Vi fortsætter med at se på måder at løse uligheder, der involverer én variabel. Vi har allerede studeret lineære og kvadratiske uligheder, som er særlige tilfælde af rationelle uligheder. I denne artikel vil vi afklare, hvilken type uligheder, der betragtes som rationelle, og vi vil fortælle dig, hvilke typer de er opdelt i (heltal og brøk). Derefter viser vi, hvordan man løser dem korrekt, giver de nødvendige algoritmer og analyserer specifikke problemer.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Begrebet rationelle ligheder
Når de studerer emnet løsning af uligheder i skolen, tager de straks fat på rationelle uligheder. De tilegner sig og finpudser færdigheder i at arbejde med denne type udtryk. Lad os formulere definitionen af dette begreb:
Definition 1
En rationel ulighed er en ulighed med variable, der indeholder rationelle udtryk i begge dele.
Bemærk, at definitionen ikke på nogen måde påvirker spørgsmålet om antallet af variabler, hvilket betyder, at der kan være så mange af dem, som ønsket. Derfor er rationelle uligheder med 1, 2, 3 eller flere variabler mulige. Oftest skal man forholde sig til udtryk, der kun indeholder én variabel, sjældnere to, og uligheder med et stort antal variable bliver normalt slet ikke taget i betragtning i skoleforløbet.
Således kan vi genkende en rationel ulighed ved at se på dens skrift. Det skal have rationelle udtryk på både højre og venstre side. Her er nogle eksempler:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Men her er en ulighed på formen 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Alle rationelle uligheder er opdelt i heltal og brøk.
Definition 2
Hele den rationelle lighed består af hele rationelle udtryk (i begge dele).
Definition 3
Fraktionel rationel lighed er en lighed, der indeholder et brøkudtryk i en eller begge dele.
For eksempel er uligheder på formen 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 og 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 fraktionel rationel og 0, 5 x ≤ 3 (2 - 5 år) Og 1: x + 3 > 0- hel.
Vi analyserede, hvad rationelle uligheder er, og identificerede deres hovedtyper. Vi kan gå videre til en gennemgang af måder at løse dem på.
Lad os sige, at vi skal finde løsninger på en hel rationel ulighed r(x)< s (x) , som kun inkluderer én variabel x. Hvori r(x) Og s(x) repræsentere ethvert rationelt heltal eller udtryk, og ulighedstegnet kan variere. For at løse dette problem er vi nødt til at transformere det og få en tilsvarende lighed.
Lad os starte med at flytte udtrykket fra højre side til venstre. Vi får følgende:
af formen r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Vi ved det r (x) − s (x) vil være en heltalsværdi, og ethvert heltalsudtryk kan konverteres til et polynomium. Lad os transformere r (x) − s (x) i h(x). Dette udtryk vil være et identisk ens polynomium. I betragtning af at r (x) − s (x) og h (x) har det samme område af tilladte værdier af x, kan vi gå videre til ulighederne h (x)< 0 (≤ , >, ≥), som vil svare til den originale.
Ofte vil en sådan simpel transformation være nok til at løse uligheden, da resultatet kan være en lineær eller kvadratisk ulighed, hvis værdi er let at beregne. Lad os analysere sådanne problemer.
Eksempel 1
Tilstand: løse en hel rationel ulighed x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Løsning
Lad os starte med at flytte udtrykket fra højre side til venstre med det modsatte fortegn.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Nu hvor vi har gennemført alle operationerne med polynomierne til venstre, kan vi gå videre til den lineære ulighed 3 x − 2 ≤ 0, svarende til hvad der blev givet i betingelsen. Det er nemt at løse:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Svar: x ≤ 2 3 .
Eksempel 2
Tilstand: finde løsningen på uligheden (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Løsning
Vi overfører udtrykket fra venstre side til højre og udfører yderligere transformationer ved hjælp af forkortede multiplikationsformler.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Som et resultat af vores transformationer modtog vi en ulighed, der vil være sand for alle værdier af x, derfor kan løsningen til den oprindelige ulighed være et hvilket som helst reelt tal.
Svar: ethvert tal egentlig.
Eksempel 3
Tilstand: løse uligheden x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Løsning
Vi overfører ikke noget fra højre side, da der er 0 der. Lad os starte med det samme med at konvertere venstre side til et polynomium:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Vi har udledt en kvadratisk ulighed svarende til den oprindelige, som let kan løses ved hjælp af flere metoder. Lad os bruge en grafisk metode.
