Понятие «высказывание» первично. Под высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Любое высказывание либо истинно, либо ложно, и никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным.
Примеры высказываний: есть четное число», «1 есть простое число». Истинностное значение первых двух высказываний - «истина», истинностное значение последних двух
Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Определения не являются высказываниями. Например, определение «целое число называется четным, если оно делится на 2» не является высказыванием. Однако повествовательное предложение «если целое число делится на 2, то оно четное» есть высказывание, и притом истинное. В логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания, ограничиваясь рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
В дальнейшем будем понимать под значением высказывания его истинностное значение («истина» или «ложь»). Высказывания будем обозначать прописными латинскими буквами, а их значения, т. е. «истина» или «ложь» - соответственно буквами И и Л.
Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части, внутренняя структура которых нас не будет интересовать.
Логические операции над высказываниями.
Из элементарных высказываний с помощью логических операций можно получать новые, более сложные высказывания. Истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностных значений высказываний, составляющих сложное высказывание. Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях и отражается в истинностных таблицах. В левых столбцах этих таблиц размещаются всевозможные распределения истинностных значений для высказываний, непосредственно составляющих рассматриваемое сложное высказывание. В правом столбце пишут истинностные значения сложного высказывания соответственно распределениям в каждой строке.
Пусть А и В - произвольные высказывания, относительно которых мы не предполагаем, что известны их истинностные значения. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Отрицание А обозначается через и читается «не A» или «неверно, что А». Операция отрицания полностью определяется истинностной таблицей
Пример. Высказывание «неверно, что 5 - четное число», имеющее значение И, есть отрицание ложного высказывания «5 - четное число».
С помощью операции конъюнкции из двух высказываний получается одно сложное высказывание, обозначаемое А Д В. По определению, высказывание А Д В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами конъюнкции А Д В. Запись «А Д В» читается как «Л и В». Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид
Пример. Высказывание «7 - простое число и 6 - нечетное число» ложно, как конъюнкция двух высказываний, одно из которых ложно.
Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое , истинное в том и только в том случае, когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно.
Соответственно этому высказывание А V В ложно в том и только том случае, когда и А и В оба ложны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами дизъюнкции А V В. Читается запись А V В как «A или В». Союз «или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А V В истинно и при истинности обоих членов. Дизъюнкция имеет следующую истинностную таблицу:
Пример. Высказывание «3 Высказывание, обозначаемое , ложное в том и только в том случае, когда А истинно, а В ложно, называется импликацией с посылкой А и заключением В. Высказывание А-+ В читается как «если А, то 5», или «A влечет В», или «из A следует В». Истинностная таблица для импликации такова:
Отметим, что между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не может повлиять на истинность или ложность импликации. Например, высказывание «если 5 - простое число, то биссектриса равностороннего треугольника является медианой» будет истинным, хотя в обычном понимании второе не следует из первого. Истинным также будет высказывание «если 2 + 2 = 5, то 6 + 3 = 9», поскольку истинно его заключение. При данном определении, если заключение истинно, импликация будет истинной независимо от истинностного значения посылки. В том случае, когда ложна посылка, импликация будет истинна независимо от истинностного значения заключения. Эти обстоятельства кратко формулируют так: «истина следует из чего угодно», «из ложного следует все, что угодно».
Урок №2
Алгебра высказываний. Логические операции.
(урок комбинированный, включающий повторение предыдущей темы,
введение нового материала и закрепление)
Цель урока: Сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические операции.
Задачи урока :
Повторить основные материалы 1 урока (формы человеческого мышления: понятие, суждение, умозаключение);
Познакомить с определением алгебры высказываний;
Познакомить с основными логическими операциями.
Требования к знаниям и умениям:
Учащиеся должны знать:
Что изучает алгебра высказываний и что является объектом изучения алгебры высказываний;
Значения понятий: логическое высказывание, логические операции;
Таблицы истинности логических операций.
Учащиеся должны уметь:
Приводить примеры логических высказываний;
Определять значения логических высказываний;
Называть логические операции и строить для них таблицы истинности.
Этапы урока
I. Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.
II. Повторение. 7мин.
III. Проверка домашнего задания. 5 мин.
IV. Введение нового материала. 20 мин.
V. Закрепление. 7 мин.
VI. Подведение итогов урока. 3 мин.
VII. Постановка домашнего задания. 1 мин.
Ход урока
II. Повторение .
1) Повторение основных определений и понятий 1 урока:
· Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные признаки объектов.
o Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.
Привести примеры .
· Суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.
o Форма суждения – это его строение, способ связи его составных частей.
· Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения)
- Определите, какие из перечисленных фраз являются высказываниями и почему?
1. Как хорошо быть генералом!
2.
