Дефинирайте моном. Привеждане на моном до стандартен вид, примери, решения

Определение 3.3. Моном нарича израз, който е произведение на числа, променливи и степени с естествен показател.

Например, всеки от изразите,
,
е моном.

Казват, че мономът има стандартен изглед , ако съдържа само един числов фактор на първо място и всяко произведение на еднакви променливи в него е представено със степен. Числовият фактор на моном, записан в стандартна форма, се нарича коефициент на монома . По силата на монома се нарича сбор от показателите на всички негови променливи.

Определение 3.4. Полином наречен сбор от мономи. Мономите, от които е съставен полином, се наричатчленове на полинома .

Подобни членове - мономи в полином - се наричат подобни членове на полинома .

Определение 3.5. Полином със стандартна форма наречен полином, в който всички членове са записани в стандартна форма и са дадени подобни членове.Степен на полином от стандартна форма се нарича най-голямата от степените на включените в него мономи.

Например, е полином със стандартна форма от четвърта степен.

Действия върху мономи и полиноми

Сумата и разликата на полиномите могат да бъдат преобразувани в полином със стандартна форма. При събиране на два полинома се записват всичките им членове и се дават подобни членове. При изваждане знаците на всички членове на полинома, който се изважда, се обръщат.

Например:

Членовете на полинома могат да бъдат разделени на групи и оградени в скоби. Тъй като това е идентична трансформация, обратна на отварянето на скоби, се установява следното правило за скоби: ако пред скобите е поставен знак плюс, тогава всички термини, поставени в скоби, се изписват със знаците си; Ако пред скобите се постави знак минус, тогава всички термини, затворени в скоби, се записват с противоположни знаци.

например,

Правило за умножение на многочлен по многочлен: За да умножите полином по полином, е достатъчно да умножите всеки член на един полином по всеки член на друг полином и да добавите получените продукти.

например,

Определение 3.6. Полином в една променлива степени наречен израз на формата

Къде
- всички номера, които се обаждат полиномни коефициенти , и
,– цяло неотрицателно число.

Ако
, тогава коефициентът наречен водещ коефициент на полинома
, моном
- неговият старши член , коеф – безплатен член .

Ако вместо променлива към полином
заместващо реално число , тогава резултатът ще бъде реално число
което се нарича стойността на полинома
при
.

Определение 3.7. Номер нареченкорен на полинома
, Ако
.

Помислете за разделяне на полином на полином, където
И - естествени числа. Делението е възможно, ако степента на полиномния дивидент е
не по-малко степенделител полином
, т.е
.

Разделете полином
към полином
,
, означава намиране на два такива полинома
И
, към

В този случай полиномът
степени
наречен полином-коефициент ,
– остатъкът ,
.

Забележка 3.2. Ако делителя
–не е нулев полином, тогава деление
на
,
, винаги е осъществимо, а частното и остатъкът са еднозначно определени.

Забележка 3.3. В случай
пред всички , т.е

те казват, че това е полином
напълно разделени(или акции)към полином
.

Разделянето на полиноми се извършва подобно на разделянето на многоцифрени числа: първо, водещият член на полинома на делителя се разделя на водещия член на полинома на делителя, след това частното от разделянето на тези членове, което ще бъде водещият член на частния полином се умножава по полинома на делителя и полученият продукт се изважда от дивидентния полином. В резултат на това се получава полином - първият остатък, който се дели на полинома на делителя по подобен начин и се намира вторият член на частния полином. Този процес продължава, докато се получи нулев остатък или степента на полинома на остатъка е по-малка от степента на полинома на делителя.

Когато разделяте полином на бином, можете да използвате схемата на Хорнер.

Схема на Хорнер

Да предположим, че искаме да разделим полином

по бином
. Нека означим частното от делението като полином

а остатъкът е . Значение , коефициенти на полиноми
,
и остатъка Нека го запишем в следния вид:

В тази схема всеки от коефициентите
,
,
, …,получени от предишна датадолен ред, умножен по число и добавяне към получения резултат на съответното число в горния ред над желания коефициент. Ако има някаква степен липсва в полинома, тогава съответният коефициент равен на нула. След като определихме коефициентите по дадената схема, записваме частното

и резултатът от деленето ако
,

или,

Ако
,

Теорема 3.1. За да има несъкратима дроб (

,

)беше коренът на полинома
с цели коефициенти е необходимо числото беше делител на свободния член , и числото - делител на водещия коефициент .

Теорема 3.2. (Теорема на Безу ) остатък от деление на полином
по бином
равна на стойността на полинома
при
, т.е
.

При деление на многочлен
по бином
имаме равенство

Това е вярно, по-специално, когато
, т.е
.

Пример 3.2.Разделете на
.

Решение.Нека приложим схемата на Хорнер:

следователно

Пример 3.3.Разделете на
.

Решение.Нека приложим схемата на Хорнер:

следователно

Пример 3.4.Разделете на
.

