Скорость. Ускорение

1. При неравномерном движении скорость тела с течением времени изменяется. Рассмотрим самый простой случай неравномерного движения.

Движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одно и то же значение, называют равноускоренным.

Например, если за каждые 2 с скорость тела изменялась на4 м/с, то движение тела является равноускоренным. Модуль скорости при таком движении может как увеличиваться, так и уменьшаться.

2. Пусть в начальный момент времени t 0 = 0 скорость тела равна v 0 . В некоторый момент времени t она стала равной v . Тогда изменение скорости за промежуток времени t – t 0 = t равно v – v 0 , а за единицу времени - . Это отношение называется ускорением . Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

Ускорением тела при равноускоренном движении называют векторную физическую величину, равную отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло.

a = .

Единица ускорения в СИ - метр на секунду в квадрате (1 ):

[a ] === 1 .

За единицу ускорения принимают ускорение такого равноускоренного движения, при котором скорость тела за 1 с изменяется на 1 м/с.

3. Поскольку ускорение - величина векторная, необходимо выяснить, как оно направлено.

Пусть автомобиль движется прямолинейно, имея начальную скорость v 0 (скорость в момент времени t = 0) и скорость v в некоторый момент времени t . Модуль скорости автомобиля возрастает. На рисунке 22, а изображены вектор скорости автомобиля. Из определения ускорения, следует, что вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и разность векторов v – v 0 . Следовательно в данном случае направление вектора ускорения совпадает с направлением движения тела (с направлением вектора скорости).

Пусть теперь модуль скорости автомобиля уменьшается (рис. 22б ). В этом случае направление вектора ускорения противоположно направлению движения тела (направлению вектора скорости).

4. Преобразовав формулу ускорения при равноускоренном прямолинейном движении, можно получить формулу для нахождения скорости тела в любой момент времени:

v = v 0 + at .

Если начальная скорость тела равна нулю, т. е. в начальный момент времени оно покоилось, то эта формула приобретает вид:

v = at .

5. При вычислении скорости или ускорения пользуются формулами, в которые входят не векторы, а проекции этих величин на координатную ось. Поскольку проекция суммы векторов равна сумме их проекций, то формула для проекции скорости на ось X имеет вид:

v x = v 0x + a x t ,

где v x - проекция скорости в момент времени t , v 0x - проекция начальной скорости, a x - проекция ускорения.

При решении задач необходимо учитывать знаки проекций. Так, в случае, изображенном на рисунке 22, а , проекции скоростей и ускорения на ось X положительны; модуль скоростис течением времени возрастает. В случае, изображенном на рисунке 22, б , проекции на ось X скоростей положительны, а проекция ускорения - отрицательна; модуль скорости с течением времени уменьшается.

6. Пример решения задачи

Скорость автомобиля при торможении уменьшилась от 23 до 15 м/с. Каково ускорение тела, если торможение длилось 5 с?

Дано :

Решение

v 0 = 23 м/с

v = 15 м/с

t = 5 с

Автомобиль движется равноускоренно и прямолинейно; модуль его скорости уменьшается.

Систему отсчета свяжем с Землей, ось X направим в сторону движения автомобиля (рис. 23), за начало отсчета времени примем начало торможения.

a ?

Запишем формулу для нахождения скорости при равноускоренном прямолинейном движении:

v = v 0 + at .

В проекциях на ось X получим

v x = v 0x + a x t .

Учитывая, что проекция ускорения тела на ось X отрицательна, а проекции скоростей на эту ось положительны, запишем: v = v 0 – at .

Откуда:

a = ;

a == 1,6 м/с 2 .

Ответ: a = 1,6 м/с 2 .

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют равноускоренным?

2. Что называют ускорением равноускоренного движения?

3. По какой формуле вычисляется ускорение при равноускоренном движении?

4. Какова единица ускорения в СИ?

5. По какой формуле вычисляется скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении?

6. Каков знак проекции ускорения на ось X по отношению к проекции скорости тела на эту же ось, если модуль его скорости увеличивается; уменьшается?

