Как математические формулы. Общие правила набора формул

Одним из наиболее сложных видов набора является набор математических формул. Формулы представляют собой тексты, включающие шрифты на русской, латинской и греческой основах, прямого и курсивного, светлого, полужирного начертания, с большим числом математических и других знаков, индексов на верхнюю и нижнюю линии шрифта и различных крупнокегельных знаков. Ассортимент шрифтов для набора формул минимально составляет 2 тыс. знаков. Таблица символов в WORD-98 включает 1148 символов.

Основное отличие формульного набора от всех других видов набора состоит в том, что набор формулы в ее классическом виде производится не параллельными строками, а занимает определенную часть площади полосы.

Формула - математическое или химическое выражение, в котором при помощи цифр, символов и специальных знаков в условной форме выражается соотношение между определенными величинами.

Цифры - знаки, которыми обозначаются или выражаются числа (количества). Цифры бывают арабские и римские.

Арабские цифры : 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Арабские цифры меняют свое значение в зависимости оттого места, которое они занимают в ряду цифровых знаков. Арабские цифры делятся на два класса - 1-й - единицы, десятки, сотни; 2-й - тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и т.д.

Римские цифры . Основных цифровых знаков семь: I - единица, V - пять, X - десять, L - пятьдесят, С - сто, D - пятьсот, М - тысяча. Римские цифры имеют постоянное значение, поэтому числа получаются сложением или вычитанием цифровых знаков. Например: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1+ 1); 29 = XXIX (10 + 10 -1 + 10); 150 = CL (100 + 50); 200 = СС (100 + 100); 1980 = MDCCCCLXXX (1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10+ 10 + 10); 2002 = MMII (1000 + 1000 + 1 + 1).

Римскими цифрами обычно обозначают столетия (ХV1в.), номера томов (том IX), глав (глава VII), частей (часть II) и т.д.

Символы - буквенные выражения, входящие в состав формулы (например, математические символы: l - длина, λ - частота отказов (усадка), π - отношение длины окружности к диаметру и т.д.; химические символы: Аl - алюминий, РЬ - свинец, Н - водород и т.д.).

Коэффициенты - цифры, стоящие перед символами, например 2Н 2 О; 4sinx. Символы и цифры часто имеют индексы надстрочные (на верхнюю линию) и подстрочные (на нижнюю линию), которые либо поясняют значение индексов, (например, λ с - линейная усадка, G T - теоретическая масса отливки, С ф -фактическая масса отливки); либо указывают на математические действия (например, х 2 , у 3 , z -2 и т.д.); либо указывают число атомов в молекуле и число зарядов ионов в химических формулах (например, СН 4). В формулах встречаются также индексы к индексам: верхний индекс к верхнему индексу - верхний супраиндекс , нижний индекс к верхнему индексу - верхний субиндекс , верхний индекс к нижнему индексу - нижний супраиндекс и нижний индекс к нижнему индексу - нижний субиндекс.

Знаки математических действий и соотношений - сложение « + », вычитания « - », равенства « = », умножения «х»; действие деление обозначается горизонтальной линейкой, которая будет называться дробной или делительной линейкой..

(9.12)

Основная строка - строка, в которой размещены основные знаки математических действий и соотношений.

Классификация формул .

Математические формулы разделяются по сложности набора, зависящей от состава формулы (однострочные, двухстрочные, многострочные) и насыщенности ее различными математическими знаками и символами, индексами, субиндексами, супраиндексами и приставными знаками. По сложности набора все математические формулы условно можно разделить на четыре основные группы и одну дополнительную:

1 группа. Однострочные формулы (9.13-9.16);

2 группа. Двухстрочные формулы (9.17-9.19). Фактически эти ф-лы состоят из 3-х строк;

3 группа. Трехстрочные формулы (9.20-9.23). Фактически эти ф-лы состоят из 5-и строк;

4 группа. Многострочные формулы (9.24-9.26);

Дополнительная группа (9.27-9.29).

При выделении формул в группы сложности учитывалась трудоемкость набора и время, затрачиваемое на набор.

II группа. Двустрочные формулы :

(9.29)

Правила набора текста математических формул .

При наборе математического текста необходимо соблюдать следующие основные правила.

Набирать цифры в формулах прямым шрифтом, например 2ах; Зу .

Сокращенные тригонометрические и математические термины , например sin, cos, tg, ctg, arcsin. Ig, lim и т.д., набирать шрифтом латинского алфавита прямого светлого начертания.

Сокращенные слова в индексе набирать русским шрифтом прямого начертания на нижнюю линию.

Сокращенные наименования физических, метрических и технических единиц измерения , обозначенные буквами русского алфавита, набирать в тексте прямым шрифтом без точек, например 127 В, 20 кВт . Эти же наименования, обозначенные буквами латинского алфавита, набирать также прямым шрифтом без точек, например 120 V, 20 kW , если нет в оригинале других указаний.

Символы (или цифры и символы ), следующие один за другим и не разделенные какими-либо знаками, набирать без отбивки, например 2ху; 4у .

Знаки препинания в формулах набирать прямым светлым шрифтом. Запятые внутри формулы отбивать от последующего элемента формулы на 3 п .; от предыдущего элемента формулы запятая не отбивается; от предшествующей подстрочной литеры запятая отбивается на 1 п .

Многоточие на нижнюю линию набирать точками с разбивкой на полукегельную. От предыдущего и последующего элементов формулы точки отбивать тоже полукегельной, например:

(9.30)

Символы (или цифры и символы), следующие один за другим, не разделять, а набирать без отбивки.

Знаки математических действий и соотношений, а также знаки геометрических образов , как, например, = ,< ,> , + , - , отбивать от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п

Сокращенные математические термины отбивать от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п.

Показатель степени , следующий непосредственно за математическим термином, набирать вплотную к нему, а отбивку делать после показателя степени.

Буквы «d» (в значении «дифференциал» ), δ (в значении «частная производная») и ∆ (в значении «приращение») отбивать от предшествующего элемента формулы на 2 п., от последующего символа указанные знаки не отбиваются.

Сокращенные наименования физических и технических единиц измерения и метрических мер в формулах отбивать на 3 п. от цифр и символов, к которым они относятся.

Знаки ° , " , " отбивать от последующего символа (или цифры) на 2 п., от предыдущего символа указанные знаки не отбиваются.

Знаки препинания, следующие за формулой , не отбиваются от нее.

Строку отточий в формулах набирают точками, используя полукегельную отбивку между ними.

Формулы, набранные в подбор с текстом, отбивать от предыдущего и последующего текстов полукегельной; эта отбивка при выключке строки не уменьшается, а увеличивается. Так же выключают формулы, следующие одна за другой в подбор с текстом.

Несколько формул, помещенных в одной строке, выключенной по центру, отбивать друг от друга пробелом не менее кегельной и не более 1/2 кв.

Мелкие пояснительные формулы, набираемые в одну строку с основной формулой, выключать в правый край строки, или отбивать на две кегельные от основного выражения (если нет иных указаний в оригинале).

Порядковые номера формул набирать цифрами того же кегля, что и однострочные формулы, и выключать в правый край, например:

Х+У=2 (9.31)

Если формула не умещается в формат строки, а переносить ее нельзя, допускается ее набор меньшим кеглем.

Переносы в формулах нежелательны. Во избежание переноса допускается уменьшение пробелов между элементами формулы. Если уменьшением пробелов не удается довести формулу до нужного формата строки, то переносы допускаются:

1) на знаках соотношения между левой и правой частями формулы (= ,>,< );

2) на знаках сложения или вычитания (+, - );

3) на знаках умножения (х). При этом следующая строка начинается со знака, на котором закончилась формула в предыдущей строке. При переносе формул необходимо смотреть за тем, чтобы переносимая часть не была очень маленькой, не разрывались выражения, заключенные в скобки, выражения, относящиеся к знакам корня, интеграла, суммы; не допускается разделение индексов, показателей степеней, дробей.

В нумерованных формулах номер формулы в случае ее переноса ставят на уровне центральной строки перенесенной части формулы. Если порядковая нумерация на умещается в строке, ее помещают в следующей и выключают в правый край. Формулы, числитель или знаменатель которых не умещается в заданном формате набора, набирают шрифтом меньшего кегля, либо шрифтом этого же кегля, но в две строки с переносом.

Если при переносе формулы разрывается делительная линейка или линейка корня, то место разрыва каждой линейки указывают стрелками.

Стрелки нельзя устанавливать около математических знаков.

Современные научные издания насыщены математическими методами доказательств. Ученые вводят в текст большое число формул, символов. Отличительные особенности математических формул – большая смысловая концентрация, высокая степень абстрактности заключенного в них материала, специфичность ма–тематического языка. Это в известной степени осложняет восприя–тие читателем текста и ставит перед редактором немало проблем.

Математической формулой называется символическая запись какого-либо утверждения (предложения, суждения). Формулы по–могают заменить в тексте сложные словесные выкладки, различные операции с количественными показателями. Для этого используют специальные обозначения – символы, которые можно разделить на три группы:

– условные буквенные обозначения математических и физико-технических величин;

– условные обозначения единиц измерения величин;

– математические знаки.

