Решение задачи с помощью пропорции сводится к тому, чтобы сделать неизвестное значение x членом этой пропорции. Затем используя основное свойство пропорции получить линейное уравнение и решить его.
Предварительные навыки Содержание урокаКак решить задачу с помощью пропорции
Рассмотрим простейший пример. Трем группам нужно выплатить стипендию по 1600 рублей каждому. В первой группе 20 студентов. Значит первой группе будет выплачено 1600 × 20, то есть 32 тыс. рублей.
Во второй группе 17 человек. Значит второй группе будет выплачено 1600 × 17, то есть 27,200 тыс. руб.
Ну и выплатим стипендию третьей группе. В ней 15 человек. На них нужно затратить 1600 × 15, то есть 24 тыс. руб.
В результате имеем следующее решение:
Для подобных задач решение можно записывать с помощью пропорции.
Пропорция по определению есть равенство двух отношений. К примеру, равенство является пропорцией. Эту пропорцию можно прочесть следующим образом:
a так относится к b , как c относится d
Аналогично можно соотнести стипендию и студентов, так чтобы каждому досталось по 1600 рублей.
Итак, запишем первое отношение, а именно отношение тысячи шестисот рублей на одного человека:
Мы выяснили, что для выплаты 20 студентам по 1600 рублей, нам потребуется 32 тыс. рублей. Значит второе отношение будет отношением тридцати двух тысяч к двадцати студентам:
Теперь соединим полученные отношения знаком равенства:
Мы получили пропорцию. Её можно прочесть следующим образом:
Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как тридцать две тысячи рублей относятся к двадцати студентам .
Понимай по 1600 рублей каждому. Если выполнить деление в обеих частях равенства 
, то обнаружим, что одному студенту, как и двадцати студентам достанется по 1600 рублей.
Теперь представим, что сумма денег, необходимых для выплаты стипендии двадцати студентам, была бы неизвестной. Скажем, если бы вопрос стоял так: в группе 20 студентов и каждому нужно выплатить по 1600 рублей. Сколько всего рублей требуется для выплаты стипендии?
В таком случае пропорция приняла бы вид . То есть, сумма денег, необходимая для выплаты стипендии, стала неизвестным членом пропорции. Эту пропорцию можно прочесть так:
Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как неизвестное число рублей относится к двадцати студентам
Теперь воспользуемся основным свойством пропорции. Оно гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
Перемножив члены пропорции «крест-накрест», получим равенство 1600 × 20 = 1 × x . Вычислив обе части равенства, получим 32000 = x или x = 32000 . Иными словами, мы найдём значение неизвестной величины, которую искали.
Аналогично можно было определить общую сумму и для остального количества студентов — для 17 и 15. Эти пропорции выглядели как и . Воспользовавшись основным свойством пропорции, можно найти значение x
Задача 2 . Расстояние равное 100 км автобус проехал за 2 часа. Сколько времени потребуется автобусу, чтобы проехать 300 км, если будет ехать с той же скоростью?
Можно сначала определить расстояние, которое автобус проезжает за один час. Затем определить сколько раз это расстояние содержится в 300 километрах:
100: 2 = 50 км на каждый час движения
300 км: 50 = 6 часов
Либо можно составить пропорцию «сто километров так относятся к одному часу, как триста километров к неизвестному числу часов»:
Отношение одноименных величин
Если крайние или средние члены пропорции поменять местами, то пропорция не нарушится.
Так, в пропорции можно поменять местами крайние члены. Тогда получится пропорция 
.
Пропорция также не нарушится, если её перевернуть, то есть использовать обратные отношения в обеих частях.
Перевернем пропорцию . Тогда получим пропорцию 
. Взаимосвязь при этом не нарушается. Отношение между студентами равно отношению между суммами денег, предназначенных для этих студентов. Такую пропорцию часто составляют в школе, когда для решения задачи составляются таблицы
Этот способ записи очень удобен, поскольку позволяет перевести условие задачи в более понятный вид. Решим задачу в которой требовалось определить сколько рублей нужно для выплаты стипендии двадцати студентам.
