Динамика на колебателното движение на примера на пружинно махало. Презентация по физика на тема „Свободни и принудени вибрации

Математическото махало е модел на обикновено махало. Математическото махало е материална точка, окачена на дълга безтегловна и неразтеглива нишка.

Нека изведем топката от равновесното й положение и я пуснем. Две сили ще действат върху топката: гравитацията и напрежението на нишката. Когато махалото се движи, силата на въздушно триене все още ще действа върху него. Но ще го считаме за много малък.

Нека разделим силата на гравитацията на две компоненти: сила, насочена по нишката, и сила, насочена перпендикулярно на допирателната към траекторията на топката.

Тези две сили се събират в силата на гравитацията. Еластичните сили на нишката и гравитационният компонент Fn придават на топката центростремително ускорение. Работата, извършена от тези сили, ще бъде нула и следователно те ще променят само посоката на вектора на скоростта. Във всеки момент от времето тя ще бъде насочена тангенциално към дъгата на окръжността.

Под въздействието на гравитационния компонент Fτ топката ще се движи по кръгова дъга с нарастваща по големина скорост. Стойността на тази сила винаги се променя по големина при преминаване през равновесното положение, тя е равна на нула.

Динамика на колебателното движение

Уравнение на движение на тяло, което се колебае под действието на еластична сила.

Общо уравнение на движението:

Вибрациите в системата възникват под въздействието на еластична сила, която според закона на Хук е правопропорционална на преместването на товара

Тогава уравнението на движение на топката ще приеме следната форма:

Разделете това уравнение на m, получаваме следната формула:

И тъй като масата и коефициентът на еластичност са постоянни стойности, тогава отношението (-k/m) също ще бъде постоянно. Получихме уравнение, което описва трептенията на тялото под действието на еластична сила.

Проекцията на ускорението на тялото ще бъде право пропорционална на неговата координата, взета с обратен знак.

Уравнение на движение на математическо махало

Уравнение на движението математическо махалосе описва със следната формула:

Това уравнение има същата форма като уравнението за движение на маса върху пружина. Следователно трептенията на махалото и движенията на топката върху пружината се извършват по същия начин.

Преместването на топката върху пружината и изместването на тялото на махалото от равновесното положение се променят във времето по едни и същи закони.

ЛЕКЦИЯ № 8

Механика

трептения

Осцилаторно движение. Кинематични и динамични характеристики трептящо движение. Математическо, физическо и пружинно махало.

Живеем в свят, в който осцилаторните процеси са неразделна част от нашия свят и се срещат навсякъде.

Осцилаторният процес или трептенето е процес, характеризиращ се с различна степен на повторяемост.

Ако осцилиращо количество повтаря стойностите си на равни интервали от време, тогава такива колебания се наричат ​​периодични и тези интервали от време се наричат ​​период на колебание.

В зависимост от физическата природа на явлението се разграничават вибрациите: механични, електромеханични, електромагнитни и др.

Трептенията са широко разпространени в природата и технологиите. Осцилаторните процеси са в основата на някои клонове на механиката. В този курс от лекции ще говорим само за механични вибрации.

В зависимост от характера на въздействието върху трептението се разграничават трептения: 1. Свободни или собствени, 2. Принудени трептения, 3. Автоколебания, 4. Параметрични трептения.

Свободните вибрации са вибрации, които възникват без външно влияние и са причинени от първоначален „тласък“.

Принудените трептения възникват под въздействието на периодична външна сила

Собствените трептения възникват и под въздействието на външна сила, но моментът на въздействие на силата върху системата се определя от самата трептителна система.

При параметричните колебания, поради външни въздействия, възниква периодична промяна в параметрите на системата, което предизвиква този вид колебания.

Най-простата форма са хармонични вибрации

Хармоничните трептения са вибрации, които възникват според законагрях илиcos . Пример за хармонични трептения е трептенето на математическо махало

Максималното отклонение на осцилиращо количество по време на процеса на трептене се нарича амплитуда на трептенията(А) . Времето, необходимо за извършване на едно пълно трептене, се нарича период на трептене(Т) . Реципрочната стойност на периода на трептене се нарича честота на вибрация(). Често се наричат ​​вибрации, умножени по 2циклична честота

(). Така хармоничните вибрации се описват с израза (тук+ 0 ) t 0 фаза на трептене и

Най-простите механични трептящи системи са така наречените математически, пружинни и физически махала. Нека разгледаме тези махала по-подробно

8.1. Математическо махало

Математическото махало е осцилаторна система, състояща се от масивно точково тяло, окачено в поле на гравитация върху неразтеглива безтегловна нишка.

