ផលិតផលនៃភាគលាភនិងភាគលាភវិជ្ជមាន។ អ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យបានទេ។

លេខធំ និងតូចបំផុតជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖ ក∙10 ន, កន្លែងណា 1≤a<10 និង ន(ធម្មជាតិ ឬចំនួនគត់) - គឺជាលំដាប់នៃលេខដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ។

ឧទាហរណ៍ 345.7=3.457∙10 2; 123456=1.23456∙10 5 ; 0.000345=3.45∙10 -4 ។

ឧទាហរណ៍។

សរសេរលេខក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ៖ 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

ដំណោះស្រាយ។

1) 40503=4.0503·10 4;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

ឧទាហរណ៍បន្ថែមលើទម្រង់ស្តង់ដារនៃលេខ។

5) ចំនួនម៉ូលេគុលឧស្ម័នក្នុង 1 សង់ទីម៉ែត្រ 3 នៅ 0°C និងសម្ពាធ 760 mm ps.st គឺស្មើនឹង

27 000 000 000 000 000 000.

ដំណោះស្រាយ។

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 parsec(ឯកតានៃប្រវែងនៅក្នុងតារាសាស្ត្រ) គឺស្មើនឹង 30,800,000,000,000 គីឡូម៉ែត្រ។សរសេរលេខនេះជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

ដំណោះស្រាយ។

1 ញែក=30 800 000 000 000=3.08∙10 13 គ.ម.

លើប្រធានបទ៖

គីឡូវ៉ាត់ម៉ោងគឺជាឯកតាថាមពល ឬការងារក្រៅប្រព័ន្ធ ដែលប្រើក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី តំណាងឱ្យ kWh ។

1 kWh = 3.6∙10 6 J(ជូល) ។

ជារឿយៗអ្នកត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃការ៉េ (x 1 2 +x 2 2) ឬផលបូកនៃគូប (x 1 3 +x 2 3) នៃឫសនៃសមីការការ៉េ តិចជាញឹកញាប់ - ផលបូកនៃតម្លៃទៅវិញទៅមក នៃ​ការេ​នៃ​ឫស ឬ​ផល​បូក​នៃ​ឫស​ការ៉េ​នព្វន្ធ​នៃ​ឫស​នៃ​សមីការ​បួន​ជ្រុង ៖

ទ្រឹស្តីបទ Vieta អាចជួយក្នុងរឿងនេះ៖

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ៖

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 = q ។

ចូរបញ្ចេញមតិ តាមរយៈ ទំនិង q:

1) ផលបូកនៃការ៉េនៃឫសនៃសមីការ x 2 +px+q=0;

2) ផលបូកនៃគូបនៃឫសនៃសមីការ x 2 +px+q=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) កន្សោម x 1 2 + x 2 2ទទួលបានដោយការបំបែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការ x 1 + x 2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2 ; បើកតង្កៀប៖ x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 = ទំ 2 ; យើងបង្ហាញពីចំនួនដែលត្រូវការ៖ x 1 2 +x 2 2 =p 2 −2x 1 x 2 =p 2 −2q ។ យើងទទួលបានសមភាពដែលមានប្រយោជន៍៖ x 1 2 +x 2 2 = p 2 −2q ។

2) កន្សោម x 1 3 + x 2 3ចូរយើងតំណាងឱ្យផលបូកនៃគូបដោយប្រើរូបមន្ត៖

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(ទំ 2 -3q) ។

សមីការមានប្រយោជន៍មួយទៀត៖ x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 −3q)។

ឧទាហរណ៍។

3) x 2 −3x −4 = 0 ។ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនាតម្លៃនៃកន្សោម x 1 2 + x 2 2.

ដំណោះស្រាយ។

x 1 + x 2 =-p=3,និងការងារ x 1 ∙x 2 = q =ក្នុងឧទាហរណ៍ 1) សមភាព៖

x 1 2 +x 2 2 = p 2 −2q ។យើងមាន - ទំ=x 1 + x 2 = 3 → ទំ 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. បន្ទាប់មក x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17 ។

ចម្លើយ៖ x 1 2 + x 2 2 = 17 ។

4) x 2 −2x −4 = 0 ។គណនា៖ x 1 3 + x 2 3 ។

ដំណោះស្រាយ។

តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយនេះគឺ x 1 + x 2 =-p=2,និងការងារ x 1 ∙x 2 = q =-៤. ចូរយើងអនុវត្តនូវអ្វីដែលយើងបានទទួល ( ឧទាហរណ៍ 2) សមភាព៖ x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 −3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32។