Условие задачи запишем следующим образом:
Составим таблицу на основе этого условия:
Составим пропорцию, используя данные таблицы:
Используя основное свойство пропорции, получим линейное уравнение и найдем его корень:
Изначально, мы имели дело с пропорцией , которая составлена из отношений величин разной природы. В числителях отношений располагались суммы денег, а в знаменателях количество студентов:
Поменяв местами крайние члены, мы получили пропорцию . Эта пропорция составлена из отношений величин одной природы. В первом отношении содержатся количества студентов, а во втором — суммы денег:
Если отношение составлено из величин одной природы, то мы будем называть его отношением одноименных величин . Например, отношения между фруктами, деньгами, физическими величинами, явлениями, действиями.
Отношение может быть составлено, как из одноименных величин, так и из величин разной природы. Примерами последних являются отношение расстояния ко времени, отношения стоимости товара к его количеству, отношение общей суммы стипендии к количеству студентов.
Пример 2 . В школьном саду посажены сосны и березы, причём на каждую сосну приходится 2 березы. Сколько посадили сосен в саду, если берез посадили 240?
Определим сколько сосен было посажено в саду. Для этого составим пропорцию. В условии сказано, что на каждую сосну приходится 2 березы. Напишем отношение, показывающее что на одну сосну приходится две березы:
Теперь напишем второе отношение, показывающее что на x сосен приходится 240 берез
Соединим эти отношения знаком равенства, получим следующую пропорцию:
«2 березы так относятся к одной сосне,
как 240 берез относятся к x соснам»
Используя основное свойство пропорции, находим значение x
Либо пропорцию можно составить, предварительно записав условие, как в прошлом примере:
Получится та же пропорция, но в этот раз она будет составлена из отношений одноименных величин:
Значит в саду посадили 120 сосен.
Пример 3 . Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?
Можно разделить 34,2 на 225 и полученный результат выразить в процентах:
Либо составить пропорцию 225 килограммам руды так приходятся на 100%, как 34,2 кг меди приходятся на неизвестное число процентов:
Либо составить пропорцию в которой отношения составлены из одноименных величин:
Задачи на прямую пропорциональность
Понимание отношений одноименных величин приводит к пониманию решения задач на прямую и обратную пропорциональность. Начнем с задач на прямую пропорциональность.
Для начала вспомним, что такое прямая пропорциональность. Это взаимосвязь между двумя величинами при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.
Если расстояние в 50 км автобус прошел за 1 час, то для прохождения расстояния в 100 км (при той же скорости) автобусу потребуется 2 часа. Во сколько раз увеличилось расстояние, во столько же раз увеличилось время движения. Как показать это с помощью пропорции?
Одно из предназначений отношения заключается в том, чтобы показать во сколько раз первая величина больше второй. А значит и мы c помощью пропорции можем показать, что расстояние и время увеличились в два раза. Для этого воспользуемся отношением одноименных величин.
Покажем, что расстояние увеличилось в два раза:
Аналогично покажем, что время увеличилось во столько же раз
«100 километров так относятся к 50 километрам, как 2 часа относятся к 1 часу»
Если выполнить деление в обеих частях равенства , то обнаружим что расстояние и время были увеличены в одинаковое число раз.
2 = 2
Задача 2 . За 3 ч на мельнице смололи 27 т пшеничной муки. Сколько тонн пшеничной муки можно смолоть за 9 ч, если темп работы не изменится?
Решение
Время работы мельницы и масса перемолотой муки — прямо пропорциональные величины. При увеличении времени работы в несколько раз, количество перемолотой муки увеличится во столько же раз. Покажем это с помощью пропорции.
В задаче дано 3 ч. Эти 3 ч увеличились до 9 ч. Запишем отношение 9 ч к 3 ч. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось время работы мельницы:
Теперь запишем второе отношение. Это будет отношение x тонн пшеничной муки к 27 тоннам. Данное отношение будет показывать, что количество перемолотой муки увеличилось во столько же раз, сколько и время работы мельницы
Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию .
Воспользуемся основным свойством пропорции и найдем x
Значит за 9 ч можно смолоть 81 т пшеничной муки.
Вообще, если взять две прямо пропорциональные величины и увеличить их в одинаковое число раз, то отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению нового значения к старому значению второй величины.
Так и в предыдущей задаче старые значения были 3 ч и 27 т. Эти значения были увеличены в одинаковое число раз (в три раза). Новыми значениями стали 9 ч и 81 ч. Тогда отношение нового значения времени работы мельницы к старому значению равно отношению нового значения массы перемолотой муки к старому значению
Если выполнить деление в обеих частях равенства, то обнаружим, что время работы мельницы и количество смолотой муки увеличилось в одинаковое число раз:
3 = 3
Пропорцию, которую составляют к задачам на прямую пропорциональность, можно описать с помощью выражения:
Где впоследствии стало равно 81.
Задача 2 . Для 8 коров в зимнее время доярка ежедневно заготовляет 80 кг сена, 96 кг корнеплодов, 120 кг силоса и 12 кг концентратов. Определить ежедневный расход этих кормов для 18 коров.
Решение
Количество коров и масса каждого из кормов — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества коров в несколько раз, масса каждого из кормов увеличится во столько же раз.
Составим несколько пропорций, вычисляющих массу каждого из кормов для 18 коров.
Начнем с сена. Ежедневно для 8 коров его заготовляют 80 кг. Тогда для 18 коров будет заготовлено x кг сена.
Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество коров:
Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилась масса сена:
Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию:
Отсюда находим x
Значит для 18 коров нужно заготовить 180 кг сена. Аналогично определяем массу корнеплодов, силоса и концентратов.
Для 8 коров ежедневно заготовляют 96 кг корнеплодов. Тогда для 18 коров будет заготовлено x кг корнеплодов. Составим пропорцию из отношений и , затем вычислим значение x
Определим сколько силоса и концентратов нужно заготовить для 18 коров:
Значит для 18 коров ежедневно нужно заготавливать 180 кг сена, 216 кг корнеплодов, 270 кг силоса и 27 кг концентратов.
Задача 3 . Хозяйка варит вишнёвое варенье, причём на 3 стакана вишни кладёт 2 стакана сахара. Сколько сахара нужно положить на 12 стаканов вишни? на 10 стаканов вишни? на стакана вишни?
Решение
Количество стаканов вишни и количество стаканов сахарного песка — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества стаканов вишни в несколько раз, количество стаканов сахара увеличится во столько же раз.
Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов вишни:
Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов сахара:
Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдем значение x
Значит на 12 стаканов вишни нужно положить 8 стаканов сахара.
Определим количество стаканов сахара для 10 стаканов вишни и стакана вишни
Задачи на обратную пропорциональность
Для решения задач на обратную пропорциональность опять же можно использовать пропорцию, составленнаю из отношений одноименных величин.
В отличие от прямой пропорциональности, где величины увеличиваются или уменьшаются в одну и ту же сторону, в обратной пропорциональности величины изменяются обратно друг другу.
Если одна величина увеличивается в несколько раз, то другая уменьшается во столько же раз. И наоборот, если одна величина уменьшается в несколько раз, то другая увеличивается во столько же раз.
Допустим, что нужно покрасить забор, состоящий из 8 листов
Один маляр будет красить все 8 листов сам
Если маляров будет 2, то каждый покрасит по 4 листа.
Это конечно же при условии, что маляры будут честными между собой и справедливо разделят эту работу поровну на двоих.
Если маляров будет 4, то каждый покрасит по 2 листа
Замечаем, что при увеличении количества маляров в несколько раз, количество листов которые приходятся на одного маляра уменьшаются во столько же раз.
Итак, мы увеличили количество маляров с 1 до 4. Другими словами, увеличили количество маляров в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:
В результате количество листов забора, которые приходятся на одного маляра уменьшилось в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:
Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию
«4 маляра так относятся к 1 маляру, как 8 листов относятся к 2 листам»
Задача 2 . 15 рабочих закончили отделку квартир в новом доме за 24 дня. За сколько дней выполнили бы эту работу 18 рабочих?