В долната точка махалото има минимална потенциална енергия. Нека отклоним махалото под ъгъл . Центърът на тежестта на масивно точково тяло ще се издигне на височина чи в същото време потенциалната енергия на махалото ще се увеличи с количеството мгч. Освен това, в отклонено положение, товарът се влияе от гравитацията и напрежението на конеца. Линиите на действие на тези сили не съвпадат и върху товара действа резултантна сила, която се стреми да го върне в равновесно положение. Ако товарът не се задържи, тогава под въздействието на тази сила той ще започне да се движи в първоначалното си равновесно положение, кинетичната му енергия ще се увеличи поради увеличаване на скоростта, докато потенциалната енергия ще намалее. Когато се достигне точката на равновесие, получената сила вече няма да действа върху тялото (силата на гравитацията в тази точка се компенсира от силата на опън на нишката). Потенциалната енергия на тялото в този момент ще бъде минимална, а кинетичната енергия, напротив, ще има своя собственамаксимална стойност . Тялото, движейки се по инерция, ще премине равновесното положение и ще започне да се отдалечава от него, което ще доведе до възникване на резултатна сила (от силата на напрежението и гравитацията), която ще бъде насочена срещу движението на тялото. , спирайки го. В същото време кинетичната енергия на товара започва да намалява и неговатапотенциална енергия

. Този процес ще продължи, докато запасите от кинетична енергия бъдат напълно изчерпани и преобразувани в потенциална енергия. В този случай отклонението на товара от равновесното положение ще достигне максималната си стойност и процесът ще се повтори. Ако в системата няма триене, товарът ще осцилира неограничено. По този начин осцилаторните механични системи се характеризират с факта, че когато се отклоняват от равновесното положение, в системата възниква възстановяваща сила, стремяща се да върне системата в равновесно положение. В този случай възникват вибрации, придруженипериодичен преход

потенциалната енергия на системата в нейната кинетична енергия и обратно. Нека изчислимколебателен процес . момент на силаМ - действащо върху махалото е очевидно равно на Знакът минус отразява факта, че моментът на сила се стреми да върне товара в равновесно положение. От друга страна, според основния закон на въртеливото движение М=ID 2 / дт 2 . Така получаваме равенството

б
Ще разгледаме само малки ъгли на отклонение на махалото от равновесното положение. Тогава грях ≈ . И нашето равенство ще приеме формата:

г
За математическото махало е вярно аз= мл 2 . Замествайки това равенство в получения израз, получаваме уравнение, описващо процеса на трептене на математическо махало:

Това диференциално уравнение описва осцилаторния процес. Решението на това уравнение е хармонични функции грях(тук+ 0 ) или cos (тук+ 0 ) Наистина, заместваме която и да е от тези функции в уравнението и получаваме: 2 = ж/ л. По този начин, ако това условие е изпълнено, тогава функциите грях(тук+ 0 ) или cos(тук+ 0 ) трансформира диференциалното уравнение на трептенията в идентичност.

ЗА
Тук цикличната честота и периодът на трептене на хармонично махало се изразява като:

Амплитудата на трептенията се намира от начални условиязадачи.

Както виждаме, честотата и периодът на трептене на математическото махало не зависи от масата на товара и зависи само от ускорението на свободното падане и дължината на нишката на окачването, което позволява махалото да се използва като просто, но много точно устройство за определяне на ускорението на свободното падане.

Друг вид махало е всяко физическо тяло, окачено в някаква точка на тялото и имащо способността да извършва осцилаторно движение.

8.2. Физическо махало

IN Да вземем произволно тяло, да го пробием в някаква точка с ос, която не съвпада с неговия център на масата, около която тялото може свободно да се върти. Нека окачим тялото на тази ос и го отклоним от равновесното положение под определен ъгъл .

Т
когато върху тяло с инерционен момент азспрямо оста ЗАще има момент на връщане в равновесно положение М = - действащо върху махалото е очевидно равно на и колебания физическо махалоподобно на математическото, те ще бъдат описани с диференциално уравнение:

Тъй като за различните физически махала инерционният момент ще бъде изразен по различен начин, ние няма да го описваме като в случая на математическо махало. Това уравнение също има формата на уравнение на трептенията, чието решение са функциите, описващи хармоничните трептения. В този случай цикличната честота () , период на трептене (Т)се определят като:

Виждаме, че при физическото махало периодът на трептене зависи от геометрията на тялото на махалото, а не от неговата маса, както е при математическото махало. Действително изразът за инерционния момент включва масата на махалото на първа степен. Инерционният момент в израза за периода на трептене е в числителя, докато масата на махалото е в знаменателя и също на първа степен. Така масата в числителя се съкращава с масата в знаменателя.