Lad os starte med at beregne rødderne af det kvadratiske trinomium − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Nu på diagrammet markerer vi alle de nødvendige nuller. Da den førende koefficient er mindre end nul, vil grenene af parablen på grafen pege nedad.
Vi skal bruge området af parablen placeret over x-aksen, da vi har et > tegn i uligheden. Det nødvendige interval er (− 0 , 5 , 6) Derfor vil denne række af værdier være den løsning, vi har brug for.
Svar: (− 0 , 5 , 6) .
Der er også mere komplekse tilfælde, når et polynomium af tredje eller højere grad opnås til venstre. For at løse en sådan ulighed anbefales det at bruge intervalmetoden. Først beregner vi alle polynomiets rødder h(x), hvilket oftest gøres ved at faktorisere et polynomium.
Eksempel 4
Tilstand: Beregn (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Løsning
Lad os starte, som altid, med at flytte udtrykket til venstre side, hvorefter vi bliver nødt til at udvide parenteserne og bringe lignende udtryk.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Som et resultat af transformationerne fik vi en lighed svarende til den oprindelige, til venstre for hvilken der er et polynomium af tredje grad. Lad os bruge intervalmetoden til at løse det.
Først beregner vi rødderne af polynomiet, som vi skal løse den kubiske ligning for x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Har det rationelle rødder? De kan kun være blandt fritidens divisorer, dvs. blandt tallene ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Lad os erstatte dem en efter en i den oprindelige ligning og finde ud af, at tallene 1, 2 og 3 vil være dens rødder.
Altså polynomiet x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 kan beskrives som et produkt (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) og ulighed x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 kan repræsenteres som (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Med en ulighed af denne type vil det så være lettere for os at bestemme fortegnene på intervallerne.
Dernæst udfører vi de resterende trin i intervalmetoden: tegn en tallinje og punkter på den med koordinaterne 1, 2, 3. De deler den lige linje i 4 intervaller, hvor de skal bestemme tegnene. Lad os skygge intervallerne med et minus, da den oprindelige ulighed har tegnet < .
Det eneste, vi skal gøre, er at skrive det færdige svar ned: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3).
Svar: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
I nogle tilfælde skal du gå ud fra uligheden r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) til h (x)< 0 (≤ , >, ≥), hvor h(x)– et polynomium i en højere grad end 2, upassende. Dette strækker sig til tilfælde, hvor det er lettere at udtrykke r(x) − s(x) som et produkt af lineære binomialer og kvadratiske trinomier end at faktorisere h(x) i individuelle faktorer. Lad os se på dette problem.
Eksempel 5
Tilstand: finde løsningen på uligheden (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Løsning
Denne ulighed gælder for heltal. Hvis vi flytter udtrykket fra højre side til venstre, åbner parenteserne og udfører en reduktion af termerne, får vi x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
At løse en sådan ulighed er ikke let, da du skal lede efter rødderne til et fjerdegrads polynomium. Den har ikke en enkelt rationel rod (for eksempel 1, − 1, 19 eller − 19 er ikke egnede), og det er svært at lede efter andre rødder. Det betyder, at vi ikke kan bruge denne metode.
Men der er andre løsninger. Hvis vi flytter udtrykkene fra højre side af den oprindelige ulighed til venstre, kan vi sætte den fælles faktor i parentes x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Vi har opnået en ulighed svarende til den oprindelige, og dens løsning vil give os det ønskede svar. Lad os finde nullerne i udtrykket i venstre side, som vi løser andengradsligninger for x 2 − 2 x − 1 = 0 Og x 2 − 2 x − 19 = 0. Deres rødder er 1 ± 2, 1 ± 2 5. Vi går videre til ligheden x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, som kan løses ved intervalmetoden:
Ifølge figuren vil svaret være - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Svar: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Lad os tilføje, at nogle gange er det ikke muligt at finde alle rødderne til et polynomium h(x), derfor kan vi ikke repræsentere det som et produkt af lineære binomialer og kvadratiske trinomialer. Løs derefter en ulighed på formen h (x)< 0 (≤ , >, ≥) kan vi ikke, hvilket betyder, at det også er umuligt at løse den oprindelige rationelle ulighed.