Задание 5

1. Чему равно ускорение автомобиля, если через 2 мин после начала движения из состояния покоя он приобрел скорость 72 км/ч?

2. Поезд, начальная скорость которого равна 36 км/ч, разгоняется с ускорением 0,5 м/ с 2 . Какую скорость приобретет поезд через 20 с?

3. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, останавливается у светофора в течение 15 с. Чему равно ускорение автомобиля?

4. Какую скорость приобретет велосипедист через 5 с после начала торможения, если его начальная скорость равна 10 м/с, а ускорение при торможении составляет 1,2 м/с 2 ?

1. Реальное механическое движение - это движение с изменяющейся скоростью. Движение, скорость которого стечением времени изменяется, называют неравномерным движением .

При неравномерном движении координату тола уже нельзя определить но формуле \(x=x_0+v_xt \) , так как значение скорости движения не является постоянным. Поэтому для характеристики быстроты изменения положения тела с течением времени при неравномерном движении вводят величину, называемую средней скоростью .

Средней скоростью \(\vec{v}_{ср} \) неравномерного движения называют физическую величину, равную отношению перемещении \(\vec{s} \) тела ко времени \(t \) , за которое оно произошло: \(\vec{v}_{ср}=\frac{s}{t} \) .

Записанная формула определяет среднюю скорость как векторную величину. В практических целях этой формулой можно воспользоваться для определения модуля средней скорости лишь в том случае, когда тело движется вдоль прямой в одну сторону. Если же нужно определить среднюю скорость движения автомобиля от Москвы до Санкт-Петербурга и обратно, чтобы рассчитать расход бензина, то эту формулу применить нельзя, поскольку перемещение в этом случае равно нулю и средняя скорость тоже равна нулю. Поэтому на практике при определении средней скорости пользуются величиной, равной отношению пути \(l \) ко времени \(t \) , за которое этот путь пройден: \(v_{ср}=\frac{l}{t} \) . Эта скорость обычно называется средней путевой скоростью.

2. Важно, что, зная среднюю скорость неравномерного движения на каком-либо участке траектории, нельзя определить положение тела на этой траектории в любой момент времени. Например, если средняя скорость движения автомобиля за 2 часа 50 км/ч, то мы не можем сказать, где он находился через 0,5 часа от начала движения, через 1 час, 1,5 часа и т.п., поскольку он мог первые полчаса двигаться со скоростью 80 км/ч, затем какое-то время стоять, а какое-то время ехать в пробке со скоростью 20 км/ч.

3. Двигаясь по траектории, тело проходит последовательно все её точки. В каждой точке траектории оно находится в определённые моменты времени и имеет какую-то скорость.

Мгновенной скоростью называют скорость тела в данный момент времени в данной точке траектории.

Предположим, некоторое тело совершает неравномерное прямолинейное движение (рис. 17), его скорость в точке О можно определить следующим образом: выделим на траектории участок AB, внутри которого находится точка О. Перемещение тела на этом участке — \(\vec{s}_1 \) совершено за время \(t_1 \) . Средняя скорость движения на этом участке – \(\vec{v}_{ср.1}=\frac{s_1}{t_1} \) . Уменьшим перемещение тела. Пусть оно равно \(\vec{s}_2 \) , а время движения - \(t_2 \) . Тогда средняя скорость за это время: \(\vec{v}_{ср.2}=\frac{s_2}{t_2} \) . Еще уменьшим перемещение, средняя скорость на этом участке: \(\vec{v}_{ср.3}=\frac{s_3}{t_3} \) .

При дальнейшем уменьшении перемещения и соответственно времени движения тела они станут такими маленькими, что прибор, например спидометр, перестанет фиксировать изменение скорости, и движение за этот малый промежуток времени можно считать равномерным. Средняя скорость на этом участке и есть мгновенная скорость тела в т.О.

Таким образом, мгновенной скоростью называют векторную физическую величину, равную отношению малого перемещения (\(\Delta{\vec{s}} \) ) к малому промежутку времени \(\Delta{t} \) , за которое это перемещение произошло: \(\vec{v}=\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}} \) .

