ចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចចំពោះឧទាហរណ៍នៃភាពដូចគ្នា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
សិស្សជាច្រើនកំពុងស្វែងរកលំដាប់ទីមួយ (អ្នកត្រួតពិនិត្យនៃលំដាប់ទី 1 គឺជារឿងធម្មតាបំផុតក្នុងការបង្រៀន) បន្ទាប់មកអ្នកអាចវិភាគវាយ៉ាងលម្អិត។ ប៉ុន្តែមុននឹងបន្តទៅលើឧទាហរណ៍ យើងសូមណែនាំឲ្យអ្នកអានដោយប្រុងប្រយ័ត្ន សម្ភារៈទ្រឹស្តី.
សមីការនៃទម្រង់ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ដែលមុខងារ P(x,y) និង Q(x,y) គឺជាមុខងារដូចគ្នានៃលំដាប់ដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។(ODR) ។
គ្រោងការណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។
1. ដំបូងអ្នកត្រូវអនុវត្តការជំនួស y=z*x ដែល z=z(x) គឺជាមុខងារមិនស្គាល់ថ្មី (ដូច្នេះសមីការដើមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងអថេរដែលអាចបំបែកបាន។
2. ដេរីវេនៃផលិតផលគឺស្មើនឹង y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ឬក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល dy=d(zx)=z*dx+ x*dz ។
3. បន្ទាប់យើងជំនួស មុខងារថ្មី។ y និងដេរីវេរបស់វា y" (ឬ dy) ក្នុង DE ជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ទាក់ទងទៅនឹង x និង z ។
4. ដោយបានដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងអថេរដែលអាចបំបែកបាន យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាស y=z*x ដូច្នេះ z= y/x ហើយយើងទទួលបាន ដំណោះស្រាយទូទៅ (អាំងតេក្រាលទូទៅ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.
5. ប្រសិនបើបានបញ្ជាក់ លក្ខខណ្ឌដំបូង y(x 0)=y 0 បន្ទាប់មកយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។ វាស្តាប់ទៅងាយស្រួលតាមទ្រឹស្ដី ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត មិនមែនគ្រប់គ្នាសុទ្ធតែមានភាពសប្បាយរីករាយក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនោះទេ។ ដូច្នេះ ដើម្បីបង្កើនចំណេះដឹងរបស់យើង សូមមើលឧទាហរណ៍ទូទៅ។ មិនមានអ្វីច្រើនដើម្បីបង្រៀនអ្នកអំពីកិច្ចការងាយស្រួលនោះទេ ដូច្នេះសូមបន្តទៅកិច្ចការដែលស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។
ការគណនានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ
ឧទាហរណ៍ ១.
ដំណោះស្រាយ៖ បែងចែក ផ្នែកខាងស្តាំសមីការសម្រាប់អថេរដែលជាកត្តានៅជិតដេរីវេ។ ជាលទ្ធផលយើងមកដល់ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទី 0
ហើយនៅទីនេះ ប្រហែលជាមនុស្សជាច្រើនបានចាប់អារម្មណ៍ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់លំដាប់នៃមុខងារនៃសមីការដូចគ្នា?