Существует мнение, что редактору работать с текстом, в кото–ром много формул, намного проще, чем с текстом без формул. Это неверно, ибо формулы в еще большей степени, чем текст, могут претерпевать преобразования и иметь различные формы записи, причем для каждой конкретной формулы в каждом конкретном издании должен быть выбран оптимальный вид. При этом учиты–ваются круг читателей, на который рассчитана данная книга, и особенности каждой формулы, чтобы избежать ошибок, неясно–стей или неудобочитаемости. Проследим это на примере записи одной формулы.

1. Эксплуатационная скорость автомобиля

T н – время в наряде.

В таком виде формула удобна, например, для вузовского учеб–ника.

2. Эксплуатационная скорость автомобиля

где L – путь, пройденный автомобилем за время в наряде (на работе);

T н – время в наряде.

Такая запись вполне приемлема, например, для учебного пособия по курсовому проектированию, читатель которого уже несколько подготовлен, а этот фрагмент – часть некоторой методики расчета.

3. Эта же формула в производственных изданиях для инженер–но-технических работников вполне может быть набрана в подбор.

Эксплуатационная скорость автомобиля v э =L/T н, где L – пробег; T н – время в наряде.

4. В учебнике для школьников, учащихся ПТУ эта формула должна иметь другой вид.

Эксплуатационная скорость, которую принято обозначать ха–рактеризует условную среднюю скорость подвижного состава за все время пребывания его в наряде (на работе) и определяется отношени–ем пробега ко времени в наряде, т.е.

где L – путь, пройденный автомобилем за время в наряде;

T н – время в наряде.

Такая запись позволяет учащемуся наглядно увидеть, как влия–ют исходные параметры на результат, т.е. понять, какие параметры влияют на конечный результат прямо пропорционально, а какие наоборот, легко запомнить формулу и усвоить «классическую» форму математической записи физической зависимости.

5. В научно-популярной литературе для массового читателя, где на всю книгу встречаются одна-две формулы, запись в математи–ческой форме выглядит неуместной. Поэтому лучше сделать так.

«Эксплуатационная скорость автомобиля как один из важнейших показателей его работы определяется расчетным путем:

6. В научных изданиях, где, например, эта формула необходима читателю лишь для напоминания с целью объяснения каких-то явлений, не имеющих прямого отношения к расчету показателей использования автомобиля, формула в традиционном виде может быть опущена вообще, а смысл ее просто передан словами: «Экс–плуатационная скорость автомобиля, определяемая как частное от деления пробега на время в наряде, – один из важнейших пока–зателей, которые приходится учитывать при формировании опти–мальной структуры парка транспортного объединения».

Если теперь оценить приведенные варианты, нетрудно увидеть, что они заметно различаются по удобству восприятия, компакт–ности построения и трудоемкости издания. В понятие «трудоем–кость издания» здесь будем условно включать трудоемкость редак–тирования, перепечатки формульных оригиналов, считки. Каждый вариант имеет свои, отличные от других, показатели восприятия, компактности и трудоемкости.

Рассмотрены варианты написания простейшей формулы, но если она окажется более сложной, то легко представить, что поя–вятся и другие варианты, связанные с возможностью варьирования формой записи индексов, выделением в формуле функциональ–ных групп параметров, расчленением одной сложной формулы на несколько простых и наоборот изменением «этажности» формулы в целом и ее составных элементов.

Прежде чем продолжить рассуждения о редактировании мате–матических формул, надо оговорить, что считать незыблемым в формулах, а что – допускающим варианты. В специальной лите–ратуре сказано ясно и недвусмысленно: в математических форму–лах должны применяться такие символы, которые установлены стандартом или являются общепринятыми в отрасли.

Это, безусловно, верно, но заметим, что стандартами регла–ментируется лишь незначительная часть символов, а «общепри–нятые» символы при анализе специальной литературы на одну тему чаще всего оказываются «общепринятыми» не в отрасли, а в пределах одной организации. Особенно это характерно для ин–дексов.

Многие величины, необходимые только в одной отрасли науки, должны иметь свои собственные обозначения, отличающиеся от обозначений сходных величин в других отраслях науки. Чтобы ре–шить эту проблему, т.е. индивидуализировать символ, применяют индексы. К основному буквенному обозначению добавляют ин–декс, указывающий на частное значение. Так, латинской буквой L или l чаще всего обозначают длину, интервал, протяженность, дальность, период и т.п. Если же необходимо обозначить конкре–тизированное понятие длины, то к общему символу добавляют уточняющий индекс. Например:

L к – длина кормовой части лодки;

L пр – расстояние пробега;

l э – размах элерона;

l ск – длина участка скалывания.

Основным материалом для составления индексов являются строчные буквы русского алфавита. Значительно реже применяют–ся буквы латинского алфавита, очень редко – греческие и тем более готические. Довольно часто в индексах используются арабские цифры и математические знаки. По местоположению при буквен–ном обозначении индексы подразделяют на нижние и верхние, причем нижние предпочтительнее. Верхний индекс справа лучше не использовать, так как это место показателя степени. Наиболее часто в качестве верхних индексов применяют штрихи: h ?; h ??.

Иногда индексы могут быть расположены вверху слева, если необходимо различить обозначения, имеющие совершенно оди–наковый вид, и если обозначение уже снабжено какими-либо ин–дексами и степенями. Например, имеется обозначение углов по–ворота стержня Q, которые в зависимости от точек приложения силы снабжаются нижними индексами 1, 2, 3, а также штриха–ми?, ??, ??? ... – в зависимости от кратности приложения силы (так, Q1? – первое приложение силы в точке 1; Q 1 ?? – второе приложение силы в точке 1 и т.д.). Если нужно выделить еще и угол поворота (слева или справа от узла стержня), применяют левые верхние ин–дексы: ? – для обозначения угла слева от узла; п – для обозначе–ния угла справа от узла. Таким образом, буквенное обозначение с индексом? Q 1 – первое приложение силы в точке 1 при левом повороте узла.

Ноль в качестве индекса придает буквенному обозначению значение «расчетный», «начальный», «исходный», относящийся к центру тяжести и т.п., а также может употребляться в значении «стандартное состояние вещества», например, l 0 – расчетная дли–на, t 0 – начальная температура.

Индексы, состоящие из нескольких слов, сокращают по началь–ным и характерным буквам. При этом, если индекс представляет собой два или три сокращенных слова, после каждого из них, кроме последнего, ставят точку, например S рв – площадь руля высоты.

Теперь непосредственно о восприятии формул. Принято счи–тать, что хорошо воспринимаемая формула – это такая, которую легко понять и запомнить. Добавим два дополнительных требо–вания.

1. При прочих равных условиях предпочтение следует отдавать таким символам в формулах, которые легко и однозначно воспро–изводятся на письме (от руки). В первую очередь это относится к учебникам, формулы из которых преподаватель пишет на доске, учащийся – в конспекте и т.д. Трудности здесь возникают обычно в связи со сходным начертанием букв разных алфавитов и из-за неоправданной усложненности индексов. Так, R г.ц легко и запи–сать, и потом прочитать. А теперь попытаемся прочитать запись? e.g . Для этой, казалось бы, выразительной записи существуют свыше 100 (!) вариантов прочтения, ибо есть шесть вариантов для с («ро» строчная и прописная; «пэ» строчная и прописная; «эр» строчная и прописная); четыре варианта для е («е» и «эль», на строке и в индексе); шесть вариантов для g («дэ» и «жэ»; на строке, в индексах первой и второй ступени). Кроме того, всю запись можно прочитать и как «? логарифмическое».

2. Формула должна иметь хороший графический рисунок. Плохо воспринимаются, например, цифры в середине сомножителей (их лучше ставить спереди), сложные показатели степени и индексы, многоступенчатые индексы, сложные формулы, приведенные к компактному виду.

Особой разновидностью искажений графики, еще больше ухудшающих «внешний вид» формулы, являются нарушения пра–вил набора. Желая упростить его, иногда смещают верхние индексы относительно нижних (K ав ткм). Точки в индексах часто оказываются не на месте и выглядят знаком умножения (Д Б .П ). Запятые после формул неопытные наборщики набирают в индексах (А =ВС к ). Не соблюдаются правила выбора кегля для подключек, в результате чего формула и экспликация становятся не похожими друг на друга. Если в индексах встречаются буквы разных алфавитов, часто они плохо выравниваются («пляшут»). Знак деления «косая черта» по высоте часто ниже (меньше кегль) делимого и делителя.

Что касается главного условия хорошей воспринимаемости формул – облегчения их понимания и запоминания, – необходимо учитывать следующие рекомендации:

– при прочих равных условиях русские символы, являющиеся первой буквой зашифрованного слова, воспринимаются, т.е. по–нимаются и запоминаются, лучше, чем латинские или греческие;

– в качестве символов нежелательно использовать аббревиатуры, так как они воспринимаются как произведение;

– индекс по возможности должен яснее отражать зашифрованное в нем слово или словосочетание;

Легко понимается и запоминается формула, в которой на–глядно отражена зависимость результата вычисления от характера изменения параметров.

Единицы физических величин следует помещать только после подстановки в формулу числовых значений величин и проведения промежуточных вычислений – при получении конечного результа–та. Например:

неправильно:

с = КТм/с = 1,4 · 290 · 300 м/с = 350 м/с;

правильно:

с = КТ = 1,4 · 290 · 300 = 350 м/с.

Математические знаки определяют как символы, служащие для записи математических понятий, предложений и вычислений. Так, «отношение длины окружности к длине ее диаметра» записы–вается в виде знака щ.