Физическото махало има още една характеристика: намалена дължина.

Намалената дължина на физическото махало е дължината на математическото махало, чийто период съвпада с периода на физическото махало.

Тази дефиниция улеснява дефинирането на израз за дадена дължина.

Сравнявайки тези изрази, получаваме

Ако върху линия, прекарана от точката на окачване през центъра на масата на физическото махало, начертаем (започвайки от точката на окачване) намалената дължина на физическото махало, тогава в края на този сегмент ще има точка, която има забележителен имот. Ако физическо махало е окачено от тази точка, тогава неговият период на трептене ще бъде същият, както в случай на окачване на махалото в предишната точка на окачване. Тези точки се наричат ​​центрове на люлеене на физическото махало.

Нека разгледаме друга проста осцилаторна система, която извършва хармонични трептения

8.3. Пружинно махало

П Нека си представим, че в края на пружина с коефициент на коравина ке прикрепен товар от маса м.

Ако преместим товара по оста x чрез разтягане на пружината, тогава върху товара ще действа сила, която се връща в равновесно положение Е връщане = - kx. Ако товарът се освободи, тази сила ще предизвика ускорение d 2 х / дт 2 . Според втория закон на Нютон получаваме:

md 2 х / дт 2 = - kxот това уравнение получаваме уравнението за трептене на товар върху пружина в неговата крайна форма: d 2 х / дт 2 + (к/ м) х = 0

д
тогава уравнението на трептенията има същата форма като уравненията на трептенията във вече разгледаните случаи, което означава, че решението на това уравнение ще бъде същите хармонични функции. Честотата и периодът на трептенията ще бъдат съответно равни

Освен това гравитацията по никакъв начин не влияе на вибрациите пружинно махало. Тъй като в случая това е постоянно действащ фактор, действащ през цялото време в една посока и нямащ нищо общо с възстановяващата сила.

По този начин, както виждаме осцилаторния процес в механична осцилаторна система, той се характеризира предимно с присъствието в системата възстановяваща силадействащи върху системата, а самите трептения се характеризират с: амплитуда на трептенията, техния период, честота и фаза на трептенията.



белите дробове

сърце


Тема на урока: „Безплатно и принудени трептения. Динамика на колебателното движение".


  • Механични вибрации – това са движения, които се повтарят точно или приблизително през определени интервали от време.

Основни видове вибрации

принудени

безплатно

наричат ​​вибрации на телата под въздействието на външни периодично променящи се сили.

наречени трептения в система под влияние вътрешни сили, след като системата е била извадена от равновесие и след това оставена на произвола.


Махало - тяло, окачено на нишка или фиксирано към ос, което може да се колебае под въздействието на гравитацията

Видове махала

Пролет- тяло, окачено на пружина и трептящо под действието на еластичната сила на пружината.

Математически (нишка)е материална точка, окачена на безтегловна и неразтеглива нишка.



Условия за възникване на трептения

  • Когато тялото се извади от равновесно положение, в системата възниква сила, насочена към равновесното положение и следователно стремяща се да върне тялото в равновесно положение.
  • Триенето в системата трябва да е доста ниско.


  • Амплитуда – модул на най-голямото преместване на тялото от равновесното положение.

X макс или А

Измерва се в метри


  • Точка Т – времето на едно пълно трептене.

Измерено в секунди

Период на трептене

За математика

махало

За пролетта

махало

(формула на Хюйгенс)


Честота - броя на пълните трептения за единица време.

Измерва се в Херц

Измерва се в радиани за секунда


Свят на колебания

  • Трептенията са един от най-често срещаните процеси в природата и техниката.
  • крила на насекоми и птици в полет,
  • високи сгради и проводници с високо напрежение, изложени на вятър,
  • махало на навит часовник и кола на пружини по време на каране
  • ниво на реката през цялата година и температура човешкото тялов случай на заболяване.

Малко история...

Галилео Галилей (1564-1642)

Големият италиански учен е един от създателите на точното естествознание.