4. Одним из видов неравномерного движения является равноускоренное движение. Равноускоренным движением называют движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одно и то же значение.

Слова «любые равные промежутки времени» означают, что какие бы равные промежутки времени (2 с, 1 с, доли секунды и т.п.) мы ни взяли, скорость всегда будет изменяться одинаково. При этом её модуль может как увеличиваться, так и уменьшаться.

5. Характеристикой равноускоренного движения, помимо скорости и перемещения, является ускорение.

Пусть в начальный момент времени \(t_0=0 \) скорость тела равна \(\vec{v}_0 \) . В некоторый момент времени \(t \) она стала равной \(\vec{v} \) . Изменение скорости за промежуток времени \(t-t_0=t \) равно \(\vec{v}-\vec{v}_0 \) (рис.18). Изменение скорости за единицу времени равно: \(\frac{\vec{v}-\vec{v}_0}{t} \) . Эта величина и есть ускорение тела, она характеризует быстроту изменения скорости \(\vec{a}=\frac{\vec{v}-\vec{v}_0}{t} \) .

Ускорение тела при равноускоренном движении - векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло.

Единица ускорения \([a]=[v]/[t] \) ; \([a] \) = 1 м/с/1 с = 1 м/с 2 . 1 м/с 2 - это такое ускорение, при котором скорость тела изменяется за 1 с на 1 м/с.

Направление ускорения совпадает с направлением скорости движения, если модуль скорости увеличивается, ускорение направлено противоположно скорости движения, если модуль скорости уменьшается.

6. Преобразовав формулу ускорения, можно получить выражение для скорости тела при равноускоренном движении: \(\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}t \) . Если начальная скорость тела \(v_0=0 \) , то \(\vec{v} = \vec{a}t \) .

Чтобы определить значение скорости равноускоренного движения в любой момент времени, следует записать уравнение для проекции скорости на ось ОХ. Оно имеет вид: \(v_x = v_{0x} + a_xt \) ; если\(v_{0x}=0 \) , то \(v_x = a_xt \) .

7. Как видно из формулы скорости равноускоренного движения, она линейно зависит от времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени является прямая, составляющая некоторый угол с осью абсцисс (осью времени). На рисунке 19 приведены графики зависимости модуля скорости от времени.

График 1 соответствует движению без начальной скорости с ускорением, направленным так же, как и скорость; график 2 - движению с начальной скоростью \(v_{02} \) и с ускорением, направленным так же, как и скорость; график 3 - движению с начальной скоростью \(v_{03} \) и с ускорением, направленным в сторону, противоположную направлению скорости.

8. На рисунке приведены графики зависимости проекции скорости равноускоренного движения от времени (рис. 20).

График 1 соответствует движению без начальной скорости с ускорением, направленным вдоль положительного направления оси X; график 2 - движению с начальной скоростью \(v_{02} \) , с ускорением и скоростью, направленными вдоль положительного направления оси X; график 3 - движению с начальной скоростью \(v_{03} \) : до момента времени \(t_0 \) направление скорости совпадает с положительным направлением оси X, ускорение направлено в противоположную сторону. В момент времени \(t_0 \) скорость равна нулю, а затем и скорость, и ускорение направлены в сторону, противоположную положительному направлению оси X.

9. На рисунке 21 приведены графики зависимости проекции ускорения равноускоренного движения от времени.

График 1 соответствует движению, проекция ускорения которого положительна, график 2 - движению, проекция ускорения которого отрицательна.

10. Формулу перемещения тела при равноускоренном движении можно получить, используя график зависимости проекции скорости этого движения от времени (рис. 22).

Выделим на графике малый участок \(ab \) и опустим перпендикуляры из точек \(a \) и \(b \) на ось абсцисс. Если промежуток времени \(\Delta{t} \) , соответствующий участку \(cd \) на оси абсцисс мал, то можно считать, что скорость в течение этого промежутка времени не изменяется и тело движется равномерно. В этом случае фигура \(cabd \) мало отличается от прямоугольника и её площадь численно равна проекции перемещения тела за время, соответствующее отрезку \(cd \) .