Математические знаки подразделяются на три группы:

1) знаки математических объектов (точки, прямые, плоскости) обычно обозначаются соответственно буквами (А, В, С…; а, b, с…; ?, ?, ?... );

2) знаки операций сложения (+) и вычитания (-); возведения в степень а 2 , а 3 и т.д.; корня V; знаки тригонометрических функ–ций log, sin, cos, tg и др.; факториала!; дифференциала и интеграла dx, ddx,…, ?ydx, модуля | х |;

3) знаки отношений (= – равенство, > – больше, < – меньше, || – параллельность, ? – перпендикулярность, ? – тождествен–ность, ? – приблизительное равенство).

Все эти знаки, кроме знаков объектов, применяются только в формулах, использовать их в тексте вместо слов соответствующего значения запрещается. Знаки объектов в тексте могут применяться со словами: в точке А, на плоскости а, из угла х.

Часто после формулы идет экспликация – расшифровка входя–щих в формулу символов. Элементы ее располагаются в той после–довательности, в которой условные обозначения прочитываются в формуле. Одни и те же буквы с разными индексами рекоменду–ется группировать вместе. При расшифровке дробных формульных выражений сначала поясняют буквенные обозначения числителя, а затем знаменателя.

Если необходимо расшифровать значение символа, стоящего в левой части уравнения, это рекомендуется делать в предшествую–щей формуле части предложения. К сожалению, эта рекомендация не всегда выполняется.

Приведем примеры из журнала «Военно-экономический вест–ник» (2002. № 12).

Расчет затрат на перевозки вооружения и техники осуществляются по формуле

З п.в.т = В п.в.т? С п.в.т? Д п (29)

где З п.в.т – затраты на перевозки однотипного вооружения и техники, руб.; В п.в.т – количество перевозимого вооружения (техники) данного типа, ед.; С п.в.т – стоимость перевозки 1 единицы вооружения (техники) на 1 км в руб.; Д п – дальность перевозки вооружения (техники), км.

Расчет производится по каждому виду вооружения (техники) в от–дельности.

Кроме того, для крепления перевозимого вооружения и техники на платформе используется крепежный материал – проволока, гвозди, скобы, брус деревянный или специальные крепежные приспособле–ния. Для их приобретения также требуются денежные средства. Расчет затрат на приобретение крепежного материала производится по формуле

З к.м = В п.в.т? Ц к.к.м, (30)

где З к.м – затраты на приобретение крепежного материала, руб.; В п.в.т – количество перевозимого вооружения и техники, ед.; Ц к.к.м – цена 1 комплекта крепежного материала (на единицу техники), руб.

Затраты на приобретение крепежного материала (крепежных при–способлений) рассчитываются отдельно только в том случае, если они не входят в расценки на перевозки вооружения и техники.

Затраты на перевозки личного состава на учениях различными ви–дами транспорта определяются по формуле

З п.л.с = В л.с? С п.ч? Д п, (31)

где З п.л.с – затраты на перевозки личного состава на конкретном виде транспорта, руб.; В л.с – количество перевозимого личного состава на конкретном виде транспорта, ед.; С п.ч – стоимость перевозки одного человека на 1 км конкретным видом транспорта, руб.; Д п – дальность перевозки личного состава, км.

И в первой, и во второй, и в третьей формулах символ, стоя–щий в левой части уравнений, следовало бы расшифровать в пред–шествующем формуле тексте. Символ В везде обозначает количе–ство перевозимого вооружения или личного состава, ед. Символ С – стоимость перевозки 1 человека, 1 единицы вооружения на 1 км; Д – дальность перевозки вооружения, личного состава, км. Следовало бы дать расшифровку символов один раз, не повторяя ее после каждой формулы.

После формулы перед экспликацией ставят запятую, а экспли–кация начинается словом где, за ним следуют обозначение первой величины и ее расшифровка и т.д. В конце каждой расшифровки рекомендуется ставить точку с запятой, в конце последней – точ–ку. Обозначения единиц физических величин в расшифровках от–деляют от текста запятой. Например:

Индуктивность многослойной катушки определяется по формуле

где? – число витков; D – средний диаметр намотки, мм; l – длина намотки, мм; h – высота намотки, мм.

Экспликация к формулам не стандартна. В научной литературе можно найти различные ее варианты – от самого простого до сложного, относящегося к одной формуле и к нескольким. Если формулы в предложении разделены текстом, общую экспликацию к ним лучше выделить в самостоятельное предложение. Например:

В векторной форме эти уравнения можно представить в следую–щем виде: уравнение движения центра масс

и уравнение движения летательного аппарата относительно центра масс

В этих уравнениях приняты следующие обозначения: V – вектор скорости движения летательного аппарата относитель–но инерциального пространства;

R – вектор внешних сил, действующих на летательный аппарат; G – вектор сил тяжести;

М – вектор момента внешних сил относительно центра масс лета–тельного аппарата.

В научных, справочных, энциклопедических изданиях в целях более экономного использования бумаги экспликацию можно располагать в подбор.

Тщательная проверка и правильная обработка встречающихся в тексте формул и символов требует большого внимания редактора. Необходимо не только удостовериться в правильности и точности всех обозначений и числовых показателей, но и добиться наи–большей наглядности и доходчивости в оформлении, не допускать неясностей или возможности различного истолкования.

Принято считать, что за правильность приведенных данных полностью отвечает автор, однако редактор издательства обязан производить сплошную или выборочную контрольную проверку формул. Сплошной проверке подвергаются задачи в учебниках и учебных пособиях. Контрольно могут быть проверены равенства путем подстановки соответствующих величин.

Чтобы грамотно отредактировать формульный текст, недоста–точно одних только знаний о математическом построении форму–лы, об использовании условных обозначений и т.п. Необходимо знать и полиграфические требования к формулам, так как их соблю–дение помогает сделать формулы понятными, выразительными, компактными.

Редактор должен знать, как лучше расположить формулу, как ее перенести, если она не умещается на одной строке, какие фор–мулы надо нумеровать и т.д.

Существует два вида расположения формул: внутри текстовых строк и отдельными строками посередине формата набора. Разме–щение формул в подбор способствует большой экономии площади. Поэтому, если короткие несложные формулы не имеют самостоя–тельного значения и не пронумерованы, но выключены в отдельные строки, их можно расположить в подбор с текстом. Например:

Из условия неразрывности находим

Этот текст можно расположить так:

Такой прием особенно эффективен при большом формате на–бора (он позволяет экономить до 70-80% площади), однако этот прием не рекомендуется использовать в том случае, когда форму–лы многострочные или многоэтажные.

Несколько размещенных подряд формул, в которых вычисляют однотипные или аналогичные величины, выравнивают или по зна–ку равенства:

р хx = ?р + ?div? + 2?? 1 ;

р yy = ?р + ?div? + 2?? 2 ;

р zz = ?р + ?div? + 2?? 3 ;

или по величине, которая является основой сравнения:

150°? ? ?210°;

330° ? ? ?360°.

Если производится преобразование формулы, а сама формула многострочная, промежуточные группы должны быть размещены одна под другой, чтобы лучше был виден ход преобразований. На–пример:

Нумерация формул. Очень часто оперировать формулами при–ходится не только там, где они расположены, но и в предыдущем или в последующем изложении. Чтобы каждый раз, ссылаясь на формулу, не приводить ее полностью, формулы нумеруют. Обычно применяется сквозная нумерация ограниченного числа наиболее важных формул. Нумерация всех формул подряд загромождает книгу.

В больших работах (учебники, монографии) иногда применя–ется порядковая нумерация формул по главам, так называемая двойная нумерация. В этом случае первая цифра нумерованной формулы должна соответствовать номеру главы, вторая – поряд–ковому номеру формулы внутри главы, например: 12-я по порядку формула в главе 2 нумеруется (2.12), 5-я формула в главе 3 – (3.5) и т.д. В исключительных случаях, когда очередная формула явля–ется разновидностью приведенной ранее основной, допускается литерная нумерация формул арабской цифрой и строчной прямой буквой русского алфавита. Цифру и букву пишут слитно и не от–деляют запятой, например: 17а, 17б и т.д.

Порядковые номера всех формул должны быть написаны араб–скими цифрами в круглых скобках (римские цифры для нумерации формул не применяют) у правого края страницы без отточия от формулы к ее номеру.

в формуле (4.15) приведены…

В случае нумерации группы формул или системы уравнений одним порядковым номером этот номер, заключенный в круглые скобки, ставят на уровне середины объединенной группы формул или системы уравнений у правого края страницы. В этом случае применяют парантез (фигурная скобка).

Порядковый номер формулы при переносе ставят у последней строки. Например:

Проинтегрировав уравнение (2.17) один раз, получим

Знак умножения в формулах. Коэффициенты и символы в фор–мулах, как правило, не разделяют никакими знаками, а пишут слитно. Точка как знак умножения на среднюю линию не ставится перед буквенными символами и между ними, перед скобками и между сомножителями в скобках, перед дробными выражениями, написанными через горизонтальную черту, и после нее. Например:

Точка на среднюю линию как знак умножения ставится только в исключительных случаях:

– между числовыми сомножителями: 18 · 242,5 · 8;

– когда вслед за аргументом тригонометрической функции стоит буквенное обозначение: Jtg в · a sin б;

– для отделения сомножителей от выражений, относящихся

к знакам радикала, интеграла, логарифма и т.п.:

Вообще же выражение cos ?t ? ту или

обычно пред–ставляют в виде ту cos ?t или

Если не преследуется спе–циальная цель написания сомножителей в определенной по–следовательности, чтобы не нарушать стройность предыдущего вывода или математического анализа.