សំណួរគឺពាក់ព័ន្ធណាស់ ហើយចម្លើយចំពោះវាមានដូចខាងក្រោម៖
នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងជំនួសតម្លៃ t * x, t * y ជំនួសឱ្យមុខងារនិងអាគុយម៉ង់។ នៅពេលធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ "t" ត្រូវបានទទួលដល់កម្រិតជាក់លាក់ k ដែលត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់នៃសមីការ។ ក្នុងករណីរបស់យើង "t" នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយដែលស្មើនឹងថាមពលទី 0 ឬ លំដាប់សូន្យនៃសមីការដូចគ្នា។
បន្ទាប់មក នៅជ្រុងខាងស្តាំ យើងអាចផ្លាស់ទីទៅអថេរថ្មី y=zx; z=y/x ។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ កុំភ្លេចបង្ហាញពីដេរីវេនៃ “y” តាមរយៈដេរីវេនៃអថេរថ្មី។ តាមក្បួនផ្នែកដែលយើងរកឃើញ 
សមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងយកទម្រង់ 
យើងលុបចោលលក្ខខណ្ឌទូទៅនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង ហើយបន្តទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរបំបែក។
ចូរយើងធ្វើសមាហរណកម្មភាគីទាំងពីរនៃ DE 
ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការបំប្លែងបន្ថែម យើងបញ្ចូលថេរនៅក្រោមលោការីតភ្លាមៗ 
ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតលទ្ធផល សមីការលោការីតស្មើនឹងដូចខាងក្រោម 
ធាតុនេះមិនមែនជាដំណោះស្រាយ (ចម្លើយ) នៅឡើយទេ វាចាំបាច់ក្នុងការត្រលប់ទៅការជំនួសអថេរដែលបានអនុវត្ត 
តាមរបៀបនេះពួកគេរកឃើញ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល. ប្រសិនបើអ្នកអានមេរៀនមុនដោយយកចិត្តទុកដាក់ នោះយើងបាននិយាយថា អ្នកគួរតែអាចប្រើគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការគណនាសមីការជាមួយនឹងអថេរដាច់ដោយឡែកពីគ្នាដោយសេរី ហើយសមីការប្រភេទនេះនឹងត្រូវគណនាបន្ថែមទៀត។ ប្រភេទស្មុគស្មាញឌូ.
ឧទាហរណ៍ ២.
ស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
ដំណោះស្រាយ៖ គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការគណនាប្រព័ន្ធគ្រប់គ្រងដូចគ្នា និងរួមបញ្ចូលគ្នាឥឡូវនេះគឺធ្លាប់ស្គាល់អ្នក។ យើងផ្លាស់ទីអថេរទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ ហើយយក x 2 នៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងជាកត្តាទូទៅ 
ដូច្នេះយើងទទួលបាន DE ដូចគ្នា។ លំដាប់សូន្យ.
ជំហានបន្ទាប់យើងណែនាំការជំនួសអថេរ z=y/x, y=z*x ដែលយើងនឹងរំលឹកអ្នកជានិច្ច ដើម្បីឱ្យអ្នកទន្ទេញវា
បន្ទាប់ពីនេះយើងសរសេរការបញ្ជាពីចម្ងាយក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល 
បន្ទាប់យើងផ្លាស់ប្តូរការពឹងផ្អែក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក
ហើយយើងដោះស្រាយវាដោយការរួមបញ្ចូល។ 
អាំងតេក្រាលគឺសាមញ្ញ ការបំប្លែងដែលនៅសល់ត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត។ សកម្មភាពចុងក្រោយរួមបញ្ចូលនិទស្សន្តនៃលោការីត។ ទីបំផុតយើងត្រលប់ទៅការជំនួសដើមវិញ ហើយសរសេរវាក្នុងទម្រង់ 
"C" ថេរអាចយកតម្លៃណាមួយ។ មនុស្សគ្រប់គ្នាដែលសិក្សាដោយការឆ្លើយឆ្លងមានបញ្ហាជាមួយនឹងសមីការប្រភេទនេះក្នុងការប្រឡង ដូច្នេះសូមពិនិត្យមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ហើយចងចាំដ្យាក្រាមគណនា។
ឧទាហរណ៍ ៣.
ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
ដំណោះស្រាយ៖ តាមវិធីសាស្រ្តខាងលើ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនេះត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយណែនាំអថេរថ្មី។ចូរយើងសរសេរការពឹងផ្អែកឡើងវិញ ដើម្បីឱ្យដេរីវេគឺគ្មានអថេរ 
លើសពីនេះ តាមរយៈការវិភាគផ្នែកខាងស្តាំ យើងឃើញថាបំណែក -ee មានវត្តមាននៅគ្រប់ទីកន្លែង ហើយសម្គាល់ថាវាជាមិនស្គាល់ថ្មី
z=y/x, y=z*x ។
ការស្វែងរកដេរីវេនៃ y
ដោយគិតពីការជំនួស យើងសរសេរ DE ដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 
យើងសម្រួលលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា ហើយកាត់បន្ថយលទ្ធផលទាំងអស់ទៅ DE ជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក
ដោយការរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមភាព 
យើងមករកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់លោការីត 
ដោយបង្ហាញភាពអាស្រ័យដែលយើងរកឃើញ ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
ដែលបន្ទាប់ពីជំនួសការផ្លាស់ប្តូរដំបូងនៃអថេរទៅក្នុងវា យកទម្រង់ 
នៅទីនេះ C គឺជាថេរដែលអាចត្រូវបានកំណត់បន្ថែមទៀតពីលក្ខខណ្ឌ Cauchy ។ ប្រសិនបើបញ្ហា Cauchy មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ទេនោះវាត្រូវចំណាយពេលតាមអំពើចិត្ត តម្លៃពិត.
នោះហើយជាប្រាជ្ញាទាំងអស់នៅក្នុងការគណនានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។
បច្ចុប្បន្ននេះ យោងតាមកម្រិតមូលដ្ឋាននៃការសិក្សាគណិតវិទ្យា មានតែ 4 ម៉ោងប៉ុណ្ណោះសម្រាប់ការសិក្សាគណិតវិទ្យានៅវិទ្យាល័យ (ពិជគណិត 2 ម៉ោង ធរណីមាត្រ 2 ម៉ោង)។ នៅតាមសាលារៀនតូចៗនៅតាមជនបទ ពួកគេកំពុងព្យាយាមបង្កើនចំនួនម៉ោង ដោយសារធាតុផ្សំរបស់សាលា។ តែបើថ្នាក់ហ្នឹងជាមនុស្សធម៌ សមាសធាតុសាលាត្រូវបានបន្ថែមទៅក្នុងការសិក្សាមុខវិជ្ជាមនុស្សសាស្ត្រ។ នៅក្នុងភូមិតូចមួយ សិស្សសាលាច្រើនតែមិនមានជម្រើស គាត់សិក្សាក្នុងថ្នាក់នោះ។ ដែលអាចរកបាននៅសាលា។ គាត់មិនមានបំណងចង់ក្លាយជាមេធាវី ប្រវត្តិវិទូ ឬអ្នកសារព័ត៌មានទេ (មានករណីបែបនេះ) ប៉ុន្តែគាត់ចង់ក្លាយជាវិស្វករ ឬសេដ្ឋវិទូ ដូច្នេះគាត់ត្រូវតែប្រលងជាប់ Unified State Examination ក្នុងគណិតវិទ្យាដែលមានពិន្ទុខ្ពស់។ នៅក្រោមកាលៈទេសៈបែបនេះ គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យាត្រូវស្វែងរកផ្លូវផ្ទាល់ខ្លួនចេញពីស្ថានភាពបច្ចុប្បន្ន លើសពីនេះបើយោងតាមសៀវភៅសិក្សារបស់ Kolmogorov ការសិក្សាលើប្រធានបទ "សមីការដូចគ្នា" មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ ក្នុងប៉ុន្មានឆ្នាំកន្លងមកនេះ ខ្ញុំបានយកមេរៀនពីរដងមកខ្ញុំ ដើម្បីណែនាំប្រធានបទនេះ និងពង្រឹងវា។ ជាអកុសល ការត្រួតពិនិត្យផ្នែកអប់រំរបស់យើងបានហាមឃាត់មេរៀនពីរដងនៅសាលា ដូច្នេះចំនួនលំហាត់ត្រូវកាត់បន្ថយមកត្រឹម 45 នាទី ហើយតាមនោះកម្រិតលំបាកនៃលំហាត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយមកមធ្យម។ ខ្ញុំបាននាំយកមកនូវការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកនូវផែនការមេរៀនលើប្រធានបទនេះនៅក្នុងថ្នាក់ទី 10 ជាមួយ កម្រិតមូលដ្ឋានរៀនគណិតវិទ្យានៅសាលាជនបទតូចមួយ។
ប្រភេទមេរៀន៖ ប្រពៃណី។
គោលដៅ៖ រៀនដោះស្រាយសមីការដូចគ្នាធម្មតា។
កិច្ចការ:
ការយល់ដឹង:
ការអភិវឌ្ឍន៍:
ការអប់រំ:
- ជំរុញការខិតខំប្រឹងប្រែងតាមរយៈការបំពេញភារកិច្ចដោយអត់ធ្មត់ អារម្មណ៍នៃមិត្តភាពតាមរយៈការធ្វើការជាគូ និងជាក្រុម។
