В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.
Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.
У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.
Итак, начнем.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.
1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.
2. Перемножим их.
3. Введем замену переменной.
В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:
В этом месте замена переменной становится очевидной:
Получаем уравнение 
Ответ:
2 .
Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:
1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.
2. Перемножаем каждую пару скобок.
3. Из каждого множителя выносим за скобку х.
4. Делим обе части уравнения на .
5. Вводим замену переменной.
В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :
Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :
Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:
Получим уравнение: 
Ответ:
3
. 
Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение относительно переменной t:
4 .
Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .
Чтобы его решить,
1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:
2. Сгруппируем слагаемые таким образом:
3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
4. Введем замену:
5. Выразим через t выражение :
Отсюда 
Получим уравнение относительно t:
Ответ:
5. Однородные уравнения.
Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.
Однородные уравнения имеют такую структуру:
В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.
Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
Пойдем первым путем. Получим уравнение:
Теперь мы вводим замену переменной:
Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:
Ответ: или
7
. 
Это уравнение имеет такую структуру:
Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.
Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.
Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно
Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:
Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:
Стандартные виды уравнений и способы их решения
1. Уравнение вида 
=
b
↔ f(x) = b 2 , при b ≥ 0; не имеет решений при b
Золотое правило. Для решения корень нужно уединить.
Примеры.
1)
2)
3) 
. Решений нет, т. к. 
2. Уравнение вида 
Примеры.
Ответ: х = - 1
2)В примерах, сводящихся к данному виду уравнений, при применении равносильных переходов необходимо найти область допустимых значений.
Пример. 
Ответ 
3. Уравнение вида 
либо
Выбрать неравенство, которое проще.
Примеры.
1) 
, sinх = t, |t| ≤ 1, t ≥ 0 , 0 ≤ t ≤ 1
2t 2 + t – 1 = 0
t = -1 , t = ½ С учетом ограничений t = ½
Ответ:
4. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза (
). Решаются путем замены корня 
, с учетом ограничений.
Примеры.
1)
= t, где t ≥ 0
t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1 , t = 3, учитывая, что t ≥ 0, t = 3
= 3
Ответ: х = ± 7
2)
= t , тогда
= 2 или = ½
= 32 = 1/32
16z =32 16·32z – z = - 1
z = 2 z = - 1/511
5. Уравнения, содержащие более одного корня в виде слагаемых
В уравнениях данного вида необходимо избавиться от корней. Чаще всего это происходит путем возведения обеих частей в квадрат. Необходимо отметить, что при возведении в квадрат ОДЗ неизвестного расширяется, что может привести к посторонним корням уравнения. Возведение в квадрат не обеспечивает равносильного перехода, поэтому полученные значения неизвестного нужно проверять.
При решении нужно соблюдать следующие правила:
Корни разнести по разные стороны, т. к. преобразования в этом случае проще;
Найти множество значений, при которых корни существуют;
Возвести обе части в квадрат;
Привести уравнение к стандартному виду;
Решить согласно видам 1 – 3;
Исключить посторонние корни;
Проверить оставшиеся корни.
1) 
решаем, выполняя п.5 (уравнение вида )
Проверка х = 3
Равенство верно.
Ответ: х = 3.
2)
3х – 4 - 2
= х – 2
2х – 2 = 
(1) х – 1 = 
Заметим, что, исходя из равносильности, решаем только уравнение (1), а не первоначальное, поэтому нужно произвести проверку.
Можно решать без учета ОДЗ и не использовать равносильность, но в этом случае все полученные значения х необходимо проверить. В некоторых уравнениях это достаточно сложно.
Проверка. х = 3
Равенство верно.
Ответ: х = 3
6. Уравнения, решаемые способом замены переменных.
6.1 Очевидные замены.
Если в примере есть члены с повторяющимися выражениями, то целесообразно провести замену переменных, что по сути не является непосредственным решением, но значительно упрощает преобразование выражений и приведение уравнения к стандартному виду.
Золотое правило . Сделал замену – определи область изменения новой переменной. (нанеси ограничения на новую переменную)
Примеры.
1)
Пусть = t, где t ≥ 0, т. к. корень арифметический.
Получим: t 2 – 2t – 3 = 0
t = - 1, t = 3
Т. к. t ≥ 0, t = 3
Перейдем к х
= 3 х 2 + 32 = 81, х = ± 7.
