For løsninger lignende opgaver Du skal helt sikkert kende formlen for volumen af en pyramide:
S
h– pyramidens højde
Basen kan være en hvilken som helst polygon. Men i de fleste problemer Unified State Exam-tale tilstanden refererer som regel til almindelige pyramider. Lad mig minde dig om en af dens egenskaber:
Vertex almindelig pyramide projiceret til midten af sin base
Se på projektionen af en regulær trekantet, firkantet og sekskantet pyramide(SE FRA OVENFOR):
Du kan på bloggen, hvor problemer relateret til at finde volumen af en pyramide blev diskuteret.
Lad os overveje opgaverne:
27087. Find volumen af den rigtige trekantet pyramide, hvis sider er lig med 1, og hvis højde er lig med roden af tre.
S– område af bunden af pyramiden
h– pyramidens højde
Lad os finde arealet af bunden af pyramiden, dette er en regulær trekant. Lad os bruge formlen - arealet af en trekant er lig med halvdelen af produktet af tilstødende sider og sinus af vinklen mellem dem, hvilket betyder:
Svar: 0,25
27088. Find højden af en regulær trekantet pyramide, hvis grundsider er lig med 2, og hvis rumfang er lig med roden ud af tre.
Begreber som højden af en pyramide og egenskaberne ved dens base er relateret til volumenformlen:
S– område af bunden af pyramiden
h– pyramidens højde
Vi kender selve volumenet, vi kan finde arealet af basen, da vi kender siderne af trekanten, som er basen. Ved at kende de angivne værdier kan vi nemt finde højden.
For at finde arealet af basen bruger vi formlen - arealet af en trekant er lig med halvdelen af produktet af tilstødende sider og sinus af vinklen mellem dem, hvilket betyder:
Ved at erstatte disse værdier i volumenformlen kan vi således beregne pyramidens højde:
Højden er tre.
Svar: 3
27109. I en regulær firkantet pyramide er højden 6, side rib er lig med 10. Find dens volumen.
Pyramidens volumen beregnes ved formlen:
S– område af bunden af pyramiden
h– pyramidens højde
Vi kender højden. Du skal finde området af basen. Lad mig minde dig om, at toppen af en almindelig pyramide er projiceret ind i midten af dens base. Basen af en regulær firkantet pyramide er en firkant. Vi kan finde dens diagonal. Overvej en retvinklet trekant (fremhævet med blåt):
Det segment, der forbinder midten af kvadratet med punkt B, er benet, som lig med halvdelen diagonaler af en firkant. Vi kan beregne dette ben ved hjælp af Pythagoras sætning:
Dette betyder BD = 16. Lad os beregne arealet af kvadratet ved hjælp af formlen for arealet af en firkant:
Derfor:
Således er pyramidens volumen:
Svar: 256
27178. I en regulær firkantet pyramide er højden 12 og rumfanget 200. Find sidekanten af denne pyramide.
Pyramidens højde og dens volumen er kendt, hvilket betyder, at vi kan finde arealet af kvadratet, som er basen. Når vi kender arealet af en firkant, kan vi finde dens diagonal. Dernæst, i betragtning af en retvinklet trekant ved hjælp af Pythagoras sætning, beregner vi sidekanten:
Lad os finde arealet af kvadratet (basen af pyramiden):
Lad os beregne kvadratets diagonal. Da dens areal er 50, vil siden være lig med roden af halvtreds og ifølge Pythagoras sætning:
Punkt O deler diagonal BD i to, hvilket betyder ben retvinklet trekant OB = 5.
Således kan vi beregne, hvad sidekanten af pyramiden er lig med:
Svar: 13
245353. Find rumfanget af pyramiden vist på figuren. Dens base er en polygon, hvis tilstødende sider er vinkelrette, og en af sidekanterne er vinkelret på basens plan og lig med 3.
h- pyramidens højde
S- basisareal ABCDE
V- pyramidens volumen
I geometri er en pyramide en krop, der har en polygon ved sin base, og alle dens flader er trekanter med et fælles toppunkt. Afhængigt af hvilken figur der ligger ved bunden, er pyramiderne opdelt i trekantede, firkantede, femkantede osv. Derudover er der regulære, afkortede, rektangulære og vilkårlige pyramider. Formel til beregning af volumen denne krop er ikke kompleks og er kendt af alle fra skoleforløb geometri.
Et klassisk eksempel på brugen af pyramider i arkitektur er egyptiske grave faraoer, hvoraf mange har præcis denne form. Det skal bemærkes, at lignende strukturer (omend noget modificeret) findes i andre dele af verden og lande, for eksempel i Mexico og Kina, og det er karakteristisk, at de næsten overalt er enten grave eller religiøse bygninger. Naturligvis søgte de gamle arkitekter næppe at bestemme volumen af deres kreationer, da de designede dem, men deres "tilhængere" måtte bestemt gøre dette.
Moderne arkitekter skaber også nogle gange pyramideformede bygninger, hvor sociale og kulturelle faciliteter oftest er placeret (indkøbs- og underholdningskomplekser, udstillingsgallerier osv.), og samtidig er det nødvendigt at beregne volumen af disse strukturer, så de overholder accepterede byggekoder, regler og forskrifter. Udover, præcise værdi Denne værdi er nødvendig for mest rationelt at placere forsyningsledninger i bygningen.