Решение.

В резултат на това получаваме

Пример 3.5.Разделяне
на
.

Решение.Нека разделим полиномите по колона:

Тогава получаваме

Понякога е полезно да се представи полином като равно произведение на два или повече полинома. Такава трансформация на идентичността се нарича факторизиране на полином . Нека разгледаме основните методи за такова разлагане.

Изваждане на общия множител извън скоби. За да разложите полином на множители, като извадите общия множител извън скоби, трябва:

1) намерете общия множител. За да направите това, ако всички коефициенти на полинома са цели числа, най-големият модулен общ делител на всички коефициенти на полинома се счита за коефициент на общия фактор и всяка променлива, включена във всички членове на полинома, се взема с най-големия степен, която има в този полином;

2) намерете частното при деление даден полиномпо общ фактор;

3) запишете произведението на общия фактор и полученото частно.

Групиране на членовете. При факторизиране на полином чрез метода на групиране, членовете му се разделят на две или повече групи, така че всяка от тях да може да бъде преобразувана в продукт, а получените продукти да имат общ фактор. След това се използва методът за поставяне в скоби на общия фактор на новотрансформираните членове.

Приложение на формули за съкратено умножение. В случаите, когато полиномът трябва да бъде разширен на множители, има формата на дясната страна на всяка съкратена формула за умножение; нейното разлагане се постига чрез използване на съответната формула, записана в различен ред.

Нека

, то следните са верни формули за съкратено умножение:





За :
Ако странно ( ):
Бином на Нютон: Къде – брой комбинации от от .

Въвеждане на нови спомагателни членове. Този метод се състои в замяна на полином с друг полином, който е идентично равен на него, но съдържа различен брой членове, чрез въвеждане на два противоположни члена или заместване на който и да е член с идентично равен сбор от подобни мономи. Замяната се извършва по такъв начин, че методът на групиране на членове да може да се приложи към получения полином.

Пример 3.6..

Решение.Всички членове на полином съдържат общ множител
. Следователно,.

отговор: .

Пример 3.7.

Решение.Групираме отделно членовете, съдържащи коефициента , и термини, съдържащи . Скоби общи факторигрупи, получаваме:

отговор:
.

Пример 3.8.Разложете полином на множители
.

Решение.Използвайки подходящата формула за съкратено умножение, получаваме:

отговор: .

Пример 3.9.Разложете полином на множители
.

Решение.Използвайки метода на групиране и съответната формула за съкратено умножение, получаваме:

отговор: .

Пример 3.10.Разложете полином на множители
.

Решение.Ние ще заменим на
, групирайте членовете, приложете формулите за съкратено умножение:

отговор:
.

Пример 3.11.Разложете полином на множители

Решение.защото,
,
, Това

Урок по темата: "Стандартна форма на моном. Дефиниция. Примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина на Интеграл за 7 клас
Електронен учебник "Разбираема геометрия" за 7-9 клас
Мултимедиен учебник "Геометрия за 10 минути" за 7-9 клас

Моном. Определение

Моном- Това математически израз, което е продуктът основен фактори една или повече променливи.

Мономите включват всички числа, променливи, техните степени с естествен показател:
42;

3;
0; 6 2 ; 2 3 ;

b 3;

брадва 4 ; 4x 3; 5а 2;

12xyz 3 .
Доста често е трудно да се определи дали даден математически израз се отнася за моном или не. Например $\frac(4a^3)(5)$. Това моном ли е или не? За да отговорим на този въпрос, трябва да опростим израза, т.е. присъства във формата: $\frac(4)(5)*a^3$.
Това можем да кажем със сигурност
този израз

- мономиални
Стандартна форма на монома

При изчисляване е желателно мономът да се намали до
стандартен изглед
. Това е най-сбитият и разбираем запис на моном. Процедурата за редуциране на моном до стандартна форма е следната: 1. Умножете коефициентите на монома (или числовите множители) и поставете получения резултат на първо място.

2. Изберете всички степени с една и съща буквена основа и ги умножете.

При изчисляване е желателно мономът да се намали до
3. Повторете точка 2 за всички променливи.
Примери.

I. Редуцирайте дадения моном $3x^2zy^3*5y^2z^4$ до стандартна форма.

Решение.

1. Умножете коефициентите на монома $15x^2y^3z * y^2z^4$.

2. Сега да дадемстандартната форма е сумата от експонентите на всички променливи, включени в неговия запис; ако няма променливи в нотацията на монома и той е различен от нула, тогава се счита неговата степен равен на нула; числото нула се счита за моном, чиято степен е недефинирана.

Определянето на степента на монома ви позволява да дадете примери. Степента на монома a е равна на едно, тъй като a е a 1. Степента на монома 5 е нула, тъй като той е различен от нула и неговият запис не съдържа променливи. И произведението 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 е моном от осма степен, тъй като сумата от показателите на всички променливи a, x и y е равна на 2+1+3+2=8.

