Что такое биссектриса угла треугольника? На этот вопрос у некоторых людей с языка срывается небезызвестная крыса, бегающая по углам и делящая угол пополам". Если ответ должен быть "с юмором", то, возможно, он правилен. Но с научной точки зрения ответ на этот вопрос должен был бы звучать примерно так: начинающийся в вершине угла и делящий последний на две равные части". В геометрии эта фигура также воспринимается как отрезок биссектрисы до ее пересечения с противолежащей сторонй треугольника. Это не является ошибочным мнением. А что еще известно о биссектрисе угла, кроме ее определения?
Как и у любого геометрического места точек, у нее имеются свои признаки. Первый из них - скорее, даже не признак, а теорема, которую можно кратко выразить так: "Если биссектрисой разделить противоположную ей сторону на две части, то их отношение будет соответствовать отношению сторон большого треугольника".
Второе свойство, которое она имеет: точка пересечения биссектрис все углов называется инцентром.
Третий признак: биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в центре одной из трёх в нее вписанных окружностей.
Четвертое свойство биссектрисы угла треугольника в том, что если каждый из них равен, то последний является равнобедренным.
Пятый признак тоже касается равнобедренного треугольника и является главным ориентиром по его распознаванию на чертеже по биссектрисам, а именно: в равнобедренном треугольнике она одновременно выполняет роль медианы и высоты.
Биссектриса угла может быть построена с помощью циркуля и линейки:
Шестое правило гласит, что невозможно построить треугольник с помощью последних только при имеющихся биссектрисах, как и невозможно построить таким способом удвоение куба, квадратуру круга и трисекцию угла. Собственно говоря, это и есть все свойства биссектрисы угла треугольника.
Если вы внимательно читали предыдущий абзац, то, возможно, вас заинтересовало одно словосочетание. "Что такое трисекция угла?" - наверняка спросите вы. Триссектриса немного схожа с биссектрисой, но если начертить последнюю, то угол поделится на две равные части, а при построении трисекции - на три. Естественно, что биссектриса угла запоминается легче, ведь трисекцию в школе не учат. Но для полноты картины расскажу и о ней.
Триссектрису, как я уже сказала, нельзя построить только циркулем и линейкой, но ее возможно создать с помощью правил Фудзиты и некоторых кривых: улитки Паскаля, квадратрисы, конхоиды Никомеда, конических сечений,
Задачи по трисекции угла достаточно просто решаются при помощи невсиса.
В геометрии существует теорема о триссектрисах угла. Называется она теоремой Морли (Морлея). Она утверждает, что точки пересечения находящихся посередине триссектрис каждого угла будут вершинами
Маленький черный треугольник внутри большого всегда будет равносторонним. Эта теорема была открыта британским ученым Фрэнком Морли в 1904 году.
Вот сколько всего можно узнать о разделении угла: триссектриса и биссектриса угла всегда требуют детальных объяснений. А ведь здесь было приведено множество еще не раскрытых мной определений: улитка Паскаля, конхоида Никомеда и т.д. Не сомневайтесь, о них можно написать еще больше.
Треугольник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная линия с тремя звеньями, или фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 1).
Основные элементы треугольника abc
Вершины – точки A, B, и C;
Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;
Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.
Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника (2, стр. 534).
Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника
Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы исредние линии.
Высота
Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны.
Для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, провести отрезок из точки к этой прямой, составляющий с ней угол 90 градусов.
Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 2).
Свойства высот треугольника
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.
Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.
Медиана
Медианы (от лат. mediana– «средняя») – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 3).
Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2)соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком.
Свойства медиан треугольника
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса
Биссектрисами (от лат. bis – дважды» и seko – рассекаю) называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы (см. рис. 4).
Для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части (биссектрису угла);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) выделить отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне.
Свойства биссектрис треугольника
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.
Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка - центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
Тема урока
Биссектриса угла
Цели урока
Пополнить знания школьников о биссектрисе угла и ее свойствах;
Ознакомить с новой информацией о биссектрисе угла;
Расширить знания учеников о том, что теорему о свойствах биссектрисы можно доказывать разными способами;
Развивать логическое мышление, интерес к математическим наукам, настойчивость и способность к анализу.
Задачи урока
Расширить знания учеников о биссектрисе угла;
Закрепить навыки построения биссектрисы угла при помощи чертежных инструментов;
Получить дополнительные и интересные сведения по данной теме;
Дать сведения о значении теоремы в развитии математики;
Закрепить полученные знания путем решения задач;
Воспитывать усидчивость, любознательность и желание изучать математические науки.
План урока
1. Раскрытие главной темы урока о биссектрисе угла;
2. Повторение пройденного материала;
3. Занимательная информация о биссектрисе.
4. Историческая справка, греческая геометрия.
5. Домашнее задание.
Биссектриса угла
Сегодняшний урок мы с вами посвятим теме биссектрисы. Давайте вспомним определения биссектрисы.
Биссектрисой является геометрическое место точек, равноудаленное от сторон угла.
Если говорить проще, то биссектриса – это линия, разделяющая угол пополам.
Биссектрисой угла - луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два других равных угла.
