Et af de emner, der kræver maksimal opmærksomhed og vedholdenhed fra eleverne, er løsning af uligheder. Så lig ligninger og samtidig meget forskellig fra dem. For at løse dem kræver en særlig tilgang.
Egenskaber, der skal til for at finde svaret
Alle bruges til at erstatte en eksisterende post med en tilsvarende. De fleste af dem ligner det, der var i ligningerne. Men der er også forskelle.
- En funktion, der er defineret i ODZ, eller et hvilket som helst tal, kan tilføjes til begge sider af den oprindelige ulighed.
- Ligeledes er multiplikation mulig, men kun med positiv funktion eller nummer.
- Hvis denne handling udføres med negativ funktion eller et tal, så skal ulighedstegnet erstattes med det modsatte.
- Funktioner, der er ikke-negative, kan hæves til en positiv styrke.
Nogle gange er løsning af uligheder ledsaget af handlinger, der giver uvedkommende svar. De skal elimineres ved at sammenligne DL-domænet og sættet af løsninger.
Brug af intervalmetoden
Dens essens er at reducere uligheden til en ligning, hvor der er et nul på højre side.
- Bestem området, hvor de tilladte værdier af variablerne, det vil sige ODZ, ligger.
- Konverter ulighed vha matematiske operationer så der er et nul på dens højre side.
- Erstat ulighedstegnet med "=" og løs den tilsvarende ligning.
- På den numeriske akse skal du markere alle de svar, der blev opnået under løsningen, samt OD-intervallerne. På streng ulighed Prikkerne skal tegnes som udstansede. Hvis der er et lighedstegn, så skal de males over.
- Bestem tegnet for den oprindelige funktion på hvert interval opnået fra punkterne i ODZ og svarene, der deler det. Hvis fortegnet for funktionen ikke ændres, når man passerer gennem et punkt, så indgår det i svaret. I Ellers- er udelukket.
- Grænsepunkterne for ODZ skal kontrolleres yderligere og først derefter inkluderes eller ej i svaret.
- Det resulterende svar skal skrives i form af kombinerede sæt.
Lidt om dobbelte uligheder
De bruger to ulighedstegn på én gang. Det vil sige, at nogle funktioner er begrænset af betingelser to gange på én gang. Sådanne uligheder løses som et system af to, når originalen er opdelt i dele. Og i intervalmetoden er svarene fra løsning af begge ligninger angivet.
For at løse dem er det også tilladt at bruge egenskaberne angivet ovenfor. Med deres hjælp er det praktisk at reducere uligheden til nul.
Hvad med uligheder, der har et modul?
I dette tilfælde bruger løsningen af ulighederne følgende egenskaber, og de er gyldige for en positiv værdi på "a".
Hvis "x" tager algebraisk udtryk, så er følgende erstatninger gyldige:
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > a til x< -a или х >en.
Hvis ulighederne ikke er strenge, er formlerne også korrekte, kun i dem, ud over det større eller mindre tegn, vises "=".
Hvordan løses et system af uligheder?
Denne viden vil være påkrævet i tilfælde, hvor en sådan opgave er givet, eller der er registreret dobbelt ulighed eller et modul optræder i journalen. I en sådan situation vil løsningen være værdierne af de variable, der ville tilfredsstille alle ulighederne i posten. Hvis der ikke er sådanne tal, så har systemet ingen løsninger.
Planen, ifølge hvilken løsningen af ulighedssystemet udføres:
- løse hver af dem separat;
- afbilde alle intervaller på talaksen og bestemme deres skæringspunkter;
- skriv systemets svar ned, som vil være en kombination af det, der skete i andet afsnit.
Hvad skal man gøre med fraktionelle uligheder?
Da løsning af dem kan kræve at ændre tegnet på ulighed, skal du meget omhyggeligt og omhyggeligt følge alle punkter i planen. Ellers kan du få det modsatte svar.
Løsning fraktionelle uligheder bruger også intervalmetoden. Og handlingsplanen bliver sådan her:
- Brug de beskrevne egenskaber til at give brøken en sådan form, at der kun er nul tilbage til højre for tegnet.