Решение
Количество рабочих и количество дней, затраченных на работу — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней, необходимых для выполнения этой работы, уменьшится во столько же раз.
Запишем отношение 18 рабочих к 15 рабочим. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось количество рабочих
Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз уменьшилось количество дней. Поскольку количество дней уменьшится с 24 дней до x дней, то второе отношение будет отношением старого количества дней (24 дня) к новому количеству дней (x дней)
Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию:
Отсюда находим x
Значит 18 рабочих выполнят необходимую работу за 20 дней.
Вообще, если взять две обратно пропорциональные величины и увеличить одну из них в определенное число раз, то другая уменьшится во столько же раз. Тогда отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению старого значения к новому значению второй величины.
Так и в предыдущей задаче старые значения были 15 рабочих и 24 дня. Количество рабочих было увеличено с 15 до 18 (т.е. было увеличено в раза). В результате количество дней, необходимых для выполнения работы, уменьшилось во столько же раз. Новыми значениями стали 18 рабочих и 20 дней. Тогда отношение нового количества рабочих к старому количеству равно отношению старого количества дней к новому количеству
Для составления пропорции к задачам на обратную пропорциональность можно пользоваться формулой:
Применительно к нашей задаче значения переменных будут следующими:
Где впоследствии стало равно 20.
Задача 2 . Скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36: 5. Пароход двигался вниз по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?
Решение
Собственная скорость парохода составляет 36 км/ч. Скорость течения реки реки 5 км/ч. Поскольку пароход двигался по течению руки, то скорость его движения составила 36 + 5 = 41 км/ч. Время пути составила 5 ч 10 мин. Для удобства выразим время в минутах:
5 ч 10 мин = 300 мин + 10 мин = 310 мин
Поскольку на обратном пути пароход двигался против течения реки, то его скорость составила 36 − 5 = 31 км/ч.
Скорость парохода и время его движения — обратно пропорциональные величины. При уменьшении скорости в несколько раз, время его движения увеличится во столько же раз.
Запишем отношение, показывающее во сколько раз уменьшилась скорость движения:
Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз увеличилось время движения. Поскольку новое время x будет больше старого времени, в числителе отношения запишем время x , а в знаменателе старое время, равное трёхсот десяти минутам
Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию . Отсюда найдём значение x
410 минут это 6 часов и 50 минут. Значит пароходу потребуется 6 часов и 50 минут, чтобы вернуться обратно.
Задача 3 . На ремонте дороги работало 15 человек, и они должны были закончить работу за 12 дней. На пятый день утром подошли еще несколько рабочих, и оставшаяся работа была выполнена за 6 дней. Сколько рабочих прибыло дополнительно?
Решение
Вычтем из 12 дней 4 отработанных дня. Так мы определим сколько ещё дней осталось работать пятнадцати рабочим
12 дней − 4 дня = 8 дней
На пятый день дополнительно прибыло x рабочих. Тогда всего рабочих стало 15 + x .
Количество рабочих и количество дней, необходимых для выполнения работы — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней уменьшится во столько же раз.
Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество рабочих:
Теперь запишем во сколько раз уменьшилось количество дней, необходимых для выполнения работы:
Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию . Отсюда можно вычислить значение x
Значит 5 рабочих прибыло дополнительно.
Масштаб
Масштабом называют отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности.
Допустим, что расстояние от дома до школы составляет 8 км. Попробуем нарисовать план местности, где будут указаны дом, школа и расстояние между ними. Но изобразить на бумаге расстояние, равное 8 км мы не можем, поскольку оно довольно велико. Но зато мы можем уменьшить это расстояние в несколько раз так, чтобы оно уместилось на бумаге.
Пусть километры на местности на нашем плане будут выражаться в сантиметрах. Переведем 8 километров в сантиметры, получим 800 000 сантиметров.