I de sidste år Drivhuse med pyramideform. Oftest er de bygget af gennemsigtigt polycarbonat og har ifølge deres udviklere betydelige fordele i forhold til traditionelle. Siden for det samme samlet areal base, er mængden af luft indeholdt i dem cirka tre gange mindre, og den opvarmes betydeligt hurtigere. Derudover fordeles den mere rationelt, da der også er mindre plads til den varmeste gas, der samler sig i toppen i et pyramideformet drivhus.
Pyramider kan ofte findes i almindelige lejligheder, landejendomme og sommerhuse. Klokkerne på emhætter, som bruges til effektivt at fjerne varm luft, røg og dampe fra rum, har ofte deres form. De elementer af ventilationssystemer, der bruges til at forbinde luftkanaler med forskellige tværsnit, er ofte lavet i form af afkortede pyramider.
En af de mest populære gåder er den såkaldte " Meffert pyramide", som ofte kaldes" Rubiks tetraeder", selvom den ungarske arkitekt og opfinder ikke har noget med det at gøre. Hver af dens ansigter er opdelt i ni flerfarvede almindelige trekanter, og spillerens mål er at bringe legetøjet i en sådan form, at alle dets elementer på hvert enkelt ansigt har samme farve.
Ordet "pyramide" er ufrivilligt forbundet med de majestætiske giganter i Egypten, der trofast vogter faraoernes fred. Måske er det derfor alle, også børn, genkender pyramiden umiskendeligt.
Men lad os prøve at give hende geometrisk definition. Lad os forestille os flere punkter på planet (A1, A2,..., An) og endnu et (E), der ikke hører til det. Så hvis punkt E (toppunkt) er forbundet med toppunkterne i polygonen dannet af punkterne A1, A2,..., An (basis), får du et polyeder, som kaldes en pyramide. Det er klart, at polygonen i bunden af pyramiden kan have et hvilket som helst antal hjørner, og afhængigt af deres antal kan pyramiden kaldes trekantet, firkantet, femkantet osv.
Hvis man ser nærmere på pyramiden, vil det blive tydeligt, hvorfor den også er defineret anderledes – som geometrisk figur, der har en polygon ved sin base, og trekanter forenet af et fælles toppunkt som sideflader.
Da pyramiden er rumlig figur, så har hun også en kvantitativ egenskab, som volumen. Pyramidens volumen beregnes ved hjælp af brønd velkendt formel volumen svarende til en tredjedel af produktet af bunden af pyramiden og dens højde:
Når man udleder formlen, beregnes rumfanget af en pyramide indledningsvis for en trekantet, idet der tages udgangspunkt i et konstant forhold, der forbinder denne værdi med rumfanget trekantet prisme, der har samme base og højde, hvilket, som det viser sig, er tre gange dette volumen.
Og da enhver pyramide er opdelt i trekantede, og dens volumen ikke afhænger af konstruktionerne udført under beviset, er gyldigheden af den givne volumenformel indlysende.
Stående adskilt fra alle pyramiderne er de korrekte, som har ved deres base regulær polygon. Hvad angår , skal det "ende" i midten af basen.
Hvornår uregelmæssig polygon i basen for at beregne arealet af basen, du skal bruge:
- bryde det op i trekanter og firkanter;
- beregn arealet af hver af dem;
- lægge de modtagne data sammen.
I tilfælde af bunden af pyramiden beregnes dens areal ved hjælp af færdige formler, så volumenet af en almindelig pyramide beregnes ganske enkelt.
For eksempel til at beregne volumen firkantet pyramide, hvis den er regulær, skal du kvadratisk længden af siden af en regulær firkant (firkant) ved bunden og gange med pyramidens højde dividere det resulterende produkt med tre.
Pyramidens volumen kan beregnes ved hjælp af andre parametre:
- som en tredjedel af produktet af radius af en kugle indskrevet i en pyramide og dens samlede overfladeareal;
- som to tredjedele af produktet af afstanden mellem to vilkårligt valgte krydsende kanter og området af parallelogrammet, der danner midtpunkterne af de resterende fire kanter.
Volumenet af en pyramide beregnes simpelthen i det tilfælde, hvor dens højde falder sammen med en af sidekanterne, det vil sige i tilfælde af en rektangulær pyramide.
Når vi taler om pyramider, kan vi ikke ignorere de trunkerede pyramider opnået ved tværsnit af pyramiden parallelt med bunden flad. Deres volumen er næsten lig med forskellen mellem volumen af hele pyramiden og den afskårne top.
Den første er pyramidens volumen, selvom den ikke er helt i sin moderne form, dog lig med 1/3 af volumenet af prismet, der er kendt for os, fandt Demokrit. Arkimedes kaldte sin beregningsmetode "uden bevis", eftersom Demokrit nærmede sig pyramiden som en figur sammensat af uendeligt tynde, lignende plader.
Vektoralgebra "adresserede" også spørgsmålet om at finde volumen af en pyramide ved hjælp af koordinaterne for dens hjørner. Pyramide bygget på tre vektorerne a,b,c, svarende til en sjettedel af modulet blandet produkt givne vektorer.