វឌ្ឍនភាពមេរៀន
ខ្ញុំអង្គការ ដំណាក់កាល(៣ នាទី)
II. ការសាកល្បងចំណេះដែលចាំបាច់ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់សម្ភារៈថ្មី (១០ នាទី)
កំណត់ការលំបាកចម្បងជាមួយនឹងការវិភាគបន្ថែមនៃកិច្ចការដែលបានបញ្ចប់។ បុរសជ្រើសរើសជម្រើស 3 ។ ភារកិច្ចដែលបែងចែកដោយកម្រិតនៃការលំបាក និងកម្រិតនៃការត្រៀមខ្លួនរបស់កុមារ បន្ទាប់មកដោយការពន្យល់នៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាល។
កម្រិត 1. ដោះស្រាយសមីការ៖
- 3(x+4)=12,
- 2(x-15)=2x-30
- 5(2x)=-3x-2(x+5)
- x 2 −10x+21=0 ចំលើយ៖ 7;3
កម្រិត 2. ដោះស្រាយសាមញ្ញបំផុត។ សមីការត្រីកោណមាត្រនិងសមីការ biquadratic៖ 
ចម្លើយ៖ 
b) x 4 −13x 3 +36=0 ចំលើយ៖ -2; ២; -៣; ៣
កម្រិត 3 ។ដោះស្រាយសមីការដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖
b) x 6 -9x 3 +8=0 ចម្លើយ៖
III.ទំនាក់ទំនងប្រធានបទ ការកំណត់គោលដៅ និងគោលបំណង។
ប្រធានបទ៖ សមីការដូចគ្នា
គោលដៅ៖ រៀនដោះស្រាយសមីការដូចគ្នាធម្មតា។
កិច្ចការ:
ការយល់ដឹង:
- ស្គាល់សមីការដូចគ្នា រៀនដោះស្រាយប្រភេទសមីការទូទៅបំផុត។
ការអភិវឌ្ឍន៍:
- ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតវិភាគ។
- ការអភិវឌ្ឍជំនាញគណិតវិទ្យា៖ រៀនកំណត់លក្ខណៈសំខាន់ៗដែលសមីការដូចគ្នាខុសពីសមីការដទៃទៀត អាចបង្កើតភាពស្រដៀងគ្នានៃសមីការដូចគ្នានៅក្នុងការបង្ហាញផ្សេងៗរបស់ពួកគេ។
IV. រៀនចំណេះដឹងថ្មី (១៥ នាទី)
1. ពេលវេលាបង្រៀន។
និយមន័យ ១(សរសេរវានៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា)។ សមីការនៃទម្រង់ P(x;y)=0 ត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ប្រសិនបើ P(x;y) គឺជាពហុនាមដូចគ្នា ។
ពហុធានៅក្នុងអថេរពីរ x និង y ត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា ប្រសិនបើកម្រិតនៃពាក្យនីមួយៗរបស់វាស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា k ។
និយមន័យ ២(គ្រាន់តែជាការណែនាំ)។ សមីការនៃទម្រង់
ត្រូវបានគេហៅថាសមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេ n ទាក់ទងនឹង u(x) និង v(x) ។ ដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ (v(x))n យើងអាចប្រើការជំនួសដើម្បីទទួលបានសមីការ
ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រួលសមីការដើម។ ករណី v(x)=0 ត្រូវតែគិតដោយឡែកពីគ្នា ព្រោះវាមិនអាចបែងចែកដោយ 0 បានទេ។
2. ឧទាហរណ៍នៃសមីការដូចគ្នា៖
ពន្យល់៖ ហេតុអ្វីបានជាពួកវាដូចគ្នា សូមផ្តល់ឧទាហរណ៍របស់អ្នកអំពីសមីការបែបនេះ។
3. ភារកិច្ចដើម្បីកំណត់សមីការដូចគ្នា៖
ក្នុងចំណោម សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យកំណត់សមីការដូចគ្នា និងពន្យល់ពីជម្រើសរបស់អ្នក៖
បន្ទាប់ពីអ្នកបានពន្យល់ពីជម្រើសរបស់អ្នកហើយ សូមប្រើឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបង្ហាញពីរបៀបដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា៖
៤.សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖
ចម្លើយ៖ 
ខ) 2sin x − 3 cos x = 0
ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ cos x យើងទទួលបាន 2 tg x −3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. បង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ពីខិត្តប័ណ្ណ"P.V. Chulkov ។ សមីការ និងវិសមភាពក្នុង វគ្គសិក្សាសាលាគណិតវិទ្យា។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ សាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យ"ដំបូងនៃខែកញ្ញា" ឆ្នាំ 2006 ទំព័រ 22 ។ ជាផ្នែកមួយនៃ ឧទាហរណ៍ដែលអាចកើតមាន កម្រិតប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមជាមួយ។