- Erstat uligheden med "=" og bestem de punkter, hvor funktionen vil være lig med nul.
- Tag dem på koordinatakse. I dette tilfælde vil de tal, der opnås som følge af beregninger i nævneren, altid blive udstanset. Alle andre er baseret på betingelsen om ulighed.
- Bestem intervallerne for fortegnskonstans.
- Som svar nedskriver du foreningen af de intervaller, hvis fortegn svarer til det i den oprindelige ulighed.
Situationer, hvor irrationalitet optræder i ulighed
Der er med andre ord en matematisk rod i notationen. Siden i skoleforløb algebra mest af opgaver er for kvadratroden, så er det, hvad der vil blive overvejet.
Løsning irrationelle uligheder kommer ned til at få et system på to eller tre, der svarer til det originale.
| Oprindelig ulighed | tilstand | tilsvarende system |
| √ n(x)< m(х) | m(x) mindre end eller lig med 0 | ingen løsninger |
| m(x) større end 0 | n(x) er større end eller lig med 0 n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) større end eller lig med 0 n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) er større end eller lig med 0 m(x) mindre end 0 |
||
| √n(x) ≤ m(x) | m(x) mindre end 0 | ingen løsninger |
| m(x) større end eller lig med 0 | n(x) er større end eller lig med 0 n(x) ≤ (m(x)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) større end eller lig med 0 n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) er større end eller lig med 0 m(x) mindre end 0 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) er større end eller lig med 0 n(x) mindre end m(x) |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) større end 0 m(x) mindre end 0 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) større end 0 m(x) større end 0 |
|
| √n(x) * m(x) ≤ 0 | n(x) større end 0 |
|
n(x) er lig med 0 m(x) - enhver |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) større end 0 |
|
n(x) er lig med 0 m(x) - enhver |
Eksempler på løsning af forskellige typer uligheder
For at tilføje klarhed til teorien om løsning af uligheder er der givet eksempler nedenfor.
Første eksempel. 2x - 4 > 1 + x
Løsning: For at bestemme ADI er alt, hvad du skal gøre, at se nøje på ulighed. Den er dannet af lineære funktioner, derfor defineret for alle værdier af variablen.
Nu skal du trække (1 + x) fra begge sider af uligheden. Det viser sig: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Efter at beslagene er åbnet og givet lignende vilkår uligheden vil have følgende form: x - 5 > 0.
Ved at sidestille det med nul, er det nemt at finde dens løsning: x = 5.
Nu skal dette punkt med tallet 5 markeres på koordinatstråle. Kontroller derefter tegnene på den oprindelige funktion. På det første interval fra minus uendeligt til 5 kan du tage tallet 0 og erstatte det med uligheden opnået efter transformationerne. Efter beregninger viser det sig -7 >0. under buen af intervallet skal du tegne et minustegn.
På næste interval fra 5 til uendelig kan du vælge tallet 6. Så viser det sig, at 1 > 0. Der er et "+" tegn under buen. Dette andet interval vil være svaret på uligheden.
Svar: x ligger i intervallet (5; ∞).
Andet eksempel. Det er nødvendigt at løse et system af to ligninger: 3x + 3 ≤ 2x + 1 og 3x - 2 ≤ 4x + 2.
Løsning. VA af disse uligheder ligger også i området af ethvert tal, da lineære funktioner er givet.
Den anden ulighed vil have form af følgende ligning: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Efter transformation: -x - 4 =0. Dette giver en værdi for variablen lig med -4.
Disse to tal skal markeres på aksen, der viser intervaller. Da uligheden ikke er streng, skal alle punkter skygges. Det første interval er fra minus uendeligt til -4. Lad tallet -5 vælges. Den første ulighed vil give værdien -3, og den anden 1. Det betyder, at dette interval ikke indgår i besvarelsen.
Det andet interval er fra -4 til -2. Du kan vælge tallet -3 og erstatte det med begge uligheder. I den første og anden er værdien -1. Det betyder, at under buen "-".
