Незатихващи трептения

Нека разгледаме най-простата механична осцилаторна система с една степен на свобода, наречена хармоничен осцилатор. Като реално изпълнение на осцилатор, нека разгледаме тяло с маса m, окачено на пружина с твърдост k, при допускането, че съпротивителните сили могат да бъдат пренебрегнати. Ще броим удължението на пружината от равновесното положение на пружината. Статичната сила на еластичността ще балансира силата на гравитацията и нито едната, нито другата сила ще влезе в уравнението на движението. Нека напишем уравнението на движението според втория закон на Нютон:

(4.1)
Нека напишем това уравнение в проекции върху оста x (фиг. 4.1).

Представяме проекцията на ускорението върху оста x като втора производна на координатата x по отношение на времето. Разграничаването по отношение на времето обикновено се представя с точка над буквения израз на количеството. Втората производна е отбелязана с две точки. След това пренаписваме уравнение (4.1) във формата:

(4.2)
Знакът минус от дясната страна на уравнение (4.2) показва, че силата е насочена срещу изместването на тялото от равновесното положение. Нека означим k/m с w2 и дадем на уравнение (4.2) формата:

(4.3)
Където

(4.4)
Уравнение (4.3) се нарича уравнение на хармоничния осцилатор. Вече сме срещали подобно уравнение (уравнение 3.29) и ще го срещаме повече от веднъж. Това е диференциално уравнение. Тя се различава от алгебричната по това, че неизвестното в нея е функция (в нашия случай функция на времето), а не число, както и по това, че включва производни на неизвестна функция. Решаването на диференциално уравнение означава намиране на функция x(t), която, когато бъде заместена в уравнението, го превръща в идентичност. Ще търсим решение чрез метода на подбор (с последваща проверка). Има причина да приемем, че решението на нашето уравнение е функция на формата

(4.5)
Функция (4.5) е синусоидална функция в общ вид. Параметрите A, a, j0, 0 все още не са определени и само заместването на функция (4.5) в уравнение (4.3) ще покаже как трябва да бъдат избрани. Нека намерим втората производна на функция (4.5) и я заместим в уравнение (4.3):

(4.6)

(4.7)
Нека намалим членовете на уравнението с Asin(at + j0) и получим:

(4.8)
Фактът, че след редуцирането времето не „отпада” от уравнението показва, че типът на търсената функция е избран правилно. Уравнение (4.8) показва, че a трябва да е равно на w.
Константите A и j0 не могат да бъдат определени от уравнението на движението; И така, решението на уравнението на хармоничния осцилатор е функцията

(4.9)
Как можем да определим константите A и j0? Те се наричат ​​произволни константи и се определят от началните условия. Въпросът е, че колебанията трябва да се появят в даден момент. Появата им е причинена от някакви външни причини. Нека разгледаме два различни случая на възникване на трептения: 1) трептения на пружина, издърпана назад от експериментатора със стойност x0 и след това освободена. 2) трептения на тяло, окачено на пружина, която е ударена с чук и на която е дадена скорост v0 в началния момент от време. Нека намерим константите A и j0 за тези случаи.

(4.10)
Нека диференцираме (4.9) по време, т.е. Нека намерим скоростта на тялото:

(4.11)
Нека заместим началните условия в уравнения (4.9) и (4.11):

(4.12)
От това следва, че 0 = p/2, A = x0.
Законът за движението на тялото най-накрая ще приеме формата

(4.13)
2) При t = 0 x = 0 и скорост v = x = v0 .
Нека заместим нови начални условия в уравнения (4.9) и (4.11):
0=Асин й 0,
v0=Awcos й 0.
(4.14)
Получаваме, че при 0 = 0 A = v0/w. Законът за движение приема формата

(4.15)
Разбира се, възможни са и други, по-сложни начални условия и от тях трябва да се намерят нови константи A и j0. Така решението (4.9) е общо решение на уравнението за движение на тяло. От него, въз основа на началните условия, може да се намери конкретно решение, което описва конкретен случай на движение.
Нека сега установим физическия смисъл на въведените константи A, j0,w. Очевидно А представлява амплитудата на трептенията, т.е. най-голямото отклонение на тялото от равновесното положение. j0 се нарича начална фаза на трептенето, а аргументът на синуса (wt + j0) се нарича фаза. Фазата определя състоянието на движещо се тяло в даден момент от времето. Познавайки фазата (аргумент синус), можете да намерите местоположението на тялото (неговата координата) и неговата скорост. j0 е фазата в началния момент.
Остава да разберем значението на параметъра w. За време, равно на периода
трептения T, т.е. по време на пълно трептене аргументът на синуса се променя с 2p. Следователно wТ = 2p, откъдето

(4.16)
Формула (4.16) показва, че w е броят на трептенията за време от 2p секунди - цикличната честота. Последната е свързана с честотата n чрез връзката

(4.17)
Нека намерим енергията на свободните вибрации. Представлява се от два вида енергия: кинетична и потенциална.

(4.18)
Замествайки стойностите на x и v в тази формула съгласно отношения (4.9) и (4.11), получаваме:

(4.19)

Така енергията на свободните вибрации е пропорционална на квадрата на амплитудата на вибрациите.
Нека обърнем внимание на следното обстоятелство. Функциите синус и косинус се различават една от друга само по това, че едната е изместена по фаза спрямо другата с /2. Квадратът на синуса определя потенциалната енергия, а квадратът на косинуса определя кинетичната енергия. От това следва, че осреднените във времето (например за периода на трептене) кинетична и потенциална енергия са еднакви, т.е.

(4.20)
И

(4.21)

НЕЗАМЕТВАЩИ ОСЦИЛАЦИИ - трептения с постоянна амплитуда.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Методическо ръководство за студенти по дисциплината: физика. Механични вибрации

Методическо ръководство за студенти.. по дисциплината физика..

Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Tweet

Всички теми в този раздел:

Честота, период, циклична честота, амплитуда, фаза на трептене
ЧЕСТОТА НА ВИБРАЦИЯ, брой трептения за 1 s. Означава се с u. Ако T е периодът на трептене, тогава u = 1/T; измерено в Херц (Hz). Ъглова честота на трептенията w = 2pu = 2p/T rad/s. ПЕРИОД колебания

Енергия на хармоничните вибрации
Хармонични трептения Важен частен случай на периодичните трептения са хармоничните трептения, т.е. такива промени във физическа величина, които следват закона

Метод на векторна диаграма. Добавяне на трептения в една посока
Метод на векторна диаграма. Всяко хармонично трептене с честота може да се свърже с въртящо се

Побой. Добавяне на перпендикулярни вибрации. Амортизирани механични вибрации
Ударите са трептения с периодично променяща се амплитуда, резултат от наслагването на две хармонични трептения с леко различни, но сходни честоти. Б. възникват поради факта, че

Уравнение на затихващите трептения. Амплитуда, честота, коефициент на затихване
Нека представим уравнението на затихналите трептения във формата където

Резонанс
. По този начин амплитудата на принудителните трептения се променя с честотата на външното въздействие. При

Уравнение на равнинна движеща се вълна
Хармоничната пътуваща вълна е плоска вълна, защото неговите вълнови повърхности (ω(t-)+φ0

Видове вълни: надлъжни и напречни, плоски, сферични
Ще приемем, че имаме непрекъсната еластична среда, например твърдо тяло, течности, газове. Еластичната среда се характеризира с появата на еластични деформации при излагане на външни влияния. Тези деформации

Вълнова повърхност, вълнов фронт
Вълната, разпространяваща се от източника на трептения, обхваща все нови и нови области на пространството. Геометричното местоположение на точките, до които достигат трептенията в момент t, се нарича вълна f

Свойства на вълните
Генериране на вълни. Вълните могат да се генерират по различни начини. Генериране от локализиран източник на трептения (емитер, антена). Спонтанно генериране на вълни в обем по време на възбуда

Вълнова енергия
Енергия на пътуваща вълна. Вектор на плътността на енергийния поток Еластичната среда, в която се разпространява вълната, има както кинетичната енергия на осцилаторното движение на частиците, така и потенциалната

Енергиен поток
Енергиен поток - количеството енергия, пренесено от вълна през определена повърхност за единица време: Be

Вектор Умов
Нека еластична плоска надлъжна вълна се разпространява в някаква среда по оста x, описана от уравнението (1.91")

Стоящи вълни
Ако в една среда се разпространяват няколко вълни, тогава получената вибрация на всяка частица от средата е сумата от вибрациите, които частицата би направила от всяка вълна поотделно. Това е ут

Намеса
Вълновата интерференция е явлението на усилване или отслабване на амплитудата на получената вълна в зависимост от съотношението между фазите на две или повече нагъващи се вълни с еднакви периоди. Ако в

Координати на антивъзли и възли на стояща вълна
Ако две хармонични вълни S1=Acos(ωt-khх) и S2=Acos(ωt+khх) се разпространяват една към друга, то се образува стояща вълна S=S1+S2=2Аcoskx cosωt. Issl

Разликата между пътуващи вълни и стоящи вълни
Бягащата вълна е вълново движение, при което повърхност от еднакви фази (фазови вълнови фронтове) се движи с крайна скорост, постоянна в случай на хомогенни среди. С пътуваща вълна, група с

Източници на електромагнитни вълни Проводник с ток. Магнит. Електрическо поле (променливо). Около проводник, през който минава ток и той е постоянен. Когато силата се промени

Свойства на електромагнитните вълни: напречност, синфазни колебания на векторите на силата на електрическото и магнитното поле
Напречност. електромагнитните вълни са напречни. Електромагнитна вълна

Пойнтинг вектор
Вектор на Пойнтинг, вектор на плътността на потока на електромагнитната енергия. Наречен на английския физик Дж. Г. Пойнтинг (J. N. Poynting; 1852-1914). P.V модул равна на енергията, предадена на единица

Скала за електромагнитни вълни
(мащаб на електромагнитни

Вълнова кохерентност
Вълните и източниците, които ги възбуждат, се наричат ​​кохерентни, ако фазовата разлика между вълните не зависи от времето. Вълни и

Намеса
ВЪЛНОВАТА ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ е явление, наблюдавано по време на едновременното разпространение на няколко вълни в пространството и състоящо се от стационарно (или бавно променящо се) пространствено разпределение на am

Изчисляване на интерференционната картина от два кохерентни източника. Помислете за две кохерентни светлинни вълни, излъчвани от източници

Координати на минимумите и максимумите на интензитета
Оптична дължина на пътя на лъча. Условия за получаване на максимуми и минимуми на смущението. Във вакуум скоростта на светлината е

Ивици с еднаква дебелина
Ивици с еднаква дебелина, един от ефектите на тънкослойната оптика, за разлика от ивици с еднакъв наклон, се наблюдават директно върху повърхността на прозрачен слой с променлива дебелина (фиг. 1). възникна

Прилагане на смущения
Практическите приложения на светлинната интерференция са разнообразни: качествен контрол на повърхности, създаване на светлинни филтри, антирефлексни покрития, измерване на дължини на светлинните вълни, точно измерване на разстояние

Принцип на Хюйгенс-Френел
Принцип на Хюйгенс-Френел, приблизителен метод за решаване на проблеми с разпространението на вълни, особено светлинни вълни. Според оригиналния принцип на Х. Хюйгенс (1678) всеки елемент има повърхност

