ដារ និងមិនស្តង់ដារ។ នៅទីនោះយើងបានកត់សម្គាល់ថានរណាម្នាក់អាច នាំពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ជាដំបូង យើងនឹងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យនៃឃ្លានេះ។ បន្ទាប់យើងរាយបញ្ជីជំហានដើម្បីបំប្លែងពហុនាមណាមួយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ជាចុងក្រោយសូមក្រឡេកមើលដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍ធម្មតា។. យើងនឹងពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយយ៉ាងលម្អិត ដើម្បីស្វែងយល់ពីគុណប្រយោជន៍ទាំងអស់ដែលកើតឡើងនៅពេលកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

ការរុករកទំព័រ។

តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ?

ដំបូងអ្នកត្រូវយល់ច្បាស់អំពីអត្ថន័យដោយកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះ។

ពហុនាម ដូចជាកន្សោមផ្សេងទៀត អាចត្រូវបានទទួលរងនូវការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទ។ ជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងបែបនេះ កន្សោមត្រូវបានទទួលដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងកន្សោមដើម។ ដូច្នេះ ការអនុវត្តការបំប្លែងជាក់លាក់ជាមួយពហុនាមនៃទម្រង់មិនស្តង់ដារអនុញ្ញាតឱ្យគេបន្តទៅពហុនាមដែលដូចគ្នានឹងពួកវា ប៉ុន្តែសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ។ ការផ្លាស់ប្តូរនេះត្រូវបានគេហៅថាការកាត់បន្ថយពហុធាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

ដូច្នេះ កាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ- នេះមានន័យថាការជំនួសពហុនាមដើមជាមួយនឹងពហុនាមស្មើដូចគ្នានៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ដែលទទួលបានពីទម្រង់ដើមដោយអនុវត្តការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ?

ចូរយើងគិតអំពីការបំប្លែងណាមួយដែលនឹងជួយយើងនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ យើងនឹងចាប់ផ្តើមពីនិយមន័យនៃពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ។

តាមនិយមន័យ រាល់ពាក្យនៃពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារ គឺជាឯកតានៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ហើយពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារមិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នាទេ។ នៅក្នុងវេន ពហុនាមដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ផ្សេងពីស្ដង់ដារមួយអាចមាន monomials ក្នុងទម្រង់មិនស្តង់ដារ ហើយអាចមានពាក្យស្រដៀងគ្នា។ ឡូជីខលនេះធ្វើតាម ច្បាប់បន្ទាប់, ពន្យល់ របៀបកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ:

ដំបូងអ្នកត្រូវនាំយក monomial ដែលបង្កើតជាពហុធាដើមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ
បន្ទាប់មកអនុវត្តការកាត់បន្ថយពាក្យស្រដៀងគ្នា។

ជាលទ្ធផល ពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារនឹងត្រូវបានទទួល ដោយសារពាក្យទាំងអស់របស់វានឹងត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដារ ហើយវានឹងមិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នាទេ។

ឧទាហរណ៍ ដំណោះស្រាយ

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ នៅពេលដោះស្រាយ យើងនឹងធ្វើតាមជំហានដែលកំណត់ដោយច្បាប់ពីកថាខណ្ឌមុន។

នៅទីនេះយើងកត់សម្គាល់ថាជួនកាលពាក្យទាំងអស់នៃពហុនាមត្រូវបានសរសេរភ្លាមៗក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារក្នុងករណីនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគ្រាន់តែផ្តល់ពាក្យស្រដៀងគ្នា។ ពេលខ្លះបន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌនៃពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ មិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នាទេ ដូច្នេះដំណាក់កាលនៃការនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នាត្រូវបានលុបចោលក្នុងករណីនេះ។ IN ករណីទូទៅអ្នកត្រូវធ្វើទាំងពីរ។

ឧទាហរណ៍។

បង្ហាញពហុនាមក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ៖ 5 x 2 y + 2 y 3 −x y + 1 , 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5និង។

ដំណោះស្រាយ។

ពាក្យទាំងអស់នៃពហុនាម 5·x 2·y+2·y 3 −x·y+1 ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ វាមិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នាទេ ដូច្នេះពហុនាមនេះត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ។