វ. ដោះស្រាយសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមដោយប្រើសៀវភៅសិក្សារបស់ Bashmakov
ទំព័រ 183 លេខ 59 (1.5) ឬយោងទៅតាមសៀវភៅសិក្សាដែលត្រូវបានកែសម្រួលដោយ Kolmogorov: ទំព័រ 81 លេខ 169 (a, c)
ចម្លើយ៖ 
VI. តេស្ត ការងារឯករាជ្យ (៧ នាទី)
| ជម្រើស 1 | ជម្រើសទី 2 |
| ដោះស្រាយសមីការ៖ | |
| ក) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 | ក) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0 |
ខ) cos 2 −3sin 2 = 0 |
ខ) |
ចម្លើយចំពោះកិច្ចការ៖
ជម្រើសទី 1 ក) ចម្លើយ៖ arctan2+πn,n€Z; ខ) ចម្លើយ៖ ±π/2+ 3πn,n€Z; វី) 
ជម្រើសទី 2 ក) ចម្លើយ៖ arctg(-1±31/2)+πn,n€Z; ខ) ចម្លើយ៖ -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; គ) (-5;-2); (5;2)
VII. កិច្ចការផ្ទះ
លេខ 169 យោងទៅតាម Kolmogorov លេខ 59 យោងតាម Bashmakov ។
2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 ចំណាំ៖ នៅជ្រុងខាងស្តាំប្រើមូលដ្ឋាន អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ 2 (sin 2 x + cos 2 x)
ចម្លើយ៖ arctan(-1±√3) +πn,
អក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖
- P.V. Chulkov ។ សមីការ និងវិសមភាពក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។ – អិមៈ សាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យ “ដំបូងនៃខែកញ្ញា” ឆ្នាំ ២០០៦ ទំព័រ ២២
- A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir ។ ត្រីកោណមាត្រ។ – អិមៈ “AST-PRESS” ឆ្នាំ ១៩៩៨ ទំព័រ ៣៨៩
- ពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី៨ កែសម្រួលដោយ N.Ya. វីលែនគីណា។ - អិមៈ "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ ១៩៩៧ ។
- ពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី៩ កែសម្រួលដោយ N.Ya. វីលែនគីណា។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 2001 ។
- M.I. Bashmakov ។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ សម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 - M.: "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 1993
- Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn ។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ សម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 ។ - អិមៈ“ ការត្រាស់ដឹង” ឆ្នាំ ១៩៩០ ។
- A.G. Mordkovich ។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ ផ្នែកទី 1 សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 ។ - M.: "Mnemosyne", ឆ្នាំ 2004 ។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទី 1 ប្រើការជំនួស u = y/x នោះគឺ u គឺជាមុខងារមិនស្គាល់ថ្មីអាស្រ័យលើ x ។ ដូច្នេះ y = ux ។ យើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ y' ដោយប្រើក្បួនភាពខុសគ្នានៃផលិតផល៖ y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (ចាប់តាំងពី x'=1)។ សម្រាប់ទម្រង់នៃការសម្គាល់មួយផ្សេងទៀត៖ dy = udx + xdu បន្ទាប់ពីការជំនួស យើងសម្រួលសមីការ ហើយមកដល់សមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទី 1 ។
