Trekant - en polygon med tre sider, eller en lukket brudt linje med tre led, eller en figur dannet af tre segmenter, der forbinder tre punkter, der ikke ligger på samme rette linje (se fig. 1).

Væsentlige elementer trekant abc

Toppe – punkt A, B og C;

Fester – segmenterne a = BC, b = AC og c = AB, der forbinder hjørnerne;

Vinkler – α, β, γ dannet af tre par sider. Vinkler er ofte betegnet på samme måde som hjørner med bogstaverne A, B og C.

Vinklen, der dannes af siderne af en trekant, og som ligger i dens indre område, kaldes en indre vinkel, og den, der støder op til den, er trekantens tilstødende vinkel (2, s. 534).

Højder, medianer, halveringslinjer og midterlinjer i en trekant

Ud over hovedelementerne i en trekant betragtes andre segmenter med interessante egenskaber også: højder, medianer, halveringslinjer og midterlinjer.

Højde

Trekanthøjder- disse er vinkelrette lodrette punkter fra trekantens spidser til modsatte sider.

For at plotte højden skal du udføre følgende trin:

1) Tegn en ret linje, der indeholder en af ​​trekantens sider (hvis højden er tegnet fra toppunktet Spids vinkel i en stump trekant);

2) fra toppunktet, der ligger over for den tegnede linje, tegn et segment fra punktet til denne linje, lav en vinkel på 90 grader med det.

Punktet, hvor højden skærer siden af ​​trekanten kaldes højde base (se fig. 2).

Egenskaber for trekanthøjder

I en retvinklet trekant er højden trukket fra toppunktet ret vinkel, opdeler det i to trekanter svarende til den oprindelige trekant.

I en spids trekant afskærer dens to højder lignende trekanter fra den.

Hvis trekanten er spids, hører alle højdebaserne til trekantens sider, og stump trekant to højder falder på fortsættelsen af ​​siderne.

Tre højder ind spids trekant skæres på et punkt, og dette punkt kaldes ortocenter trekant.

Median

Medianer(fra latin mediana – “midt”) - disse er segmenter, der forbinder trekantens toppunkter med midtpunkterne på de modsatte sider (se fig. 3).

For at konstruere medianen skal du udføre følgende trin:

1) find midten af ​​siden;

2) forbind punktet, der er midten af ​​siden af ​​trekanten, med det modsatte toppunkt med et segment.

Egenskaber for trekantmedianer

Medianen deler en trekant i to trekanter med samme areal.

Medianerne af en trekant skærer hinanden i et punkt, som deler hver af dem i forholdet 2:1, tællet fra toppunktet. Dette punkt kaldes tyngdepunkt trekant.

Hele trekanten er opdelt med sine medianer i seks lige store trekanter.

Bisector

Halvere(fra latin bis - to gange og seko - cut) er de lige linjestykker indesluttet i en trekant, der halverer dens vinkler (se fig. 4).

For at konstruere en halveringslinje skal du udføre følgende trin:

1) konstruer en stråle, der kommer ud fra vinklens toppunkt og deler den i to lige store dele (halveringslinjen af ​​vinklen);

2) find skæringspunktet for halveringspunktet for trekantens vinkel med den modsatte side;

3) vælg et segment, der forbinder trekantens toppunkt med skæringspunktet på den modsatte side.

Egenskaber for trekanthalveringslinjer

Halveringslinjen af ​​en vinkel i en trekant deler den modsatte side i forholdet lig med forholdet to tilstødende sider.

Halvere indvendige hjørner trekanter skærer hinanden i et punkt. Dette punkt kaldes midten af ​​den indskrevne cirkel.

Halveringslinjerne for de indre og ydre vinkler er vinkelrette.

Hvis halveringslinjen af ​​en ydre vinkel i en trekant skærer fortsættelsen den modsatte side, derefter ADBD=ACBC.

Halvledere af en indre og to udvendige hjørner trekanter skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er centrum for en af ​​de tre excirkler denne trekant.

Grundlaget for halveringslinjen af ​​to indre og en ydre vinkel i en trekant ligger på den samme rette linje, hvis halveringslinjen for den ydre vinkel ikke er parallel med trekantens modsatte side.

Hvis halveringslinjerne for de ydre vinkler i en trekant ikke er parallelle med modsatte sider, så ligger deres baser på den samme rette linje.

Trekanthalveringssætning:
Halveringslinjen i en trekant deler sin side med
dele proportional med de to andre sider
EN
1
I
DS
VD
=
AC
AB
2
D
MED
)

Følge:
I ΔABC med siderne AB, BC, AC og
bisector AD, gælder følgende ligheder:
EN
1
I
BC AB
1) DB
,
AC AB
2
BC AC
2) DC
,
AC AB
D
MED

Følgende udsagn vedrører halveringslinjen
AD med sider ΔABC:
Kvadrat for halveringslinjen i en trekant,
trukket fra et hvilket som helst af dets hjørner,
lig med produktet af dens to sider,
EN
udført fra samme top,
minus produktet af segmenterne i den tredje
1
I
2
AD AB AC DB DC
2
D
MED

Egenskab for medianer af en trekant:
Medianerne af en trekant skærer hinanden ved én
punkt, der deler hver median ved
forhold 2:1, regnet fra toppen.
MED
VO JSC
2
=
=
OV1 A1O
1
I 1
A1
OM
EN
I

Givet: ABC, BB1 = 15 cm
Find: VO, OV1
I 1
Opgave 1
MED
5
A1
OM
10
EN
C1
I

Givet: ABC, OB1 = 4 cm
Find: VO, BB1
I 1
Opgave 2
MED
4
A1
OM
8
EN
C1
I

Trekants mediansætning:
Kvadrat af medianen af ​​en trekant tegnet fra
ethvert af dets hjørner er lig med halvdelen af ​​summen
firkanter af dens to sider tegnet fra samme
hjørner, minus en kvart kvadrat af den tredje side
EN
AB AC BC
ER
2
2
4
2
2
2
2
1
2
2
2
ER
2 AB 2 AC BC
2
I
M
MED

Følge:
Summen af ​​kvadraterne af diagonalerne i et parallelogram
lig med summen af ​​kvadraterne af dens sider.
D
MED
AC2+VD2=AV2+BC2+SD2+AD2
AC2+VD2=2АВ2+2ВС2
EN
I

Opgave 3
Trekantens basis er 22 dm,
EN sider 13 dm og 19 dm.
Bestem medianen af ​​basen.
EN
Svar: 12 dm
I
M
MED

Opgave 4
I en trekant er to sider lig med 11
og 23 og medianen af ​​den tredje side er
10. Find en tredjepart
EN
Svar: 30
I
M
MED

Opgave 5
Bestem i trekant ABC
halveringslinje A i næste længde
sider: 1) a = 7, b = 6, c = 8;
EN
2) a = 18, b = 15, c = 12;
1
2
Svar: 1) 6
Svar: 2) 10
I
D
MED

Opgave 6
Siderne af parallelogrammet er 10 og 24,
og en af ​​diagonalerne er lig med 26. Find
længden af ​​den anden diagonal.
D
EN
OM
Svar: 26
I
MED

abstrakt
I trekant ABC bestemmes halveringslinjen for vinkel A
med følgende sidelængder: a = 39, b = 20, c = 45.
spørgsmål 17 – 22 (side 157)
Trekantens sider er 11, 13 og 12. Find
medianen trukket til den længere side.
№32, №
3311 (s.
158)
Sider af et parallelogram
lige
og 23,
og diagonalerne
forholdet er 2:3. Find længderne af diagonalerne
Anmeldelse: områdeformler

Hvis en kandidat planlægger at tage Unified State Exam i matematik basis niveau og stræber efter at få konkurrencedygtige resultater, bør han helt sikkert lære at løse problemer, der kræver at finde højden af ​​en trekant. Lignende planimetriske opgaver støder man på i certificeringstesten fra år til år. Dette betyder, at skolebørn med ethvert uddannelsesniveau skal klare Unified State Examination-problemer, hvor den nødvendige mængde er højden af ​​en trekant.

Nyttig information

Unified State Exam-problemer, der kræver at finde vinklen mellem højden og medianen eller en anden størrelse af en trekant, kan ofte løses ved at genkalde de grundlæggende begreber fra de grundlæggende skoleforløb. Det anbefales at følge specifik algoritme. Lav først en tegning. Plot derefter alle de kendte data på den i henhold til tilstanden. Efter dette er det nødvendigt at bestemme alt geometriske begreber(halveringslinje, median af en trekant osv.), som er kendte, og som skal findes i Unified State Examination-opgaven. Når du har gjort dette, skal du huske de sætninger, der er relateret til dem, og reflektere over tegningen alle forholdet mellem de elementer, der logisk følger af dem. Lad os give et eksempel. Hvis i Unified State Exam opgave begrebet "halveringslinje af en trekants vinkel" kommer op, det er værd at huske dens definition og grundlæggende egenskaber, og derefter finde og reflektere over tegningen lig med eller proportionale segmenter og hjørner.

Hvordan forbereder man sig til eksamen?

Giver opgaver i Unified State-eksamenen om at finde vinklen mellem halveringslinjerne i en trekant, såvel som om beregninger, dig vanskeligheder? Uddannelsesportal"Shkolkovo" vil hjælpe dig med at løse dette problem. Hos os kan du gennemgå materiale om emner, der er svære for dig. Vores specialister har samlet og præsenteret al teoretisk information i den mest tilgængelige og forståelige form.

Til hver opgave på portalen finder du det rigtige svar og en beskrivelse af løsningsalgoritmen. Du kan øve dig med simple øvelser, såvel som med mere komplekse. Kandidater kan øve sig i at løse problemer med at finde vinklen mellem halveringslinjen og medianen af ​​en trekant, som findes i Unified State Examination, online, fra enhver region i Rusland. Efter at have fuldført opgaven har eleverne mulighed for at gemme den i sektionen "Favoritter" og derefter om nødvendigt diskutere den med en lærer på skolen eller en vejleder.