Antag, at vi skal løse brøkrationelle uligheder på formen r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), hvor r (x) og s(x) er rationelle udtryk, x er en variabel. Mindst et af de angivne udtryk vil være fraktioneret. Løsningsalgoritmen i dette tilfælde vil være som følger:
- Vi bestemmer intervallet af tilladte værdier for variablen x.
- Vi flytter udtrykket fra højre side af uligheden til venstre, og det resulterende udtryk r (x) − s (x) repræsentere det som en brøk. Desuden hvor p(x) Og q(x) vil være heltalsudtryk, der er produkter af lineære binomier, uopløselige kvadratiske trinomier samt potenser med en naturlig eksponent.
- Dernæst løser vi den resulterende ulighed ved hjælp af intervalmetoden.
- Det sidste trin er at udelukke de punkter, der er opnået under løsningen, fra intervallet af acceptable værdier af variablen x, som vi definerede i begyndelsen.
Dette er algoritmen til at løse rationelle fraktionerede uligheder. Det meste er klart; mindre forklaringer kræves kun til afsnit 2. Vi flyttede udtrykket fra højre side til venstre og fik r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), og derefter hvordan man bringer det til formen p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Lad os først afgøre, om denne transformation altid kan udføres. Teoretisk eksisterer en sådan mulighed altid, da ethvert rationelt udtryk kan omdannes til en rationel brøk. Her har vi en brøk med polynomier i tæller og nævner. Lad os genkalde algebraens grundlæggende sætning og Bezouts sætning og bestemme, at ethvert polynomium af grad n, der indeholder en variabel, kan transformeres til et produkt af lineære binomier. Derfor kan vi i teorien altid transformere udtrykket på denne måde.
I praksis er faktorisering af polynomier ofte ret vanskeligt, især hvis graden er højere end 4. Hvis vi ikke kan udføre udvidelsen, så vil vi ikke være i stand til at løse denne ulighed, men sådanne problemer studeres normalt ikke i skoleforløb.
Dernæst skal vi beslutte, om den resulterende ulighed p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ækvivalent med hensyn til r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) og til den originale. Der er mulighed for, at det kan vise sig at være ulige.
Ækvivalensen af uligheden vil blive sikret, når intervallet af acceptable værdier p(x)q(x) vil matche udtryksområdet r (x) − s (x). Så behøver det sidste punkt i instruktionerne til løsning af fraktioneret rationelle uligheder ikke følges.
Men rækken af værdier for p(x)q(x) kan være bredere end r (x) − s (x) for eksempel ved at reducere fraktioner. Et eksempel ville være at gå fra x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 til x · x - 1 x + 3 . Eller dette kan ske, når du bringer lignende udtryk, for eksempel her:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 til 1 x + 3
I sådanne tilfælde blev det sidste trin i algoritmen tilføjet. Ved at udføre det slipper du af med uvedkommende variable værdier, der opstår på grund af udvidelsen af rækken af acceptable værdier. Lad os tage et par eksempler for at gøre det mere klart, hvad vi taler om.
Eksempel 6
Tilstand: finde løsninger på den rationelle lighed x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Løsning
Vi handler i henhold til algoritmen angivet ovenfor. Først bestemmer vi intervallet af acceptable værdier. I dette tilfælde bestemmes det af systemet af uligheder x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , hvis løsning vil være mængden (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Derefter skal vi transformere det, så det er praktisk at anvende intervalmetoden. Først og fremmest reducerer vi algebraiske brøker til den laveste fællesnævner (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Vi kollapser udtrykket i tælleren ved at bruge formlen for kvadratet af summen:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Rækken af acceptable værdier for det resulterende udtryk er (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Vi ser, at det svarer til det, der blev defineret for den oprindelige lighed. Vi konkluderer, at uligheden x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 svarer til den oprindelige, hvilket betyder, at vi ikke behøver det sidste trin i algoritmen.
Vi bruger intervalmetoden:
Vi ser løsningen ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), som vil være løsningen på den oprindelige rationelle ulighed x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Svar: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Eksempel 7
Tilstand: beregn løsningen x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Løsning
Vi bestemmer rækkevidden af acceptable værdier. I tilfælde af denne ulighed vil den være lig med alle reelle tal undtagen − 2, − 1, 0 og 1 .
Vi flytter udtrykkene fra højre side til venstre:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Under hensyntagen til resultatet skriver vi:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
For udtrykket - 1 x - 1 er rækken af gyldige værdier mængden af alle reelle tal undtagen ét. Vi ser, at rækkevidden af værdier er udvidet: − 2 , − 1 og 0 . Det betyder, at vi skal udføre det sidste trin i algoritmen.