Метод на зоната на Френел
Изчисляването на интеграла в точка обикновено е трудна задача. В случаите, когато проблемът съдържа

Френелова дифракция
Нека има непрозрачен екран с кръгъл отвор с радиус r0, разположен на пътя на сферична светлинна вълна, излъчвана от източник S. Ако дупката отваря четен брой зони на Френел, тогава

Поасоново петно
es С помощта на френелова спирала можете да получите

Поляризация на светлината
Поляризация на светлината, едно от основните свойства на оптичното излъчване (светлина), състоящо се в неравенството на различни посоки в равнина, перпендикулярна на светлинния лъч (посока на разпространение)

Законът на Малус
Нека поставим два поляроида по пътя на естествената светлина, чиито оси на предаване са завъртяни една спрямо друга

Двойно пречупване
Както вече беше споменато в, законът за пречупване може да не се прилага в анизотропна среда. Всъщност този закон гласи, че:

Интерференция на поляризирана светлина
Важен случай на I. s. - интерференция на поляризирани лъчи (виж Поляризация на светлината). Като цяло, когато се добавят две различно поляризирани кохерентни светлинни вълни, възниква векторен слой

Оптично активни вещества
Оптично активни вещества, среди с естествена оптична активност. О.-а. V. се делят на 2 вида. Принадлежащите към 1-ви от тях са оптически активни във всяко състояние на агрегация (саха

Светлинна дисперсия
Дисперсия на светлината (разсейване на светлината) - явлението разлагане на бяла светлина при преминаване през призма, разл.

Закон на Бугер-Ламбер
Bouguer-Lambert, определя постепенното затихване на паралелен монохроматичен (едноцветен) лъч светлина, докато се разпространява в абсорбиращо вещество. Ако мощността на лъча

НЕЗАМЕТВАЩИ ТРЕПТЕНИЯ

НЕЗАМЕТВАЩИ ТРЕПТЕНИЯ

(Незатихващи трептения) - трептения, чиято амплитуда не намалява с времето, а остава постоянна. Електрическите непрекъснати трептения в радиотехниката се създават от високочестотни машини, дъгови и тръбни генератори. Използва се в радиотелеграфа и радиотелефона.

Самойлов К. И. Морски речник. - М.-Л.: Държавно военноморско издателство на НКВМФ на СССР, 1941

Вижте какво представляват „НЕЗАГЛАШЕНИ ТРЕПТЕНИЯ“ в други речници:

незатихващи трептения- - [Я.Н.Лугински, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999 г.] Теми на електротехниката, основни понятия EN постоянни колебания постоянни вибрации незатихващи... ...

незатихващи трептения- neslopstantieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. непрекъснати вибрации; постоянни вибрации; незатихващи вибрации вок. kontinuierliche Schwingungen, f; ungedämpfte Schwingungen, ф рус. незатихващи трептения, n pranc.… … Fizikos terminų žodynas

мн. незатихващи трептения- - [A.S. Goldberg. Англо-руски енергиен речник. 2006] Теми: енергия като цяло EN продължителна вибрация … Ръководство за технически преводач

непрекъснати вълни (колебания)- Немодулирани трептения с висока честота и постоянна амплитуда. Този термин често се използва за описание на периодични трептящи сигнали в морзовата азбука. Телекомуникационни теми, основни понятия... ... Ръководство за технически преводач

ОСЦИЛАЦИИ- движения или процеси, които имат различна степен на повторяемост във времето. В зависимост от характера на процеса се разграничават сигналите: механични, електрически (ток и напрежение), звукови и електромеханични. Всички те могат да бъдат периодични,... ... Голяма политехническа енциклопедия

Движения (промени в състоянието) с различна степен на повторяемост. При люлеене на махалото се повтарят неговите отклонения в една или друга посока от вертикалното положение. Когато К. на пружинно махало на товар, окачен на пружина, ... ... Велика съветска енциклопедия

непрекъснати ултразвукови вибрации в среда- 3.12 незатихващи ултразвукови вибрации в среда: Сигнали, генерирани от електроакустични преобразуватели, когато се подава непрекъснат вълнуващ електрически сигнал. Източник... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Незатихващи трептения в c.l. материална система, възникваща под въздействието на външна променяща се във времето сила. В линейна дисипативна система, под въздействието на външна сила, която се променя по хармоничен закон, V.c имат честота... ... Математическа енциклопедия

непрекъснати колебания- незатихващи трептения - [Я.Н.Лугински, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999] Теми електротехника, основни понятия Синоними незатихващи трептения EN непрекъснато... ... Ръководство за технически преводач

постоянни трептения- незатихващи трептения - [Я.Н.Лугински, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999] Теми електротехника, основни понятия Синоними незатихващи трептения EN стабилен... ... Ръководство за технически преводач

Лекция 12.Механични вибрации и вълни.

Конспект на лекцията

Хармонични трептения и техните характеристики.

Свободни незатихващи механични вибрации.

Свободни амортизирани и принудени механични вибрации.

Еластични вълни.

Хармонични трептения и техните характеристики.

трептениясе наричат ​​процеси, които се характеризират с известна повторяемост във времето, т.е. флуктуациите са периодични промени на всякаква стойност.

В зависимост от физическата природа се разграничават механични и електромагнитни вибрации. В зависимост от естеството на въздействието върху трептящата система се разграничават свободни (или естествени) трептения, принудени трептения, собствени трептения и параметрични трептения.

Колебанията се наричат ​​периодични, ако стойностите на всички физически величини, които се променят, когато системата осцилира, се повтарят на равни интервали от време.

Периоде времето, необходимо за извършване на едно пълно трептене:

Където
- брой трептения за време .