For at løse geometriproblemer, der involverer trekanter, er det vigtigt at forstå en enkel, men vigtig sandhed. Der er et tredje kriterium for trekanters lighed ("på tre sider"), hvoraf det følger, at der ikke er to forskellige trekanter Med identiske sider. Derfor, ved at kende længderne af alle sider af en trekant, kan du finde ud af alt, hvad du har brug for om denne trekant. Inklusive længderne af dens medianer, halveringslinjer og højder. Lad os se mere detaljeret på, hvordan dette kan gøres.

Trekant højdelængdesætning

For at finde længden af ​​højden af ​​en trekant kan du skrive dens areal på to måder. For det første ved at bruge Herons formel, og for det andet som halvdelen af ​​produktet af højden og den base, som den givne højde er tegnet til.

her er trekantens halvomkreds.

Fra en sammenligning af disse formler finder vi:

Bemærk, at dette kun er én måde at finde længden af ​​højden af ​​en trekant langs dens sider, hvilket ikke altid er praktisk. Eksisterer kæmpe variation alternative måder, som læseren kan sætte sig ind i i tidligere lektioner.

Eksempel 1. Det er kendt, at afstanden fra midten af ​​omkredsen til siden AB trekant ABC er lig med halvdelen af ​​radius af denne cirkel. Find højden af ​​trekanten ABC, sænket til siden AB, hvis den (højden) er mindre, og de to andre sider er 2 og 3.

Løsning. Trekant BOA i figuren er ligebenet, derfor ∠ ÅH = ∠ OBH= 30° (ben retvinklet trekant, der ligger modsat en vinkel på 30°, lig med halvdelen hypotenusen). Derefter ∠ BOA og den tilsvarende cirkelbue, som den hviler på, er lig med 120°. Så er den bue, som ∠ BCA hviler på, lig med 240°, hvilket vil sige selve vinklen ∠ BCA = 120°.

Areal af en trekant ABC finder vi ved formlen: Sidelængde AB finder vi at bruge cosinussætningen for en trekant ABC, det er lig med . På den anden side er arealet af en trekant halvdelen af ​​produktet af højden og bunden, som den givne højde er tegnet til. Herfra udtrykker vi den nødvendige højdelængde, der mindre sag med en spids trekant ABC passer ikke. Tjek det selv ud.

Opgave til selvstændig beslutning №1. I en spids trekant ABC B.C. = -en, A.C. = b, ∠ ACB lige med α . Find højden CD og ∠ ABC.

Vis svar

Svar:

Sætning om længden af ​​medianen af ​​en trekant

Medianen af ​​en trekant bestemmes gennem dens tre sider ved hjælp af formlen:

Hvor -en, b, c- sider af trekanten, m a er medianen tiltrukket af -en. Den interesserede læser kan se beviset for denne erklæring i videovejledningen.

Eksempel 2. I en trekant ABC med siden AB= fra toppen B til siden A.C. medianen blev udført B.M.= og højde B.H.= 2. Find siden B.C., hvis det vides, at ∠ B + ∠ C< 90°.

Løsning. Fra analysen af ​​problemforholdene konkluderer vi, at ∠ EN- sløv. Faktisk er summen af ​​alle vinkler i en trekant lig med 180°. Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi længden H.A.= 1. Dernæst finder vi ved hjælp af Pythagoras sætning længden H.M.= 2. Derfor, ER. = H.M. — H.A.= 1. Samtidig ER. = M.C.= 1 (fordi B.M.- median). Så, HC = H.A. + ER. + M.C.= 3. Derfor ved Pythagoras sætning B.C.= . Ved direkte substitution verificerer vi gyldigheden af ​​den tidligere opnåede formel for længden af ​​medianen af ​​en trekant.

Opgave til selvstændig løsning nr. 2. I en trekant ABC medianer trukket til siderne A.C. Og B.C., skærer i rette vinkler. Det er kendt, at A.C. = b, B.C. = -en. Find sidelængden AB.

Vis svar

Svar:

Trekanthalveringslængdesætning

Længden af ​​halveringslinjen i en trekant bestemmes af følgende formel: hvor - halveringslinjen trukket til siden - de segmenter, som halveringslinjen deler den side, der støder op til siderne, i hhv. Den interesserede læser kan se beviset for denne erklæring i videovejledningen.

Løsning. Lad os først finde længderne af segmenterne C.L. Og L.A.. Til dette bruger vi egenskaben for halveringslinjen i en trekant. Halveringslinjen i en trekant brydes den modsatte side i segmenter, der er proportionale med tilstødende sider. Det er C.L.: C.B. = L.A.: B.A. eller C.L.: 4 = L.A.: 8. Også i betragtning af det C.L.+ L.A.= 9, det får vi C.L. = 3, L.A.= 6. Ifølge den tidligere beviste sætning, længden af ​​halveringslinjen B.L. kan findes ved hjælp af følgende formel: B.L. 2 = C.B. · B.A. — C.L. · L.A.= 4 8 - 3 6 = 14. Så, B.L. =

Opgave til selvstændig løsning nr. 3. I en trekant ABC side AB er lig med 21, halveringslinje BD lig med et segment DC er lig med 8. Find trekantens omkreds ABC.

Vis svar