Уменьшим 800 000 см в сто тысяч раз:
800 000 см: 100 000 см = 8 см
8 см это расстояние от дома до школы, уменьшенное в сто тысяч раз. Теперь без труда можно нарисовать на бумаге дом и школу, расстояние между которыми будет 8 см.
Эти 8 см относятся к реальным 800 000 см. Так и запишем с помощью отношения:
8: 800 000
Одно из свойств отношения гласит, что отношение не меняется если его члены умножить или разделить на одно и то же число.
В целях упрощения отношения 8: 800 000 оба его члена можно разделить на 8. Тогда получим отношение 1: 100 000. Это отношение и назовём масштабом. Данное отношение показывает, что один сантиметр на плане относится (или соответствует) ста тысячам сантиметров на местности.
Поэтому на нашем рисунке необходимо указать, что план составлен в масштабе 1: 100 000
1 см на плане относится к 100 000 см на местности;
2 см на плане относится к 200000 см на местности;
3 см на плане относится к 300000 на местности и т.д.
К любой карте или плану указывается в каком масштабе они сделаны. Этот масштаб позволяет определять реальное расстояние между объектами.
Так, наш план составлен в масштабе 1: 100 000. На этом плане расстояние между домом и школой составляет 8 см. Чтобы вычислить реальное расстояние между домом и школой, нужно 8 см увеличить в 100 000 раз. Иными словами, умножить 8 см на 100 000
8 см × 100 000 = 800 000 см
Получаем 800 000 см или 8 км, если перевести сантиметры в километры.
Допустим, что между домом и школой располагается дерево. На плане расстояние между школой и этим деревом составляет 4 см.
Тогда реальное расстояние между домом и деревом будет 4 см × 100 000 = 400 000 см или 4 км.
Расстояние на местности можно определять с помощью пропорции. В нашем примере расстояние между домом и школой будет вычисляться с помощью следующей пропорции:
1 см на плане так относится к 100000 см на местности, как 8 см на плане относятся к x см на местности.
Из этой пропорции узнаём, что значение x равно 800000 см.
Пример 2 . На карте расстояние между двумя городами составляет 8,5 см. Определить реальное расстояние между городами, если карта составлена в масштабе 1: 1 000 000.
Решение
Масштаб 1: 1 000 000 указывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Тогда 8,5 см будут соответствовать x см на местности. Составим пропорцию 1 к 1000000 как 8,5 к x
В 1 км содержится 100000 см. Тогда в 8 500 000 см будет 
Либо можно рассуждать так. Расстояние на карте и расстояние на местности — прямо пропорциональные величины. При увеличении расстояния на карте в несколько раз, расстояние на местности увеличится во столько же раз. Тогда пропорция примет следующий вид. Первое отношение будет показывать во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте:
Второе отношение покажет, что расстояние на местности во столько же раз больше, чем 8,5 см на карте:
Отсюда x равен 8 500 000 см или 85 км.
Задача 3 . Длина реки Невы 74 км. Чему равняется ее длина на карте, масштаб которой 1: 2 000 000
Решение
Масштаб 1: 2000000 говорит о том, что 1 см на карте соответствует 2 000 000 см на местности.
А 74 км на это 74 × 100 000 = 7 400 000 см на местности. Уменьшив 7 400 000 в 2 000 000, мы определим длину реки Невы на карте
7 400 000: 2 000 000 = 3,7 см
Значит на карте, масштаб которой 1: 2 000 000 длина реки Невы составляет 3,7 см.
Запишем решение с помощью пропорции. Первое отношение будет показывать сколько раз длина на карте меньше длины на местности:
Второе отношение будет показывать, что 74 км (7 400 000 см) уменьшились во столько же раз:
Отсюда находим x равный 3,7 см
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
Решение
Пусть x кг масла можно получить из 7 кг хлопкового семени. Масса хлопкового семени и масса получаемого масла — прямо пропорциональные величины. Тогда уменьшение хлопкового семени с 21 кг до 7 кг, приведет к уменьшению получаемого масла во столько же раз.
Ответ: из 7 кг хлопкового семени получится 1,7 кг масла.