1) ដោះស្រាយសមីការ
យើងពិនិត្យមើលថាសមីការនេះគឺដូចគ្នា (សូមមើល របៀបកំណត់ សមីការដូចគ្នា។) នៅពេលជឿជាក់ យើងធ្វើការជំនួស u=y/x ដែល y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u ។ ជំនួស៖ u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx)។ ចាប់តាំងពីលោការីតនៃផលិតផល ស្មើនឹងផលបូកលោការីត, ln(ux)=lnu+lnx. ពីទីនេះ
u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx)។ បន្ទាប់ពីនាំយកមក ពាក្យស្រដៀងគ្នា៖ u'x+u=u(1+lnu)។ ឥឡូវនេះបើកតង្កៀប
u'x+u=u+ul · ភាគីទាំងពីរមានអ្នក ដូច្នេះ u'x=ulnu។ ដោយសារ u គឺជាអនុគមន៍ x, u'=du/dx ។ ចូរជំនួស
យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ យើងបែងចែកអថេរដោយគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ dx និងបែងចែកដោយ x·ulnu ផ្តល់ថាផលិតផល x·ul·lnu≠0
ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:
នៅផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាអាំងតេក្រាលតារាង។ នៅខាងស្តាំ - យើងធ្វើការជំនួស t=lnu ពីកន្លែងដែល dt=(lnu)'du=du/u
ln│t│=ln│x│+C។ ប៉ុន្តែយើងបានពិភាក្សារួចហើយថា ក្នុងសមីការបែបនេះ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយក ln│C│ ជំនួសឲ្យ C ។ បន្ទាប់មក
ln│t│=ln│x│+ln│C│។ យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត៖ ln│t│=ln│Сx│។ ដូច្នេះ t=Cx ។ (តាមលក្ខខណ្ឌ x> 0) ។ វាដល់ពេលហើយដើម្បីធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ lnu=Cx ។ និងការជំនួសបញ្ច្រាសមួយទៀត៖
ដោយទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត៖
នេះគឺជាអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ។
យើងរំលឹកពីស្ថានភាពនៃផលិតផល x··lnu≠0 (ហើយដូច្នេះ x≠0,u≠0, lnu≠0, មកពីណា u≠1)។ ប៉ុន្តែ x≠0 ពីលក្ខខណ្ឌ u≠1 នៅសល់ ដូច្នេះ x≠y ។ ជាក់ស្តែង y = x (x> 0) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ។
2) ស្វែងរកអាំងតេក្រាលផ្នែកនៃសមីការ y'=x/y+y/x ដោយបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(1)=2។
ដំបូង យើងពិនិត្យមើលថាសមីការនេះគឺដូចគ្នា (ទោះបីជាវត្តមានរបស់ពាក្យ y/x និង x/y បង្ហាញដោយប្រយោលរួចហើយក៏ដោយ)។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស u=y/x ដែល y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u ។ យើងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការ៖
u'x+u=1/u+u។ ចូរធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
u'x=1/u. ដោយសារ u គឺជាអនុគមន៍ x, u'=du/dx:
យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ ដើម្បីបំបែកអថេរ យើងគុណភាគីទាំងពីរដោយ dx និង u ហើយចែកដោយ x (x≠0 តាមលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះ u≠0 ផងដែរ ដែលមានន័យថាមិនមានការបាត់បង់ដំណោះស្រាយទេ)។
ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:
ហើយដោយសារភាគីទាំងពីរមានអាំងតេក្រាលតារាង យើងទទួលបានភ្លាមៗ
យើងអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖
នេះគឺជាអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ។ យើងប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង y(1)=2 នោះគឺយើងជំនួស y=2, x=1 ទៅក្នុងដំណោះស្រាយលទ្ធផល៖
3) ស្វែងរកអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា៖