Ответ: х = ± 7.
Т. к. 
и 
взаимно обратные выражения, то если 
= t,
= , где t > 0.
Получим t + = , 2t 2 – 5t + 2 = 0,
t = ½, t = 2,
= или = 2
8х = 1+2х, 2х = 4 + 8х
х = 1/6. х = - 2/3
Наибольший корень х = 1/6.
3)
= t, t ≥ 0 Заменить корень и выразить через t правую часть.
= t 2 , 
t 2 – 20
t = - (t 2 – 20) , t 2 + t – 20 = 0. t = - 5 или t = 4.
Т.к. t ≥ 0 , то t = 4
= 4,
х 2 + 2х + 8 = 16,
х 2 + 2х - 8 = 0, х = - 4 или х = 2.
Ответ: х = - 4 , х = 2.
4) 
. Произведем двойную замену
:
t = 
, где t ≥ 0, d = 
, где d ≥ 0.
Выразим х из каждого: х = 5 - t 2 или х = d 2 + 3. Получим систему :
. t = 0 или d = 0
= 0 или = 0
х = 5 или х = 3
Ответ: х = 5; х = 3.
6.2 Неочевидная замена
Замена переменной может возникнуть не сразу, а после проведенных преобразований.
Примеры.
1)
ОДЗ: - 1 ≤ х ≤ 3
Перенесем 
вправо, чтобы более сложное выражение 
осталось одно.
Возведем в квадрат обе части, ожидая получение одинаковых выражений:
Ожидания оправдались.
= t, t ≥0 
= t 2 + 4
4t = t 2 + 4, t 2 – 4t + 4 = 0, (t – 2) 2 = 0, t = 2
= 2, 
= 4, 
х = 1 корень уравнения, т. к. сумма коэффициентов и свободного члена равна нулю.
разделим 
на х – 1 . Получим х 2 – 2х + 1 = 0. х = 1 ±
.
Все три корня являются решениями, т. к. удовлетворяют условию - 1 ≤ х ≤ 3.
Ответ: х = 1, х = 1 ±
7. Уравнения вида произведение равно нулю.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.
f(x) · g(x) = 0 
Примеры.
1)
= 0
решений нет х = - 1, х = 2.
Ответ: х = - 1, х = 2.
Неравенства, входящие в систему можно сразу не решать, а подставить полученный корень в неравенство.
2) Необходимо разложить на множители.
= 4
решений нет х = 0, х = 5.
Ответ: х = 0, х = 5.
Уравнения, содержащие квадратный и кубический корни.
Примеры.
1)
= t, 
= d, где d ≥ 0
x = 2 - t 3 , x = d 2 + 1. Составим систему:
Т.к. при всех найденных значениях t d ≥ 0, то d из системы можно не находить, а х найти из условия x = 2 - t 3 .
х = 2, х = 10, х = 1
Ответ: х = 2, х = 10, х = 1
2) 
.
1 способ. Решить как предыдущее уравнение.
2 способ. Заметим, что левая часть уравнения представляет возрастающую функцию, т. к. состоит из суммы двух возрастающих функций на области определения: х ≥ - 1. Правая часть – константа. Графики этих функций пересекаются в одной точке, абсцисса которой будет решением данного уравнения, т. е. уравнение имеет одно решение. Попробуем его подобрать.
Очевидно, подбор надо вести в ОДЗ уравнения. Надо полагать, что корни должны извлекаться, т.к. сумма равна 3.
Убеждаемся, что х = 3 корень уравнения.
Ответ: х = 3.
3) 
.
Т.к. 
приведем корни к одной степени.
, х = - 1
(х + 1)(х 2 – 4х + 4)
х 2 – 4х + 4 =0 х = 2.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: х = - 1, х = 2
Уравнение, содержащее сумму (разность) двух корней третьей степени.
(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b),
(a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) .
При этом заметим, что скобка (a ± b) = 
Примеры.
1) 
. Возведем обе части в куб:
Но 
= 2, поэтому заменим последнюю скобку на 2.
Получим
х = 0
ответ: х = 0.