Честота на трептене- броят на пълните трептения, извършени за единица време.

Циклична или кръгова честота - броят на пълните трептения, извършени за време от 2 (единици за време):

.

Най-простият тип трептения са хармонични вибрации, при което промяната в стойността става според закона на синуса или косинуса (фиг. 1):

,

Където - стойността на променящото се количество;

- амплитуда на трептенията, максимална стойност на изменящата се величина;

- фаза на трептения в момента на времето (ъглова мярка за време);

 0 - начална фаза, определя стойността в началния момент от времето при
,.

Нар. трептителна система, която извършва хармонични трептения хармоничен осцилатор.

Скорост и ускорение по време на хармонични вибрации:

Свободни незатихващи механични вибрации.

Безплатно или собственосе наричат ​​колебанията, които една система прави около равновесно положение, след като по някакъв начин е била извадена от състояние на стабилно равновесие и представена сама на себе си.

Веднага след като тялото (или системата) бъде извадено от равновесно положение, веднага се появява сила, която се стреми да върне тялото в равновесно положение. Тази сила се нарича завръщане, то винаги е насочено към равновесното положение, произходът му е различен:

а) за пружинно махало - еластична сила;

б) за математическо махало - компонентната сила на гравитацията.

Свободните или естествените вибрации са вибрации, които възникват под въздействието на възстановяваща сила.

Ако в системата няма сили на триене, трептенията продължават неограничено дълго с постоянна амплитуда и се наричат ​​собствени незатихващи трептения.

Пружинно махало- материална точка с маса м, окачени на абсолютно еластична безтегловна пружина и осцилиращи под действието на еластична сила.

Нека разгледаме динамиката на естествените незатихващи трептения на пружинно махало.

Според закона на Нютон II,

според закона на Хук,

Където к– твърдост,
;

или
.

Нека обозначим циклична честота на собствените трептения.

-диференциално уравнение на свободните незатихващи трептения.

Решението на това уравнение е изразът: .

период на трептене на пружинно махало.

По време на хармонични трептения общата енергия на системата остава постоянна, възниква непрекъснат преход V и обратно.

Математическо махало- материална точка, окачена на безтегловна неразтеглива нишка (фиг. 2).

Може да се докаже, че в този случай

Пружинното и математическото махало са хармонични осцилатори (като осцилаторна верига). Хармоничният осцилатор е система, описана от уравнението:

.

Трептенията на хармоничен осцилатор са важен пример за периодично движение и служат като приблизителен модел в много проблеми на класическата и квантовата физика.

Свободни амортизирани и принудени механични вибрации.

Във всяка реална система, която извършва механични трептения, винаги действат определени съпротивителни сили (триене в точката на окачване, съпротивление на околната среда и т.н.), за преодоляването на които системата изразходва енергия, в резултат на което винаги възникват реални свободни механични трептения амортизиран.

Затихващи трептения- Това са трептения, чиято амплитуда намалява с времето.

Нека намерим закона за промяна на амплитудата.

За пружинно махало с маса m, извършващо малки трептения под действието на еластична сила
Силата на триене е пропорционална на скоростта:

където r е коефициентът на съпротивление на средата; знакът минус означава това
винаги насочен срещу скоростта.

Според закона на Нютон II уравнението на движението на махалото има формата:

Да обозначим:

диференциално уравнение на свободните затихнали трептения.

Решението на това уравнение е изразът:

,

Където циклична честота на свободни затихнали трептения,

 0 - циклична честота на свободни незатихващи трептения,

 - коефициент на затихване,

A 0 - амплитуда в началния момент от време (t=0).

- закон за намаляваща амплитуда.

С течение на времето амплитудата намалява експоненциално (фиг. 3).

Време за релаксация е времето, през което амплитудата намалява веднъж.

.

По този начин, е реципрочната стойност на времето за релаксация.

Най-важната характеристика на затихващите трептения е логаритмичният декремент на затихване .

Логаритмичен декремент на затихванее натурален логаритъм от отношението на две амплитуди, които се различават една от друга във времето с период:

.

Нека разберем неговия физически смисъл.

З и времето за релаксация, за което системата ще има време да завърши N трептения:

тези. е реципрочната стойност на броя трептения, по време на които амплитудата намалява с фактор e.

За характеризиране на осцилаторна система се използва понятието качествен фактор:

.

Качествен фактор- физическо количество, пропорционално на броя на трептенията, по време на които амплитудата намалява с e пъти (фиг. 4,
).

Принуденсе наричат ​​трептения, които възникват в системата под въздействието на периодично променяща се външна сила.

Нека външната сила се променя според хармоничния закон:

В допълнение към външната сила върху осцилиращата система действат възстановяваща сила и съпротивителна сила, пропорционални на скоростта на трептене:

Възникват принудителни вибрации с честота, равна на честотата на движещата сила. Експериментално е установено, че денивелацията изостава от принудителната сила в своето изменение. Може да се докаже, че

Където - амплитуда на принудени трептения,

- фазова разлика на трептенията И
,

;
.

Графично принудените трептения са представени на фиг. 5.

д Ако движещата сила се променя по хармоничен закон, то и самите вибрации ще бъдат хармонични. Тяхната честота е равна на честотата на движещата сила, а амплитудата им е пропорционална на амплитудата на движещата сила.

Зависимост на амплитудата от честотата на движещата сила води до факта, че при определена честота, определена за дадена система, амплитудата достига максимум.

Феноменът на рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения, когато честотата на движещата сила се доближава до естествената честота на системата (резонансната честота), се нарича резонанс(фиг. 6).

Еластични вълни.