На такие полоски можно разбить всю фигуру ОАВС, и её площадь равна сумме площадей всех полосок. Следовательно, проекция перемещения тела за время \(t \) численно равна площади трапеции ОАВС. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту: \(S_x= \frac{1}{2}(OA+BC)OC \) .

Как видно из рисунка, \(OA=v_{0x},BC=v_x,OC=t \) . Отсюда следует, что проекция перемещения выражается формулой \(S_x= \frac{1}{2}(v_{0x}+v_x)t \) . Так как \(v_x = v_{0x} + a_{xt} \) , то \(S_x= \frac{1}{2}(2v_{0x} + a_xt)t \) , отсюда \(S_x=v_{0x}t+ \frac{a_xt^2}{2} \) . Если начальная скорость равна нулю, то формула имеет вид \(S_x=\frac{at^2}{2} \) . Проекция перемещения равна разности координат \(S_x=x-x_0 \) , поэтому: \(x-x_0=v_{0x}t+\frac{at^2}{2} \) , или \(x=x_{0x}+v_{0x}t+\frac{at^2}{2} \) .

Полученная формула позволяет определить положение (координату) тела в любой момент времени, если известны начальная скорость, начальная координата и ускорение.

11. На практике часто используют формулу или \(v^2_x-v^2_{0x}=2a_xs_x \) , или \(v^2-v^2_{0}=2as \) .

Если начальная скорость тела равна нулю, то: \(v^2_x=2a_xs_x \) .

Полученная формула позволяет рассчитать тормозной путь транспортных средств, т.е. путь, который проезжает, например, автомобиль до полной остановки. При некотором ускорении движения, которое зависит от массы автомобиля и силы тяги двигателя, тормозной путь тем больше, чем больше начальная скорость автомобиля.

Часть 1

1. Hа рисунке приведены графики зависимости пути и скорости тела от времени. Какой график соответствует равноускоренному движению?

2. Автомобиль, начав двигаться из состояния покоя но прямолинейной дороге, за 10 с приобрел скорость 20 м/с. Чему равно ускорение автомобиля?

1) 200 м/с 2
2) 20 м/с 2
3) 2 м/с 2
4) 0,5 м/с 2

3. На рисунках представлены графики зависимости координаты от времени для четырёх тел, движущихся вдоль оси \(Оx \) . У какого из тел в момент времени \(t_1 \) скорость движения равна нулю?

4. На рисунке представлен график зависимости проекции ускорения от времени для тела, движущегося прямолинейно вдоль оси \(Оx \) .

Равноускоренному движению соответствует участок

1) только ОА
2) только АВ
3) только ОА и ВС
4) только CD

5. При изучении равноускоренного движения измеряли путь, пройденный телом из состояния покоя за последовательные равные промежутки времени (за первую секунду, за вторую секунду и т.д.). Полученные данные приведены в таблице.

Чему равен путь, пройденный телом за третью секунду?

1) 4 м
2) 4,5 м
3) 5 м
4) 9 м

6. На рисунке представлены графики зависимости скорости движения от времени для четырёх тел. Тела движутся по прямой.

Для какого(-их) из тел - 1, 2, 3 или 4 - вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости?

1) только 1
2) только 2
3) только 4
4) 3 и 4

7. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите его ускорение.

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид , где
,
,
. Для момента времени
определить: 1) координатуточки; 2) мгновенную скорость; 3) мгновенное ускорение; 4) среднюю скорость за промежуток времени с момента начала движения до
.

1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения заданное значение времени :

Подставив в это выражение значения постоянных А, В, С, и , произведем вычисления:

2. Уравнение, описывающее зависимость скорости от времени найдем, продифференцировав координату по времени:
. Тогда в заданный момент временимгновенная скорость
.

Подставим сюда значения В, С, и произведем вычисления:

Знак минус в полученном значении скорости указывает на то, что в данный момент времени скорость материальной точки направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси X.

