Разность векторов из одной точки. Урок «Сложение и вычитание векторов

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Введем правило сложения двух векторов.

Пусть нам даны два неколлинеарных вектора a и b. Отложим от произвольной точки пространства А вектор АВ, равный вектору а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b. Вектор АС называется суммой векторов а и b.

Нужно отметить, что сумма векторов не зависит от выбора точки А.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Правило треугольника: для любых трёх точек А, В, С имеет место равенство: вектор АВ плюс вектор ВС получается вектор АС.

При сложении неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Пусть даны векторы а и b. От произвольной точки А отложим векторы АВ и АС, равные соответственно а и b. Достроим до параллелограмма, проведя дополнительные линии, параллельно данным векторам. Вектор AD являющийся диагональю параллелограмма, выходящий из точки А есть сумма векторов а и b.

Решим задачу №327 под буквой а.


На рисунке изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1.Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов AB и A1D1 .

Воспользуемся правилом параллелограмма. К вектору АВ прибавим вектор АD, равный вектору A1D1.

Суммой этих векторов будет диагональ основания параллелепипеда, то есть вектор АС.

Напомним свойства сложения векторов, так как они ни чем не отличаются от свойств сложения векторов в планиметрии:

Для любых трех векторов а, бэ и це, выполняются равенства

1) переместительный закон

2) сочетательный закон

Введем определение противоположных векторов.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены

Вектор минус а противоположен вектору а

Вектор DF противоположен вектору FD, и равен минус вектор FD


Определим вычитание векторов

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору.

Разность векторов и можно найти как сумму вектора с противоположным вектором вектору.

Введем правило вычитания векторов.

Пусть нам даны два неколлинеарных вектора и. Отметим произвольную точку А. Отложим от точки А вектор АВ, равный вектору а и вектор АС, равный вектору b. Вектор СВ будет разностью данных векторов.

Существует правило для трех точек.

Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.

Добавляем третью точку (любую) и задаем разность из вектора, проведенного из этой точки в конец данного вектора минус вектор, проведенный в начало.

Решим задачу №332

На рисунке изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1 Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.


Рассмотрим вектор АВ1 и воспользуемся правилом трех точек. Третьей точкой удобно взять точку А1. Вектор, проведенный в конец то есть в точку В1 будет А1В1 и в начало точку А - вектор А1А. Получаем АВ1 равно А1В1 минус А1А.

Выполним это же задание для вектора DK. Здесь третьей точкой удобно взять точку D1. Вектор в конец ¬ - D1K, в начало - D1D. Получим вектор DK равен D1K минус D1D.

Определение

Сложение векторов иосуществляется поправилу треугольника .

Суммой двух векторов иназывают такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец - с концомпри условии, что конец вектораи начало векторасовпадают (рис. 1).


Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора ипривести к общему началу, то векторсовпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 2). Причем начало векторасовпадает с началом заданных векторов.

Определение

Вектор называетсяпротивоположным вектором к вектору , если онколлинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

Определение

Разностью векторов иназывается вектортакой, что выполняется условие:(рис. 3).

Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора на число называется вектор, удовлетворяющий условиям:

Свойства умножения вектора на число:

Здесь и- произвольные векторы,,- произвольные числа.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённымскалярным произведением , либо метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

Мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение(если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

Аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством .

Пример евклидова пространства - координатное пространство состоящее из всевозможныхn -ок вещественных чисел скалярное произведение в котором определяется формулой

    Базис и координаты вектора

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) - множество таких векторов в векторном пространстве , что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов .

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

    Базис Га́меля , в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).

    Базис Ша́удера , в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно - разложение в ряды . Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства ,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат , равной данному вектору.

где - координаты вектора.

    Скалярное произведение.

операция над двумя векторами , результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами ], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x . Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

    Векторное произведение

это псевдовектор , перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве . Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным ) и, в отличие от скалярного произведения векторов , является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

    Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

    Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов -скалярное произведение вектора навекторное произведение векторов и:

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр ).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда , образованного векторами .смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

    Плоскость в пространстве

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Некоторые характеристические свойства плоскости

    Плоскость - поверхность , содержащая полностью каждую прямую , соединяющую любые её точки ;

    Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.

    Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.

    Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.

    Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Аналогично отрезку и интервалу , плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.

    Общее уравнение (полное) плоскости

где и- постоянные, причёмиодновременно не равны нулю; ввекторной форме:

где - радиус-вектор точки, векторперпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусы вектора :

Векторы - целый класс математических объектов, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Векторы широко используются в научных исследованиях и современных технологиях.

Понятие вектора

Геометрически вектор - это направленный отрезок, у которого заданы начало и конец. Такие математические объекты необходимы для описания физических величин или явлений, которые имеют направление. Например, масса, объем или площадь характеризуются абсолютным значением в килограммах, кубометрах или гектарах, но они не имеют никакого направления. Такие величины называются скалярными. А вот восточный ветер, дующий со скоростью 5 м/с - это направленная величина и для ее обозначения используется вектор.