(x²-y²)dy-2xydx=0 ។
ការជំនួស u=y/x, whence y=ux, dy=xdu+udx ។ តោះជំនួស៖
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0។ យើងយក x² ចេញពីតង្កៀប ហើយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយវា (ផ្តល់ x≠0)៖
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0 ។ បើកតង្កៀបនិងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0 ។ យើងដាក់លក្ខខណ្ឌជាមួយ du និង dx៖
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0 ។ យើងយកវាចេញ កត្តាទូទៅនៅខាងក្រៅតង្កៀប៖
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0 ។ យើងបែងចែកអថេរ៖
x(1-u²)du=u(u²+1)dx ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ xu(u²+1)≠0 (យោងទៅតាមយើងបន្ថែមតម្រូវការ x≠0 (បានកត់សម្គាល់រួចហើយ) u≠0):
ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:
នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺជាអាំងតេក្រាលតារាង ប្រភាគសមហេតុផលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងបែងចែកវាទៅជាកត្តាសំខាន់៖
(ឬនៅក្នុងអាំងតេក្រាលទីពីរ ជំនួសឱ្យការជំនួសសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល វាអាចធ្វើការជំនួស t=1+u², dt=2udu - អ្នកណាចូលចិត្តវិធីណាដែលល្អជាង)។ យើងទទួលបាន៖
យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត៖
ការជំនួសបញ្ច្រាស
យើងរំលឹកស្ថានភាព u≠0។ ដូច្នេះ y≠0. នៅពេល C=0 y=0 នេះមានន័យថាមិនមានការបាត់បង់ដំណោះស្រាយទេ ហើយ y=0 ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងអាំងតេក្រាលទូទៅ។
មតិយោបល់
អ្នកអាចទទួលបានដំណោះស្រាយដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ផ្សេង ប្រសិនបើអ្នកទុកពាក្យ x នៅខាងឆ្វេង៖
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលក្នុងករណីនេះគឺជាគ្រួសារនៃរង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅលើអ័ក្ស Oy និងឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។
កិច្ចការសាកល្បងខ្លួនឯង៖
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) យើងពិនិត្យមើលថាសមីការគឺដូចគ្នា បន្ទាប់ពីនោះយើងធ្វើការជំនួស u=y/x, whence y=ux, dy=xdu+udx ។ ជំនួសលក្ខខណ្ឌ៖ (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ x²≠0 យើងទទួលបាន៖ (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0 ។ ដូច្នេះ dx+u²dx-xudu-u²dx=0 ។ ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ យើងមាន៖ dx-xudu=0 ។ ដូច្នេះ xudu=dx, udu=dx/x ។ ចូរយើងបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរ៖
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលំដាប់ទីមួយ
គឺជាសមីការនៃទម្រង់
ដែល f ជាមុខងារ។
របៀបកំណត់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។
ដើម្បីកំណត់ថាតើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយមានភាពដូចគ្នា អ្នកត្រូវណែនាំ t ថេរ ហើយជំនួស y ជាមួយ ty និង x ជាមួយ tx: y → ty, x → tx ។ ប្រសិនបើមិនបោះបង់ទេនោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។
.
. ដេរីវេទី y′ មិនផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងការបំលែងនេះទេ។
ឧទាហរណ៍ កំណត់ថាតើសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ដូចគ្នា
ដំណោះស្រាយ
យើងធ្វើការជំនួស y → ty, x → tx ។ 2
.