3. Познай самого себя.
4. Все медведи живут на севере.
5. Революция не может быть мирной и бескровной.
6.
7.
(Примеры 1 и 3 не являются высказываниями, т. к. являются восклицательным и побудительным предложениями соответственно).
- Теперь определите, простые или составные суждения даны .
(В 5 примере можно разбить на два простых утверждения, значит, оно составное.)
- Определите значения высказываний (истина или ложь).
На 6 примере убеждаемся, что содержание высказывания часто субъективная характеристика. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне науки логики. Например, опираясь на свой жизненный опыт, мы присваиваем определённое значение суждению 6.
Русские пословицы как в примере 4 будут всегда истинны, т. к. опираются на жизненный опыт целых поколений людей.
В примере 7 значение высказывания решается в курсе геометрии, а в 5 утверждении в курсе истории.
Результаты оформляются в виде следующей таблицы:
Фразы | Высказывания | Истина или ложь | Простые высказывания |
1. Как хорошо быть генералом! | |||
2. Без труда не выловишь и рыбку из пруда. | |||
3. Познай самого себя. | |||
4. Все медведи живут на севере. | |||
5. Революция не может быть мирной и бескровной. | |||
6. Талант всегда пробьёт себе дорогу. | |||
7. Сумма углов треугольника равна 1800. |
На прошлом уроке мы говорили, что каждое высказывание состоит из трех элементов:
субъекта, предиката и связки
. Субъект
(S) -
понятие о предмете. Предикат
(P)
- понятие о свойствах и отношениях предмета. Связка -
отношение между субъектом и предикатом.
Определите, что в простых высказываниях является субъектом, предикатом и связкой.
Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
Все медведи живут на севере.
Талант всегда пробьёт себе дорогу.
Сумма углов треугольника равна 1800.
III. Проверка домашнего задания:
Карточка для домашней работы |
1.Из приведенных простых высказываний составьте и запишите не менее 3-ёх составных высказываний: 1) Поедем на дачу. 2) Хорошая погода. 3) Плохая погода. 4) Мы поедем на пляж. 5) Антон приглашает нас в театр . |
2. Выведите, если это возможно, заключение из каждой пары посылок: А) Все птицы – животные. Все воробьи – птицы. Б) Некоторые уроки трудны. Всё, что трудно, требует внимания. В) Ни один добрый поступок не является незаконным. Всё, что законно, можно делать без страха. |
|
А) Тем, кто лыс, расчёска не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос. Следовательно, ящерицам расчёска не нужна. Б) Всем, кто отлично закончит 3 четверть, подарят компьютер. Ты закончил 3 четверть без троек. Значит, готовься получить в подарок компьютер. |
VI. Объяснение нового материала
Алгебра высказываний
Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.
Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж. Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.
В развитии математической логики приняли участие многие выдающиеся математики и логики конца XIX и XX веков, в том числе К. Гедель (австр.), Д. Гильберт (нем.), С. Клини (амер.), Э. Пост (амер.), А. Тьюринг (анг.), А. Чёрч (амер.), и многие другие.
Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).
Таким образом, объектами изучения алгебры логики являются высказывания.
Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Обозначать высказывания будем большими латинскими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А - истинно". Если высказывание Х ложно, то будем писать "Х = 0" и говорить "Х ложно".
Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равно 180о» устанавливается геометрией, причём в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.
Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний. Её интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание. Такое суждение интересов даёт возможность изучать высказывания алгебраическими методами.
Логические операции
В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в алгебре действительных чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над числами). Мы рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них:
- Дизъюнкция (логическое сложение)
Импликация (логическое следование)
Эквивалентность (логическое равенство)
1) Инверсия (логическое отрицание)
Инверсия (логическое отрицание) – это логическая операция, которая каждому данному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное высказывание – ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.
Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью кругов Эйлера , названных в честь великого математика, физика и астронома Леонарда Эйлера ()
Обозначение инверсии: ; неА ; А; NOT А
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
А
Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО...".
Пример: А = "На улице дождь"
= "Неверно, что на улице дождь"
Задание 1. Приведите пример высказывания и его отрицания.
Определите истинность каждого.
Итак, инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.
2) Конъюнкция (логическое умножение)
истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Обозначение конъюнкции: А &В , А andВ , А LВ , А В .
Таблица истинности:
|
||
А
&В
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И»
Пример: А = "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А &В = "На улице дождь и небо голубое"
Задание 2. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя логическую связку "И".
Итак, конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
3) Дизъюнкция (логическое сложение) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.
Обозначение дизъюнкции: А V В , А OR В , А +В .
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
А V В
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ»
Пример: А = "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А V В = "На улице дождь или небо голубое"
Задание 3. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку "ИЛИ".
Итак, дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.