2)
Заметим, что выражения 2 – х и 7 + х повторяются. Сделаем замену:
t = 
, d = 
. Откуда х = 2 - t 3 или х = d 3 – 7
Можно не находить t и d, а воспользоваться тем, что td = 2
= 2
- х 2 – 5х + 14 = 8, х 2 + 5х - 6 = 0, х = - 6 , х = 1.
Ответ: х = - 6 , х = 1.
Уравнения, содержащие сложные радикалы.
Определить, не является ли подкоренное выражение полным квадратом;
Выделить полный квадрат;
При отсутствии п. 1 применить формулы сложных радикалов;
При отсутствии п.п.1–3 применить стандартные преобразования (замена, разложение на множители, возведение в степень и т.д.)
1)
Попробуем найти полный квадрат. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . Рассуждать при этом должны следующим образом:
Пусть 
- удвоенное произведение, 2ab.
Пусть 
- первое число а.
Тогда второе число b = 1. Следовательно, сумма квадратов первого и второго чисел равна х – 3 . Подкоренное выражение полный квадрат. 
Пусть 
- удвоенное произведение.
Пусть - первое число а.
Тогда второе число b = 2. Следовательно, сумма квадратов первого и второго чисел равна х. Подкоренное выражение полный квадрат. 
+ = 1
Т.к. 
│а│, то получим уравнение:
│
│ + │
│ = 1
Теперь сделаем замену = t , = t – 1
│t │ + │t – 1 │ = 1
Найдем нули модулей: t = 0, t = 1
│t │
- │ + │ +
│t – 1 │- 0 - 1 + х
решений нет 
решений нет
0 ≤ ≤ 1
1 ≤ ≤ 2 Т.к. все части неравенства положительны, возведем в квадрат.
1 ≤ х – 4 ≤ 4, 5 ≤ х ≤ 8.
Ответ: 
Методы решения иррациональных уравнений
Использование свойств монотонности функций.
При этом надо иметь в виду следующее:
Сумма двух возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая).
Возрастание, убывание функции можно определить по производной.
1) 
.
Пусть f(x) = 
. f(x) – убывает на D(f) = (-∞; 3]
g(x) = 6 – константа. Графики функций пересекаются в одной точке. Уравнение имеет одно решение.
Подбор ведем из D(f) = (-∞; 3], учитывая, что корни должны извлекаться.
х = - 1.
Проверка.
, 4 + 2 = 6, равенство верно.
Ответ: х = - 1.
2)
Пусть f(x) = 
. Функция убывающая.
Докажем это. D(f) =
f ′(x) = 
f ′(x) = 0, = 0, x = 2
D(f)
f(1) = 
, f(2) = 3
, f(3) =
E(f) = [; 3]
g(x) =
, D(g) =
g ′(x) = 
g ′(x) = 0 = 0, x = 1 D(g)
g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3
E(g) =
Заметим, что одинаковое значение функций получаем только при х = 2
Можно рассуждать и следующим образом: наибольшее значение одной функции равно наименьшему значению другой функции при одних и тех же значениях х. Следовательно, решением уравнения f(x) = g(x) являются эти значения х.
max f = 3, min g = 3 , max f = min g = 3 при х = 2
Ответ: х = 2
1 способ.
Пусть f(x) =
, D(f
) =
R
.
f ′(x) = 4х 3 + 12х 2 + 12х + 4
f ′(x) = 0 4х 3 + 12х 2 + 12х + 4 = 0,
х 3 + 3х 2 + 3х + 1 = 0, (х + 1) 3 = 0
х = - 1
f ′(x) - │ +
f(x) - 1
f min = f(-1) = - 1 E(f) = [ - 1; ∞)
g(x) =
D(g) = R.
g ′(x) = 
, g ′(x) = 0 x = - 1
g ′(x) + -
g (x) │- 1
g max = g(-1) = - 1 E(g) =(- ∞; - 1]
min f = max g = - 1 при х = -1.
Ответ: х = - 1.
2 способ.
Выделить полный квадрат у многочлена:
(х 2 + 2х) 2 + 2х 2 + 4х. Получим:
(х
2
+ 2х)
2
+ 2(х
2
+ 2х) +
.
Теперь можно сделать замену:
х 2 + 2х = t
t 2 + 2 t + 
= 2
Возможно, что в данном уравнении 2 способ предпочтительней. Но способом оценки необходимо хорошо овладеть, т. к. многие уравнения, системы, неравенства решаются именно этим способом.