.
ចែកដោយ t
សមីការមិនមាន t ។
ដូច្នេះនេះគឺជាសមីការដូចគ្នា។
វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលំដាប់ទីមួយត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបានដោយប្រើការជំនួស y = ux ។
សូមបង្ហាញវា។ ពិចារណាសមីការ៖
(i)
តោះធ្វើការជំនួស៖
y = ux, វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។.
,
,
កន្លែងដែលអ្នកជាមុខងារនៃ x ។ .
បែងចែកដោយ x: y′ =.
ជំនួសសមីការដើម (ii)ចូរញែកអថេរ។ គុណនឹង dx ហើយចែកនឹង x 0
(f(u) - u)
នៅ f
(u) - u ≠ 0 វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។និង x ≠
យើងទទួលបាន៖ ចូររួមបញ្ចូលគ្នា:ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ
ក្នុងបួនជ្រុង៖ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសថេរនៃការរួមបញ្ចូល C ដោយក្នុង គ
, បន្ទាប់មក ចូរយើងលុបចោលសញ្ញាម៉ូឌុល ចាប់តាំងពី.
សញ្ញាត្រឹមត្រូវ។ កន្លែងដែលអ្នកជាមុខងារនៃ x ។ត្រូវបានកំណត់ដោយជម្រើសនៃសញ្ញានៃ C ថេរ។ កន្លែងដែលអ្នកជាមុខងារនៃ x ។បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលទូទៅនឹងមានទម្រង់៖ បន្ទាប់យើងគួរពិចារណាករណី f(u) - u = 0 វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។.
ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫសគល់ នោះពួកវាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ . ចាប់តាំងពី Eq ។មិនស្របគ្នានឹងសមីការដើមទេ នោះអ្នកគួរតែប្រាកដថា ដំណោះស្រាយបន្ថែមបំពេញសមីការដើម នៅពេលណាដែលយើងនៅក្នុងដំណើរការនៃការបំប្លែង បែងចែកសមីការណាមួយដោយមុខងារមួយចំនួន ដែលយើងសម្គាល់ថា g.
(x, y)
បន្ទាប់មកការបំប្លែងបន្ថែមមានសុពលភាពសម្រាប់ g
ដូចគ្នា
(x, y) ≠ 0
,
,
.
.
ដូច្នេះករណី g គួរតែត្រូវបានពិចារណាដោយឡែកពីគ្នា។
(x, y) = 0
តោះធ្វើការជំនួស៖ (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
ជំនួសសមីការដើម។
,
,
,
.
ពេល x ≥ 0
, |x| = x ។ 0
ពេល x ≤ 0
, |x| = - x ។ 0
.
,
យើងសរសេរ |x| = x បញ្ជាក់ថាសញ្ញាខាងលើសំដៅលើតម្លៃ x ≥
, និងទាបជាងមួយ - ទៅតម្លៃ x ≤ 2 - 1 ≠ 0
គុណនឹង dx និងចែកដោយ .
នៅ f
នៅពេលដែលអ្នក
.
យើងមាន៖
អាំងតេក្រាលតារាង,.
តោះអនុវត្តរូបមន្ត៖
.
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
.
ចូរដាក់ a = u, ។
.
ចូរយកម៉ូឌុលទាំងសងខាង ហើយយកលោការីត
,
.
ពីទីនេះ
ដូច្នេះយើងមាន៖
,
.
យើងលុបចោលសញ្ញានៃម៉ូឌុល ចាប់តាំងពីសញ្ញាដែលចង់បានត្រូវបានធានាដោយជ្រើសរើសសញ្ញានៃ C ថេរ។
,
,
.
គុណនឹង x និងជំនួស ux = y ។ 2 - 1 = 0
.
ការ៉េ។
.
ឥឡូវពិចារណាករណី, យូ
ឫសគល់នៃសមីការនេះ។
,
,
.
វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាមុខងារ y = x បំពេញសមីការដើម។
ចម្លើយ អក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖ N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលបញ្ហានៅលើ