Дадено е доказателство на граничната теорема на Вайерщрас монотонна последователност. Разглеждат се случаите на ограничени и неограничени последователности. Разглежда се пример, в който е необходимо да се докаже, използвайки теоремата на Вайерщрас конвергенция на последователности намерете границата му.
Всяка монотонна ограничена последователност (xn)То има крайна граница, равна на точната горна граница, sup(xn)за ненамаляващо и точно долна граница, inf(xn)за ненарастваща последователност.
Всеки монотонен неограничена последователностТо има безкраен предел, равно на плюс безкрайност за ненамаляваща редица и минус безкрайност за ненарастваща редица.
Доказателство
1) ненамаляващ ограничена последователност .
(1.1)
.
Тъй като последователността е ограничена, тя има тясна горна граница
.
Означава, че:
- за всички n,
(1.2) ;
(1.3) .
.
Тук също използвахме (1.3). Комбинирайки с (1.2), намираме:
при .
От тогава
,
или
при .
Първата част на теоремата е доказана.
2)
Нека сега последователността е ненарастваща ограничена последователност:
(2.1)
за всички n.
Тъй като последователността е ограничена, тя има тясна долна граница
.
Това означава следното:
- за всички n са валидни следните неравенства:
(2.2) ; - за всеки положително число, има число, в зависимост от ε, за което
(2.3) .
.
Тук също използвахме (2.3). Като вземем предвид (2.2), намираме:
при .
От тогава
,
или
при .
Това означава, че числото е границата на последователността.
Втората част на теоремата е доказана.
Сега разгледайте неограничените последователности.
3)
Нека последователността бъде неограничена ненамаляваща последователност.
Тъй като последователността е ненамаляваща, следните неравенства са валидни за всички n:
(3.1)
.
Тъй като последователността е ненамаляваща и неограничена, тя е неограничена с правилната страна. Тогава за всяко число M има число, в зависимост от M, за което
(3.2)
.
Тъй като последователността е ненамаляваща, тогава когато имаме:
.
Тук също използвахме (3.2).
.
Това означава, че границата на последователността е плюс безкрайност:
.
Третата част на теоремата е доказана.
4) И накрая, разгледайте случая, когато неограничена ненарастваща последователност.
Подобно на предишния, тъй като редицата е ненарастваща, тогава
(4.1)
за всички n.
Тъй като редицата е ненарастваща и неограничена, тя е неограничена от лявата страна. Тогава за всяко число M има число, в зависимост от M, за което
(4.2)
.
Тъй като последователността е ненарастваща, тогава когато имаме:
.
И така, за всяко число M има такова естествено число, в зависимост от M, така че за всички числа са валидни следните неравенства:
.
Това означава, че границата на редицата е равна на минус безкрайност:
.
Теоремата е доказана.
Пример за решение на проблем
Използвайки теоремата на Вайерщрас, докажете сходимостта на редицата:
,
,
. . . ,
,
. . .
След това намерете неговата граница.
Нека представим последователността под формата на повтарящи се формули:
,
.
Нека докажем това дадена последователностограничен по-горе от стойността
(P1) .
Извършваме доказателството с помощта на метода математическа индукция.
.
Позволявам . Тогава
.
Неравенството (A1) е доказано.
Нека докажем, че последователността нараства монотонно.
;
(P2) .
Тъй като , тогава знаменателят на дробта и първият фактор в числителя са положителни. Поради ограничението на членовете на редицата от неравенство (A1), вторият фактор също е положителен. Ето защо
.
Тоест последователността е строго нарастваща.
Тъй като последователността е нарастваща и ограничена отгоре, тя е ограничена последователност. Следователно, според теоремата на Вайерщрас, той има граница.
Нека намерим тази граница. Нека го обозначим с:
.
Нека използваме факта, че
.
Нека приложим това към (A2), използвайки аритметичните свойства на границите на конвергентни последователности:
.
Условието е изпълнено от корена.
Определение 1. Последователността се извиква намаляващи
(ненарастващ
), ако за всички 
неравенството е в сила 
.
Определение 2. Консистенция 
Наречен повишаване на
(ненамаляващ
), ако за всички 
неравенството е в сила 
.
Определение 3. Наричат се намаляваща, ненарастваща, нарастваща и ненамаляваща редица монотонен последователности, намаляващи и нарастващи последователности също се наричат строго монотонен последователности.
Очевидно ненамаляваща редица е ограничена отдолу, а ненарастваща редица е ограничена отгоре. Следователно всяка монотонна последователност е очевидно ограничена от едната страна.
Пример 1. Последователност 
увеличава, не намалява, 
намалява 
не се увеличава 
– немонотонна последователност.
За монотонни последователности следното играе важна роля:
Теорема 1. Ако ненамаляваща (ненарастваща) редица е ограничена отгоре (отдолу), тогава тя се събира.
Доказателство. Нека последователността 
не намалява и е ограничен отгоре, т.е. 
и много 
ограничено отгоре. По теорема 1 § 2 има 
. Нека докажем това 
.
Да вземем 
произволно. Тъй като А– точна горна граница, има число н
такова, че 
. Тъй като последователността е ненамаляваща, тогава за всички 
имаме, т.е. 
, Ето защо 
за всички 
, а това означава, че 
.