4) Импликация (логическое следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.
Обозначение дизъюнкции: А ® В .
Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:
«ЕСЛИ …, ТО …»
Если клятва дана, то она должна выполняться.
Если число делится на 9, то оно делится и на 3.
Пример: А = " На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А ® В = "Если на улице дождь, то небо голубое"
Задание 4 . а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание, используя связку "ЕСЛИ, ТО...".
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний
Итак, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.
5) Эквивалентность (логическое равенство) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Обозначение дизъюнкции: А « В, А = В, А≡В .
Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»
Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900
Все законы математики, физики, все определения – эквивалентность высказываний
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.
Пример: А = "На улице дождь"
В= "Небо голубое"
А « В = "На улице дождь тогда и только тогда, когда небо голубое"
Задание 5. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»
б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.
Итак, эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
VI. Закрепление изученного.
1. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями :
· Какого цвета этот дом?
· Число Х не превосходит единицы.
· Посмотрите в окно.
· Пейте томатный сок!
· Эта тема скучна.
· Вы были в театре?
2. Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.
3. Приведите по 2 примера истинных и ложных высказываний из математики, биологии, истории, информатики, литературы.
4. Из следующих предложений выбрать те, которые являются высказываниями:
- Коля спросил: «Как пройти к Большому театру?» Как пройти в библиотеку? Картины Пикассо слишком абстрактны. Решение задачи – информационный процесс. Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.
5. Выбрать истинные высказывания:
· “Число 28 является совершенным числом”
· “Без труда не выловишь и рыбку из пруда”
· “Талант всегда пробьёт себе дорогу”
· “Некоторые животные мыслят”
· “Информатика - наука об алгоритмах”
· “2+3*5=30”
· “Все ученики любят информатику”
6.
7. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
8. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
9. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
10. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?
Итог урока:
- Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики. Рассмотрели логические операции. Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности и проиллюстрировали ЛО с помощью кругов Эйлера.
2. Выучить все определения в тетради из конспекта урока .
3. Подобрать высказывания для каждой логической операциипримера)
Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.
Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.
Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.
Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.
Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.
Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.
Логические операции над высказываниями
Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".
Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".
Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3
Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.
Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.
Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.
Пусть даны два произвольных высказывания A и B .
1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".
Таблица истинности для конъюнкции:
| A | B | A ∧ B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .
Таблица истинности для дизъюнкции:
| A | B | A ∨ B |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".
Таблица истинности для следования (импликации):
| A | B | A → B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.
Таблица истинности для отрицания:
| A | ~ A |
| Л | И |
| И | Л |
5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.
Таблица истинности для эквивалентности:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | И | Л |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | И | И | И |
В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).
Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.
Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).
| Связка | Обозначение | Название операции |
| не | отрицание | |
| и | конъюнкция | |
| или | дизъюнкция | |
| если..., то... | импликация | |
| тогда и только тогда | эквивалентность |
Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
Пример 1.
1) (2 = 2) И (7 = 7) ;
2) Не(15 ;
3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;
4) Не("Сосна" = "Дуб") ;
5) (Не(15 20) ;
6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;
7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .
1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:
1) "Пользователь не зарегистрирован";
2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";
3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".
1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;
2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;
3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .
Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:
1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;
2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;
3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;
4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:
1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";
2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";
Пример 5. Определите логическое значение выражения
(p → q ) ↔ (r → s ) ,
p = "278 > 5" ,
q = "Яблоко = Апельсин" ,
p = "0 = 9" ,
s = "Шапка покрывает голову" .
Формулы логики высказываний
Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .
В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.
Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы
p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...
Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .
Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций
~, ∧, ∨, →, ↔,
а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.
Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:
1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;
2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;
3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).
Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).
Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:
6) 
.
1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";
2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";
3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";
4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";
5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";
6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".
Пример 7.
Составьте таблицу истинности для формулы
логики высказываний 
, которую в
таблице можно обозначить f
.
Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".
| p | q | r | f | ||||
| И | И | И | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И | И | Л | И |
| И | Л | И | И | Л | Л | Л | Л |
| И | Л | Л | И | Л | Л | И | И |
| Л | И | И | Л | И | Л | И | И |
| Л | И | Л | Л | И | Л | И | Л |
| Л | Л | И | И | И | И | И | И |
| Л | Л | Л | И | И | И | Л | И |
Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.
Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что
1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;
2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.
Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:
B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )
B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))
(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))
Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.
Тавтологии и противоречия
Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.
Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .
Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .
Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.
Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.
Решение. Составляем таблицу истинности:
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| Л | И | Л | И | И |
| Л | Л | Л | Л | И |
В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.
Алгебра в широком смысле этого слова - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами.
Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д. Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики
; объектами алгебры логики являются высказывания
.