Между другото, степента на моном, който не е записан в стандартна форма, е равна на степента на съответния моном от стандартна форма. За да илюстрираме това, нека изчислим степента на монома 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Този моном в стандартна форма има формата −6·x 8 ·y 4, неговата степен е 8+4=12. Така степента на първоначалния моном е 12.

Мономен коефициент

Моном в стандартна форма, който има поне една променлива в своето обозначение, е продукт с един числен фактор - числен коефициент. Този коефициент се нарича мономиален коефициент. Нека формулираме горните аргументи под формата на определение.

1. Умножете коефициентите на монома $15x^2y^3z * y^2z^4$.

Мономен коефициенте численият фактор на моном, записан в стандартна форма.

Сега можем да дадем примери за коефициенти на различни мономи. Числото 5 е коефициентът на монома 5·a 3 по дефиниция, подобно на монома (−2,3)·x·y·z има коефициент от −2,3.

Специално внимание заслужават коефициентите на мономите, равни на 1 и −1. Въпросът тук е, че те обикновено не присъстват изрично в записа. Смята се, че коефициентът на мономи от стандартната форма, които нямат числов фактор в тяхното обозначение, равно на едно. Например мономи a, x·z 3, a·t·x и т.н. имат коефициент 1, тъй като a може да се разглежда като 1·a, x·z 3 - като 1·x·z 3 и т.н.

По същия начин, коефициентът на мономи, чиито записи в стандартна форма нямат числов фактор и започват със знак минус, се счита за минус едно. Например мономи −x, −x 3 y z 3 и т.н. имат коефициент −1, тъй като −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3и т.н.

Между другото, концепцията за коефициента на монома често се нарича мономи от стандартната форма, които са числа без буквени множители. Коефициентите на такива мономи-числа се считат за тези числа. Така, например, коефициентът на монома 7 се счита за равен на 7.

Референции.

Алгебра:учебник за 7 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-високо училище, 1984.-351 с., ил.

Отбелязахме, че всеки моном може да бъде доведе до стандартна форма. В тази статия ще разберем какво се нарича привеждане на моном в стандартна форма, какви действия позволяват извършването на този процес и ще разгледаме решения на примери с подробни обяснения.

Навигация в страницата.

Какво означава да се намали един моном до стандартна форма?

Удобно е да се работи с мономи, когато са написани в стандартна форма. Но доста често мономите се задават във форма, различна от стандартната. В тези случаи винаги можете да преминете от оригиналния моном към моном със стандартна форма чрез извършване на трансформации на идентичност. Процесът на извършване на такива трансформации се нарича редуциране на монома до стандартна форма.

Нека обобщим горните аргументи. Редуцирайте монома до стандартна форма- това означава да направите следното с него трансформации на идентичносттатака че да приеме стандартната форма.

Как да приведа моном в стандартна форма?

Време е да разберем как да редуцираме мономи до стандартна форма.

Както е известно от дефиницията, мономи с нестандартна форма са произведения на числа, променливи и техните степени и евентуално повтарящи се. И един моном от стандартната форма може да съдържа в своята нотация само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени. Сега остава да разберем как да приведем продукти от първия тип към типа на втория?

За да направите това, трябва да използвате следното правилото за редуциране на моном до стандартна формасъстоящ се от две стъпки:

Първо се извършва групиране на числени фактори, както и идентични променливи и техните мощности;
Второ, произведението на числата се изчислява и прилага.

В резултат на прилагане на посоченото правило всеки моном ще бъде редуциран до стандартна форма.

Примери, решения

Остава само да научите как да прилагате правилото от предишен параграфпри решаване на примери.

Пример.

Редуцирайте монома 3 x 2 x 2 до стандартна форма.

Решение.

Нека групираме числови фактори и фактори с променлива x. След групирането оригиналният моном ще приеме формата (3·2)·(x·x 2) . Произведението на числата в първите скоби е равно на 6, а правилото за умножение на степени с на същото основаниепозволява изразът във вторите скоби да бъде представен като x 1 +2=x 3. В резултат на това получаваме полином от стандартната форма 6 x 3.

Ето кратко резюме на решението: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

отговор:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

И така, за да приведете един моном в стандартна форма, трябва да можете да групирате фактори, да умножавате числа и да работите със степени.

За да консолидираме материала, нека решим още един пример.

Пример.

Представете монома в стандартна форма и посочете неговия коефициент.

Решение.

Оригиналният моном има един числен множител в записа си −1, нека го преместим в началото. След това отделно ще групираме факторите с променливата a, отделно с променливата b и няма с какво да групираме променливата m, ще я оставим както е, имаме . След извършване на операции със степени в скоби, мономът ще приеме стандартната форма, от която се нуждаем, от която можем да видим коефициента на монома, равен на −1. Минус едно може да се замени със знак минус: .