Определение: ако всички н є н, съобразен х н є Н,тогава те казват това
форма числови подпоследователност.
- членове последователности
- общ член последователности
Въведената дефиниция предполага, че всяка числова последователност трябва да бъде безкрайна, но не означава, че всички членове трябва да са различни числа.
Разглежда се числовата последователност дадено, ако е посочен закон, по който може да бъде намерен всеки член на последователността.
Членове или елементи на последователност (1) номерирани с всички естествени числа във възходящ ред. За n+1 > n-1 членът следва (предхожда) члена, независимо дали самото число е по-голямо, по-малко или дори равно на числото.
Определение: променлива x, която приема някаква последователност (1) стойности, ние – следвайки Мерай (гл. Мерай) – ще извикаме опция.
В училищен курс по математика можете да намерите променливи точно от този тип, като опции.
Например последователност като
(аритметика) или тип
(геометрична прогресия)
Променливият срок на една или друга прогресия е опция.
Във връзка с определянето на дължината на окръжност обикновено разглеждаме периметъра на правилен многоъгълник, вписан в окръжността, получен от шестоъгълник чрез последователно удвояване на броя на страните. Така тази опция приема следната последователност от стойности:
Нека споменем и десетичното приближение (по недостатък) до, с нарастваща точност. Приема последователност от стойности:
и също така представя опцията.
Променливата x, преминаваща през последователността (1), често се означава с, идентифицирайки я с променливата („общ“) член на тази последователност.
Понякога опцията x n се указва чрез директно посочване на израза за x n ; така че в случай на аритметична или геометрична прогресия имаме съответно x n =a+(n-1) d или x n =aq n-1. Използвайки този израз, можете незабавно да изчислите всяка стойност на вариант въз основа на даденото му число, без да изчислявате предишни стойности.
За периметъра на правилен вписан многоъгълник такъв общ израз е възможен само ако въведем числото p; като цяло периметърът p m на правилен вписан m-ъгълник се дава с формулата
Дефиниция 1: За числова последователност (x n) се казва, че е ограничена отгоре (отдолу), ако съществува такова число М (T), че за всеки елемент от тази редица има неравенство и се нарича числото M (m). Горна част (нисък) ръб, край.
Определение 2: Числова последователност (x n) се нарича ограничена, ако е ограничена както отгоре, така и отдолу, т.е. съществуват M, m, такива, че за всяко
Нека означим A = max (|M|, |m|), тогава е очевидно, че числовата редица ще бъде ограничена, ако за всяко равенство |x n |? И последното неравенство е условието за ограниченост на числовата редица .
Определение 3: извиква се числова последователност безкрайно голямпоследователност, ако за всяко A>0, можете да посочите число N, така че за всички n>N ||>A да е валидно.
Определение 4: извиква се числовата редица (b n). безкрайно малъкпоследователност, ако за всяко дадено e > 0, можете да посочите число N(e), така че за всяко n > N(e) неравенството | b n |< е.
Определение 5: извиква се числовата последователност (x n). конвергентен, ако има число a такова, че редицата (x n - a) е безкрайно малка редица. В същото време, a- лимит оригинален числови последователности.
От това определение следва, че всички безкрайно малки последователности са конвергентни и границата на тези последователности е = 0.
Поради факта, че концепцията за конвергентна последователност е свързана с концепцията за безкрайно малка последователност, дефиницията на конвергентна последователност може да бъде дадена в друга форма:
Определение 6: извиква се числовата последователност (x n). конвергентенна число a, ако за всяко произволно малко има такова, че за всички n > N неравенството
a е границата на последователността
защото е еквивалентен, а това означава, че принадлежи на интервала x n є (a - e; a+ e) или, което е същото, принадлежи на e - околността на точка a. Тогава можем да дадем друга дефиниция на конвергентна числова последователност.
Определение 7: извиква се числовата последователност (x n). конвергентен, ако има точка a такава, че във всяка достатъчно малка e-околност на тази точка има елементи от тази последователност, започвайки от някакво число N.
Забележка: съгласно дефиниции (5) и (6), ако a е границата на редицата (x n), тогава x n - a е елемент от безкрайно малка редица, т.е. x n - a = b n, където b n е елемент от безкрайно малка редица. Следователно x n = a + b n и тогава имаме право да твърдим, че ако една числова последователност (x n) се сближава, тогава тя винаги може да бъде представена като сума от нейната граница и елемент от безкрайно малка последователност.