Всяко еластично тяло се състои от голям брой частици (атоми, молекули), взаимодействащи помежду си. Силите на взаимодействие се появяват при промяна на разстоянието между частиците (привличане възниква при разтягане и отблъскване при компресия) и имат електромагнитно естество. Ако някоя частица бъде извадена от нейното равновесно положение чрез външно въздействие, тогава тя ще издърпа друга частица заедно със себе си в същата посока, тази втора ще изтегли трета и смущението ще се разпространява от частица на частица в средата при определено скорост, в зависимост от свойствата на средата. Ако частицата е изместена нагоре, тогава под действието на горните частици, отблъскващи и долните, привлекателни, тя ще започне да се движи надолу, ще премине равновесното положение, ще се движи надолу по инерция и т.н., т.е. ще извърши хармонично колебателно движение, принуждавайки съседна частица да трепти и т.н. Следователно, когато смущението се разпространява в среда, всички частици осцилират с еднаква честота, всяка близо до своето равновесно положение.

Процесът на разпространение на механични вибрации в еластична среда се нарича еластична вълна. Този процес е периодичен във времето и пространството. Когато вълната се разпространява, частиците на средата не се движат с вълната, а се колебаят около своите равновесни позиции. Заедно с вълната само състоянието на колебателното движение и неговата енергия се прехвърлят от частица към частица на средата. Следователно основното свойство на всички вълни е преносът на енергия без пренос на материя.

Различават се надлъжни и напречни еластични вълни.

Еластична вълна се нарича надлъжна, ако частиците на средата осцилират по посока на разпространение на вълната (фиг. 7).

Относителното положение на осцилиращите точки се характеризира с кондензация и разреждане.

Когато такава вълна се разпространява през средата, възникват кондензации и разреждане. Надлъжните вълни възникват в твърди, течни и газообразни тела, в които възникват еластични деформации при натиск или опън.

Еластичната вълна се нарича напречна, ако частиците на средата осцилират перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната (фиг. 8).

П Когато напречната вълна се разпространява в еластична среда, се образуват гребени и падини. Вълна на срязване е възможна в среда, където деформацията на срязване причинява еластични сили, т.е. в твърди вещества. На границата между 2 течности или течност и газ се появяват вълни на повърхността на течността, причинени или от сили на напрежение, или от сили на гравитация.

По този начин в течностите и газовете възникват само надлъжни вълни; в твърдите тела възникват надлъжни и напречни вълни.

Скоростта на разпространение на вълната зависи от еластичните свойства на средата и нейната плътност. Скоростта на разпространение на надлъжните вълни е 1,5 пъти по-голяма от скоростта на напречните вълни.

Разпространявайки се от един източник, и двете вълни пристигат в приемника по различно време. Чрез измерване на разликата във времената на разпространение на надлъжни и напречни вълни е възможно да се определи местоположението на източника на вълните (атомен взрив, епицентър на земетресение и др.).

От друга страна, скоростта на разпространение на вълните в земната кора зависи от скалите, разположени между източника и приемника на вълните. Това е в основата на геофизичните методи за изследване на състава на земната кора и търсене на минерали.

Надлъжните вълни, разпространяващи се в газове, течности и твърди тела и възприемани от хората, се наричат ​​звукови вълни. Честотата им е от 16 до 20 000 Hz, под 16 Hz - инфразвук, над 20 000 Hz - ултразвук.

Соколов С. Я., член-кореспондент на Академията на науките на СССР, през 1927-28 г. откриха способността на ултразвуковите вълни да проникват в металите и разработиха техника за ултразвукова дефектоскопия, конструирайки първия ултразвуков генератор при 10 9 Hz. През 1945 г. той е първият, който разработва метод за превръщане на механичните вълни във видима светлина и създава ултразвуков микроскоп.

Вълната, разпространяваща се от източника на трептения, обхваща все нови и нови области на пространството.

Геометричното местоположение на точките, до които са се разпространили трептенията в даден момент t, се нарича фронт на вълната.

Геометричното местоположение на точките, осцилиращи в една и съща фаза, се нарича вълнова повърхност.

Има безкраен брой вълнови повърхности, които могат да бъдат начертани, но техният вид е един и същ за дадена вълна. Вълновият фронт представлява вълнова повърхност в даден момент.

По принцип вълновите повърхности могат да имат всякаква форма, като в най-простия случай представляват набор от успоредни равнини или концентрични сфери (фиг. 9).

Вълната се нарича апартамент, ако предната му страна е равнина.

IN вълната се нарича сферична, ако предната му част е повърхността на сфера.

IN Вълните, разпространяващи се в хомогенна изотропна среда от точкови източници, са сферични. На голямо разстояние от източника сферичната вълна може да се разглежда като плоска вълна.

Принципът на Хюйгенс: всяка точка от вълновия фронт (т.е. всяка осцилираща частица от средата) е източник на вторични сферични вълни. Новата позиция на фронта на вълната е представена от обвивката на тези вторични вълни.

Това твърдение е направено през 1690 г. от холандския учен Хюйгенс. Неговата валидност може да се илюстрира с помощта на вълни на повърхността на водата, които имитират сферични вълни, възникващи в обема на еластична среда.

и 1 в 1 - отпред в момент t 1,

и 2 в 2 - отпред в момент t 2.

След като блокирахме повърхността на водата с препятствие с малък отвор и насочихме плоска вълна към препятствието, ние сме убедени, че зад препятствието има сферична вълна (фиг. 10).

Бяганесе наричат ​​вълни, които пренасят енергия в пространството.

Нека получим уравнението на пътуваща плоска вълна, като приемем, че трептенията са хармонични по природа и оста Y съвпада с посоката на разпространение на вълната.

Вълновото уравнение определя зависимостта на изместването на осцилиращата частица на средата от координатите и времето.