3. Функциональную зависимость ускорения от времени найдем, используя определение ускорения, как второй производной от координаты по времени:

Подставим значения С, и произведем вычисления

4. По определению, среднее значение скорости равно:
, гдеS – путь, пройденный точкой за время
.

Если в течение рассматриваемого промежутка времени скорость точки не изменяется по направлению, то

где x(t 1) и x(t 0) – координаты материальной точки в конечный и начальный моменты времени, соответственно.

В нашем случае в начальный момент времени
с скорость точки равна 2 м/с, а в момент временискорость -
. Следовательно, в некоторый момент временискорость точки обращается в нуль, т.е. в этот момент времени материальная точка изменяет направление своего движения. Тогда весь путь, пройденный точкой можно представить в виде:
, где
- путь, пройденный точкой до остановки, а
- путь, пройденный в обратном направлении.

Найдем момент времени, в который скорость точки равна нулю:
.

Отсюда
. Подставив численные значения, получим:=1,155 с.

Тогда =7,08 м,

=4 м,

Следовательно S =(7,08-4)+(7,08-4)=6,16 м, средняя скорость
.

Пример 2. Тело массой 10 кг движется вверх по наклонной плоскости. На тело действует сила F=100 Н, направленная вверх под углом =
к поверхности наклонной плоскости. Коэффициент трения=0,1. Угол наклона плоскости=
. Определить ускорение, с которым движется тело.

Решение.

При движении тела кроме силы на него действуют также: сила тяжести -
, сила реакции опоры -и сила трения -, показанные на рисунке.

Ускорение тела определим, используя основной закон динамики, который в векторной форме в условиях данной задачи имеет вид:

(1)

Направим ось X вдоль наклонной плоскости в сторону движения тела, а ось Y - перпендикулярно ей.

Запишем уравнение (1) в проекциях на выбранные оси координат.

На ось X: (2)

на ось Y: (3)

По определению силы трения:
.

Силу реакции опоры найдем из уравнения (3):

Подставим это выражение в (2) и получим рабочую формулу: .

Проведя подстановку данных и вычисления, найдем: а=3,3м/с 2 .

Пример 3. К ободу однородного диска радиусом 0,2 м, вращающегося вокруг своей оси, приложена касательная сила F=98,1 Н. При вращении, на диск действует момент сил трения
Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением=100
.

М тр = 4,9 Н м

- 100 рад/c 2

ешение:

Известно, что момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, равен:
.

Отсюда масса диска:
(1)

Воспользовавшись законом динамики вращательного движения твердого тела, найдем момент инерции J:

, (2)

где М - результирующий момент сил, под действием которого вращается диск. Запишем уравнение (2) в проекции на ось вращения (с учетом направлений моментов).

Здесь
– момент силыF относительно оси вращения.

Подставляя (2) и (3) в (1) находим:

Проведя необходимые расчеты, получим: m=7,36 кг.

Пример 4 . Два свинцовых шара массами
=2 кг и
=3 кг подвешены на нитях длинойL=70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол
и отпустили. Считая удар центральным и неупругим, определить: 1) высоту h, на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию
, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Решение:

Проведем анализ движения тел в данной задаче. Движение шаров можно разбить на три этапа.

На первом этапе шар массой m 1 движется под действием только консервативных сил (сила трения отсутствует). Следовательно, на этом участке движения выполняется закон сохранения механической энергии:

, (1)

где
- начальная высота, на которой находился отклоненный шар,- скорость этого шара непосредственно перед ударом.

Второй этап – неупругое соударение шаров, при котором выполняется только закон сохранения импульса:

где и- скорости шаров до удара,- скорость шаров, движущихся как единое целое, непосредственно после удара.

С учетом того, что
, получим:

. (2)

Из уравнения (2) очевидно, что скорость шаров сразу после удара будет направлена вдоль оси Х, также как и скоростьпервого шара непосредственно перед соударением. Поэтому, уравнение (2) в проекциях на ось Х будет иметь вид: