Урок по теме «Решение квадратных неравенств»
С тех пор как существует мирозданье,
Такого нет, кто б не нуждался в знанье.
Какой мы ни возьмем язык и век,
Всегда стремится к знанью человек.
Цель урока: познакомить учащихся с решением квадратных неравенств.
Задачи урока:
Ввести понятие квадратного неравенства, дать определение.
Познакомить с алгоритмом решения неравенств на основе свойств квадратичной функции.
Сформировать умения решать неравенства данного вида.
Выработать умения анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать.
Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы.
Формировать графическую и функциональную культуру учащихся.
Формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.
Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации.
Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью.
Формировать навыки общения, умения работать в коллективе.
Воспитывать уважение к предмету.
Образовательные :
Развивающие :
Воспитательные :
Оборудование:
Медиа-пректор
Интерактивные презентации к уроку
Раздаточный материал
ХОД УРОКА
Математика – наука древняя, интересная и полезная. Сегодня мы с вами в очередной раз убедимся в этом. На предыдущих уроках вы узнали, что графиком квадратного трёхчлена является парабола; как располагается парабола в зависимости от старшего коэффициента и числа корней уравнения a x 2 + bx + c = 0. А ведь парабола встречается не только на уроках математики! О применение параболы в физике, технике, архитектуре, в природе, в повседневной жизни постараемся узнать сегодня и на последующих уроках.
II. Актуализация. Стадия «вызова»
1. Фронтальный опрос:
Какое уравнение вы видите на слайде?
Какая функция называется квадратичной?
Что является графиком квадратичной функции?
От каких параметров зависит расположение параболы на координатной плоскости?
Повторим расположение параболы в зависимости от старшего коэффициента и числа корней квадратного трёхчлена (устно).
Проверка осуществляется при помощи слайда 2(Презентация )
Для выполнения следующего задания вызывается к компьютеру один обучающийся.
На экране появляются шесть графиков квадратичных функций и значения старшего коэффициента (а
) и дискриминанта квадратного трёхчлена (D). Нужно выбрать график, соответствующий указанным значениям, для этого сделать клик на прямоугольнике с цифрой или на слове «нет», если такие значения отсутствуют. При правильном ответе открывается часть картинки, при неправильном – возникает слово «ошибка», чтобы вернуться к заданиям, нужно нажать на управляющую кнопку «назад». После верного выполнения всех заданий картинка откроется полностью.
Ученик у компьютера выбирает ответ, рассуждая вслух. Класс следит за ответом товарища, соглашается или высказывает иное мнение, возможно, оказывает помощь. (слайды 3-15)
2. Найдите корни квадратного трехчлена:
I вариант
а) х 2 + х – 12
б) х 2 + 6х + 9.
II вариант
а) 2х 2 – 7х + 5;
б) 4х 2 – 4х + 1.
Обучающиеся работают в тетрадях, затем проверяют ответы по представленным учителем на экране презентации решениям (слайд 16, проверка – слайд 17).
3. Для выполнения тестовых заданий на определение по графику квадратичной функции значений аргумента при которых она 0, 0, 0, можно вызвать 2 человек по два задания для каждого. (Слайды 18-25)
Обучающийся ищет верный ответ, рассуждая вслух.Если выбран неверный ответ, то появляется красная палочка, какой обычно учитель указывает на ошибки в тетрадях, а если верный, то выноска со словом «верно».
Итак, мы повторили необходимый материал. С какими трудностями вы встретились при выполнении заданий? Некоторые обнаружили у себя слабые места, но я надеюсь, разобрались в своих ошибках и больше их не совершат. (Подводится итог этапа актуализации).
III. Изложение нового материала. Стадия «осмысления»
– А сейчас, следуя совету академика И.П. Павлова: « Никогда не берись за последующее, не усвоив предыдущее»
, мы, хорошо усвоив предыдущее, переходим к последующему.
Выполняя последние 8 заданий, вы выясняли, на каких промежутках функция принимает положительные, неположительные значения, а на каких отрицательные и неотрицательные. К какому виду функций относятся функции, представленные в заданиях? Назовите в общем виде формулу, задающую эти функции (y = a
x 2 + bx + c).
Отвечая на вопросы о промежутках где функция 0, 0,
0, вам приходилось решать неравенства. Назовите в общем виде неравенство, которое вам приходилось решать (a
x 2 + bx + c
a
x 2 + bx + c 0,
a
x 2 + bx + c 0, a
x 2 + bx + c
0).
Подумайте, как бы вы назвали эти неравенства?
Объявляется тема урока с записью в конспектах (слайды 26-27).