Слово «биссектриса» в переводе с французского языка обозначает, как надвое рассекающая или равноделящая угол пополам.
Биссектриса треугольника
Кроме биссектрисы угла еще бывает биссектриса треугольника, ведь треугольник содержит целых три угла, соответственно каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы.
Что же такое биссектриса треугольника? Биссектриса треугольника является отрезком биссектрисы угла, соединяющим в треугольнике его вершину с точкой на противоположной стороне.
Биссектриса треугольник обладает определенными уникальными свойствами. Так, например, она разделяет противоположную сторону на отрезки, которые являют пропорциональными другим двум сторонам.
Что касается прямоугольного треугольника, то его биссектрисы именно острых углов, когда пересекаются, образуют угол именно в 45 градусов.
К тому же, не стоит забывать и такое свойство биссектрис треугольника, как то, что пересекаются они строго в центре вписанного в треугольник круга.
Ну а самое интересное то, что для равнобедренного треугольника линия, которая проведена к основанию, будет и биссектрисой, и медианой, и высотой. Соответственно и обратное правило, что если медиана, высота и биссектриса, которое проведены из одной вершины треугольника, совпадают, то перед нами равнобедренный треугольник.
А какие вы можете вспомнить свойства прямоугольного и равнобедренного треугольника?
Построение биссектрисы
Биссектрису угла строится с помощью транспортира, при использовнии его градусной меры. Чтобы приступить к построению биссектрисы, мы берем и делим градусную меру пополам и, отложив на одной стороне вершины градусную меру половинного угла, и тогда вторая половина становится биссектрисой заданного угла.
Берем заданный угол, который имеет градусную меру в девяносто градусов, и с помощью биссектрисы получаем два построенных угла по 45 градусов.
Развернутый угол при помощи биссектрисы разделяет угол на 2 прямых угла. Тупой же угол при построении биссектрисы разделяет его на 2 острых угла.
Из определения биссектрисы нам известно, что она является лучом, разделяющим угол пополам. Чтобы построить биссектрису, значит, нужно угол разделить пополам.
Алгоритм построения биссектрисы угла
1. Вначале чертим окружность с центром в вершине угла таким образом, чтобы она пересекала его стороны.
3. Чертим 2 окружности радиусом так, чтобы они имели точку пересечения внутри этого угла.
4. Теперь проводим из вершины угла луч таким методом, чтобы он проходил через точку пересечения этих окружностей. Этот луч и является биссектрисой данного угла.
А теперь давайте попробуем доказать, что полученный луч является биссектрисой этого угла. Возьмем на примере двух треугольников, у которых одна сторона общая, то есть отрезок от вершины до точки пересечения окружностей, которую мы получили в 3п.
2-я пара соответствующих сторон – это полученные в 1п., отрезки, которые идут от вершины угла до точек пересечения окружности с его сторонами.
Третья пара соответствующих сторон - это соответственно отрезки, полученные в 1п. от точек пересечения окружности, до точки пересечения окружностей, но полученных в 3п.
Следовательно, 2 пары данных отрезков равны, поскольку являются радиусами одной или двух окружностей, но с одинаковым радиусом. Отсюда следует, что по всем трем сторонам треугольники равны. Известно, что когда треугольники равны, то равны и их углы. Поэтому при вершине два новых угла и данных угла по условию задачи равны, следовательно, что построенный луч будет биссектрисой.
Занимательная информация о биссектрисе
Знали ли вы, что существует такая наука, которая называется мнемоника, что в переводе с греческого языка обозначает искусство запоминания. И чтобы лучше запомнить определение биссектрисы существует такое мнемоническое правило, по которому биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
Известно ли вам, что еще Архимед использовал теорему о биссектрисе. Он ее применял для деления основания на части, которые пропорциональны боковым сторонам с целью определения длины полу сторон двенадцати угольника, 24-угольника и т. д.
Легенда о биссектрисе угла
Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла.
Однажды два угла повстречались на одной площади. Старшему углу было около 130 градусов, а младшему всего пятьдесят. Так как это сказка, то заменим годы на градусы. Вот они встретились и начали спорить, кто из них лучше и важнее. Старший считал, что приоритет на его стороне, так как он старше, мудрее и больше на своем веку повидал за свои 130°. Младший наоборот твердил, что он моложе, потому сильнее и выносливее. И чтобы спор не длился вечность, они приняли решение провести турнир. Об этих состязаниях узнала Биссектриса и решила победить своих врагов одновременно и возглавить Геометрию.
И вот настало долгожданное время турнира, на котором было 2 Угла. В момент полного разгара сражений появилась Биссектриса и решила принять участие. Но тут в бой с Биссектрисой вступил вначале старший Угол, затем подтянулся и младший, и победа все равно оказалась на стороне Биссектрисы.
Геометрия - одна из самых сложных и запутанных наук. В ней то, что кажется на первый взгляд очевидным, очень редко оказывается правильным. Биссектрисы, высоты, медианы, проекции, касательные - огромное количество действительно непростых терминов, запутаться в которых очень легко.