Косой крест (?) как знак умножения применяется в формулах:

– при указании размеров: площадь комнаты 4 ? 3 м;

– при записи векторного произведения векторов: а? b;

– при переносе формулы с одной строки на другую на знаке умножения.

Перенос формул. Если приводимая в рукописи формула на–столько длинна, что не помещается в одной строке на странице издания (без переноса), обычно требуют, чтобы автор наметил возможные места переноса. Предпочтительнее перенос делать в первую очередь на знаках математических соотношений: = ?, ?, ?,?, ?, >, <, >> и т.д.

Если на этих знаках разделить формулу на строки не удается, ее следует делить на знаках операций + или -. Менее желательно, хотя и допустимо, деление формул на строки на знаках ± и умно–жения. Не принято делить строку на знаке деления (две точки). Если формулу делят на знаке умножения, его показывают не точ–кой, а косым крестом (?).

Особенно внимательно подходят к вопросу о переносе уравне–ний, правая или левая часть которых представлена в виде дробей с длинными числителями и знаменателями или с громоздкими подкоренными выражениями. Такие уравнения необходимо пре–образовывать, приводя их к виду, удобному для переноса.

Дроби с длинным числителем и коротким знаменателем целе–сообразно представлять так, чтобы числитель был записан в виде многочлена в скобках, а единица, деленная на знаменатель, вы–несена за скобки. Например, уравнение

легко приводится к виду

При коротком числителе и длинном знаменателе рекомендуется заменять отдельные сложные элементы упрощенными обозначе–ниями. Например: вместо

Если в формулу входит дробь с длинным числителем и длин–ным знаменателем, то для переноса либо используют оба реко–мендованных приема преобразования, либо заменяют горизон–тальную дробную черту знаком деления (две точки). В последнем случае формула будет иметь вид

(a 1 x + a 2 y + ... + a i h ) : (b 1 x + b 2 y + ... + b i h ).

можно записать так:

(a 1 x + b 1 x 2 + ... + nx n ) 1/2 .

Знаки, на которых делают перенос, ставят два раза: в конце первой строки и в начале перенесенной части. Например:

Если формулу прерывают на отточии, его также повторяют в начале следующей строки. Если знак равенства стоит перед зна–ком минус, перенос делают на знаке равенства. Если формула имеет в своем составе несколько выражений в скобках, перенос рекомендуется делать на знаке + или –, стоящем перед скобками.

Несмотря на все старания редакторов и корректоров, погреш–ности в тексте с формулами все же остаются. Типичная ошибка при переносе формул – отрыв аргумента от функции. Например:

Конечно, нельзя требовать от наборщика, чтобы он дифферен–цированно оценивал запись типа f(x – y): без контекста невозможно сказать, что она означает: произведение двух функций f и (х – у) или зависимость функции f от аргумента (х – у). Однако известно, что тригонометрические функции без аргумента не имеют смысла, поэтому без них не употребляются. И помещать знак умножения между функцией и ее аргументом – грубейшая ошибка.

В приведенном примере редактор не мог предусмотреть допу–щенных ошибок. В первом случае перенос формулы вызван недо–смотром наборщика при разбивке ее на две строки, во втором формула была в самом тексте, и предвидеть ее перенос в этом месте при редактировании было практически невозможно. Но в верстке редактор обязан был исправить эту ошибку.

Емкость печатного листа с формулами в 2-3 раза меньше емкости печатного листа текста, что увеличивает себестоимость издания. Издательская практика располагает рациональными приемами по–дачи формул, дающими ощутимый экономический эффект. Фор–мулы, как правило, набирают в красную строку с отбивкой сверху и снизу. Это ведет к увеличению расхода бумаги, удорожанию на–бора и монтажа формул.

Выключка формул посередине формата целесообразна в двух случаях: а) формула нуждается в акценте; б) из-за сложности и громоздкости формула не может быть набрана вместе с текстом. Формулы, на которые необходимо обратить внимание, как прави–ло, нумеруются. Однако часто формулы выключают без всякой необходимости.

Например, текст

вполне можно разместить в одной строке.

Существенного уплотнения набора можно добиться и тогда, когда этому, казалось бы, препятствует нумерация формул. На–пример:

При таком расположении формул найти ее номер не составляет труда.

В подобном случае все формулы можно поместить в одной строке под одним номером:

Изменение ссылок на них не вызывает затруднений. Если, на–пример, нужно сослаться на формулу для выражения координаты, можно написать: «по второй из формул (3)».

Методы преобразования, заложенные в природе самой форму–лы, позволяют практически любую формулу любой сложности представить в виде, удобном для набора. Простейшая дробь

оказывается неудобной для набора. Но ее можно записать или через косую черту 1/2, или десятичной дробью 0,5, или в виде степени 2 -1 . Все варианты равноправны, однако наибольшее распростра–нение получил первый.

Считается, что в изданиях произведений научной литературы можно любые дроби преобразовать в однострочные выражения типа: (а + в)/с; (А + В)/(с + d) и т.д. Здесь явная выгода в расходе бумаги. Особенно целесообразно преобразование многоэтажных дробей. Например, дробь

можно преобразовать в вид (a/b + c/d)/(e/f + g/h) -1 .

В целях экономии бумаги такой ее компактности уделяется большое внимание. Однако здесь не обошлось без перебора: в пе–чати стали появляться огромные невоспринимаемые формулы и формулы двусмысленного толкования.

Невоспринимаемые формулы – результат порой бездумного перевода сложных двух– и трехэтажных формул в однострочные с помощью знака «косая черта» и отрицательных показателей сте–пеней.

Формулы двусмысленного толкования получаются в тех случа–ях, когда в знаменателе после косой черты оказывается произве–дение.

Яркий пример неосторожного обращения со знаком «косая черта» – в приложении 1 к ОСТу 29.115-88 «Оригиналы автор–ские и текстовые издательские. Общие технические требования». Авторы стандарта считают возможным формулу

преобразовать так:

Это неверно, ибо становится непонятным, какие символы на–ходятся в числителе, а какие – в знаменателе. Если эту неодно–значность устранить (с помощью дополнительных скобок), фор–мула получится еще менее воспринимаемой. Такой вариант станет, может быть, пригодным лишь для какого-то особого компактного издания, в котором формула дается лишь для того, чтобы, не заду–мываясь над ее смыслом, подставить цифры и получить результат.

Рассмотрим еще один «учебный» пример:

Если просто заменить горизонтальную дробную черту на косую, получим

А = В/СХ и А = В/СХ,

т.е. разные формулы стали одинаковыми.

Чтобы такого не произошло, в первой формуле надо произве–дение в знаменателе поставить в скобках, а во второй перенести X вперед или В/С записать в скобках:

А = В/(СХ) и А = XB/C = (B/С) X.

Многие считают, что вторую формулу в варианте А = В/ СХ можно оставить без изменения, ибо по правилам арифметики здесь дей–ствия будут выполняться в порядке расположения знаков. С этим нельзя согласиться, поскольку в технической литературе издавна сложился стереотип восприятия выражения за косой чертой как единого целого. Например, удельный расход топлива всегда обо–значали так: г/кВтч, где «ч (ас)» на самом деле находится в знаме–нателе, хотя по правилам арифметики он стоит в числителе.

Если в выражении А = В/ СХ косую черту заменить знаком деле–ния (две точки), это тоже нехорошо, ибо С и Xбудут набраны без пробела и многими будут приняты за произведение (А = В: СХ).

Как и было условлено, в трудоемкость формул (экономич–ность) будем включать трудоемкость не только набора, но и редак–тирования, перепечатки формульного оригинала, считки. Спра–ведливости ради сюда следовало бы включить и трудоемкость проверки формул автором в верстке, когда ему приходится порой часами проверять формулы, ставшие неузнаваемыми после редак–тирования. Очевидно, например, насколько труднее проверить вторую формулу, чем первую:

до преобразования

после преобразования? = 4(A /C ):[(1+A /C ) 2 +B 2 /C (?/? r ?? r /?) 2 ].

Конечно, то, что трудоемкость формул обычно сводится лишь к стоимости набора, в какой-то мере понятно: стоимость набора – это количественный и внешний показатель подготовки издатель–ского оригинала. Остальные показатели трудоемкости не подсчи-тываются и являются для издательства внутренними.

Чтобы сделать трудоемкость редактирования минимальной, надо добиться того, чтобы авторы представляли материал, в кото–ром соблюдены следующие требования:

– формулы вписаны от руки печатными буквами, аккуратно и ясно (если автор не смог осуществить компьютерный набор);

– знаки деления в сложных формулах имеют вид горизонталь–ной черты. Такие формулы легко проверить, проанализировать и принять решение, согласовав, естественно, с автором целесо–образность придания формуле более компактного вида;

– формулы размечены;

– сделаны необходимые уточнения на полях («е» – не «эль» и т.д.);

– число букв и знаков, требующих дополнительного разъясне–ния на полях, сведено в формулах к минимуму.

Много лишней бумаги уходит на подробные представления математических действий и выкладок. В таких случаях число фор–мул можно сократить – далеко не всегда необходимо приводить все промежуточные преобразования, если они элементарны по ха–рактеру. Например, вместо целого ряда преобразований формулы

вполне достаточно написать

Экономии бумаги можно достичь и группировкой формул. Так, формулы

? x = ?? + 2Ge x ;

? y = ?? + 2Ge y ;

? z = ?? + 2Ge z ;

?y z = ??y z ;

?x z = ??x z ;

?x y = ??x y ;

возможно сгруппировать более компактно:

? x = ?? + 2Ge x ; ?yz = ?? yz ;

? y = ?? + 2Ge y ; ?xz = ?? xz ;

? z = ?? + 2Ge z ; ?xy = ?? xy .

Пунктуация в тексте с формулами еще недостаточно система–тизирована, так как формулы нередко рассматриваются в качестве независимой части, искусственно вкрапленной в предложение. Бессистемность, разнобой легко устранить, если формулы и от–дельные символы рассматривать как члены предложения. С такой позиции каждую формулу нужно расценивать как синтаксиче–скую единицу, входящую в предложение, и соответственно рас–ставлять знаки препинания.

Формулы, как уже говорилось, или располагаются внутри тек–стовых строк, или выключаются посередине формата набора. Если внутри текста имеются формульные выражения, то при расста–новке знаков препинания знаки математических действий следует рассматривать как именную часть составного именного сказуемо–го, в котором опущена связка. Например:

Если? Z,C < ? X,C , то М (у, z, с ) = Му ? х,с.

Знаки препинания расстановлены с учетом того, что математи–ческие знаки < (меньше), = (равно) являются именной частью ска–зуемого. Связка «есть» опущена, так как сказуемое имеет значение настоящего времени.

Сложнее расставлять знаки препинания в предложении с фор–мулой, выделенной в отдельную строку. Особенно вызывает спор постановка знака перед формулой.

Возьмем самый общий случай, т.е. формульный текст следующе–го типа (рис. 2), и рассмотрим знаки препинания перед формулой, между несколькими формулами, после формулы и в послефор-мульном тексте.

Рис. 2. Общий случай формульного текта

Перед формулой может не быть никакого знака, могут стоять за–пятая, двоеточие. После текста, предшествующего формуле, обычно никаких знаков препинания не ставят, если формула представляет собой член предложения, который по правилам пунктуации не должен отделяться от предшествующих слов знаками препинания. Например:

Эффективность канала мы характеризуем величиной

Запятая перед формулой обычно ставится, если предформульный текст оканчивается вводным словом. Например: Но для решеток ВНА всегда?1 = 0, следовательно,

d 2 = ?? ?i p + G p = f (?, t ?) и G p = f (?, t ?) ? f (d 2).

Запятая ставится также тогда, когда перед формулой заканчива–ются придаточное предложение, причастный или деепричастный оборот.

Теперь, если Р ех и е е оба равны нулю,

Из формулы (36) получим, вводя коэффициенты расхода,

Самым спорным вопросом пунктуации в тексте с формулами является постановка двоеточия перед формулой. Двоеточие в рус–ском языке ставится перед однородными членами предложения после обобщающего слова, в бессоюзных сложных предложениях, при прямой речи и использовании цитат.

Перед формулой двоеточие может быть поставлено в следующих случаях.

1. Если перед несколькими формулами есть обобщающее сло–во; при отсутствии его двоеточие перед несколькими формулами следует ставить только в тех случаях, когда нужно предупредить читателя, что далее следует перечисление нескольких формул:

Применяя теорему наложения к уравнению (8.32), получим два вида интеграла свертки, или интеграла Дюамеля:

Из уравнения (3) получим:

2. Если формульный текст можно рассматривать как бессоюз–ное сложное предложение, в котором формула, являясь второй частью, либо разъясняет смысл первой части (возможна мыслен–ная постановка слов а именно), либо содержит причину или обо–снование того, о чем говорится в первой части (возможна мыслен–ная постановка слов потому что, так как, поскольку).

Подставим выражение (3.57) в формулу для B 0 :

Мы предполагаем, что С he , есть линейная функция:

Между формулами принято ставить точку с запятой или запя–тую в зависимости от того, какой знак проводится по всей работе.

В системах уравнений, объединенных парантезами, знаки пре–пинания можно не ставить, рассматривая систему как единый член предложения. Например: Из системы уравнений

можно определить значения постоянных коэффициентов.

Если системой уравнений заканчивается предложение или вслед за системой приводят экспликацию, такую систему рас–сматривают как перечисление формул и отделяют их друг от друга соответствующим знаком.

Иногда две формулы соединяются союзом или. Союз или упо–требляется в русском языке в двух значениях: как разделительный и как уточняющий. Разделительный союз или (одиночный или по–вторяющийся) указывает на необходимость выбора одного из по–нятий, которые выражаются однородными членами и исключают или заменяют друг друга. Перед одиночным разделительным сою–зом или запятая не ставится.

Если союз или имеет уточняющее значение, то запятая перед одиночным союзом ставится обязательно.

Редактору необходимо определить, в каком значении автор употребил союз или между формулами. Иногда нетрудно понять, что вторая формула, присоединенная союзом или, это просто пре–образованная первая формула, и запятая нужна. Так бывает в слу–чаях, когда вместо буквенных обозначений в ту же формулу под–ставляют их числовые значения. Например:

…применим уравнение (2) и после перегруппировки членов полу–чим

Такие конструкции встречаются редко. Поэтому для проверки идентичности формул редактору приходится делать некоторые математические преобразования. Они элементарны (не выходят за пределы курса средней школы) и под силу любому редактору. Рассмотрим несколько примеров.

Из курса тригонометрии известно, что 2 sin ?2 cos ?2 – это фор–мула двойного угла синуса, т.е. 2 sin ?2 cos ?2 = sin 2?2. Следователь–но, во второй формуле 2 sin ?2 cos ?2 заменено на sin 2?2, значит, формулы идентичны и запятую нужно ставить обязательно.

Здесь правая часть первого уравнения сокращена на cos ?2. Формулы тоже идентичны, и запятая нужна.

Постановка запятой перед союзом или в данном случае не тре–бует пояснений.

В этой связи рассмотрим рекомендации для «обработки мате–матического текста, в частности формул, позволяющей без ущер–ба для содержания и усвоения материала добиться либо сокраще–ния числа формул, либо упрощения их написания, уменьшения площади, занимаемой ими в книге».

Иногда бывает необходимо выделить целый ряд формул, по–следовательно получающихся в результате математических преоб–разований, характер которых ясен читателю без дополнительных пояснений. Как правило, все такие формулы выключают посере–дине формата полосы, а сами формулы соединяют словами или, т.е., откуда и т.п., каждая из которых занимает отдельную строку. Однако тот же текст займет гораздо меньшую площадь, если убрать соединительные слова (заменить их точкой с запятой) и располо–жить формулы более компактно.

Например:

Располагая формулы в подбор, мы, естественно, экономим бу–магу. Но автор предлагает вместе с тем убрать уточняющие союзы и слова, а формулы друг от друга отделить точкой с запятой, на–рушая этим математический смысл. В первом примере мы имеем дело с преобразованием одной формулы в другой вид, т.е. послед–няя формула получена путем последовательных преобразований первой. Во втором же примере знак точка с запятой говорит о том, что перед нами несколько самостоятельных формул, не связанных по смыслу с другими формулами. Как видим, рекомендация автора привела к ошибке.

После формулы должен стоять тот знак препинания, который необходим по смыслу.

Существуют ограничения в применении некоторых знаков пре–пинания. Непосредственно к формулам, условным буквенным обо–значениям, символам, математическим терминам, обозначениям единиц измерения и т.п. не могут примыкать знаки препинания, применяемые в качестве математических знаков или похожие на них.

Так, тире (-) совпадает по написанию с математическим знаком операции вычитания (-), двоеточие (:) – со знаком деления (:), восклицательный знак (!) – со знаком факториала (!).

Запятую нельзя ставить между двумя формулами, набранными в подбор, первая из которых оканчивается цифрой, а вторая на–чинается цифрой, запятую также нельзя ставить между перечис–ленными величинами, выраженными арабскими цифрами, так как она может быть принята за разделительный знак десятичной дроби. В этих случаях запятую нужно заменить точкой с запятой.

Формулы или отдельные буквенные обозначения в тексте, имею–щие большие, длинные нижние индексы, обязательно разделяют точкой с запятой, даже тогда, когда по смыслу требуется запятая, иначе запятая будет принята за знак, входящий в индекс, особенно при нечеткой печати.

Например:

l ?e1; l ?22; l ?y+1.

Чтобы исключить возможные ошибки при наборе математиче–ских символов и буквенных обозначений, нужна точная редактор–скаяразметка всех условных знаков, пометок и надписей, помогаю–щих наборщику быстро и безошибочно определять, к какому алфавиту относится та или иная буква, строчная она или пропис–ная, прямая или курсивная, жирная или светлая и т.д.