Da vi kom til uligheden - 1 x - 1 > 0, kan vi skrive dens ækvivalente 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Vi udelukker punkter, der ikke er inkluderet i rækken af acceptable værdier for den oprindelige lighed. Vi skal udelukke fra (− ∞ , 1) tallene − 2 , − 1 og 0 . Således vil løsningen på den rationelle ulighed x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 være værdierne (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Svar: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Afslutningsvis giver vi et andet eksempel på et problem, hvor det endelige svar afhænger af rækken af acceptable værdier.
Eksempel 8
Tilstand: find løsningen på uligheden 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Løsning
Området af tilladte værdier for uligheden specificeret i betingelsen bestemmes af systemet x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Dette system har ingen løsninger, pga
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Dette betyder, at den oprindelige lighed 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ikke har nogen løsning, da der ikke er nogen værdier af den variable, som den ville gøre for følelse.
Svar: der er ingen løsninger.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Interval metode– en enkel måde at løse fraktioneret rationelle uligheder på. Dette er navnet på uligheder, der indeholder rationelle (eller brøk-rationelle) udtryk, der afhænger af en variabel.
1. Overvej for eksempel følgende ulighed
Intervalmetoden giver dig mulighed for at løse det på et par minutter.
På venstre side af denne ulighed er en rationel brøkfunktion. Rationel fordi den ikke indeholder rødder, sinus eller logaritmer - kun rationelle udtryk. Til højre er nul.
Intervalmetoden er baseret på følgende egenskab for en rationel brøkfunktion.
En rationel brøkfunktion kan kun ændre fortegn ved de punkter, hvor den er lig med nul eller ikke eksisterer.
Lad os huske, hvordan et kvadratisk trinomium er faktoriseret, det vil sige et udtryk for formen.
Hvor og er rødderne til andengradsligningen.
Vi tegner en akse og placerer de punkter, hvor tælleren og nævneren går til nul.
Nullen i nævneren og er punkterede punkter, da funktionen på venstre side af uligheden ikke er defineret på disse punkter (du kan ikke dividere med nul). Nullerne i tælleren og - er skraverede, da uligheden ikke er streng. Hvornår og vores ulighed er opfyldt, da begge dens sider er lig nul.
Disse punkter opdeler aksen i intervaller.
Lad os bestemme tegnet for den rationelle brøkfunktion på venstre side af vores ulighed på hvert af disse intervaller. Vi husker, at en rationel brøkfunktion kun kan ændre fortegn ved de punkter, hvor den er lig med nul eller ikke eksisterer. Det betyder, at i hvert af intervallerne mellem de punkter, hvor tælleren eller nævneren går til nul, vil fortegnet for udtrykket på venstre side af uligheden være konstant - enten "plus" eller "minus".
Og derfor, for at bestemme tegnet for funktionen på hvert sådant interval, tager vi ethvert punkt, der hører til dette interval. Den, der er praktisk for os.
. Tag for eksempel og tjek udtrykkets fortegn i venstre side af uligheden. Hver af "parenteserne" er negative. Venstre side har et skilt.
Næste interval: . Lad os tjekke skiltet på . Vi oplever, at venstre side har ændret sit fortegn til .
Lad os tage det. Når udtrykket er positivt - derfor er det positivt over hele intervallet fra til.
Når venstre side af uligheden er negativ.
Og endelig, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Vi har fundet med hvilke intervaller udtrykket er positivt. Tilbage er blot at skrive svaret ned:
Svar: .
Bemærk venligst: skiltene skifter mellem intervaller. Dette skete pga når man passerede gennem hvert punkt, skiftede nøjagtig en af de lineære faktorer fortegn, mens resten holdt det uændret.
Vi ser, at intervalmetoden er meget enkel. For at løse den brøk-rationelle ulighed ved hjælp af intervalmetoden reducerer vi den til formen:
Eller class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, eller eller .
(på venstre side er en rationel brøkfunktion, på højre side er nul).
Derefter markerer vi på tallinjen de punkter, hvor tælleren eller nævneren går til nul.
Disse punkter opdeler hele tallinjen i intervaller, på hvilke den brøk-rationelle funktion bevarer sit fortegn.
Det eneste, der er tilbage, er at finde ud af dets tegn ved hvert interval.