ចម្លើយ៖ x 1 3 + x 2 3 = 32 ។

សំណួរ៖ ចុះបើយើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយ? ចម្លើយ៖ វាតែងតែអាចត្រូវបាន "កាត់បន្ថយ" ដោយបែងចែកពាក្យតាមពាក្យដោយមេគុណទីមួយ។

5) 2x 2 −5x-7 = 0 ។ដោយមិនចាំបាច់សម្រេចចិត្ត គណនា៖ x 1 2 + x 2 2.

ដំណោះស្រាយ។យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្ដល់​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដោយ 2 (មេគុណទីមួយ) ហើយទទួលបានសមីការបួនជ្រុងខាងក្រោម៖ x 2 −2.5x–3.5=0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹង 2,5 ; ផលិតផលនៃឫសគឺស្មើនឹង -3,5 .

យើងដោះស្រាយវាតាមរបៀបដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ 3) ដោយប្រើសមភាព៖ x 1 2 +x 2 2 = p 2 −2q ។

x 1 2 +x 2 2 =p 2 −2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

ចម្លើយ៖ x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 −5x −2 = 0 ។ស្វែងរក៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ប្តូរសមភាពនេះ ហើយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជំនួសផលបូកនៃឫស - ទំនិងផលិតផលនៃឫសតាមរយៈ qយើងទទួលបានរូបមន្តមានប្រយោជន៍មួយទៀត។ នៅពេលទាញយករូបមន្ត យើងបានប្រើសមភាព 1): x 1 2 +x 2 2 = p 2 −2q ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ x 1 + x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 = q =-2. យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តលទ្ធផល៖

7) x 2 −13x+36=0 ។ស្វែងរក៖

ចូរបំប្លែងផលបូកនេះ ហើយទទួលបានរូបមន្តដែលអាចប្រើដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃឫសការ៉េនព្វន្ធពីឫសនៃសមីការការ៉េ។

យើងមាន x 1 + x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 = q = 36. យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តលទ្ធផល៖

ដំបូន្មាន ៖ តែងតែពិនិត្យមើលលទ្ធភាពនៃការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើវិធីសាស្ត្រសមស្រប ពីព្រោះ 4 ពិនិត្យ រូបមន្តមានប្រយោជន៍អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​បញ្ចប់​កិច្ចការ​មួយ​បាន​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស ជា​ពិសេស​នៅ​ក្នុង​ករណី​ដែល​អ្នក​រើសអើង​ជា​លេខ "មិន​ស្រួល"។ ក្នុងករណីសាមញ្ញទាំងអស់ ស្វែងរកឫស និងដំណើរការលើពួកវា។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ យើងជ្រើសរើសឫសដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ ផលបូកនៃឫសគួរតែស្មើនឹង 13 និងផលិតផលនៃឫស 36 . តើលេខទាំងនេះជាអ្វី? ប្រាកដណាស់ ៤ និង ៩។ឥឡូវគណនាផលបូកនៃឫសការ៉េនៃលេខទាំងនេះ៖ 2+3=5. នោះហើយជាវា!

ការបែងចែកត្រូវបានកំណត់ថាជាការបញ្ច្រាសនៃគុណ។

ដើម្បីចែកលេខមួយដោយមធ្យោបាយមួយផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកលេខទីបីដែលនៅពេលគុណនឹងអ្នកចែកនឹងផ្តល់ភាគលាភនៅក្នុងផលិតផល:

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនេះ យើងទាញយកច្បាប់បែងចែកសម្រាប់លេខសនិទាន។

ជាបឋម សូមឲ្យយើងចង្អុលបង្ហាញម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់ថា ការបែងចែកមិនអាចជាសូន្យបានទេ។ ការបែងចែកដោយសូន្យត្រូវបានដកចេញសម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នាដែលវាត្រូវបានដកចេញជាលេខនព្វន្ធ។

តម្លៃដាច់ខាត a គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃតម្លៃដាច់ខាត និង c ។ នេះមានន័យថាតម្លៃដាច់ខាតនៃ b គឺស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតនៃ a បែងចែកដោយតម្លៃដាច់ខាត