Задача 2. На некотором участке железнодорожного пути старые рельсы длиной в 8 м заменили новыми длиной в 12 м. Сколько потребуется новых двенадцатиметровых рельсов, если сняли 360 старых рельсов?
Решение
Длина участка на котором производится замена рельсов равна 8 × 360 = 2880 м.
Пусть x двенадцатиметровых рельсов требуется для замены. Увеличение длины одного рельса с 8 м до 12 м приведет к уменьшению количества рельсов с 360 до x штук. Иными словами, длина рельса и их количество связаны обратно пропорциональной зависимостью
Ответ: для замены старых рельсов потребуется 240 новых.
Задача 3. 60% учеников класса пошли в кино, а остальные 12 человек – на выставку. Сколько учащихся в классе?
Решение
Если 60% учащихся пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку, то на 40% учащихся и будут приходиться 12 человек, пошедших на выставку. Тогда можно составить пропорцию в которой 12 учащихся так относятся к 40%, как все x учащихся относятся к 100%
Либо можно составить пропорцию, состоящей из отношений одноименных величин. Количество учащихся и процентная доля изменяются прямо пропорционально. Тогда можно записать, что во сколько раз увеличилось количество участников во столько же раз увеличилась процентная доля
Задача 5. Пешеход затратил на путь 2,5 ч, двигаясь со скоростью 3,6 км/ч. Сколько времени затратит пешеход на тот же путь, если его скорость будет 4,5 км/ч
Решение
Скорость и время — обратно пропорциональные величины. При увеличении скорости в несколько раз, время движения уменьшится во столько же раз.
Запишем отношение, показывающее по сколько раз увеличилась скорость движения пешехода:
Запишем отношение, показывающее что время движения уменьшилось во столько же раз:
Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдём значение x
Либо можно воспользоваться отношениями одноименных величин. Количество выпущенных станков и процентная доля, на которые эти станки приходятся, связаны прямо пропорциональной зависимостью. При увеличении количества станков в несколько раз, процентная доля увеличивается во столько же раз. Тогда можно записать, что 230 станков во столько раз больше, чем x станков, во сколько раз больше 115%, чем 100%
Ответ: по плану завод должен был выпустить 200 станков.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Умение вычисления процента от числа, когда нужно узнать пеню за просрочку, размер переплаты по кредиту или прибыль компании, если известен ее оборот и наценка.
- Как найти число по его проценту?
Правило. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на 100.
Таким вычислением сначала определим, сколько единиц этого числа содержится в 1%, а потом — в целом числе (в 100%).
Например:
Число, 23% которого составляют 52, находится так:
52: 23 * 100 = 226.1
Значит, если число 226,1 равно 100%, то число 52 равно 23% от этого числа.
Число, 125% которого составляют 240, находим так:
240: 125 * 100 = 192.
При определении числа по его проценту следует помнить, что:
— если процент меньше 100%, то число, полученное в результате вычислений, больше заданного числа (если 23% < 100%, то 226,1 > 52);
— если процент больше 100%, то число, полученное в результате вычислений, меньше заданного числа (если 125% > 100%, то 192 < 240).
Следовательно, при вычислении числа по его проценту для самоконтроля нужно проверить:
— заданный в условии процент больше или меньше 100%;
— результат вычисления больше или меньше заданного числа.
- Как узнать процент от суммы в общем случае?
После этого есть два варианта:
- Если нужно узнать, сколько процентов составляет другая сумма от первоначальной, нужно просто разделить ее на размер 1%, полученный ранее.
- Если же нужен размер суммы, которая составляет, скажем, 27,5% от первоначальной, нужно размер 1% умножить на требуемое количество процентов.
- Как высчитать процент от суммы с помощью пропорции?
Для этого придется использовать знания о методе пропорций, который проходят в рамках школьного курса математики. Это будет выглядеть так:
ПустьА — основная сумма, равная 100%, и В — сумма, соотношение которой с А в процентах нам нужно узнать. Записываем пропорцию:
(Х в данном случае — число процентов).