Устная работа (слайд 28)
Если учащиеся считают, что неравенство не относится к названному виду, то поднимают руку, в противном случае сидят неподвижно.
Перед вами новый вид неравенств. Чему же вы должны научиться на этом уроке?
Ученики формулируют цели урока
Чтобы решить квадратное неравенство достаточно посмотреть на график функции y = a x 2 + bx + c. Какие знания о квадратичной функции нам понадобятся для составления алгоритма решения неравенств? (учащиеся предлагают различные варианты). Учитель корректирует и структурирует предложенное.
Затем шаги алгоритма появляются на слайде презентации, одновременно с ними появляется пример решения квадратного неравенства (слайд 29 ).
Материализация
Обучающиеся приступают к решению квадратных неравенств (задание на доске). Один ученик решает неравенство у доски по алгоритму. Контроль проводится с помощью слайдов презентации (пошаговое решение) (слайд 30 и презентация на компьютере)
Решите неравенства:
х 2 +6х-92 +6х-9≤0, х 2 +6х-90, х 2 +6х-9≥0.
Цель работы: заполнить схему решения квадратных неравенств при а 0 в зависимости от знака дискриминанта соответствующего квадратного уравнения (Приложение 2 ). После выполнения задания результаты проверяются при помощи слайда 31.
IV. Применение знаний, формирование умений и навыков
На ГИА часто предлагают задания на установление соответствий. Сейчас мы устно выполним такие задания и посмотрим, как усвоили новый материал, есть ли ошибки и почему.
Устная работа (слайды на компьютерах)
– А сейчас давайте решим квадратное неравенство с параметром, такие задания тоже встречаются на ГИА во 2 части. Обучающиеся предлагают решения, обсуждают и записывают в карточки. Поэтапная проверка осуществляется при помощи слайдов 32, 33.
Затем проводится ТЕСТ на два варианта (Приложение 3 ). После выполнения обучающиеся обмениваются бланками и проверяют. Ответы (слайд 34 )
Мотивация
– А находят ли применение квадратные неравенства в окружающем нас мире?! А может это просто прихоть математиков?! Наверно нет! Ведь всякое явление можно описать с помощью функции, а умения решать неравенства позволяют ответить на вопрос, при каких значениях аргумента эта функция положительна, а при каких отрицательна.
V. Домашнее задание (слайд 35)
§ 41, № 41.02-06 (а,г). Составить схему для решения неравенств при а
В дополнительной литературе или с помощью Интернет ресурсов постарайтесь найти нерассмотренные на уроке области применения квадратных неравенств.
YI . Поиск применения параболы в сети Интернет.
Притча
Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.
У первого спросил: «Что, ты, делал целый день?»
И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни.
У второго мудрец спросил: «А что, ты, делал целый день?» И тот ответил: «а я добросовестно выполнял свою работу».
А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью: «А я принимал участие в строительстве храма!»
Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок..
В этом видеоматериале пойдет речь о решении неравенств, которые имеют переменную. Они так и называются - неравенствами с одной переменной. Что же является решением таких неравенств? Это такие значения переменной, при которых решаемое нами неравенство становится верным числовым неравенством. А решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет. Для нахождения этих решений мы используем свойства числовых неравенств, которые рассматривались ранее.
Рассмотренный в видео уроке простой пример показывает, как важно иметь четкий алгоритм решения, иначе говоря, знать правила решения неравенств.
Вот предлагается простое неравенство 2х + 5 < 7. Представим себе, что алгоритма решения у нас нет. Значит, мы будем перебирать все числа и смотреть, какие из них нам подходят, то есть при каких значениях переменной х данное неравенство станет верным числовым неравенством. Просматривая видео, замечаем, что подстановка одних чисел дает нам верное числовое неравенство, а подстановка других этого не дает. Приведенный пример показывает неэффективность данного способа решения.
Обратимся к свойствам числовых неравенств. Мы знаем, что к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число. От этого неравенство не изменится. Также мы знаем, что обе части неравенства можно делить или умножать на одно и то же положительное число. В видео уроке показано, как, используя эти свойства, можно найти решение заданного неравенства. Получилось, что х < 1. Это значит, что все числа х, меньше единицы, являются решением неравенства. Они образуют открытый промежуток от минус бесконечности до единицы (числовой луч). Другими словами, у нас есть множество решений заданного неравенства. Окончательное решение неравенства можно записать, используя такие формы.
Первая форма записи: х < 1 (х меньше единицы).
Вторая форма записи: х Є (-∞; 1) (х принадлежит промежутку от минус бесконечности до единицы).
На основании рассмотренных ранее свойств числовых неравенств, можно сформулировать правила, с помощью которых решаются неравенства с одной переменной. Эти правила сформулированы в настоящем видео уроке.
Неравенства с одной переменной вида ах + b > 0 или ах + b < 0 называются линейными неравенствами. Неравенства могут также быть нестрогими, то есть содержать знак ≥ или ≤.
Зх - 5 ≥ 7х - 15.
Для решения неравенства применяются уже известные нам правила. Сначала члены, содержащие переменную, собираем в левой части. При переносе из правой части в левую часть, слагаемое 7х, меняет знак. Числовые члены неравенства собираем в правой части, опять же не забывая менять знаки.
Далее придется разделить обе части неравенства на отрицательное число -4. В результате такого деления получается неравенство противоположного смысла. Обратите внимание, что в ходе решения мы постоянно пользуемся правилами решения неравенств. Окончательно получается, что х ≤ 2,5. Решение можно записать, используя любую из форм:
1. х ≤ 2,5 (х меньше либо равен 2,5);
2. х Є (-∞; 2,5] (х принадлежит промежутку от минус бесконечности до 2,5).
При изучении уравнений было рассмотрено понятие об их равносильности. Для неравенств тоже существует это понятие. Два неравенства с одной переменной будут равносильными, если решения этих неравенств совпадают. Если неравенства не имеют решений, то они также являются равносильными.
Существование равносильных неравенств позволяет намного упростить решение. Ведь тогда неравенство можно заменить равносильным ему, но более простым неравенством.
С помощью таких равносильных преобразований решается пример 2 настоящего видео урока.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации.
Цели урока :
- обучающая : в результате урока учащиеся обобщают и систематизируют знания по теме «Неравенства», знакомятся с новым способом решения некоторых логарифмических неравенств.
- развивающая : в результате урока учащиеся учатся анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;
- воспитательная : в результате урока учащиеся развивают коммуникативные навыки, ответственное отношение к достижению цели.
Оборудование компьютер, мультимедийный проектор.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний
«Решение неравенств» – тема очень актуальная в математике. С неравенствами мы встречались на уроках алгебры, начиная с 8 класса. Мы рассматривали разные виды и разные способы решения неравенств. Сегодня мы вспомним основные виды неравенств, назовём способы их решений и познакомимся с некоторыми приёмами, упрощающими их решения. Слайд 1
Чтобы решать сложные неравенства, надо хорошо знать решение простейших неравенств.
Сообщение учащегося
1. Виды неравенств и их решение.
| Вид неравенства | Решение |
| Линейные |
 |
| Содержащие чётную степень
|
 |
| Содержащие нечётную степень
|
|
| Иррациональные
|
 |
| Иррациональные |
|
Показательные
|
|
| Логарифмические |
|
Тригонометрические
|
При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции |
Вопрос учащимся: Какие преобразования используют при решении неравенств?
Учащиеся называют : возведение в чётную или нечётную степень, логарифмирование, потенцирование, применение формул, позволяющие привести неравенство к более простому виду.
Вопрос: Что может произойти с множеством решений неравенства в процессе преобразований?
Учащиеся отмечают, что множество решений либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения).
Поэтому важно знать какие преобразования неравенств, являются равносильными и при каких условиях.
Сообщение учащегося
2. Равносильность неравенств.
Перечислим некоторые преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.
Назовем преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел
- Возведение неравенства в чётную степень; (на множестве где обе функции неотрицательны)
- Потенцирование неравенства; (на множестве где обе функции положительны)
- Умножение обеих частей неравенства на функцию; (на множестве где функция положительна)
- Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) (на множестве где одновременно определены обе части применяемой формулы)
Фронтальная работа
Вопрос учащимся: Равносильны ли неравенства? Почему?
II. Изучение нового материала
Учитель: В зависимости от интерпретации неравенства различают
- алгебраический
- функциональный
- графический
- геометрический
подходы в решении неравенств. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие или частичные преобразования неравенств. При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.). Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемые.
Среди алгебраических методов решения неравенств выделяют:
- Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
- Метод замены
- Разбиение области определения неравенства на подмножества
Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы попытаемся искать наиболее рациональные способы решения неравенств.
Логарифмическое неравенство можно свести к равносильной совокупности систем неравенств
Решите неравенство : (учащиеся работают в группах)
Ответ:
Учитель: Оказывается, что данное неравенство можно решить иначе.
Зная свойства логарифма о том, что log а b < 0, если a и b по разные стороны от 1, log a b > 0, если a и b по одну сторону от 1, можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства. Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.
Урок по теме: «Решение неравенств методом интервалов».
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.
ЦЕЛИ УРОКА:
Обобщить, расширить знания школьников по изучаемой теме.
Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать. Побуждать учеников к самоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность.
Оборудование и материалы : компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся, оценочные листы.
Работа учащихся состоит из этапов. Итоги своей деятельности они фиксируют в оценочных листах, выставляя себе оценку за работу на каждом этапе урока.
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ.
этап
Вид работы
Оценка
Повторение. Тест.
Графический диктант.
Практическая работа.
Исследование.
Оценка урока.
Этапы урока:
Повторение (тест)
Графический диктант.
Практическая работа.
Изучение нового.
Подведение итогов урока (рефлексия, самооценка).
Ход урока
Организационный момент.
Учитель сообщает учащимся тему и цель урока.
Тема «Решение неравенств методом интервалов». Цель урока: обобщение и расширение знаний по данной теме.
Знакомит с требованиями ведения оценочного листа.
Сообщение темы и цели урока .(приложение №1-слайд1)
Тема, которую мы сейчас изучаем, поможет вам, ребята, при сдаче не только экзаменов за курс базовой школы, но и поможет успешно сдать централизованное тестирование и непременно понадобится вам для продолжения образования. А в том, что вы захотите его продолжить, я ничуть не сомневаюсь.
Желаю вам успехов в сегодняшней работе и пусть эпиграфом нашего урока будут слова персидского поэта Рудаки: (приложение №1-слайд2)
« С тех пор, как существует мирозданье,
Такого нет, кто б не нуждался в знанье,
Какой мы не возьмём язык и век,
Всегда стремился к знанью человек».
Итак, ребята, открываем тетради, записываем дату и классная работа.
Сегодня на уроке: (приложение №1-слайд3)
Повторение (тест) (использованы КИМы для подготовки к итоговой аттестации). – 10 мин.
Графический диктант. – 5, 7 мин.
Практическая работа. – 15 мин
Изучение нового. – 10 мин.
Подведение итогов урока. Рефлексия. – 3 мин.
Повторение (чтение графиков; графический способ решения уравнений, систем уравнений, неравенств) (приложение №2)
Графический диктант .( приложение №1- слайд4)
« V » – согласен с утверждением; «–» – не согласен с утверждением.
Методом интервалов можно решать только неравенства II степени.
Для решения неравенств методом интервалов левую часть нужно разложить на множители.
Для решения дробно-рациональных неравенств методом интервалов необходимо находить ОДЗ.
На числовой прямой отмечаем только нули функции.
Знаки функции на каждом интервале всегда чередуются.
Неравенства могут иметь решение, состоящее из единственного числа.
Решением неравенства с одной переменной может быть множество всех чисел.
Ответ обязательно нужно записывать в виде промежутков.
Метод интервалов позволяет решать и другие задачи.
К л ю ч: ( приложение №1- слай5) 1) - 2) V 3) V 4) - 5) - 6) V 7) V 8) - 9) V
Оценка «5» – 9 правильных ответов;
Оценка «4» – 7, 8 правильных ответов;
Оценка «3» – 5, 6 правильных ответов;
Оценка «2» – меньше 5 правильных ответов.
Практическая работа (с проверкой ) (приложение №1-слайд 6)
Вариант 1.
№
а) б) ; в)
№
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства:
а) б) ; в)
№2. Найдите область определения функции:
Самопроверка практической работы ( приложение №1- слайды 7-9).
Оценка практической работы ( приложение №1- слайд10)
Изучение нового .( приложение №1-слайд11 )
Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней.
f (x ) > 0(<, ≤, ≥)
Обязательная фраза : Поскольку функция f (x ) непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Функция может изменить свой знак при переходе через ноль или точку разрыва. Хотя может и не изменить. Между нулями и точками разрыва знак сохраняется. Тогда зачем при решении неравенства изображать саму функцию?
Достаточно разбить числовую прямую на интервалы нулями функции и точками разрыва и в каждом из них определить знак.
Пример. Решим неравенство
Решение:
Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .
Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.
Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.
Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:
Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:
Из рисунка видно, что такими х
Решение:
1 вариант: х=3; х=-2; х=7; х=10
+ - - - +
2 3 7 10
2 вариант: х=9; х=2; х=-6; х=1
- + _ + +
6 1 2 9
(Два ученика решают неравенства на доске, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).
Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам ( приложение №1- слайд13) :
Домашнее задание .( приложение №1-Слайд14)
Решить неравенство:
Построить эскиз графика функции:
Подведение итога урока. Рефлексия . ( приложение №1-слайд15)