Использование ОДЗ
Анализ показывает, что применение любых способов затруднительно. Попробуем найти ОДЗ.
Таким образом х = 4 – единственно возможное значение.
Проверка.
, 0 = 0 равенство верно.
Ответ: х = 4.
14. Использование очевидных неравенств
Известно, что 
(средне арифметическое больше или равно средне геометрическому). При этом равенство соблюдается, если a = b.
При наличии в уравнении произведения под корнем целесообразно применить данное свойство.
Примеры.
1) 
Разложим подкоренное выражение на множители.
Пусть а = х + 1, b = 2x + 3, тогда a + b = 3х + 4.
В левой части – средне геометрическое, в правой части – средне арифметическое.
Равенство будет, если a = b.
х + 1 = 2х + 3, х = - 2.
Ответ: х = - 2.
15. Использование скалярного произведения
Пусть вектор 
имеет координаты (а 1 ; а 2), вектор 
(b 1 ; b 2).
Тогда скалярное произведение · = а 1 b 1 + а 2 b 2 . Т. к. а 1 b 1 + а 2 b 2 = ││∙ ││· cosα, следовательно, а 1 b 1 + а 2 b 2 ≤ ││∙ ││
││ = 
││= 
│ =
Рассмотреть возможность использования ОДЗ;
Рассмотреть возможность использования монотонности функции;
Рассмотреть возможность использования свойств функции (область значений, наибольшее, наименьшее), т.е. применить оценки;
Рассмотреть возможность использования сопряженных выражений;
Рассмотреть возможность использования очевидных неравенств, скалярного произведения.
Предмет
алгебра
Класс
8
Тема и номер урока в теме
«Квадратные уравнения»; 14 урок
Базовый учебник
«Алгебра 8», под ред. Ш.А. Алимов и др., Москва: Просвещение, 2009 г.
5. Цель урока: закрепить алгоритмы решения биквадратного и дробно рационального уравнения.
6. Задачи:
- обучающие: знать вид биквадратного и дробно рационального уравнения; алгоритм решения биквадратного
и дробно рационального уравнения; уметь решать биквадратное и дробно рациональное уравнение;
-развивающие : формирование умения выделять главное, сравнивать, анализировать и делать выводы;
формирование умения формулировать познавательные задачи, планировать познавательную деятельность;
развивать качества личности – трудолюбие, аккуратность, настойчивость в достижении цели;
-воспитательные: выработка объективной оценки своих достижений; формирование ответственности;
развитие навыков коллективного труда.
7. Тип урока: у рок закрепления знаний .
8. Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная; групповая.
9. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, ИД.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА
|
Дидактичес- ская струк- тура урока |
Методическая структура урока |
||||||
|
Актуализация знаний |
Формирование ЗУН |
Закрепление |
Контроль |
Инструктаж домашнего |
|||
|
Подготов-ка учащихся к работе на уроке |
Обеспечить мотивацию, провести актуализацию опорных знаний и умений |
Повторить алгоритм решения биквадр. ур-й и способы решения дробно-рац. уравнений |
Зн ать алгоритм решения биквадр. ур-й и способы решения дробно-рац. уравнений и умение применять их на практике |
Работа в группах |
Провести анализ и оценку успешности достижения цели занятия и наметить перспективы последующей работы |
Обеспечить понимание цели, содержания и способов выполнения д/з |
|
|
Мы сегодня будем додекаэдр. Чтобы закрепить грани додекаэдра, нужно решить определенного вида уравнения. Какого вида уравнения научились решать на предыдущих уроках? |
1.Совместно с уч-ся сформулировать цель урока 2.Повторить алгоритм решения биквадратного уравнения; условия равенства дроби 0; формулу корней квадр. уравнения |
1. Предложено несколько вариантов формулы корней кв. ур. - выбрать правильную През. Л.№2 2.Установить соответствие между этапами алгоритма и пунктами решения бикв. ур-я През. Л.№3 3.Выбрать из трех вариантов ответов условие существования дроби През. Л.№4 4.Найди ошибку в решении ур. През. Л.№5 |
Разноуровневые по составу группы выполняют задания по карточкам. Прил №1 На слайде расположены грани додекаэдра с правильными ответами. През. л. №6. Каждой команде заранее присвоен цвет, если команда правильно решила уравнения, то ее выбранные грани будут соответствовать ее цвету в трех местах. По окончанию работы учащиеся проверяют результаты построения развертки додекаэдра.През.л.№7 |
Учитель совместно с учениками подводят итог выполненной работы. |
Работа над ошибками: исправить решение уравнений классной работы, в которых были ошибки |
||
|
Методы обучения |
Репродуктивный |
Репродуктивный |