ចូរយើងកំណត់សញ្ញានៃ quotient s ។

ប្រសិនបើភាគលាភ និងផ្នែកចែកមានសញ្ញាដូចគ្នា នោះកូតាគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើ a និងវិជ្ជមាន នោះកូតា o ក៏ជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ។

ឧទាហរណ៍។ ដោយសារតែ

ប្រសិនបើ a និងអវិជ្ជមាន នោះកូតានៃ c ត្រូវតែជាវិជ្ជមានផងដែរក្នុងករណីនេះ ពីព្រោះដោយការគុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមានរបស់វា យើងត្រូវតែទទួលបានចំនួនអវិជ្ជមាន a ។

ឧទាហរណ៍។ ដោយសារតែ

ប្រសិនបើភាគលាភ និងផ្នែកចែកមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា នោះកូតាគឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ ជាការពិត ប្រសិនបើ a វិជ្ជមាន និង a អវិជ្ជមាន នោះ c ត្រូវតែជាអវិជ្ជមាន ព្រោះដោយការគុណលេខអវិជ្ជមានដោយវា យើងត្រូវតែទទួលបានចំនួនវិជ្ជមាន a ។

ឧទាហរណ៍។ ដោយសារតែ

ប្រសិនបើ a គឺអវិជ្ជមាន ហើយ a គឺវិជ្ជមាន នោះក្នុងករណីនេះ c ត្រូវតែជាចំនួនអវិជ្ជមាន ពីព្រោះដោយការគុណចំនួនវិជ្ជមានដោយវា យើងត្រូវតែទទួលបានចំនួនអវិជ្ជមាន a ។

ឧទាហរណ៍។ ដោយសារតែ

ដូច្នេះ​ហើយ យើង​បាន​មក​ដល់​ក្បួន​ចែក​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ដើម្បីចែកវត្ថុមួយដោយមួយទៀត អ្នកត្រូវបែងចែកតម្លៃដាច់ខាតនៃភាគលាភដោយតម្លៃដាច់ខាតនៃការបែងចែក ហើយដាក់សញ្ញាបូកនៅពីមុខកូតានិក ប្រសិនបើភាគលាភ និងផ្នែកចែកមានសញ្ញាដូចគ្នា ហើយសញ្ញាដក ,

ប្រសិនបើភាគលាភ និងផ្នែកចែកមានសញ្ញាផ្ទុយ។

ដូចដែលយើងបាននិយាយរួចមកហើយ ការបែងចែកដោយសូន្យគឺមិនអាចទៅរួចទេ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពន្យល់លម្អិតបន្ថែមទៀត។ ឧបមាថាអ្នកត្រូវចែកលេខដែលមិនមែនជាសូន្យឧទាហរណ៍ -3 ដោយ 0 ។

ប្រសិនបើលេខ a គឺជាកូតាដែលចង់បាន នោះគុណនឹងគុណនឹង 0 យើងត្រូវទទួលបានភាគលាភ នោះគឺ - 3។ ប៉ុន្តែផលិតផលស្មើនឹង 0 ហើយភាគលាភ - 3 មិនអាចជា ទទួលបាន។ ពីនេះយើងសន្និដ្ឋានថាលេខ

អ្នកមិនអាចបែងចែក 3 ដោយសូន្យបានទេ។

ឲ្យលេខ 0 ចែកនឹង 0។ ទុក a ជាកូតាដែលត្រូវការ។ ការគុណ a ដោយចែក 0 យើងទទួលបាន 0 ក្នុងផលិតផលសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ a:

ដូច្នេះ យើងមិនទទួលបានលេខជាក់លាក់ណាមួយទេ៖ គុណលេខណាមួយដោយ 0 យើងទទួលបាន 0។ ដូច្នេះហើយការចែកលេខសូន្យដោយសូន្យក៏ចាត់ទុកថាមិនអាចទៅរួចដែរ។

សម្រាប់​លេខ​សនិទានភាព ទ្រព្យសម្បត្តិ​មូលដ្ឋាន​ខាងក្រោម​នៃ​កូតា​នៅតែ​ជា​ធរមាន៖

ផលគុណនៃចំនួនពីរនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើភាគលាភ និងផ្នែកចែកត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា (មិនស្មើនឹងសូន្យ)។