Разметка необходима в связи с тем, что в русском и латинском алфавитах имеются буквы и знаки совершенно одинаковые или очень сходные между собой как в рукописном начертании, так и в машинописи, но отличающиеся в полиграфическом воспроизве–дении. Так, в рукописном начертании, особенно при быстром письме от руки, почти не различаются прописные или строчные буквы С и с, К и к, О и о, Р и р, S и s, V и v, W и w, Z и z, Y и у, X и х. Сходны по написанию буква О и 0 (ноль) и знак градуса °; русская буква З и цифра 3; римская I и арабская 1 (единица); русская бук–ва х (ха), латинская х (икс) и знак умножения (х) и т.д.

Помимо ясного начертания, все сходные между собой буквы и знаки должны быть соответствующим образом размечены в руко–писи специальными корректурными знаками. Прописные буквы, например, подчеркивают двумя чертами снизу (X), строчные – двумя чертами сверху (x ). Во всех случаях, когда начертание букв может вызвать сомнение у редактора или наборщика следует делать на полях рукописи или непосредственно у букв между строками пояснительные надписи: буква, цифра, ноль, зн. град., зн. умнож., эль, не эль и т.д.

Буквы латинского алфавита в математических формулах наби–рают курсивом и подчеркивают в рукописи волнистой линией. Греческие буквы обводят кружком красного цвета, знаки немец–кого готического шрифта – прямоугольником зеленого цвета.

Некоторые физико-математические величины и обозначения принято набирать прямым шрифтом латинского алфавита, на–пример числа Маха М, Рейнольдса Re, Приндтля Рг и т.п., триго–нометрические, гиперболические, обратные круговые и обратные гиперболические функции, наименования температурных шкал °С, °Ra, °K, °F, общепринятые условные математические сокраще–ния максимума и минимума (max, min), оптимального значения величины (opt), постоянства величины (const), знаков предела (lim), логарифмов десятичных, натуральных и других (lg, log, Log, In, Zn), детерминанта (det) и т.д.

Расположение формул и их частей по техническим правилам набора подчиняется следующему:

– в формулах, состоящих из однострочных и дробных частей, символы и знаки основной строки и делительные линейки рас–полагают по средней линии формулы; при этом если в формуле нет явно выраженной средней линии, ею считают горизонталь, проходящую посередине высоты формулы;

– группы однотипных формул и формул, объединенных паран–тезом, равняют по знаку равенства или другому знаку отношений;

– числитель и знаменатель выключают по центру делительной линейки;

– в колонках определителей формулы при разной их ширине выключают по центру формата колонки.

Набор математических формул подчиняется правилам, которые требуют следующего:

– набирать однострочные формулы шрифтом той же гарнитуры и кегля, что и шрифт основного текста, а их дробные части – шрифтом, кегль которого на 2 пункта меньше;

– не отбивать друг от друга символы, не разделенные матема–тическими знаками, и числа к ним (12ab);

– не отбивать от предшествующего элемента: а) выражения в скобках от открывающей скобки; б) индексы и показатели сте–пени от символа или цифры (если у символа или цифры есть и верхний и нижний индекс, верхний индекс разрешается помещать после нижнего, т.е. с отбивкой на ширину нижнего индекса);

в) подкоренное выражение от знака радикала; г) знаки препина–ния, если предшествующий элемент однострочный; д) скобки за–крывающие от заключенного в скобки выражения; е) факториал;

– не отбивать от последующего элемента: а) дифференциала знак от следующего за ним обозначения функции или аргументов: dX; б) интеграла знак от следующего за ним другого знака интегра–ла: JJ; в) приращения знак от следующего за ним обозначения функций или аргументов, в том числе в скобках: Д/(х); г) радикала знак от следующего за ним подкоренного выражения; д) скобки открывающие от заключенного в скобки выражения; е) функции знак от следующего за ним обозначения функции или аргументов, в том числе в скобках: / (х);

– отбивать на 2 пункта от предшествующих и последующих элементов: а) вертикальные линейки одинарные и двойные | а + b | ? | а | + | b |; х || А ||; б) дифференциала знак вместе со следующим за ним и не отбиваемым от него обозначением функции или аргументов; в) интеграла знак вместе со следующим за ним и не отбиваемым от него обозначением функции или аргументов;

г) математические обозначения (sin, lg и т.д.) вместе с не отбивае–мым от них показателем степени (sin 2?);д) приращения знак вместе со следующим за ним и не отбиваемым от него обозначе–нием функции или аргументов; е) приставные знаки (отбивка может быть увеличена до 12 пунктов, если подключки к знаку больше его ширины); ж) радикала знак вместе с подкоренным выражением;

з) скобки вместе с заключенным в них выражением и не отбивае–мым от закрывающей скобки показателем степени или индексом;

и) соотношения знаки (=, <, ~ и т.д.);

– отбивать от предшествующего элемента на 2 пункта: препи–нания знак от делительной линейки;

– отбивать на 3 пункта от предшествующего элемента обозначе–ния единиц физических величин в книжных изданиях (15 км/ч);

– отбивать на 3 пункта от последующего элемента запятую внутри формулы;

– не отбивать по горизонтали: а) знаменатель от делительной линейки, за исключением случаев, когда показатель степени зна–менателя вплотную примыкает к делительной линейке и когда до–пускается отбивка от нее на 1-2 пункта и знаменателя, и числителя; б) над– или подстрочные знаки от символов; в) подключки к при–ставным знакам от этих знаков; г) числитель от делительной ли–нейки, за исключением случаев, когда нижний индекс вплотную примыкает к делительной линейке и когда допускается отбивка от нее на 1-2 пункта и числителя, и знаменателя.

4.2. Химические формулы

Химические формулы – изображения состава химически ин–дивидуальных веществ посредством химических знаков и чисел. Они бывают эмпирические (обозначают молекулу вещества, ее атомный вес, характер связи между атомами) и структурные (по–казывают строение вещества).

Все символы химических элементов набирают буквами латин–ского алфавита прямым шрифтом, например, С1 – хлор, Си – медь и т.д. Буквенные обозначения коэффициентов, входящих в состав химических формул и индексов, набирают курсивом. Циф–ры, предшествующие формуле химического соединения, и циф–ры, вынесенные в индекс, – прямым шрифтом без отбивки, на–пример: C m+ n ;C n H 2n ;8Н 2 0.

Если под формулой химического соединения приводится сло–весное название соединения или элемента, его следует выключать на середину и набирать прямым шрифтом со строчной буквы кеглем 6, например:

(СН 3 СОО) 2 Са

уксуснокальциевая соль

Написание химических символов в тексте должно быть унифи–цировано. Их следует набирать или только словами (азот, хлор), или символами, но в сопровождении слов (азот N, хлор С1). Если указывается химический состав вещества, вначале дается процент–ное содержание химического элемента, затем – его обозначение (например, 0,8% Si, 3% Cu).

При большом числе компонентов вначале приводится обозна–чение процента (%), а затем символ каждого компонента и его процентное содержание (без знака %). Например: химический состав стали, %: Cr 5,2; Ni 4,42; Cu 4,13; Si 0,66 и т.д.

В сочетании с химическими формулами и терминами встре–чаются русские, латинские и греческие приставки. Приставки, присоединенные к химическим терминам через дефис, набирают курсивом, приставки написанные слитно, – прямым шрифтом. Например: анти-диазотат; тринитро-трет-бутилтолуол; в-этил-пиридин; 1,4-дигидронафталин; циклогексан. В сочетании с фор–мулами приставки набирают курсивом, присоединяют к формуле через дефис. Например: изо-С 4 Н 9 ; цис-С 7 Н 14 .

Структурные формулы бывают двух видов: открытые (рис. 3) и кольцевые (рис. 4).

Задача корректора, читающего текст со структурными форму–лами, – добиться точного соответствия набора оригиналу, про–следить за правильностью геометрической фигуры, точностью по–становки знаков связи (линеек) и однотипностью расположения и оформления формул в тексте.

Не принято ставить знаки препинания до и после химических формул, набранных в красную строку.

Переносы эмпирических формул допускаются на знаках =, > ,-,+, -, причем их следует повторять в начале следующей строки. Не допускается перенос формулы на знаке связи (=).

Структурные формулы разбивать переносом нельзя.

Чтение текстов с различными формулами – задача сложная, так как необходимо знать не только символику, принятую в дан–ной области науки, условия построения, но и правила набора фор–мул. Формульные тексты рекомендуется корректору читать в оди–ночку, чтобы зрительно видеть, как нужно было набрать тот или иной символ, как должна быть построена и расположена формула. Перед тем как приступить к чтению полос, необходимо ознако–миться со следующим:

– общей системой символов и обозначений в данном издании;

– особенностями написания символов и обозначений в ориги–нале, чтобы в процессе чтения не спутать один знак с другим;

– принципами заверстки, размещения формул в тексте, прие–мами их оформления в данном издании, чтобы добиться едино–образия.

Набор химических формул подчиняется следующим техниче–ским правилам:

– химические формулы набираются шрифтом кегля 8 при наборе основного текста кеглем 10 (или кеглем 8);

– горизонтальные, вертикальные и наклонные знаки связи должны быть по длине равны кеглю шрифта самой формулы, кро–ме случаев, когда особенности строения самой формулы требуют увеличить знак связи так, чтобы он доставал до середины соеди–няемых химических символов без отбивки от них или с отбивкой в 2 пункта, когда нужно зрительно выровнять расстояния;

– подписи под формулами химических соединений набирают шрифтом кегля 6 и выключают по центру обозначения химиче–ского соединения или всей формулы с отбивкой от формулы на 4 пункта;

– если высота формул соединений в формуле различна, под–писи выравнивают по верхней строке подписи к соединению наи–большей высоты;

– надписи над стрелкой направления реакции и подписи под нею набирают шрифтом кегля 6 без отбивки от стрелки и выключают по ее центру.