На самом деле при должном желании можно разобраться в теории любой сложности. Когда дело заходит о биссектрисе, медиане и высоте, нужно понимать, что они свойственны не только треугольникам. На первый взгляд это простые линии, но у каждой из них есть свои свойства и функции, знание которых существенно упрощает решение геометрических задач. Итак, что же такое биссектриса треугольника?
Определение
Сам термин "биссектриса" происходит из сочетания латинских слов "два" и "сечь", "резать", что уже косвенно указывает на её свойства. Обычно, когда детей знакомят с этим лучом, им предлагается для запоминания коротенькая фраза: «Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». Естественно, такое объяснение не подойдёт для школьников старшего возраста, к тому же у них обычно спрашивают не об угле, а о геометрической фигуре. Так что биссектриса треугольника - это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части. Точка противоположной стороны, в которую приходит биссектриса, для произвольного треугольника выбирается случайным образом.
Базовые функции и свойства
Основных свойств у этого луча немного. Во-первых, из-за того, что биссектриса треугольника делит угол напополам, любая точка, лежащая на ней, будет находиться на равном расстоянии от сторон, образующих вершину. Во-вторых, в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы, по числу имеющихся углов (следовательно, в том же четырёхугольнике их будет уже четыре и так далее). Точка, в которой все три луча пересекутся, является центром окружности, вписанной в треугольник.
Свойства усложняются
Немного усложним теорию. Ещё одно интересное свойство: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению образующих вершину сторон. На первый взгляд это сложно, но на самом деле всё просто: на предложенном рисунке RL:LQ = PR:PK. Кстати, это свойство получило название "Теорема о биссектрисе" и впервые появилось ещё в работах древнегреческого математика Евклида. Вспомнили его в одном из российских учебников только в первой четверти семнадцатого века.
Ещё чуть сложнее. В четырёхугольнике биссектриса отсекает равнобедренный треугольник. На этом рисунке обозначены все равные углы для медианы AF.
А ещё в четырёхугольниках и трапециях биссектрисы односторонних углов перпендикулярны друг другу. На представленном чертеже угол APB составляет 90 градусов.
В равнобедренном треугольнике
Биссектриса равнобедренного треугольника - гораздо более полезный луч. Она одновременно является не только делителем угла напополам, но и медианой, и высотой.
Медиана - это отрезок, который выходит из какого-то угла и падает на середину противолежащей стороны, разделяя её тем самым на равные части. Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону, именно с её помощью любую задачу можно свести к простой и примитивной теореме Пифагора. В данной ситуации биссектриса треугольника равна корню из разности квадрата гипотенузы и другого катета. Кстати, именно это свойство встречается в геометрических задачах чаще всего.
Для закрепления: в данном треугольнике биссектриса FB является медианой (AB=BC) и высотой (углы FBC и FBA составляют 90 градусов).
В общих чертах
Итак, что же нужно запомнить? Биссектриса треугольника - это луч, который делит его вершину пополам. На пересечении трёх лучей находится центр окружности, вписанной в данный треугольник (единственный минус этого свойства в том, что оно не имеет практической ценности и служит только для грамотного выполнения чертежа). Она же делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению сторон, между которыми прошёл этот луч. В четырёхугольнике свойства чуть усложняются, но, признаться, они практически не встречаются в задачах школьного уровня, поэтому обычно не затрагиваются в программе.
Биссектриса равнобедренного треугольника - предел мечтаний любого школьника. Она одновременно является и медианой (то есть делит противолежащую сторону пополам), и высотой (перпендикулярна этой стороне). Решение задач с такой биссектрисой сводится к теореме Пифагора.
Знание базовых функций биссектрисы, а также основных её свойств необходимо для решения геометрических задач как среднего, так и высокого уровня сложности. На самом деле встречается этот луч только в планиметрии, так что нельзя говорить о том, что зазубривание информации о нём позволит справляться со всеми типами заданий.
Внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно, рассмотрим сначала точку Р
пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта
точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе
угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе
угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит
третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р
пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис
внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9 .
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на
части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС
и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную
биссектрисе ВК, до пересечения в точке Мпродолжением стороны АВ.
Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠
АВК=∠
КВС.
Далее, ∠
АВК=∠
ВМС,
как соответственные углы при
параллельных прямых, и ∠
КВС=∠
ВСМ,
как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠
ВСМ=∠
ВМС,
и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о
параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК:К
С=АВ:ВМ=АВ:ВС,
что и требовалось доказать.
Теорема 10
Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным
свойством: отрезки AL
и CL
от вершины А и С до точки L
пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС
пропорциональны сторонам треугольника: AL
:CL
=AB
:BC
.
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на
рисунке проведена
вспомогательная прямая СМ,
параллельная биссектрисе BL
.
Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из
чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.
Теорема d4.
(первая формула для биссектрисы): Если в
треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL? =
AB·AC - LB·LC.
Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · (AL + LM) = AB · AC <=> AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность .
Теорема d5.
(вторая формула для биссектрисы): В треугольнике
ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2? и биссектрисой l, имеет
место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.
Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, absin2? = alsin? + blsin? <=> 2absin?·cos? = (a + b)·lsin? <=> l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Теорема доказана.