I det sidste interval fra -2 til uendelig er det bedste tal nul. Du skal erstatte det og finde værdierne af ulighederne. I den første af dem viser det sig positivt tal, og den anden er nul. Dette hul skal også udelukkes fra besvarelsen.
Af de tre intervaller er kun ét en løsning på uligheden.
Svar: x tilhører [-4; -2].
Tredje eksempel. |1 - x| > 2 |x - 1|.
Løsning. Det første trin er at bestemme de punkter, hvor funktionerne forsvinder. For den venstre vil dette tal være 2, for den højre - 1. De skal markeres på strålen, og intervallerne for tegnets konstans bestemmes.
På det første interval, fra minus uendeligt til 1, tager funktionen fra venstre side af uligheden positive værdier, og fra højre - negativ. Under buen skal du skrive to tegn "+" og "-" side om side.
Det næste interval er fra 1 til 2. På det tager begge funktioner positive værdier. Det betyder, at der er to plusser under buen.
Det tredje interval fra 2 til uendelig vil give følgende resultat: venstre funktion er negativ, højre funktion er positiv.
Under hensyntagen til de resulterende tegn skal du beregne ulighedsværdierne for alle intervaller.
Den første producerer følgende ulighed: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus før de to i den anden ulighed skyldes, at denne funktion er negativ.
Efter transformation ser uligheden således ud: x > 0. Den giver straks værdierne af variablen. Det vil sige, at fra dette interval vil kun intervallet fra 0 til 1 blive besvaret.
På den anden: 2 - x > 2 (x - 1). Transformationerne vil give følgende ulighed: -3x + 4 er større end nul. Dens nul vil være x = 4/3. Tager man hensyn til ulighedstegnet, viser det sig, at x skal være mindre end dette tal. Det betyder, at dette interval reduceres til et interval fra 1 til 4/3.
Sidstnævnte giver følgende ulighed: - (2 - x) > 2 (x - 1). Dens transformation fører til følgende: -x > 0. Det vil sige, at ligningen er sand, når x er mindre end nul. Det betyder, at uligheden på det nødvendige interval ikke giver løsninger.
I de første to intervaller viste grænsetallet sig at være 1. Det skal kontrolleres separat. Det vil sige, erstatte det med den oprindelige ulighed. Det viser sig: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Beregning viser, at 1 er større end 0. Dette er sandt udsagn, så en er med i svaret.
Svar: x ligger i intervallet (0; 4/3).
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- Samlet af os personlig information giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål såsom revision, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, V forsøg, og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
I artiklen vil vi overveje løse uligheder. Vi vil fortælle dig tydeligt om hvordan man konstruerer en løsning på uligheder, med klare eksempler!
Før vi ser på at løse uligheder ved hjælp af eksempler, lad os forstå de grundlæggende begreber.
Generel information om uligheder
Ulighed er et udtryk, hvor funktioner er forbundet med relationstegn >, . Uligheder kan være både numeriske og bogstavelige.
Uligheder med to tegn på forholdet kaldes dobbelt, med tre - tredobbelt osv. For eksempel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Uligheder, der indeholder tegnet > eller eller - er ikke strenge.
Løsning af uligheden er enhver værdi af den variabel, for hvilken denne ulighed vil være sand.
"Løs ulighed" betyder, at vi skal finde et sæt af alle dets løsninger. Der er forskellige metoder til at løse uligheder. Til ulighedsløsninger De bruger tallinjen, som er uendelig. For eksempel, løsning på ulighed x > 3 er intervallet fra 3 til +, og tallet 3 er ikke inkluderet i dette interval, derfor er punktet på linjen angivet med en tom cirkel, fordi ulighed er streng. 
+
Svaret vil være: x (3; +).
Værdien x=3 indgår ikke i løsningssættet, så parentesen er rund. Uendelighedstegnet er altid fremhævet med en parentes. Tegnet betyder "tilhøre".
Lad os se på, hvordan man løser uligheder ved at bruge et andet eksempel med et fortegn:
x 2
-
+
Værdien x=2 indgår i løsningssættet, så parentesen er firkantet, og punktet på linjen er angivet med en udfyldt cirkel.
Svaret vil være: x (0) (0) )