Нека някаква частица от средата IN(фиг. 11) се намира на разстояние приот източника на вибрации, разположен в точката ОТНОСНО. В точката ОТНОСНОизместването на частица от средата от равновесното положение се извършва съгласно хармоничен закон,

Където T- време, отчитано от началото на трептенията.

В точката ° СКъдето
- време, през което вълната напуска точката Остига до точката ° С, - скорост на разпространение на вълната.

-уравнение на равнинна движеща се вълна.

Това уравнение определя количеството на изместването хосцилираща точка, характеризираща се с координата при, по всяко време T.

Ако плоската вълна не се разпространява в положителната посока на оста Y, а в обратната посока, тогава

защото вълновото уравнение може да бъде написано като

Разстоянието между близките точки, осцилиращи в една и съща фаза, се нарича дължина на вълната.

Дължина на вълната- разстоянието, на което вълната се разпространява през периода на трептене на частиците на средата, т.е.

.

защото

къде е вълновото число.

Общо взето
.

Втората глава показва, че векторът на хоризонталната компонента на ъгловата скорост на въртене на Земята може да се използва за получаване на навигационна информация.

Първо, този вектор е хоризонтален, разположен в равнината на меридиана и допирателен към него. Очевидно определянето на посоката на този вектор дава възможност да се намери меридианната равнина. Този проблем се решава от жирокомпасите.

Второ, измерване на векторния модул ω 1ви позволява да определите географската ширина на дадено място. Това определяне се прави от някои видове инерциални навигационни системи. Те измерват количеството ω 1 = Ω 1 (Ω 1 -инструментална или измерена стойност на хоризонталната компонента на ъгловата скорост на въртене на Земята). Оттук Ω 1 = ω ♀ cos φ. Тогава е известна пълната стойност на ъгловата скорост на въртене на Земята φ = arccos Ω 1/ ω ♀ .

Нека разгледаме по-подробно принципа на работа на жирокомпасите с директно управление.

Преместването на центъра на тежестта на чувствителния елемент на жирокомпаса спрямо центъра на окачването е първото условие за превръщането на свободен жироскоп в жирокомпас. Раздел 2.4.3 обсъжда движението на такъв жироскоп на Земята. За по-детайлен анализ на изпълнението на това условие е необходимо да се съставят уравненията на движение на чувствителния елемент в хоризонталната координатна система. За целта ще използваме уравненията на движение на свободен жироскоп (2.1). Тъй като главната ос на чувствителния елемент на жирокомпас е винаги близо до равнините на хоризонта и меридиана, ъглите α И β малък. Тогава tan β ≈ О, sin α ≈ α.Сега уравненията ще приемат формата

Както беше обсъдено в параграф 2.4.3, поради въртенето на Земята, жироскопът в хоризонталната координатна система очевидно се движи по азимут с ъглова скорост и по височина с ъглова скорост. С появата на ъгъла β , т.е. с отклонението на центъра на тежестта от вертикалната линия, минаваща през центъра на окачването на чувствителния елемент, се появява рамо (фиг. 3.3)

DG = a sin β ≈ a β.

С появата на рамото възниква момент на тежест L y = В β(виж (2.12)), наречен момент на махалото. Последното обстоятелство води до прецесията на жироскопа на запад:

ω pz =-

Тъй като ъгълът β малък, cos β ≈ 1, тогава проекцията на получената ъглова скорост върху вертикалата е равна на ωpz.

Ъгловата скорост на прецесия по азимут ще бъде включена в първото уравнение на системата (3.3)

Няма допълнителен ефект върху вертикалното движение на жироскопа. Уравненията най-накрая ще приемат формата

,

(3.4)

Получени са диференциалните уравнения на движение на чувствителния елемент в хоризонталната координатна система. Те характеризират това движение с достатъчна степен на точност както по азимут, така и по височина.

Същият резултат се получава по метода на Кудревич, разгледан в параграф 2.2. Като обобщим жироскопичните моменти н , Hω 2и моментът на тежестта, приложен по оста при, получаваме първото уравнение и сумата от жироскопични моменти по оста zдава второто уравнение на системата (3.4). Малките членове на уравненията са изключени от разглеждане предварително, за да се опростят трансформациите.

Уравненията описват незатихващи трептения на жирокомпаса, чиято природа и физическо значение са описани в параграф 2.4.3.

В равновесното положение, което ще заеме оста, възникват незатихващи трептения хчувствителен елемент, когато движението спре, т.е. при = 0 и = 0. Замествайки тези стойности в уравнения (3.4), получаваме техните частични решения:

(3.5)

Тези уравнения характеризират равновесното положение на главната ос на жирокомпаса.

Анализ на уравнения:

1. Главната ос на жироскопа е в равнината на меридиана. Той е повдигнат над хоризонта под ъгъл β r, което води до появата на момент Вβ r. Наличието на този момент осигурява прецесията на оста хжирокомпас, следващ меридиана, отиващ на запад:

ω pz =-

2. Ъгъл β rзависи от географската ширина.

За да се намери общо решение на уравненията на движението (3.4), е необходимо да се разделят променливите. Нека диференцираме първото уравнение:

От второто уравнение заместваме стойността и след трансформация получаваме

(3.7)

Тук ω 0 - кръгова честота на незатихващи трептения. освен това ω 0 =V/NИ ω 0 = ω ♀ cos φ.Оттук намираме периода на незатихващи трептения като величина, обратно пропорционална на честотата:

(3.8)

От анализа на уравненията следва:

1. Периодът на незатихващите трептения зависи от географската ширина. На екватора е минимален, на полюса клони към безкрайност, което се дължи на загубата на селективност към меридиана от жирокомпаса.

2. Точка Tзависи от параметрите на жирокомпаса нИ IN. Това дава възможност за регулирането му.