ចូរបន្តទៅពហុនាមបន្ទាប់ 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5. ទម្រង់បែបបទរបស់វាមិនមានលក្ខណៈស្តង់ដារ ដូចដែលបានបង្ហាញដោយលក្ខខណ្ឌ 2·a 3·0.6 និង −b·b 4·b 5 នៃទម្រង់មិនស្តង់ដារ។ ចូរបង្ហាញវាជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

នៅដំណាក់កាលដំបូងនៃការនាំយកពហុនាមដើមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ យើងត្រូវបង្ហាញពាក្យទាំងអស់របស់វាជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ដូច្នេះ យើងកាត់បន្ថយ monomial 2·a 3·0.6 ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ យើងមាន 2·a 3·0.6=1.2·a 3 បន្ទាប់ពីនោះយើងយក monomial −b·a·b 4·b 5 យើងមាន −b·a·b 4·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. ដូច្នេះ, ។ នៅក្នុងពហុនាមលទ្ធផល ពាក្យទាំងអស់ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ លើសពីនេះ វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមានពាក្យស្រដៀងគ្នានៅក្នុងវាទេ។ អាស្រ័យហេតុនេះ វាបញ្ចប់ការកាត់បន្ថយពហុនាមដើមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញចុងក្រោយនៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ។ បន្ទាប់ពីនាំយកសមាជិកទាំងអស់របស់វាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ វានឹងត្រូវបានសរសេរជា . វាមានសមាជិកស្រដៀងគ្នា ដូច្នេះអ្នកត្រូវបោះសមាជិកស្រដៀងគ្នា៖

ដូច្នេះពហុនាមដើមបានយកទម្រង់ស្តង់ដារ −x·y+1 ។

ចម្លើយ៖

5 x 2 y + 2 y 3 −x y + 1 – រួចហើយនៅក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 = 0.8+1.2 a 3 −a b 10, .

ជាញឹកញយ ការនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារគ្រាន់តែជាជំហានមធ្យមក្នុងការឆ្លើយសំណួរដែលចោទជាបញ្ហាប៉ុណ្ណោះ។ ជាឧទាហរណ៍ ការស្វែងរកដឺក្រេនៃពហុនាមតម្រូវឱ្យតំណាងបឋមរបស់វាក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ។

ឧទាហរណ៍។

ផ្តល់ពហុនាម ទៅទម្រង់ស្ដង់ដារ ចង្អុលបង្ហាញកម្រិតរបស់វា និងរៀបចំលក្ខខណ្ឌក្នុងកម្រិតចុះក្រោមនៃអថេរ។

ដំណោះស្រាយ។

ជាដំបូង យើងនាំយកលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖ .

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា៖

ដូច្នេះយើងបាននាំយកពហុនាមដើមទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កម្រិតនៃពហុធា ដែលស្មើនឹងកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៃ monomial ដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ ជាក់ស្តែងវាស្មើនឹង 5 ។

វានៅសល់ដើម្បីរៀបចំលក្ខខណ្ឌនៃពហុនាមក្នុងការថយចុះអំណាចនៃអថេរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកគ្រាន់តែត្រូវរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញនៅក្នុងពហុធាលទ្ធផលនៃទម្រង់ស្តង់ដារដោយគិតគូរពីតម្រូវការ។ សញ្ញាបត្រដ៏អស្ចារ្យបំផុត។មានពាក្យ z 5 ដឺក្រេនៃពាក្យ −0.5·z 2 និង 11 ស្មើនឹង 3, 2 និង 0 រៀងគ្នា។ ដូច្នេះ ពហុនាមដែលមានពាក្យដែលបានរៀបចំក្នុងការថយចុះអំណាចនៃអថេរនឹងមានទម្រង់ .

ចម្លើយ៖

កម្រិតនៃពហុធាគឺ 5 ហើយបន្ទាប់ពីរៀបចំលក្ខខណ្ឌរបស់វាក្នុងកម្រិតចុះក្រោមនៃអថេរ វាយកទម្រង់ .

គន្ថនិទ្ទេស។

ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7 ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួលដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 17 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 240 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019315-3 ។
Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 7 ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្ស ស្ថាប័នអប់រំ/ A.G. Mordkovich ។ - ទី 17 ed ។ , បន្ថែម។ - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3 ។
ពិជគណិតហើយបានចាប់ផ្តើម ការវិភាគគណិតវិទ្យា. ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; កែសម្រួលដោយ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2010.- 368 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-022771-1 ។
Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា, ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។