За ненарастваща последователност, ограничена отдолу, доказателството е подобно на ( учениците могат сами да докажат това твърдение у дома). Теоремата е доказана.
Коментирайте. Теорема 1 може да се формулира по различен начин.
Теорема 2. За да се сближи една монотонна редица е необходимо и достатъчно тя да бъде ограничена.
Достатъчността се установява в теорема 1, необходимостта – в теорема 2 на § 5.
Условието за монотонност не е необходимо за конвергенцията на последователност, тъй като конвергентната последователност не е непременно монотонна. Например последователността 
не е монотонна, а се свежда до нула.
Последица. Ако последователността 
увеличава (намалява) и се ограничава отгоре (отдолу), тогава 
(
).
Наистина, по теорема 1 
(
).
Определение 4. Ако 
при 
, тогава последователността се извиква система за свиване на вложени сегменти
.
Теорема 3 (принцип на вложените сегменти). Всяка система за свиване на вложени сегменти има, освен това, уникална точка с, принадлежащи към всички сегменти на тази система.
Доказателство. Нека докажем това ссъществува. Тъй като 
, Че 
и следователно последователността 
не намалява, а последователността 
не се увеличава. При което 
И 
ограничен, защото. Тогава, съгласно теорема 1, съществуват 
И 
, но тъй като 
, Че 
=
. Намерена точка спринадлежи на всички сегменти на системата, тъй като по следствие от теорема 1 
,
, т.е. 
за всички стойности н.
Нека сега покажем, че точката с- единствения. Да приемем, че има две такива точки: сИ ди нека за сигурност 
. След това сегментът 
принадлежи към всички сегменти 
, т.е. 
за всички н, което е невъзможно, тъй като 
и следователно, започвайки от определено число, 
. Теоремата е доказана.
Обърнете внимание, че същественото тук е, че се разглеждат затворени интервали, т.е. сегменти. Ако разгледаме система от съкращаващи интервали, тогава принципът е най-общо казано неправилен. Например интервали 
, очевидно се свиват до точка 
, но точка 
не принадлежи към нито един интервал от тази система.
Нека сега разгледаме примери за конвергентни монотонни последователности.
1) Число д.
Нека сега разгледаме последователността 
. Как се държи? База
степени 
, Ето защо 
? От друга страна, 
, А 
, Ето защо 
? Или няма ограничение?
За да отговорите на тези въпроси, разгледайте спомагателната последователност 
. Нека докажем, че тя намалява и е ограничена отдолу. В същото време ще ни трябва
Лема. Ако 
, след това за всички природни стойности нние имаме
(неравенството на Бернули).
Доказателство. Нека използваме метода на математическата индукция.
Ако 
, Че 
, т.е. неравенството е вярно.
Да приемем, че е вярно за 
и докаже своята валидност за 
+1.
вярно 
. Нека умножим това неравенство по 
:
По този начин, . Това означава, че според принципа на математическата индукция неравенството на Бернули е вярно за всички естествени стойности н. Лемата е доказана.
Нека покажем, че последователността 
намалява. Ние имаме
неравенството на бернули 
, а това означава, че последователността 
намалява.
Ограничеността отдолу следва от неравенството 
неравенството на бернули 
за всички природни ценности н.
По теорема 1 има 
, което се означава с буквата д. Ето защо 
.
Номер дирационално и трансцендентално, д= 2,718281828… . Както е известно, това е основата на естествените логаритми.
Бележки. 1) Неравенството на Бернули може да се използва за доказване на това 
при 
. Наистина, ако 
, Че 
. Тогава, според неравенството на Бернули, с 
. Следователно, при 
ние имаме 
, това е 
при 
.
2) В примера, обсъден по-горе, основата на степента 
клони към 1, а показателят н- Да се 
, тоест има несигурност на формата 
. Несигурност от този вид, както показахме, се разкрива от забележителната граница 
.
2)
(*)
Нека докажем, че тази последователност се събира. За да направим това, показваме, че той е ограничен отдолу и не се увеличава. В този случай използваме неравенството 
за всички 
, което е следствие от неравенството 
.
Ние имаме 
виж неравенството е по-високо 
, т.е. последователността е ограничена отдолу с числото 
.
Освен това, 
оттогава 
, т.е. последователността не се увеличава.
По теорема 1 има 
, което обозначаваме х. Преминаване в равенство (*) до границата при 
, получаваме
, т.е. 
, където 
(взимаме знака плюс, тъй като всички членове на редицата са положителни).
При изчислението се използва последователността (*). 
приблизително. Отзад 
вземете произволно положително число. Например, да намерим 
. Позволявам 
. Тогава 
,. По този начин, 
.
3)
.
Ние имаме 
. Тъй като 
при 
, има номер н, така че за всички 
неравенството е в сила 
. Така че последователността 
, започвайки от някакво число н, намалява и е ограничен отдолу, тъй като 
за всички стойности н. Това означава, че по теорема 1 има 
. Тъй като 
, ние имаме 
.
Така, 
.
4)
, на дясно - н
корени
С помощта на метода на математическата индукция ще покажем това 
за всички стойности н. Ние имаме 
. Позволявам 
. Тогава оттук получаваме твърдение, основано на принципа на математическата индукция. Използвайки този факт, намираме, т.е. подпоследователност 
нараства и е ограничен отгоре. Следователно съществува, защото 
.
По този начин, 
.