Высказывание
- это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
Пример:
Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в \(1711\) году» и «Two plus six is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» - ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями.
Обрати внимание!
Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.
Пример:
Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.
Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
Например, не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл?».
Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков - математики, физики, химии и т. п.
Примерами высказываний могут служить:
«Nа - металл» (истинное высказывание);
«Второй закон Ньютона выражается формулой \(F = ma\) (истинное высказывание);
«Периметр прямоугольника с длинами сторон \(а\) и \(b\) равен \(аb\)» (ложное высказывание).
Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:
- 3 + 5 = 2 ⋅ 4 (истинное высказывание);
- «II + VI > VIII» (ложное высказывание).
Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные.
Например, предложение \(«x < 12»\) становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: \(«5 < 12»\) - истинное высказывание; \(«12 < 12»\) - ложное высказывание.
Обоснование истинности или ложности высказываний решается теми науками, к сфере которых они относятся. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Её интересует только то, истинно или ложно данное высказывание. В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными . При этом, если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей \((А = 1)\), а если ложно - нулём \((В = 0)\).
\(0\) и \(1\), обозначающие значения логических переменных, называются логическими значениями .
Тема: Логические высказывания и логические операции.
Цели урока:
Сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.
Учащиеся должны знать: значение понятий: логическое высказывание, логические величины, логические операции.
Учащиеся должны уметь:
- приводить примеры логических высказываний;
- называть логические величины, логические операции.
Ход урока
Занятие сопровождается компьютерной презентацией. (Приложение)
I. Оргмомент
На прошлом уроке мы с вами говорили о науке Логике. Мы уже знаем, что в науке логика есть несколько разделов. Один из разделов - Алгебра высказываний.
Запишем заголовок: Алгебра высказываний.
II. Объяснение нового материала
(Слайд 1)
ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно или истинно или ложно.
Например:
Земля - планета Солнечной системы. (Истинно.)
2 + 8 < 5 (Ложно.)
5 · 5 = 25 (Истинно.)
Всякий квадрат есть параллелограмм. (Истинно.)
Каждый параллелограмм есть квадрат. (Ложно.)
2 · 2 = 5 (Ложно.)
Не всякое предложение является высказыванием.
1) Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
- «Какого цвета этот дом?»
- «Пейте томатный сок!»
2) Не являются высказываниями и определения.
«Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны».
Определения не бывают истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.
3) Не являются высказываниями и предложения типа «Он сероглаз» или «х- 4х + 3=0» - в них не указано, о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство. Такие предложения называются высказывательными формами.
Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
(Слайд 2)
В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1 . Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0.
Простые высказывания назвали логическими переменными и для простоты записи их обозначают латинскими буквами: А, В, С…
Луна является спутником Земли. А = 1
Москва – столица Германии. В = 0
Сложные высказывания называются логическими функциями . Значения логической функции также может принимать значения только 0 или 1.
Запишем заголовок:
БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
(Слайд 3)
В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Логические связки И, ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями: конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией . Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию.
(Слайд 4)
КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА?
(Слайд 5)
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ
Обозначим каждое из высказываний латинскими буквами.
А – «Сегодня светит солнце».
В – «Сегодня идет дождь».
Соединим с помощью союза И , получим сложное высказывание. Это и будет логическое умножение.
Запишем определение: Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «и».
Составим таблицу истинности.
(Слайд 6)
Обозначение: &, ^, *.
Союз в естественном языке: и.
Зададим в таблице все варианты, когда высказывания могут быть либо истинными – 1, либо ложными – 0. Теперь посмотрим, что получим в итоге?
Рассмотрим другой вариант: КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА?
(Слайд 7)
(Слайд 8) ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ
А – На стоянке находится «Мерседес».
В – На стоянке находится «Жигули».
Соединим с помощью союза ИЛИ , получим сложное высказывание. Это и будет логическое сложение.
Запишем определение: Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «или».
Составим таблицу истинности. (Слайд 9)
Обозначение: +, V.
Союз в естественном языке: или.
(Слайд 10)
Посмотрите, как проще запомнить дизъюнкцию и конъюнкцию.
В слове дизъюнкция две буквы И, значит ИЛИ, а в слове конъюнкция одна буква И, значит И.
Следующая операция: ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ. (Слайд 11)
Снова обозначим каждое из высказываний латинскими буквами.
Запишем определение: Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…».
Составим таблицу истинности. (Слайд 12)
Обозначение: ¬.
Союз в естественном языке: не; неверно, что…
Следующая операция: ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ. (Слайд 13)
Обозначение: →.
Союз в естественном языке: если…, то….
Запишем определение: Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Составим таблицу истинности. (Слайд 14)
III. Итог урока
Сегодня мы с вами рассмотрели логические высказывания и логические операции. У кого есть вопросы по данной теме?