Без дальнейших церемоний, вот она:

Ее обычно называют тождеством Эйлера в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Ее можно увидеть на футболках и кофейных кружках, и несколько опросов среди математиков и физиков удостоили ее такого названия, как “величайшее уравнение” (Crease, Robert P., “The greatest equations ever”).

Ощущение красоты и элегантности тождества происходит из того, что оно сочетает в простой форме пять самых важных чисел математических констант: — основание натурального логарифма, — квадратный корень из и . Глядя на него внимательно, большинство людей задумываются о показателе: что значит возвести число в мнимую степень? Терпение, терпение, мы до этого доберемся.

Чтобы объяснить, откуда возникает эта формула, мы должны сначала получить более общую формулу, найденную Эйлером, а затем показать, что наше равенство является всего лишь частным случаем этой формулы. Общая формула удивительна сама по себе и имеет множество замечательных приложений в математике, физике и технике.

Первый шаг в нашем путешествии — понять, что большинство функций в математике может быть представлено в виде бесконечной суммы по степеням аргумента. Это пример:

Здесь измеряется в радианах, а не в градусах. Мы можем получить хорошее приближение для конкретного значения , используя только несколько первых членов ряда. Это пример ряда Тейлора, и довольно легко вывести эту формулу, используя математический анализ. Здесь я не предполагаю знание математического анализа, поэтому прошу читателя принять ее на веру.

Соответствующая формула для косинуса:

Число — константа, равная , и Эйлер был первым, кто признал его фундаментальное значение в математике и вывел последнюю формулу (две предыдущие были найдены Исааком Ньютоном). О числе написаны книги (например, Maor, E. (1994). e, the story of a number. Princeton University Press), можно также прочитать о нем .

Примерно в 1740 году Эйлер посмотрел на эти три формулы, расположенные приблизительно так, как мы их здесь видим. Сразу видно, что каждое слагаемое в третьей формуле также появляется в любой предыдущей. Тем не менее, половина членов в первых равенствах являются отрицательными, в то время как каждый член в последнем положителен. Большинство людей так бы это и оставили, но Эйлер увидел во всем этом закономерность. Он первый сложил первые две формулы:

Обратите внимание на последовательность знаков в этом ряду: , она повторяется группами по 4. Эйлер заметил, что эта же последовательность знаков получается, когда мы возводим мнимую единицу в целые степени:

Это означало, что можно заменить в последней формуле на и получить:

Теперь знаки соответствуют знакам в предыдущей формуле, и новый ряд совпадает с предыдущим, за исключением того, что члены разложения умножаются на . То есть получаем в точности

Это удивительный и таинственный результат, он свидетельствует о существовании тесной связи между числом и синусами и косинусами в тригонометрии, хотя было известно только из задач, не связанных с геометрией или треугольниками. Кроме ее элегантности и странности, однако, было бы трудно переоценить важность этой формулы в математике, которая увеличивалась с момента ее открытия. Она появляется везде, и не так давно вышла книга примерно в 400 страниц (Nahin P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, 2006), посвященная описанию некоторых приложений этой формулы.

Обратите внимание, что старый вопрос о мнимых показателях в настоящее время решен: для возведения в мнимую степень просто поставьте мнимое число в формулу Эйлера. Если основание – число, отличное от , требуется только ее незначительная модификация.

Цифры - знаки, которыми обозначаются или выражаются числа (количества). Цифры бывают арабские и римские.

Римскими цифрами обычно обозначают столетия (ХV1в.), номера томов (том IX), глав (глава VII), частей (часть II) и т.д.

(9.12)

Основная строка - строка, в которой размещены основные знаки математических действий и соотношений.

Классификация формул .

1 группа. Однострочные формулы (9.13-9.16);

2 группа. Двухстрочные формулы (9.17-9.19). Фактически эти ф-лы состоят из 3-х строк;

3 группа. Трехстрочные формулы (9.20-9.23). Фактически эти ф-лы состоят из 5-и строк;

4 группа. Многострочные формулы (9.24-9.26);

Дополнительная группа (9.27-9.29).

При выделении формул в группы сложности учитывалась трудоемкость набора и время, затрачиваемое на набор.

II группа. Двустрочные формулы :

(9.29)

Правила набора текста математических формул .

При наборе математического текста необходимо соблюдать следующие основные правила.

Набирать цифры в формулах прямым шрифтом, например 2ах; Зу .

Сокращенные тригонометрические и математические термины , например sin , cos , tg , ctg , arcsin . Ig , lim и т.д., набирать шрифтом латинского алфавита прямого светлого начертания.

Сокращенные слова в индексе набирать русским шрифтом прямого начертания на нижнюю линию.

Сокращенные наименования физических, метрических и технических единиц измерения , обозначенные буквами русского алфавита, набирать в тексте прямым шрифтом без точек, например 127 В, 20 кВт . Эти же наименования, обозначенные буквами латинского алфавита, набирать также прямым шрифтом без точек, например 120 V , 20 kW , если нет в оригинале других указаний.

(9.30)

Символы (или цифры и символы), следующие один за другим, не разделять, а набирать без отбивки.

Сокращенные математические термины отбивать от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п.

Буквы « d » (в значении «дифференциал» ), δ (в значении «частная производная») и ∆ (в значении «приращение») отбивать от предшествующего элемента формулы на 2 п., от последующего символа указанные знаки не отбиваются.

Знаки препинания, следующие за формулой , не отбиваются от нее.

Строку отточий в формулах набирают точками, используя полукегельную отбивку между ними.

Х+У=2 (9.31)

Если формула не умещается в формат строки, а переносить ее нельзя, допускается ее набор меньшим кеглем.

на знаках соотношения между левой и правой частями формулы (= ,>,< );

на знаках сложения или вычитания (+, - );

на знаках умножения (х). При этом следующая строка начинается со знака, на котором закончилась формула в предыдущей строке. При переносе формул необходимо смотреть за тем, чтобы переносимая часть не была очень маленькой, не разрывались выражения, заключенные в скобки, выражения, относящиеся к знакам корня, интеграла, суммы; не допускается разделение индексов, показателей степеней, дробей.

Стрелки нельзя устанавливать около математических знаков.

Однострочные и многострочные формулы.

В однострочных формулах основную строку (без индексов и приставных знаков) следует набирать шрифтом того же кегля, что и основной текст издания (если нет других указаний в оригинале).

Середина кегля всех букв, цифр и знаков основной строки однострочной формулы должна находиться на одной линии, которая носит название средней. При определении средней линии подключки к символам основной строки в расчет не принимаются.

Индексы и показатели степени в многострочной формуле выравниваются по основной линии шрифта.

Однострочные формулы выключаются на середину формата, т.е. в красную строку (если нет особых указаний в оригинале) и отбиваются одна от другой на 4 - 6 п.

Группа формул с однотипной левой или правой частью выравнивается по знаку соотношения, при этом сначала набирается самая длинная формула и выключается в красную строку, остальные равняются по ней, например:

(9.32)

При наборе многострочных формул, если основной текст набирают кг. 10 п., то центральную строку набирают корпусом, числитель и знаменатель - петитом.

Линейка, отделяющая числитель от знаменателя в двухстрочной формуле, по длине должна быть равна более длинному из этих выражений или длиннее его не более чем на 2 - 4 п. Минимальная длина линейки равна кеглю шрифта, которым набирается дробь. Кегль линейки - 2 п., тонкая.

В многострочной дроби основная линейка должна быть на 4 п. длиннее делительных линеек в числителе и знаменателе, например:

(9.33)

Числитель и знаменатель выключаются посередине основной делительной линейки.

Числитель и знаменатель от линейки не отбиваются, исключение составляет знаменатель, в котором преобладают прописные буквы и показатели степени.

Пояснения к формулам, которые начинаются словом «где», набирают или в одну строку с первым символом и отбивкой от него на полукегельную, тогда все последующие пояснения выравниваются по линии тире, например:

А - количество раствора;

В - количество добавок;

или с выключкой слова «где» в левый край отдельной строки, например:

А - количество раствора;

В - количество добавок.

Индексы и показатели степени.

В формулах встречаются индексы первого порядка (индексы) и индексы второго порядка (субиндексы и супраиндексы - индекс к индексу).

В большинстве формул, однострочных и многострочных, содержатся индексы 1-го порядка: надстрочные и подстрочные один под другим.

По своему размеру индексы заметно меньше буквы и цифр основной строки, кроме того, они должны выступать за линию шрифта основной строки. При наборе основной строки шрифтом кг. 10 п. и 8 п. индексы набирают шрифтом кг. 6 п., при наборе основной строки шрифтом кг. 6 п. очко индексов и показателей степени должно быть 4 п., при этом индекс опускают ниже основной строки на 2 п., а показатели степени поднимают выше строки на 2 п.

Двойные (верхний и нижний) индексы должны располагаться строго один под другим.

Супраиндексы и субиндексы набираются шрифтом кг. 4 п.