По правилам расчета пропорций мы получаем следующую формулу:
Х = 100 * В / А
Если же нужно узнать, сколько будет составлять сумма В при уже известном числе процентов от суммы А, формула будет выглядеть по-другому:
В = 100 * Х / А
Теперь остается подставить в формулу известные числа — и можно производить расчет.
- Как рассчитать процент от суммы с помощью известных соотношений?
Наконец, можно воспользоваться и более простым способом. Для этого достаточно помнить, что 1% в виде десятичной дроби — это 0,01. Соответственно, 20% — это 0,2; 48% — 0,48; 37,5% — это 0,375 и т.д. Достаточно умножить исходную сумму на соответствующее число — и результат будет означать размер процентов.
Кроме того, иногда можно воспользоваться и простыми дробями. Например, 10% — это 0,1, то есть 1/10 следовательно, узнать, сколько составят 10%, просто: нужно всего лишь разделить исходную сумму на 10.
Другими примерами таких соотношений будут:
- 12,5% — 1/8, то есть нужно делить на 8;
- 20% — 1/5, то есть нужно разделить на 5;
- 25% — 1/4, то есть делим на 4;
- 50% — 1/2, то есть нужно разделить пополам;
- 75% — 3/4, то есть нужно разделить на 4 и умножить на 3.
Правда, не все простые дроби удобны для расчета процентов. К примеру, 1/3 близка по размерам к 33%, но не равна точно: 1/3 — это 33,(3)% (то есть дробь с бесконечными тройками после запятой).
- Как вычесть процент от суммы без помощи калькулятора?
Если же требуется от уже известной суммы отнять неизвестное число, составляющее какое-то количество процентов, можно воспользоваться следующими методами:
- Вычислить неизвестное число с помощью одного из приведенных выше способов, после чего отнять его от исходного.
- Сразу рассчитать остающуюся сумму. Для этого от 100% отнимаем то число процентов, которое нужно вычесть, и полученный результат переводим из процентов в число любым из описанных выше способов.
Второй пример удобнее, поэтому проиллюстрируем его. Допустим, надо узнать, сколько останется, если от 4779 отнять 16%. Расчет будет таким:
- Отнимаем от 100 (общее количество процентов) 16. Получаем 84.
- Считаем, сколько составит 84% от 4779. Получаем 4014,36.
- Как высчитать (отнять) из суммы процент с калькулятором в руках?
Все вышеприведенные вычисления проще делать, используя калькулятор. Он может быть как в виде отдельного устройства, так и в виде специальной программы на компьютере, смартфоне или обычном мобильнике (даже самые старые из ныне используемых устройств обычно имеют эту функцию). С их помощью вопрос, как высчитать процент из суммы, решается очень просто:
- Набирается исходная сумма.
- Нажимается знак «-».
- Вводится число процентов, которое требуется вычесть.
- Нажимается знак «%».
- Нажимается знак «=».
В итоге на экране высвечивается искомое число.
- Как отнять от суммы процент с помощью онлайн-калькулятора?
Наконец, сейчас в сети достаточно сайтов, где реализована функция онлайн-калькулятора. В этом случае даже не требуется знания того, как посчитать процент от суммы : все операции пользователя сводятся к вводу в окошки нужных цифр (или передвижению ползунков для их получения), после чего результат сразу высвечивается на экране.
Особенно эта функция удобна тем, кто рассчитывает не просто абстрактный процент, а конкретный размер налогового вычета или сумму госпошлины. Дело в том, что в этом случае вычисления сложнее: требуется не только найти проценты, но и прибавить к ним постоянную часть суммы. Онлайн-калькулятор позволяет избежать подобных добавочных вычислений. Главное — выбрать сайт, пользующийся данными, которые соответствуют действующему закону.
Онлайн-калькулятор процентов:
calculator.ru — позволяет выполнять разнообразные расчеты при работе с процентами;
mirurokov.ru — калькуляятор процентов;
Источник информации:
- nsovetnik.ru — статьяя о том, как высчитать процент от суммы;
Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a: b = c: d , или, в других обозначениях, равенство
Если a : b = c : d , то a и d называют крайними , а b и c - средними членами пропорции.