Det gør vi ved at kontrollere fortegnet for udtrykket på ethvert punkt, der hører til et givet interval. Derefter skriver vi svaret ned. Det er alt.
Men spørgsmålet opstår: skifter tegnene altid? Nej ikke altid! Du skal være forsigtig og ikke placere skilte mekanisk og tankeløst.
2. Lad os overveje en anden ulighed.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ venstre(x-3 \højre))>0"> !}
Placer punkterne på aksen igen. Prikkerne og er punkteret, fordi de er nuller af nævneren. Pointen er også skåret ud, da uligheden er streng.
Når tælleren er positiv, er begge faktorer i nævneren negative. Dette kan nemt kontrolleres ved at tage et hvilket som helst tal fra et givet interval, for eksempel . Venstre side har tegnet:
Når tælleren er positiv; Den første faktor i nævneren er positiv, den anden faktor er negativ. Venstre side har tegnet:
Situationen er den samme! Tælleren er positiv, den første faktor i nævneren er positiv, den anden er negativ. Venstre side har tegnet:
Til sidst med class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Svar: .
Hvorfor blev vekslen mellem tegn forstyrret? Fordi når man passerer gennem et punkt, er multiplikatoren "ansvarlig" for det skiftede ikke tegn. Følgelig ændrede hele venstre side af vores ulighed ikke fortegn.
Konklusion: hvis den lineære multiplikator er en lige potens (for eksempel i anden potens), så ændres fortegnet for udtrykket på venstre side ikke, når den passerer gennem et punkt. I tilfælde af en ulige grad ændres tegnet selvfølgelig.
3. Lad os overveje en mere kompleks sag. Den adskiller sig fra den foregående ved, at uligheden ikke er streng:
Venstre side er den samme som i forrige opgave. Billedet af tegn vil være det samme:
Måske vil svaret være det samme? Ingen! En løsning tilføjes Dette sker, fordi både venstre og højre side af uligheden er lig nul - derfor er dette punkt en løsning.
Svar: .
Denne situation opstår ofte i problemer på Unified State Examination i matematik. Det er her, ansøgere falder i en fælde og mister point. Vær forsigtig!
4. Hvad skal man gøre, hvis tælleren eller nævneren ikke kan indregnes i lineære faktorer? Overvej denne ulighed:
Et kvadratisk trinomium kan ikke faktoriseres: diskriminanten er negativ, der er ingen rødder. Men det her er godt! Det betyder, at tegnet for udtrykket for alle er det samme, og specifikt positivt. Du kan læse mere om dette i artiklen om egenskaber ved kvadratiske funktioner.
Og nu kan vi dividere begge sider af vores ulighed med en værdi, der er positiv for alle. Lad os nå frem til en tilsvarende ulighed:
Hvilket let løses ved hjælp af intervalmetoden.
Bemærk venligst, at vi dividerede begge sider af uligheden med en værdi, som vi med sikkerhed vidste var positiv. Generelt skal du selvfølgelig ikke gange eller dividere en ulighed med en variabel, hvis fortegn er ukendt.
5 . Lad os overveje en anden ulighed, tilsyneladende ret enkel:
Jeg vil bare gange det med . Men vi er allerede kloge, og vi vil ikke gøre dette. Det kan jo være både positivt og negativt. Og vi ved, at hvis begge sider af uligheden ganges med en negativ værdi, ændres tegnet på uligheden.
Vi vil gøre det anderledes - vi vil samle alt i én del og bringe det til en fællesnævner. Højre side forbliver nul:
Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Og derefter - søg interval metode.
- Udvikle evnen til at løse rationelle uligheder ved hjælp af metoden med intervaller med flere rødder, hjælpe eleverne med at udvikle behovet og ønsket om at generalisere det studerede materiale;
- Udvikle evnen til at sammenligne løsninger og identificere de rigtige svar; udvikle nysgerrighed, logisk tænkning, kognitiv interesse for emnet
- Dyrk nøjagtighed, når du udarbejder løsninger, evnen til at overvinde vanskeligheder, når du løser uligheder.
Materialer og udstyr: interaktiv tavle, kort, indsamling af test.
Lektionens fremskridt
I. Organisatorisk øjeblik
II. Opdatering af viden
Frontal klasseundersøgelse om følgende spørgsmål:
Ved hvilke værdier af variablen giver brøken mening (fig. 1)?