Жирокомпасът е автоматична система. За да го оценим от гледна точка на основите на автоматизацията, извършваме линейна трансформация на уравнение (3.6), като се има предвид = λ . следователно

λ 2 + ω 0 2 = 0(3.9)

Изразът (3.9) е характеристично уравнение и има въображаеми корени

λ 1,2 = ± i ω 0,

Където i= .

В съответствие с критериите за стабилност на Хурвиц системата е нестабилна, ако корените на характеристичното уравнение са въображаеми. Процесът на преход е хармоничен по природа. Следователно жирокомпасът извършва хармонични незатихващи трептения.

Общото решение на уравнение (3.6) има формата

α = C 1 cos ω 0 t+ C 2 sin ω 0 t(3.10)

Където C 1И C 2- постоянни интеграции.

За начални условия ( t = 0) последният член на уравнението е нула, а ъгълът на отклонение по азимута е максимален и равен на α 0 , това е C 1 = α 0. Тогава

α = α 0 cos ω 0 t (3.11)

От анализа на уравнение (3.11) можем да заключим, че жирокомпасът извършва незатихващи трептения с амплитуда, равна на първоначалното отклонение на главната ос на чувствителния елемент от равнината на истинския меридиан. Размер C 2пренебрегнат поради своята незначителност.

За да намерим закона за движение на главната ос на жироскопа във височина, диференцираме уравнение (3.11):

= - α 0 ω 0 sin ω 0 t.

Замествайки тази стойност в първото уравнение на системата (3.4), получаваме

За да опростим този израз, правим замяната

Тук всички компоненти са постоянни. Последният член на уравнението е равен на β r(виж (3.5)). След замяната изразът ще приеме формата

Уравнение (3.11) може да бъде представено като

Използвайки теоремата на Питагор, намираме текущата стойност на края на вектора на чувствителния елемент за всеки момент от времето (фиг. 3.3)

(3.12)

Този израз е уравнението на елипса с център α r = 0, β = β rи с полуоски: големи α 0 , малък β 0 . Това е траекторията на главната ос на жироскопа. Анализът на това движение е описан в параграф 2.4.3.

И така: първото условие за превръщането на свободен жироскоп в жирокомпас е изпълнено. Въпреки че такова устройство все още не може да се използва, тъй като извършва незатихващи трептения, тези трептения се случват около известна посока - истинския меридиан или, по-строго казано, посоката на вектора на хоризонталния компонент на ъгловата скорост на въртене на Земята .

Нека разгледаме последното уточнение по-подробно. Моментът на махалото се създава поради изместването на центъра на тежестта на жироскопа спрямо центъра на окачването, както и поради въртенето на Земята. В равновесно положение центърът на тежестта на чувствителния елемент се върти в инерционно пространство около вектора ω 1, правейки по един оборот на ден. Именно в тази посока идва основната ос на чувствителния елемент. От своя страна този вектор е в равнината на истинския меридиан. Следователно, в конкретен случай, а именно при стационарна основа, когато жирокомпасът участва само в едно въртене - въртенето на Земята, той стига до равнината на истинския меридиан.

Нека се обърнем към второто уравнение на системата (3.4). Нека умножим всички негови членове по стойността н. С това казано, вторият член на това уравнение е моментът

R z = Hω ♀ + cos φ α, (3.13)

което характеризира реакцията на жироскоп с по-нисък център на тежестта към неговото отклонение по азимут от посоката на вектора ω 1(т.е. от равнината на истинския меридиан). Този момент е жироскопичен момент и възниква при движение на жироскопа във височина (фиг. 3.3). Движение във височина поради въртенето на Земята става само когато α ≠ 0. Така, Rzе направляващият момент на жирокомпаса. Анализът на уравнение (3.13) ни позволява да направим следните заключения:

1. Насочващ момент може да възникне само когато Земята се върти. Това е предпоставка за превръщането на свободния жироскоп в жирокомпас. На всяка планета, която няма ротация, чувствителният елемент би заел неопределено положение ( ω ♀ = 0, Rz= 0).

2. Жирокомпасът също заема неопределено положение на полюса (cos 90° = 0, Rz:= 0), поради загуба на водещ момент. Всъщност жирокомпасът губи селективност спрямо меридиана на ширини над 75-85°, когато Rzстава малък и съизмерим с вредните моменти. Жирокомпасите, монтирани на подводницата "Ленински комсомолец", плаваща до Северния полюс през 1962 г., според техническите условия трябваше да работят до географска ширина 85°. Всъщност те са загубили чувствителност към меридиана на ширина 86,5°. Това се отбелязва в мемоарите на бившия командир на тази лодка Жилцов. За жирокомпас Курс-4 и неговите модификации максималната работна ширина е 75°.

3. Насочващият момент става нула, когато жирокомпасът е в меридиана ( α = 0, Rz = 0).

И така, за да трансформирате свободен жироскоп в жирокомпас в условията на въртяща се Земя, трябва да „свържете“ жироскоп към него. Връзката на жироскопа със Земята се осъществява чрез изпълнение на проектни решения. За жирокомпас Курс-4 това решение е да се намали центърът на тежестта на чувствителния елемент спрямо центъра на окачването. Това води до появата на незатихващи трептения, чийто теоретичен анализ е даден в този параграф, а графичният анализ в параграф 2.4.3.

Такова устройство обаче все още не е жирокомпас. Необходимо е нейните незатихващи трептения да се трансформират в затихващи. За тази цел се използва маслен амортисьор (течен амортисьор). Въвеждането на допълнително устройство, маслен демпфер, който също използва гравитацията в своята работа, е изпълнението на второто условие за превръщането на свободен жироскоп в жирокомпас.