От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.
Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:
В пропорции
произведение крайних членов равно произведению средних
Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.
Например,
То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе
которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины
, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции
(независимо от того, где эта неизвестная величина стоит
). 
Задача 1.
Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
Решение:
Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.
Заполним таблицу: 
Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.
Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.
Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:
Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д
Задача 2.
Перевести в радианы.
Решение:
Мы знаем, что . Заполним таблицу:
Задача 3.
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?
Решение:
Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .
Составим таблицу:
Откуда площадь круга – есть .
Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение:
Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.
Заполняем таблицу: 
Откуда получаем, что все поле составляет (га).
А следующая задача – с засадой.
Задача 5.
Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч ?
Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:
время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.
В чем ошибка рассуждений?
До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу , то есть рост одной величины во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны .
Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.
Решение:
Рассуждаем так:
Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.
То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.
Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.
Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.
Итак, первая задача:
Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?
На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:
Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?
Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:
37 500 — 100%
X
— 95%
Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:
Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:
По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:
x = 375 · 95
Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:
x = 35 625
Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.
Задача на проценты №2
Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?
Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:
45 000 — 100%
x
— 80%
Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:
45 000 · 8 = x · 10
Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :
x = 45 000 · 8: 10
Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:
x = 4500 · 8
Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:
x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000
А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!
Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:
45 000 − 36 000 = 9000
Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.
С точки зрения математики, пропорцией является равенство двух отношений. Взаимозависимость характерна для всех частей пропорции, также как и их неизменный результат. Понять, как составить пропорцию можно, ознакомившись со свойствами и формулой пропорции. Чтобы разобраться с принципом решения пропорции, достаточным будет рассмотреть один пример. Только непосредственно решая пропорции, можно легко и быстро обучиться этим навыкам. А данная статья поможет читателю в этом.
Свойства пропорции и формула
- Обращение пропорции. В случае, когда заданное равенство выглядит как 1a: 2b =3c: 4d, записывают 2b: 1a = 4d: 3c. (Причем 1a, 2b, 3c и 4d являются простыми числами, отличными от 0).
- Перемножение заданных членов пропорции крест-накрест. В буквенном выражении это имеет такой вид: 1a: 2b = 3c: 4d, а запись 1a4d = 2b3c будет ему равносильна. Таким образом, произведение крайних частей любой пропорции (числа по краям равенства) всегда является равным произведению средних частей (чисел, расположенных посредине равенства).
- При составлении пропорции может пригодиться и такое её свойство, как перестановка крайних и средних членов. Формулу равенства 1a: 2b = 3c: 4d, можно отобразить такими вариантами:
- 1a: 3c = 2b: 4d (когда переставляют средние члены пропорции).
- 4d: 2b = 3c: 1a (когда переставляют крайние члены пропорции).
- Прекрасно помогает в решении пропорции её свойство увеличения и уменьшения. При 1a: 2b = 3c: 4d, записывают:
- (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (равенство по увеличению пропорции).
- (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (равенство по уменьшению пропорции).
- Составить пропорцию можно сложением и вычитанием. Когда пропорция записана как 1a: 2b = 3c: 4d, тогда:
- (1a + 3с) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция составлена сложением).
- (1a – 3с) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция составлена вычитанием).
- Также, при решении пропорции, содержащей дробные или большие числа, можно разделить или умножить оба её члена на одинаковое число. К примеру, составные части пропорции 70:40=320:60, можно записать так: 10*(7:4=32:6).
- Вариант решения пропорции с процентами выглядит так. К примеру, записывают, 30=100%, 12=x. Теперь следует перемножить средние члены (12*100) и разделить на известный крайний (30). Таким образом, получается ответ: x=40%. Подобным способом можно при необходимости совершать перемножение известных крайних членов и делить их на заданное среднее число, получая искомый результат.
Если Вас интересует конкретная формула пропорции, то в самом простом и распространенном варианте пропорция представляет собой такое равенство (формулу): a/b = c/d, в нем a, b, c и d являются отличными от нуля четырьмя числами.