Sirge y = f(x) puutub joonisel näidatud graafikuga punktis x0 tingimusel, et see läbib see punkt koordinaatidega (x0; f(x0)) ja on kalle f"(x0). Selle koefitsiendi leidmine, võttes arvesse puutuja omadusi, ei ole keeruline.
Sa vajad
- - matemaatika teatmeteos;
- - märkmik;
- - lihtne pliiats;
- - pliiats;
- - kraadiklaas;
- - kompass.
Juhised
- Pange tähele, et diferentseeruva funktsiooni f(x) graafik punktis x0 ei erine puutuja segmendist. Seetõttu on see üsna lähedal lõigule l, läbides punkte (x0; f(x0)) ja (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Punkti A läbiva sirgjoone määramiseks koefitsientidega (x0; f(x0)) määrake selle kalle. Veelgi enam, see on võrdne Δy/Δx sekanttangensiga (Δх→0) ja kaldub ka arvule f’(x0).
- Kui f'(x0) väärtusi pole, siis võib-olla pole puutujat või see jookseb vertikaalselt. Sellest lähtuvalt on funktsiooni tuletise olemasolu punktis x0 seletatav mittevertikaalse puutuja olemasoluga, mis on kontaktis funktsiooni graafikuga punktis (x0, f(x0)). IN sel juhul puutuja nurkkoefitsient on võrdne f"(x0). Selgeks saab geomeetriline tähendus tuletis, st puutuja kalde arvutamine.
- See tähendab, et puutuja kalde leidmiseks peate leidma funktsiooni tuletise väärtuse puutepunktis. Näide: leida funktsiooni y = x³ graafiku puutuja nurkkoefitsient punktis, mille abstsiss on X0 = 1. Lahendus: Leia funktsiooni y΄(x) = 3x² tuletis; leida tuletise väärtus punktis X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Puutuja nurgakoefitsient punktis X0 = 1 on 3.
- Joonistage joonisele täiendavad puutujad nii, et need puudutaksid funktsiooni graafikut järgmistes punktides: x1, x2 ja x3. Märgistage nende puutujatega moodustatud nurgad abstsissteljega (nurk loetakse positiivses suunas - teljest puutujajooneni). Näiteks esimene nurk α1 on terav, teine (α2) nürinurk ja kolmas (α3) on võrdne nulliga, kuna tõmmatud puutuja on paralleeltelg Oh. Sel juhul puutuja nürinurk Seal on negatiivne tähendus, ja puutuja teravnurk– positiivne, tg0 juures ja tulemus on null.
Õppige võtma funktsioonide tuletisi. Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud punktis, mis asub selle funktsiooni graafikul. Sel juhul võib graafik olla kas sirge või kõverjoon. See tähendab, et tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust konkreetsel ajahetkel. Pea meeles üldreeglid, mille abil võetakse tuletised, ja alles siis jätkake järgmise sammuga.
- Loe artiklit.
- Kuidas võtta kõige lihtsamad tuletised, näiteks tuletis eksponentsiaalvõrrand, kirjeldatud. Aastal esitatud arvutused järgmised sammud, põhinevad seal kirjeldatud meetoditel.
Õppige eristama probleeme, mille puhul tuleb kalle arvutada funktsiooni tuletise kaudu. Probleemid ei nõua alati funktsiooni tõusu või tuletise leidmist. Näiteks võidakse teil paluda leida funktsiooni muutumise kiirus punktis A(x,y). Samuti võidakse teil paluda leida puutuja kalle punktis A(x,y). Mõlemal juhul on vaja võtta funktsiooni tuletis.
Võtke teile antud funktsiooni tuletis. Siin pole vaja graafikut koostada - vajate ainult funktsiooni võrrandit. Meie näites võtame funktsiooni tuletise. Võtke tuletis vastavalt ülalmainitud artiklis kirjeldatud meetoditele:
- Tuletis:
Asendage kalde arvutamiseks leitud tuletis teile antud punkti koordinaadid. Funktsiooni tuletis on võrdne kaldega teatud punktis. Teisisõnu, f"(x) on funktsiooni kalle mis tahes punktis (x, f(x)). Meie näites:
- Leia funktsiooni kalle f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) punktis A(4,2).
- Funktsiooni tuletis:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x) = 4x+6)
- Asendage selle punkti "x" koordinaadi väärtus:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x) = 4 (4) + 6)
- Leidke kalle:
- Kalde funktsioon f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) punktis A(4,2) on võrdne 22-ga.
Võimalusel kontrolli oma vastust graafikult. Pidage meeles, et kallet ei saa arvutada igas punktis. Diferentsiaalarvutus kaalub keerukad funktsioonid ja kompleksgraafikud, kus igas punktis ei saa kallet arvutada ja mõnel juhul ei asu punktid graafikutel üldse. Võimalusel kontrollige graafikakalkulaatoriga, kas teile antud funktsiooni kalle on õige. IN muidu tõmmake graafikule puutuja teile antud punktis ja mõelge, kas leitud kalde väärtus vastab graafikul nähtule.
- Puutujal on teatud punktis sama kalle kui funktsiooni graafikul. Antud punktis puutuja joonistamiseks liigutage X-teljel vasakule/paremale (meie näites 22 väärtust paremale) ja seejärel Y-teljel üks üles ja seejärel ühendage see teile antud punkt. Meie näites ühendage punktid koordinaatidega (4,2) ja (26,3).