Билет номер 8

Затихващи трептения

Във всяка автоматична система механичните вибрации се гасят с помощта на момент, изместен от основния момент във фаза (във времето) или в пространството с 90°. В първия случай и двата момента се прилагат по една и съща ос, във втория - по различни.

Затихващи и принудени трептения

Затихване на трептениятанаричаме намаляване на амплитудата на вибрациите с течение на времето, причинено от загуба на енергия от осцилаторната система (например преобразуване на енергията на вибрациите в топлина поради триене в механични системи). Затихването нарушава периодичността на трептенията, така че те вече не са периодичен процес. Ако затихването е малко, тогава можем условно да използваме концепцията за период на трептене - T(на фигура 7.6 А 0 – начална амплитуда на трептенията).

Фигура 7.6 – Характеристики на затихналите трептения

Затихналите механични трептения на пружинно махало възникват под въздействието на две сили: еластична сила и сила на съпротивление:

Където r– коефициент на съпротивление.

Използвайки уравнението на втория закон на Нютон, можем да получим:

или

Разделете последното уравнение на ми въведете нотацията или

Където β коефициент на затихване, тогава уравнението приема формата

(7.20)

Този израз е диференциалното уравнение на затихналите трептения. Решението на това уравнение е

Това предполага експоненциалния характер на затихналите трептения, т.е. амплитудата на трептенията намалява според експоненциалния закон (Фигура 7.6):

(7.22)

Относителното намаляване на амплитудата на трептенията за период се характеризира с декремент на затихване, равен на

(7.23)

или чрез логаритмично намаляване на затихването:

(7.24)

Коефициент на затихване β обратно пропорционална на времето τ при което амплитудата на трептенията намалява с дведнъж:

тези. (7,25)

Честотата на затихналите трептения винаги е по-малка от честотата на собствените трептения и може да се намери от израза

(7.26)

където ω 0 е честотата на собствените трептения на системата.

Съответно периодът на затихналите трептения е равен на:

Или (7.27)

С увеличаване на триенето периодът на трептене се увеличава, а когато периодът .

За да се получат незатихващи трептения, е необходимо да се въздейства върху допълнителна променлива външна сила, която да тласка материалната точка в една или друга посока и чиято работа непрекъснато компенсира загубата на енергия, изразходвана за преодоляване на триенето. Тази променлива сила се нарича форсиранеЕнавън, а незатихващите трептения, възникващи под негово влияние, са принуден.

Ако движещата сила се промени в съответствие с израза, тогава уравнението на принудените трептения ще приеме формата

(7.28)

(7.29)

където ω е цикличната честота на движещата сила.

Това диференциално уравнение на принудените трептения. Неговото решение може да бъде записано във формата

Уравнението описва хармонично трептене, възникващо с честота, равна на честотата на движещата сила, различаваща се във фазата с φ спрямо трептенията на силата.

Амплитуда на принудително трептене:

(7.30)

Фазовата разлика между трептенията на силата и системата се намира от израза

(7.31)

Графиката на принудените трептения е показана на фигура 7.7.

Фигура 7.7 ​​– Принудени трептения

По време на принудителни трептения може да се наблюдава явление, наречено резонанс. РезонансТова е рязко увеличение на амплитудата на трептенията на системата.

Нека определим условието, при което възниква резонанс; за това разглеждаме уравнение (7.30). Нека намерим условието, при което амплитудата приема максималната си стойност.

От математиката е известно, че екстремумът на функция ще бъде, когато производната е равна на нула, т.е.

Дискриминантът е равен на

Следователно

След трансформацията получаваме

Следователно – резонансна честота.

В най-простия случай резонанс възниква при външна периодична сила Есе променя с честота ω , равна на честотата на собствените трептения на системата ω = ω 0 .

Механични вълни

Процесът на разпространение на трептения в непрекъсната среда, периодичен във времето и пространството, се нарича вълнов процесили вълна.

Когато вълната се разпространява, частиците на средата не се движат с вълната, а се колебаят около своите равновесни позиции. Заедно с вълната само състоянието на колебателното движение и неговата енергия се прехвърлят от частица към частица на средата. Следователно основното свойство на вълните, независимо от тяхната природа, е пренос на енергия без пренос на материя.

Разграничават се следните видове вълни:

Еластичен(или механично) вълнисе наричат ​​механични смущения, разпространяващи се в еластична среда. Във всяка еластична вълна съществуват два вида движение едновременно: трептене на частици от средата и разпространение на смущения.

Вълна, при която вибрациите на частиците на средата и разпространението на вълната се извършват в една и съща посока, се нарича надлъжно, а вълна, при която частиците на средата трептят перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната, се нарича напречен.

Надлъжните вълни могат да се разпространяват в среди, в които възникват еластични сили по време на деформации на натиск и опън, т.е. твърди, течни и газообразни тела. Напречните вълни могат да се разпространяват в среда, в която при деформация на срязване възникват еластични сили, т.е. в твърди вещества. По този начин в течности и газове възникват само надлъжни вълни, а в твърди тела - както надлъжни, така и напречни вълни.

Еластична вълна се нарича синусоидален(или хармонични), ако съответните трептения на частиците на средата са хармонични.

Разстоянието между близките частици, вибриращи в една и съща фаза, се нарича дължина на вълната λ .

Дължината на вълната е равна на разстоянието, на което вълната се разпространява за време, равно на периода на трептене:

където е скоростта на разпространение на вълната.

Тъй като (където ν е честотата на трептене), тогава

Геометричното местоположение на точките, до които достигат трептенията в дадения момент T, Наречен фронт на вълната. Геометричното местоположение на точките, осцилиращи в една и съща фаза, се нарича вълнова повърхност.