К векторным величинам относятся скорость, ускорение, сила, поток, импульс или напряженность. Любая векторная величина имеет точку приложения, величину (модуль) и направление. К примеру, ускорение всегда прикладывается к центру масс, направлено перпендикулярно к поверхности земли и имеет модуль, равный 9,81 м/с². Существует и другое понятие вектора. Пусть велосипедист отправился из пункта A в пункт B. Конечное расстояние, которое преодолел велогонщик, и представляет собой вектор AB.

Сложение и вычитание векторов

С самого начала мы привыкли к арифметическим операциям со скалярными величинами, то есть с числами. Числа можно складывать и умножать, вычитать и делить, сравнивать между собой, раскладывать на множители, классифицировать и находить интересные зависимости. Вектор - новый математический объект, с которым точно также можно проводить различные операции.

Как и в случае с числами, существуют своеобразные нули и единицы аналитической геометрии. Единичный вектор, он же орт - это направленный отрезок, модуль которого равен единице. Орт часто выбирают в качестве базисного вектора, что значительно упрощает выкладки. Нулевой вектор - это отрезок, длина которого равна нулю, то есть точка. Начало и конец такого отрезка совпадают, а сам нулевой вектор необходим для элегантного решения задач, так как любая операция с вектором в результате должна давать вектор.

Вектор - это предмет изучения аналитической геометрии. Школьная геометрия представляет собой множество теорем, доказательств, чертежей и графических выкладок. Аналитическая геометрия - другое дело. Когда мы думаем о решении задачи, то перед нами стоит два пути: найти ответ графическим или аналитическим путем, то есть применить аппарат геометрии или алгебры. Аналитическая геометрия позволяет исследовать фигуры методами алгебры, поэтому решение векторных задач сводится к применению элегантных формул.

В отличие от чисел, векторы нельзя делить или сравнивать друг с другом. Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует, так как они могут быть направлены в разные стороны. Деление вектора на вектор дает в результате бесконечное количество ответов, следовательно, такая операция бессмысленна. А вот суммировать направленные отрезки можно и нужно. Сумма двух векторных величин - это некий третий вектор. Найти его можно тремя способами.

Аналитическое решение

Данный способ подходит в случаях, если известны координаты точек начала и конца векторов. Для суммирования векторных величин необходимо сложить соответствующие координаты точек. Если у нас есть вектор x = (x1; x2) и y = (y1; y2), то результирующий вектор z будет равен:

z = x + y = (x1 + y1; x2 + y2).

Элементарно. Если нам требуется найти разность, то формула для решения идентична:

z = x − y = (x1 − y1; x2 − y2).

Данная формула используется для сложения/вычитания векторов на плоскости. Если вектор находится в пространстве, то добавляется дополнительная координата. Следующие два правила используются для графического решения задач аналитической геометрии.

Правило треугольника

Данное правило используется в случае, если суммируются вектора, отложенные последовательно друг за другом. Это означает, что начало вектора y является одновременно концом вектора x. Суммирующий вектор z в этом случае соединяет начало одного направленного отрезка с другим.

Правило параллелограмма

Этот прием применяется в ситуациях, когда суммируются вектора, исходящие из одной точки. Это значит, что начало вектора x совпадает с началом вектора y, а результирующий вектор z является диагональю параллелограмма, образованного векторами x и y.

Наша программа представляет собой калькулятор, при помощи которого вы можете сложить/вычесть два плоских или пространственных вектора. Алгебраическая операция выполняется по координатам точек направленного отрезка, после чего программа отрисовывает графическое решение по правилу параллелограмма. Для сложения двух векторов вам понадобится ввести в ячейки координаты точек начала и конца каждого отрезка, после чего сделать всего один клик мышкой. Для вычитания векторов достаточно изменить тип операции в меню калькулятора. Рассмотрим на примере.

Примеры операций векторами

Пусть у нас есть два пространственных отрезка, которые задаются координатами x = (1; 2; 3) и y = (7; 8; 9). Введем эти данные в форму и рассчитаем:

  • результирующий отрезок z для суммы x и y, равен z = (8; 10; 12);
  • результирующий вектор z для разности x и y, равен z = (-6; -6; -6).

Это абстрактный пример, не имеющий привязки к практической задаче. Одной из занятных иллюстраций к сложению векторов выступает басня Крылова о лебеде, раке и щуке. Животные прикладывали к возу силы, которые в свою очередь являются векторными величинами. Однако эти вектора были разнонаправленными и при сложении превращались в нулевой вектор. Результирующая сила была равна нулю, поэтому воз и ныне там.

Заключение

Векторы используются для обозначения величин, которые имеют направление, поэтому в реальной жизни мы часто встречаемся с явлениями, которые в физике описываются при помощи направленных отрезков. Благодаря калькулятору вы сможете сложить или вычесть два плоских или пространственных вектора и получить графическую иллюстрацию этой операции.