Един ден в църквата тойГледах как огромният полилей се люлее и измервах времето по пулса си. По-късно той открива, че времето, необходимо за веднъж завъртане, зависи от дължината на махалото - времето се намалява наполовина, ако махалото се скъси с три четвърти.


Малко история...

Най-известен практическа употребаИзползването на махало в часовник за измерване на времето. Това е направено за първи път от холандския физик Х. Хюйгенс. Ученият се занимава със задачата да създава и подобрява часовниците, предимно тези с махало, в продължение на почти четиридесет години: от 1656 до 1693 г. Хюйгенс извежда формула за определяне на периода на колебание на математическото махало. Преди това времето се измерваше с потока вода, горенето на факла или свещ.


Махалото на Фуко

През 1850 г. Ж. Фуко окачи махало под купола висока сградатака че върхът на махалото, когато се люлееше, оставяше следа върху пясъка, изсипан на пода. Оказа се, че при всяко търкаляне върхът оставя нова следа в пясъка.

Така експериментът на Фуко показа, че Земята се върти около оста си.


Първоначално експериментът е проведен в тесен кръг, но Наполеон беше толкова заинтересован III, френският император, че той предлага на Фуко то да бъде повторено публично в голям мащаб под купола на Пантеона в Париж. Тази публична демонстрация обикновено се нарича експеримент на Фуко.


В геологията махалото се използва за експериментално определяне числова стойност ж V различни точки земната повърхност. Достатъчно за това голям бройтрептения на махалото в мястото, където се измерват ж , намерете периода на неговите трептения T, и ж изчислено по формулата:

Забележимо отклонение в стойността жот нормата за всяка област се нарича гравитационна аномалия. Откриването на аномалии помага за локализирането на минерални находища.


Лабораторна работа„Определение на ускорението свободно паданеизползване на махало"

Цел на работата: Научете се експериментално да измервате ускорението на свободното падане с помощта на математическо махало.

Оборудване: статив, топка на връв, часовник, линийка.


От трите предложени стиха изберете един, който характеризира вашето състояние в края на урока .

1. Очите блестят Душата се смее И умът ми пее: „Напред към знанието”!

2. Днес не съм щастлив В тишината ми стана тъжно, Всичко за колебанията проблясва в далечината.

3. Запомняне на всичко вашите знания, И физиците разбират света, Благодарен съм на майчината съдба, Че в света има колебания

и не можем да ги преброим всички!


>> Динамика на колебателното движение

§21 ДИНАМИКА НА ВИБРАЦИОННОТО ДВИЖЕНИЕ

За да опишем количествено вибрациите на тялото под действието на еластичната сила на пружина или вибрациите на топка, окачена на нишка, използваме законите на механиката на Нютон.

Уравнение на движение на тяло, което се колебае под действието на еластична сила.Според втория закон на Нютон произведението от масата на тялото m и неговото ускорение е равно на резултата от всички сили, приложени към тялото:

Разделяйки лявата и дясната страна на това уравнение на m, получаваме

По-рано се предполагаше, че ъглите на отклонение на нишката на махалото от вертикалата могат да бъдат всякакви. В бъдеще ще ги смятаме за малки. За малки ъгли, ако ъгълът се измерва в радиани,


Ако ъгълът е малък, тогава проекцията на ускорението е приблизително равна на проекцията на ускорението върху оста OX: (виж фиг. 3.5). От триъгълник ABO за малък ъгъл a имаме:

Замествайки този израз в равенството (3.8) вместо ъгъла , получаваме

Това уравнение има същата форма като уравнение (3.4) за ускорението на топка, прикрепена към пружина. Следователно решението на това уравнение ще има същата форма като решението на уравнение (3.4). Това означава, че движението на топката и трептенията на махалото се извършват по един и същи начин. Преместванията на топката върху пружината и тялото на махалото от равновесните положения се променят с времето по един и същ закон, въпреки факта, че силите, причиняващи трептенията, са различни физическа природа. Като умножим уравнения (3.4) и (3.10) по m и си спомним втория закон на Нютон ma x = Fх res, можем да заключим, че трептенията в тези два случая възникват под въздействието на сили, чиято резултантна е правопропорционална на изместването на трептящото тяло от равновесното положение и се насочва към страната, противоположна на това изместване.

Уравнение (3.4), подобно на (3.10), очевидно е много просто: ускорението е право пропорционално на координатата (отместване от равновесното положение).

Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашни спорни въпроси риторични въпросиот студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза една година методически препоръкидискусионни програми Интегрирани уроци

За да опишем количествено вибрациите на тялото под действието на еластичната сила на пружина или вибрациите на топка, окачена на нишка, използваме законите на механиката на Нютон. Уравнение на движение на тяло, което се колебае под действието на еластични сили. Съгласно втория закон на Нютон, произведението от масата на тялото m и ускорението a е равно на резултантната F от всички сили, приложени към тялото: Нека напишем уравнението на движение на топка, която се движи праволинейно по хоризонтала под действието на ластика сила F на пружината (виж фиг. 56). Нека насочим оста Окс надясно. Нека началото на координатите съответства на равновесното положение (виж фиг. 56, а). В проекции върху оста Ox, уравнение (3.1) ще бъде записано, както следва: max = Fxynp, където ax и Fxyn са съответно проекции на ускорение и еластична сила. Според закона на Хук проекцията Fx е правопропорционална на изместването на топката от равновесното й положение. Преместването е равно на координатата x на топката, а проекцията на силата и координатата имат противоположни знаци(виж фиг. 56, b, c). Следователно, Fx m=~kx, (3.2) където k е твърдостта на пружината. Тогава уравнението на движение на топката ще приеме формата: max=~kx. (3.3) Разделяйки лявата и дясната страна на уравнение (3.3) на m, получаваме a = - - x. + (3.4) x m v " Тъй като масата m и коравината k са постоянни величини, тяхното съотношение - " k отношение също е постоянен. t Получихме уравнението на движение на тяло, което се колебае под действието на еластична сила. Много е просто: проекционната ос на ускорението на тялото е право пропорционална на неговата координата x, взета с обратен знак. Уравнение на движение на математическо махало. Когато една топка трепти върху неразтеглива нишка, тя непрекъснато се движи по дъга от окръжност, чийто радиус е равен на дължинатанишки/. Следователно положението на топката във всеки момент от времето се определя от една величина - ъгълът a на отклонение на нишката от вертикалата. Ще считаме, че ъгъл a е положителен, ако махалото е наклонено надясно от равновесното положение, и отрицателен, ако е наклонено наляво (виж фиг. 58). Допирателната към траекторията ще се счита за насочена към референтния положителен ъгъл. Нека означим проекцията на гравитацията върху допирателната към траекторията на махалото с Fz. Тази проекция в момента, когато нишката на махалото се отклони от равновесното положение под ъгъл a, се изразява по следния начин: Fl=-Fs\na=-mgs"ma. (3.5) Тук знакът "-" е, защото Fx и a При отклонение на махалото надясно (a>0) компонентата Fx на силата на гравитацията е насочена наляво и нейната проекция е отрицателна: Fx 0. Нека означим проекцията на ускорението на махалото по допирателната към неговата траектория през aT Тази проекция характеризира скоростта на изменение на скоростта на махалото. Разделяйки лявата част на това уравнение на m, получаваме jf ~-g sin a. Досега се приемаше, че ъглите на отклонение на нишката на махалото от вертикалата могат да бъдат произволни. По-нататък ще ги считаме за малки при малки ъгли .в радиани, sin a~a. (3.8) Означавайки дължината на дъгата OA с s (виж фиг. 58), можем да напишем s=al, от което a=y. (3.9) Като заместим този израз в равенство (3.8), получаваме ax = - js. Това уравнение има същия вид като уравнение (3.4) за движението на топка, закрепена към пружина. Тук само вместо проекцията ax на ускорението има проекция aT на ускорението и вместо координатата x има стойността s. И коефициентът на пропорционалност вече не зависи от твърдостта на пружината и масата на топката, а от ускорението на свободното падане и дължината на нишката. Но както и преди, ускорението е право пропорционално на изместването (определено от дъгата) на топката от равновесното положение. Стигнахме до забележително заключение: уравненията на движението, които описват трептенията на такива различни системи, като топка на пружина и махало, са еднакви. Това означава, че движението на топката и трептенията на махалото се извършват по един и същи начин. Преместванията на топката върху пружината и топката на махалото от позициите на равновесие се променят с течение на времето по един и същ закон, въпреки факта, че силите, причиняващи трептенията, имат различна физическа природа. В първия случай това е еластичната сила на пружината, а във втория е компонента на гравитацията. Уравнението на движението (3.4), подобно на уравнението (3.10), очевидно е много просто: ускорението е право пропорционално на координатата. Но решаването му, тоест определянето как позицията на осцилиращото тяло в пространството се променя с времето, далеч не е лесно.