ចូរយើងពន្យល់រឿងនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

1. ពិចារណាពីកូតា គុណភាគលាភ និងចែកដោយ - 4; បន្ទាប់មកយើងទទួលបានកូតាថ្មី។

ដូច្នេះនៅក្នុងកូតាថ្មីយើងទទួលបានលេខដូចគ្នា 2 ។

2. ពិចារណាពីកូតា គុណភាគលាភ និង ភាគចែកដោយ - បន្ទាប់មកយើងទទួលបានផលបូកដូចខាងក្រោមៈ

កូតា​មិន​បាន​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ទេ ព្រោះ​លទ្ធផល​គឺ​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា។

លេខនៅក្នុងការបែងចែកត្រូវបានរៀបចំដូចខាងក្រោមៈ ភាគលាភគឺនៅនឹងកន្លែងទីមួយ ការបែងចែកគឺនៅទីពីរ ហើយកូតាគឺបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា។

ភាគលាភ : divisor = quotient.

ចូរសម្គាល់លេខដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់ដោយអក្សរ

ឲ្យ​ភាគលាភ​ស្មើ​នឹង a, ចែក​ស្មើ​នឹង b, និង​ភាគលាភ​ស្មើ​នឹង c ។

យោងតាមលក្ខខណ្ឌ ផលិតផល (នោះគឺគុណ) នៃភាគលាភ ចែក និង កូតាគឺស្មើនឹង 3136 ។ ចូរយើងបង្កើតសមីការមួយ។

• a * b * c = 3136 ។
• ដោយសារ c ស្មើនឹង a/b យើងជំនួសអក្សរ c ដោយប្រភាគ a/b ។
• a * b * a/b = 3136 ។
• អថេរ in ត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដោយបន្សល់ទុក a * a = 3136 ឬ a 2 = 3136 ។
• ដោយប្រើតារាងនៃការ៉េយើងរកឃើញតម្លៃនៃ a, a គឺស្មើនឹង 56 ។

ភាគលាភគឺ 56. សមីការខាងក្រោមត្រូវបានទទួល: 56: b = c

ចូរបង្ហាញពីភាគលាភដែលគេស្គាល់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរមិនស្គាល់

ដើម្បីស្វែងរកភាគលាភ អ្នកត្រូវគុណផ្នែកចែក និងកូតា នោះគឺ 56 = ក្នុង * s ។

តាមលក្ខខណ្ឌ លេខដែលចូលរួមទាំងអស់គឺជាលេខធម្មជាតិ ពោលគឺចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ ដូចដែលយើងដឹង 56 គឺស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនគត់ពីរគឺ 7 និង 8 ។

នេះបណ្តាលឱ្យមានកន្សោមពីរ៖

នេះមានន័យថា កូតានិក (លេខបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា) អាចស្មើនឹង ៧ ឬ ៨ ប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយ៖ កូតាអាចមាន ៧ ឬ ៨ ។

ចូរកំណត់ភាគលាភដោយ x និងចែកដោយ y ។

បន្ទាប់មក កូតានៃការបែងចែកលេខទាំងពីរនេះនឹងស្មើនឹង x/y ។

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ផលិតផលនៃភាគលាភ ការបែងចែក និងកូតាគឺស្មើនឹង 3136 ដូច្នេះយើងអាចសរសេរទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

x * y * (x/y) = 3136 ។

ការធ្វើឱ្យទំនាក់ទំនងលទ្ធផលសាមញ្ញ យើងទទួលបាន៖

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ភាគលាភ ការបែងចែក និងកូតាគឺជាលេខធម្មជាតិ ដូច្នេះតម្លៃ x = -56 មិនសមរម្យទេ។

ចូរបំបែកលេខ 56 ទៅជាផលិតផលនៃកត្តាចម្បង៖

56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7.

ចូរយើងរាយបញ្ជីចែកដែលអាចមានទាំងអស់នៃលេខ 56 ដែលកូតាគឺជាលេខធម្មជាតិ។

លេខចែក 1, គុណតម្លៃ 56;

ចែក 2, កូតា 28;

ចែក 4, កូតា 14;

ចែក ៨, គុណ ៧;

ចែកលេខ ៧, គុណលេខ ៨;

ចែកលេខ ១៤, គុណលេខ ៤;

ចែកលេខ ២៨, គុណ ២.

ចែក ៥៦, គុណ ១.

ចម្លើយ៖ កូតាអាចយកតម្លៃ ១, ២, ៤, ៨, ៧, ១៤, ២៨, ៥៦។