Частично-поисковый |
Частично поисковый, поисковый, самоконтроль |
Самоконтроль |
Самоконтроль |
|
|
Формы орг. познаватель- |
Фронтальная |
Фронтальная |
Фронтальная |
Групповая |
Индивидуальная, фронтальная |
Фронтальная |
|
|
Реальный результат |
Все уч-ся включи-лись в рабочую обстановку |
Учащиеся подготовились к активной учебно- познавательной деятельности |
Уч-ся познакомились с уравнениями, сводящимися к квадратным и способами их решения |
Учащиеся знают, как решать уравнения, сводящиеся к квадратным |
Уч-ся составлено представление о степени усвоения ими изученного материала, о достижениях и пробелах в изученной теме |
Уч-ся проведена самооценка знаний и умений по теме, сделан вывод о результате своей работы |
Созданы условия для выполнения домашней работы |
Квадратным уравнением называется уравнение ax²+bx+c=0, где a, b, c – заданные числа, a0, x -неизвестное. Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a – первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, c – свободным членом. Например, в уравнении 3х²-х+2=0 старший (первый) коэффициент а=3, второй коэффициент b=-1, а свободный член c=2. Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению квадратных уравнений: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2x²+3x=x²+2x+2 после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению x²+x-2=0.
Рассмотрим уравнение общего вида: ax²+bx+c=0, где a0. Корни уравнения находят по формуле: Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D=0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих видов: Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Квадратное уравнение вида x 2 +px+q=0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице: a=1. Корни приведенного квадратного уравнения находятся по формуле: Этой формулой удобно пользоваться, когда p – четное число. Пример: Решить уравнение x 2 -14x-15=0. По формуле находим: Ответ: x 1 =15, x 2 =-1.
Франсуа Виет? Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену). Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Утверждение 1: Пусть х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 +pх+q=0. Тогда числа х 1, х 2, p, q связаны равенствами: x 1 +х 2 = - p, х 1 х 2 =q Утверждение 2: Пусть числа х 1, х 2, p, q связаны равенствами х 1 +х 2 = - p, х 1 х 2 =q. Тогда х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 +pх+q=0 Следствие: х 2 +pх+q=(х-х 1)(х-х 2). Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Биквадратные уравнения Биквадратным называется уравнение вида, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив, получим квадратное уравнение Пример: Решить уравнение x 4 +4x 2 -21=0 Положив x 2 =t, получим квадратное уравнение t 2 +4t -21=0, откуда находим t 1 = -7, t 2 =3. Теперь задача сводится к решению уравнений x 2 = -7, x 2 =3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим: которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью квадратных уравнений Задача 1: Автобус отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 минут вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно. Скорость V (км/ч) Время t (ч) Путь S (км) Автобусx40 ТаксиX+2040 На 10 мин 10 мин =ч Составим и решим уравнение:
Умножим обе части уравнения на 6x(x+20), получим: Корни этого уравнения: При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому являются корнями уравнения. Так как скорость автобуса положительна, то условию задачи удовлетворяет только один корень: x=60. Поэтому скорость такси 80 км/ч. Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.
Задача 2: На перепечатку рукописи первая машинистка тратит на 3 ч меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили перепечатку всей рукописи за 6ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи? Количество работы в час Время t (ч) Объем работы Первая машинистка x1 Вторая машинистка x+31 Вместе за 6ч 40мин 6 ч 40 мин = 6 ч Составим и решим уравнение:
Это уравнение можно записать следующим образом: Умножая обе части уравнения на 20x(x+3), получаем: Корни этого уравнения: При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому - корни уравнения. Так как время положительно, то x=12ч. Следовательно Первая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая – 12 ч + 3 ч = 15 ч Ответ:12 ч и 15 ч. 15
Франсуа Виет Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году. Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.