Индексы и показатели степени набираются вплотную к выражению, к которому они относятся. Если подынтегральное выражение в степени однострочное, знак интеграла набирается шрифтом кг. 10 п., если двухстрочное - шрифтом кг. 12 п., например:

(9.34)

Знак суммы Σ в подключке на верхнюю линию при однострочном показателе степени набирается шрифтом кг. 6 п. или 8 п., при двухстрочном - шрифтом кг. 10 п., например:

(9.35)

Скобки (круглые, квадратные и фигурные) должны быть прямого начертания, кегль скобок выбирается таким, чтобы они могли закрыть все выражение, заключенное в них. Скобки отбиваются от предшествующих символов в формуле на 2 п, от символов, заключенных в скобки, скобки не отбиваются, показатель степени, помещенный за скобкой, от скобки не отбивается. Подряд идущие скобки друг от друга не отбиваются.

Крупнокегельные знаки.

Знак корня √ должен быть по кеглю на 2 п. больше кегля шрифта, которым набирается подкоренное выражение.

Линейка корня набирается двухпунктовой линейкой, по длине равной подкоренному выражению или на 1-2 п. длинее,

(9.36)

Знаки Σ , S (знаки суммы) и П (знак произведения) набираются шрифтом прямого начертания большего кегля, так при наборе формул кг. 8 или 10п.-указанные знаки набираются шрифтом кг. 12 п., при наборе шрифтом кг. 6 п. - приставные знаки в однострочных формулах набираются шрифтом кг. 10 п., в двухстрочных - 16 - 20 п. в зависимости от высоты формулы, а в многострочных формулах - шрифтом кегля, позволяющего перекрыть меньшую по высоте часть формулы, если числитель и знаменатель формулы неодинаковые по высоте, например (ф-ла 9.37) :

Индексы над и под знаками Σ , S, П набираются шрифтом кг. 6 п. и ставятся на середине знака, например:

(9.39)

Знаки Σ , S (знаки суммы) и П (знак произведения) отбиваются от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п.

Знак интеграла ∫ набирается шрифтом большего кегля следующим образом: при наборе однострочной формулы шрифтом кг. 6 п. - ∫ набирается шрифтом кг. 12 п.; при наборе однострочной формулы шрифтом кг. 8 п. или 10 п. - ∫ набирается шрифтом кг. 14 или 16 п.; в двухстрочных формах - ∫ набирается шрифтом, кегль которого выбирается в зависимости от высоты подынтегрального выражения, причем середина знака всегда должна находиться на средней линии формулы, например:

(9.40)

Кегль интеграла без подключек при высоте формулы 36 п. должен быть 28 п., при высоте формулы 48 п. - 36. Индексы над и под знаками интеграла также набираются шрифтом кг. 6 п, приставляются вплотную к ∫ и выключаются по его середине.

Интеграл так же, как и знаки Σ , S (знаки суммы) и П (знак произведения), отбивается от предыдущих и последующих элементов формулы на 2 п., причем эта отбивка в случае длинных индексов может быть увеличена до 12 п. Друг от друга знаки интеграла не отбиваются.

Вертикальные линейки одинарные или двойные должны быть точно равны высоте выражения, заключенного в них, например:

(9.41)

Пробел между строками в группе формульных выражений должен быть равен полукегельной, между колонками цифр - не менее кегельной.

Линейки выбирают кеглем 2 п.

При наборе матриц вертикальные линейки берут двухпунктовые двойные, например:

(9.42)

Формульные выражения в колонках матриц выключаются в красную строку или выравниваются по левому краю колонок.

Вертикальные линейки отбиваются от выражений, заключенных в них, на полукегельную, фигурные скобки - на 6 п.

Все горизонтальные линейки в формулах набираются всегда двухпукнтовыми тонкими.

Длина дробной линейки должна быть такой, чтобы наибольшая часть дроби (числитель и знаменатель) была перекрыта линейкой.

Математик Ян Стюарт (Ian Stewart) в своей новой книге «В поисках неизвестного: 17 уравнений, которые изменили мир» рассматривает несколько наиболее важных уравнений всех времен и приводит примеры их практического применения.

Согласно Теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важность : Теорема Пифагора — важнейшее уравнение в геометрии, которое связывает ее с алгеброй и является основой тригонометрии. Без него было бы невозможно создать точную картографию и навигацию.

Современное использование : Триангуляция используется и по сей день, чтобы точно определить относительное расположение для GPS навигации.

Логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент.

Важность : Логарифмы стали настоящей революцией, позволив астрономам и инженерам делать расчеты более быстро и точно. С появлением компьютеров они не потеряли своего значения, поскольку все еще существенны для ученых.

Современное использование : Логарифмы важная составляющая для понимания радиоактивного распада.

Основная теорема анализа или формула Ньютона - Лейбница дает соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Важность : Теорема анализа фактически создала современный мир. Исчисление имеет важное значение в нашем понимание того, как измерять тела, кривые и площади. Она является основой многих природных законов и источником дифференциальных уравнений.

Современное использование : Любая математическая проблема, где требуется оптимальное решение. Существенное значение для медицины, экономики и информатики.

Классическая теория тяготения Ньютона описывает гравитационное взаимодействие.

Важность : Теория позволяет рассчитать силу гравитации между двумя объектами. Хотя позднее она была вытеснена теорией относительности Эйнштейна, теория все равно необходима для практического описания того, как объекты взаимодействуют друг с другом. Мы используем ее и по сей день для проектирования орбит спутников и космических аппаратов.

Современное использование : Позволяет найти наиболее энергоэффективные пути для вывода спутников и космических зондов. Также делает возможным спутниковое телевидение.

Комплексные числа

Комплексные числа — расширение поля вещественных чисел.

Важность : Многие современные технологии, в том числе цифровые фотокамеры, не могли быть изобретены без комплексных чисел. Кроме того, они позволяют проводить анализ, который нужен инженерам для решения практических задач в авиации.

Современное использование : Широко используется в электротехнике и сложных математических теориях.

Важность : Внесла вклад в понимание топологического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности. Необходимый инструмент для инженеров и биологов.

Современное использование : Топология используется, чтобы понять поведение и функции ДНК.

Важность : Уравнение является основой современной статистики. Естественные и социальные науки не могли бы существовать в своей нынешней форме без него.

Современное использование : Используется в клинических испытаниях для определения эффективности лекарств по сравнению с отрицательными побочными эффектами.

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение волн.

Важность : Волны исследуются с целью определения времени и места землетрясений, а также для прогнозирования поведения океана.

Современное использование : Нефтяные компании используют взрывчатку, а затем считывают данные от последующих звуковых волн для определения геологических формаций.

Важность : Уравнение позволяет разбивать, очищать и анализировать сложные шаблоны.

Современное использование : Используется при сжатии информации изображений в формате JPEG, а так же для обнаружения структуры молекул.

Уравнения Навье-Стокса

В левой части уравнения — ускорение небольшого количества жидкости, в правой — силы, которые воздействуют на него.

Важность : Как только компьютеры стали достаточно мощными, чтобы решить это уравнение, они открыли сложную и очень полезную области физики. Она особенно полезна для создания более качественной аэродинамики у транспортных средств.

Современное использование : Среди прочего, уравнение помогло в усовершенствовании современных пассажирских самолетов.

Описывают электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Важность : Помогли в понимании электромагнитных волн, что способствовало созданию многих технологий, которые мы используем сегодня.

Современное использование : Радар, телевидение и современные средства связи.

Вся энергия и тепло со временем исчезнет.

Важность : Имеет существенное значение для нашего понимания энергии и Вселенной через понятие энтропии. Открытие закона помогло улучшить паровой двигатель.

Современное использование : Помог доказать, что материя состоит из атомов, физики до сих пор пользуются этим знанием.

Энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света.

Важность : Наверное, самое известное уравнение в истории. Оно полностью изменило нашу точку зрения на материю и реальность.

Современное использование : Помогло создать ядерное оружие. Используется в GPS навигации.

Уравнение Шрёдингера

Описывает материю как волну, а не как частицу.

Важность : Перевернула представления физиков — частицы могут существовать в диапазоне возможных состояний.

Современное использование : Существенный вклад в использование полупроводников и транзисторов, и, таким образом, в большинство современных компьютерных технологий.

Оценивает количество данных в куске кода путем расчета вероятности его символов.

Важность : Это уравнение, которое открыло дверь в Информационную Эпоху.

Современное использование : В значительной степени все, что связано с обнаружением ошибок в кодировании (программировании).

Оценка изменений в популяции живых существ из поколения в поколение с ограниченными ресурсами.

Важность : Помогла в развитии , которая полностью изменила наше понимание того, как работают природные системы.

Современное использование : Используется для моделирования землетрясений и прогноза погоды.

Модель Блэка-Скоулза

Одна из моделей ценообразования опционов.

Важность : Помогла создать несколько триллионов долларов. Согласно некоторым экспертам, неправильное использование формулы (и ее производных) способствовало финансовому кризису. В частности, уравнение имеет несколько предположений, которые не справедливы на реальных финансовых рынках.

Современное использование : Даже после кризиса используются для определения цен.

Вместо заключения

В мире существует множество других важных уравнений и формул, которые изменили судьбу человечества в целом и нашу личную жизнь в частности. Среди них, модель Ходжкина-Хаксли, Фильтр Калмана и, конечно, уравнение поисковой системы Google. Мы надеемся, что нам удалось показать насколько важна математика, и насколько бесценен ее вклад для всех людей.