Gentag algoritmen til løsning af uligheder i formen (x - x 1)(x - x 2)...(x - x n) > 0 eller (x - x 1)(x - x 2)...(x - x n)< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.
Algoritmen til at løse uligheder ved hjælp af intervalmetoden vises på den interaktive tavle:
III. At lære nyt stof. Løsning af fraktioneret rationelle uligheder med flere rødder ved hjælp af intervalmetoden.
Løsning af uligheder med flere kritiske værdier af en variabel er normalt forbundet med de største vanskeligheder. Hvis det tidligere var muligt at placere tegn på intervaller blot ved at veksle dem, nu, når man passerer gennem en kritisk værdi, vil tegnet for hele udtrykket muligvis ikke ændre sig. Vi vil stifte bekendtskab med den såkaldte "kronblad" -metode, som vil hjælpe med at overvinde vanskelighederne forbundet med at arrangere tegnene på en funktion i intervaller.
Overvej et eksempel: (x+3) 2 > 0/
Venstre side har et enkelt kritisk punkt x = - 3. Lad os markere det på tallinjen. Dette punkt har en multiplicitet på 2, så vi kan overveje, at vi har to sammenlagte kritiske punkter, mellem hvilke der også er et interval med begyndelsen og slutningen i samme punkt -3. Vi vil markere sådanne intervaller med "kronblade", som i fig. 3. Vi har således tre intervaller: to numeriske intervaller (-∞; -3); (-3; +∞) og "kronbladet" mellem dem. Tilbage er kun at placere skiltene. For at gøre dette beregner vi tegnet på intervallet, der indeholder nul, og arrangerer tegnene på resten, blot skiftende dem. Resultatet af placeringen af skiltene er vist i fig. 4
 |
 |
|
Ris. 3 |
Ris. 4 |
Svar: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
Lad os nu overveje en mere kompleks ulighed (fig. 5):
Lad os introducere funktionen (fig. 6):
Lad os markere de kritiske punkter på tallinjen under hensyntagen til deres mangfoldighed - for hver ekstra parentes med en given kritisk værdi tegner vi et ekstra "kronblad". Så i fig. 7 vil ét "kronblad" vises i punktet x=3, da (x-3)?=(x-3)(x-3).
Da (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6), har punktet x = 6 to "kronblade". Den første multiplikator tages i betragtning af punkt 6 på aksen, og to yderligere multiplikatorer tages i betragtning ved at tilføje to "kronblade". Dernæst bestemmer vi tegnet på et af intervallerne og arrangerer tegnene på resten, skiftende minusser og plusser.
Alle mellemrum markeret med et "+" og mørke prikker giver svaret.
X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).
IV. Konsolidering af nyt materiale
1. Lad os løse uligheden:
Lad os faktorere venstre side af uligheden:
Først plotter vi de kritiske punkter af nævneren på koordinataksen, vi får (fig. 10)
Tilføjelse af tællerpunkter får vi (fig. 11)
Og nu bestemmer vi tegnene med mellemrum og i "kronblade" (fig. 12)
Ris. 12
Svar: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)
2. Vælg numeriske intervaller, der er løsninger på uligheder ved hjælp af intervalmetoden, under hensyntagen til multipliciteten af polynomiets rødder (fig. 13).
V. Resumé af lektionen
Under samtalen med klassen drager vi konklusioner:
1) Det bliver muligt at placere skilte med mellemrum blot ved at skifte dem.
3) Med denne løsning går enkelte rødder aldrig tabt.
I denne lektion vil vi fortsætte med at løse rationelle uligheder ved hjælp af intervalmetoden til mere komplekse uligheder. Lad os overveje løsningen af lineære og fraktionerede kvadratiske uligheder og relaterede problemer.
Lad os nu vende tilbage til uligheden
Lad os se på nogle relaterede opgaver.
Find den mindste løsning på uligheden.
Find antallet af naturlige løsninger på uligheden
Find længden af de intervaller, der udgør mængden af løsninger til uligheden.
2. Naturvidenskabernes portal ().
3. Elektronisk pædagogisk og metodisk kompleks til at forberede 10-11 karakterer til adgangsprøver i datalogi, matematik, russisk sprog ().
5. Uddannelsescenter "Teaching Technology" ().
6. College.ru afsnit om matematik ().
1. Mordkovich A.G. m.fl. Algebra 9. klasse: Opgavebog for studerende på almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4. udg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nr. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).