Обратното твърдение също е вярно: ако всеки елемент от редицата (x n) може да бъде представен като сума от постоянно число и елемент от безкрайно малка редица, тогава тази константа е лимит дадено последователности.
Определение 8. Последователност Не увеличава (не намалява), ако за.
Определение 9. Последователност се увеличава (намалява), ако за.
Определение 10. Нарича се строго нарастваща или строго намаляваща редица монотонен последователност.
Дадено е доказателство на теоремата на Вайерщрас за границата на монотонна редица. Разглеждат се случаите на ограничени и неограничени последователности. Разглежда се пример, в който е необходимо, използвайки теоремата на Вайерщрас, да се докаже сходимостта на редица и да се намери нейната граница.
СъдържаниеВижте също: Граници на монотонни функции
Всяка монотонна ограничена последователност (xn)има крайна граница, равна на точната горна граница, sup(xn)за ненамаляваща и точна долна граница, inf(xn)за ненарастваща последователност.
Всяка монотонна неограничена последователност има безкрайна граница, равна на плюс безкрайност за ненамаляваща последователност и минус безкрайност за ненарастваща последователност.
Доказателство
1) ненамаляваща ограничена редица.
(1.1)
.
Тъй като последователността е ограничена, тя има крайна горна граница
.
Означава, че:
- за всички n,
(1.2) ; - за всяко положително число има число, зависещо от ε, така че
(1.3) .
.
Тук също използвахме (1.3). Комбинирайки с (1.2), намираме:
при .
От тогава
,
или
при .
Първата част на теоремата е доказана.
2)
Нека сега последователността е ненарастваща ограничена последователност:
(2.1)
за всички n.
Тъй като последователността е ограничена, тя има крайна долна граница
.
Това означава следното:
- за всички n са валидни следните неравенства:
(2.2) ; - за всяко положително число има число, в зависимост от ε, за което
(2.3) .
.
Тук също използвахме (2.3). Като вземем предвид (2.2), намираме:
при .
От тогава
,
или
при .
Това означава, че числото е границата на последователността.
Втората част на теоремата е доказана.
Сега разгледайте неограничените последователности.
3)
Нека последователността бъде неограничена ненамаляваща последователност.
Тъй като последователността е ненамаляваща, следните неравенства са валидни за всички n:
(3.1)
.
Тъй като редицата е ненамаляваща и неограничена, тя е неограничена от дясната страна. Тогава за всяко число M има число, в зависимост от M, за което
(3.2)
.
Тъй като последователността е ненамаляваща, тогава когато имаме:
.
Тук също използвахме (3.2).
.
Това означава, че границата на последователността е плюс безкрайност:
.
Третата част на теоремата е доказана.
4) И накрая, разгледайте случая, когато неограничена ненарастваща последователност.
Подобно на предишния, тъй като редицата е ненарастваща, тогава
(4.1)
за всички n.
Тъй като редицата е ненарастваща и неограничена, тя е неограничена от лявата страна. Тогава за всяко число M има число, в зависимост от M, за което
(4.2)
.
Тъй като последователността е ненарастваща, тогава когато имаме:
.
И така, за всяко число M има естествено число, зависимо от M, така че за всички числа са валидни следните неравенства:
.
Това означава, че границата на редицата е равна на минус безкрайност:
.
Теоремата е доказана.
Пример за решение на проблем
Всички примери Използвайки теоремата на Вайерщрас, докажете сходимостта на редицата:
,
,
. . . ,
,
. . .
След това намерете неговата граница.
Нека представим последователността под формата на повтарящи се формули:
,
.
Нека докажем, че дадената последователност е ограничена отгоре от стойността
(P1) .
Доказателството се извършва с помощта на метода на математическата индукция.
.
Позволявам . Тогава
.
Неравенството (A1) е доказано.
Нека докажем, че последователността нараства монотонно.
;
(P2) .
Тъй като , тогава знаменателят на дробта и първият фактор в числителя са положителни. Поради ограничението на членовете на редицата от неравенство (A1), вторият фактор също е положителен. Ето защо
.
Тоест последователността е строго нарастваща.
Тъй като последователността е нарастваща и ограничена отгоре, тя е ограничена последователност. Следователно, според теоремата на Вайерщрас, той има граница.
Нека намерим тази граница. Нека го обозначим с a:
.
Нека използваме факта, че
.
Нека приложим това към (A2), използвайки аритметичните свойства на границите на конвергентни последователности:
.
Условието е изпълнено от корена.