Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.
Алгоритм
- Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
- Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
- Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.
На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.
Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.
Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.
Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.
На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.
Второй способ решения
- Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
- Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
- Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.
Похожие задачи:
В аналитической геометрии расположение множества точек, принадлежащих прямой линии в пространстве, описывается уравнением. Для всякий точки пространства касательно этой линии дозволено определить параметр, тот, что именуется отклонением. Если он равен нулю, значит, точка лежит на линии, а всякое другое значение отклонения, взятое по модулю, определяет кратчайшее расстояние между прямой и точкой. Рассчитать его дозволено, если знаменито уравнение линии и координаты точки.
Инструкция
1. Для решения задачи в всеобщем виде обозначьте координаты точки как A?(X?;Y?;Z?), координаты ближайшей к ней точки на рассматриваемой прямой – как A?(X?;Y?;Z?), а уравнение прямой запишите в таком виде: a*X + b*Y + c*Z – d = 0. Вам надобно определить длину отрезка A?A?, тот, что лежит на линии, перпендикулярной по отношению к описываемой уравнением. Перпендикулярный («типичный») направляющий вектор? = {a;b;c} поможет составить канонические уравнения проходящей через точки A? и A? прямой: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.
2. Запишите канонические уравнения в параметрической форме (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? и Z = c*t+Z?) и обнаружьте значение параметра t?, при котором начальная и перпендикулярная к ней прямые пересекаются. Для этого подставьте параметрические выражения в уравнение начальной прямой: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z?) – d = 0. После этого выразите из равенства параметр t?: t? = (d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?).
3. Подставьте полученное на предыдущем шаге значение t? в определяющие координаты точки A? параметрические уравнения: X? = a*t?+X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b*t?+Y? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? и Z? = c*t?+Z? = c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. Сейчас у вас есть координаты 2-х точек, осталось рассчитать определяемое ими расстояние (L).
4. Для приобретения численного значения расстояния между точкой с вестимыми координатами и прямой, задаваемой знаменитым уравнением, рассчитайте численные значения координат точки A?(X?;Y?;Z?) по формулам из предыдущего шага и подставьте значения в эту формулу:L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / (a? + b? + c?)Если же и итог нужно получить в всеобщем виде, он будет описываться достаточно массивным уравнением. Замените величины проекций точки A? на три координатные оси равенствами из предыдущего шага и упростите насколько допустимо полученное равенство:L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?) + b*(Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c*(Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + b*(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c*(2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c?) = (2*a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b*Y? – b?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? – c?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)
5. Если значение имеет только численный итог, а ход решения задачи не значим, воспользуйтесь онлайн-калькулятором, тот, что предуготовлен именно для расчета расстояния между точкой и прямой в ортогональной системе координат трехмерного пространства – http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_line. Тут вы можете разместить в соответствующие поля координаты точки, ввести уравнение прямой в параметрическом либо каноническом виде, а после этого получить результат, щелкнув по кнопке «Обнаружить расстояние от точки до прямой».
Видео по теме
Данная статья рассказывает о теме « расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.
Пусть имеется прямая a и точка М 1 , не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b , расположенную перпендикулярно относительно прямой a . Точка пересечения прямых возьмем за Н 1 . Получим, что М 1 Н 1 является перпендикуляром, который опустили из точки М 1 к прямой a .
Определение 1
Расстоянием от точки М 1 к прямой a называется расстояние между точками М 1 и Н 1 .
Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.
Определение 2
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.
Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.
Если взять точку Q , лежащую на прямой a , не совпадающую с точкой М 1 , тогда получим, что отрезок М 1 Q называется наклонной, опущенной из М 1 к прямой a . Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М 1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.
Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М 1 Q 1 Н 1 , где М 1 Q 1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M 1 H 1 < M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.
Когда при нахождении расстояния от точки до прямойможно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки.
Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М 1 к прямой a . Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.
Если на плоскости имеется точка с координатами M 1 (x 1 , y 1) , расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a , а необходимо найти расстояние M 1 H 1 , можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.
Первый способ
Если имеются координаты точки H 1 , равные x 2 , y 2 , тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
Теперь перейдем к нахождению координат точки Н 1 .
Известно, что прямая линия в О х у соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М 1 перпендикулярно заданной прямой a . Прямую обозначим буковой b . Н 1 является точкой пересечения прямых a и b , значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.
Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M 1 (x 1 , y 1) до прямой a проводится согласно пунктам:
Определение 3
- нахождение общего уравнения прямой a , имеющее вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ,или уравнение с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k 1 x + b 1 ;
- получение общего уравнения прямой b , имеющее вид A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или уравнение с угловым коэффициентом y = k 2 x + b 2 , если прямая b пересекает точку М 1 и является перпендикулярной к заданной прямой a ;
- определение координат x 2 , y 2 точки Н 1 , являющейся точкой пересечения a и b , для этого производится решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
- вычисление искомого расстояния от точки до прямой, используя формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
Второй способ
Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки дот заданной прямой на плоскости.
Теорема
Прямоугольная система координат имеет О х у имеет точку M 1 (x 1 , y 1) , из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при x = x 1 , y = y 1 , значит, что M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .
Доказательство
Прямой а соответствует нормальное уравнение плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , тогда n → = (cos α , cos β) считается нормальным вектором прямой a при расстоянии от начала координат до прямой a с p единицами. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) , где радиус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Необходимо провести прямую от точки до прямой, которое обозначим M 1 H 1 . Необходимо показать проекции М 2 и Н 2 точек М 1 и Н 2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида n → = (cos α , cos β) , а числовую проекцию вектора обозначим как O M 1 → = (x 1 , y 1) к направлению n → = (cos α , cos β) как n p n → O M 1 → .
Вариации зависят от расположения самой точки М 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Результаты фиксируем при помощи формулы M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . После чего приводим равенство к такому виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, чтобы получить n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Скалярное произведение векторов в результате дает преобразованную формулу вида n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , которая является произведением в координатной форме вида n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Значит, получаем, что n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отсюда следует, что M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорема доказана.
Получаем, что для нахождения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1) к прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий:
Определение 4
- получение нормального уравнения прямой a cos α · x + cos β · y - p = 0 , при условии, что его нет в задании;
- вычисление выражения cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , где полученное значение принимает M 1 H 1 .
Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости.
Пример 1
Найти расстояние от точки с координатами M 1 (- 1 , 2) к прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 .
Решение
Применим первый способ для решения.
Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b , которая проходит через заданную точку M 1 (- 1 , 2) , перпендикулярно прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 . Из условия видно, что прямая b является перпендикулярной прямой a , тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные (4 , - 3) . Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки М 1 , принадлежит прямой b . Определим координаты направляющего вектора прямой b . Получим, что x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение Н 1 . Преобразования выглядят таким образом:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Из выше написанного имеем, что координаты точки Н 1 равны (- 5 ; 5) .
Необходимо вычислить расстояние от точки М 1 к прямой a . Имеем, что координаты точек M 1 (- 1 , 2) и H 1 (- 5 , 5) , тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что
M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Второй способ решения.
Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения 4 x - 3 y + 35 = 0 . Отсюда получим, что нормирующий множитель равен - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальное уравнение будет вида - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями x = - 1 , y = 2 . Тогда получаем, что
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 (- 1 , 2) к заданной прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 имеет значение - 5 = 5 .
Ответ: 5 .
Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления.
Пример 2
На плоскости имеется прямоугольная система координат О х у с точкой M 1 (8 , 0) и прямой y = 1 2 x + 1 . Найти расстояние от заданной точки до прямой.
Решение
Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе.
Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение - 1 , значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной y = 1 2 x + 1 имеет значение 2 . Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 (8 , 0) . Имеем, что y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Переходим к нахождению координат точки Н 1 , то есть точкам пересечения y = - 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1 . Составляем систему уравнений и получаем:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4)
Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M 1 (8 , 0) к прямой y = 1 2 x + 1 равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами M 1 (8 , 0) и H 1 (6 , 4) . Вычислим и получим, что M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .
Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 , тогда значение нормирующего множителя будет - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Произведем вычисление от точки M 1 8 , 0 к прямой вида - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Получаем:
M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Ответ: 2 5 .
Пример 3
Необходимо вычислить расстояние от точки с координатами M 1 (- 2 , 4) к прямым 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0 .
Решение
Получаем уравнение нормального вида прямой 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0
После чего переходим к вычислению расстояния от точки M 1 - 2 , 4 к прямой x - 3 2 = 0 . Получаем:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Уравнение прямой y + 1 = 0 имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид - y - 1 = 0 . Переходим к вычислению расстояния от точки M 1 (- 2 , 4) к прямой - y - 1 = 0 . Получим, что оно равняется - 4 - 1 = 5 .
Ответ: 3 1 2 и 5 .
Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям О х и О у.
В прямоугольной системе координат у оси О у имеется уравнение прямой, которое является неполным имеет вида х = 0 , а О х - y = 0 . Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M 1 x 1 , y 1 до прямых. Это производится, исходя из формул M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Пример 4
Найти расстояние от точки M 1 (6 , - 7) до координатных прямых, расположенных в плоскости О х у.
Решение
Так как уравнение у = 0 относится к прямой О х, можно найти расстояние от M 1 с заданными координатами, до этой прямой, используя формулу. Получаем, что 6 = 6 .
Так как уравнение х = 0 относится к прямой О у, то можно найти расстояние от М 1 к этой прямой по формуле. Тогда получим, что - 7 = 7 .
Ответ: расстояние от М 1 к О х имеет значение 6 , а от М 1 к О у имеет значение 7 .
Когда в трехмерном пространстве имеем точку с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , необходимо найти расстояние от точки A до прямой a .
Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой a , расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки М 1 к прямой, где точка на прямой называется Н 1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М 1 на прямую a . Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма.
Первый способ
Из определения имеем, что расстояние от точки М 1 , расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра М 1 Н 1 , тогда получим, что при найденных координатах точки Н 1 , тогда найдем расстояние между M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , исходя из формулы M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .
Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из М 1 на прямую a . Это производится следующим образом: Н 1 является точкой, где пересекаются прямая a с плоскостью, которая проходит через заданную точку.
Значит, алгоритм определения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к прямой a пространства подразумевает несколько пунктов:
Определение 5
- составление уравнение плоскости χ в качестве уравнения плоскости, проходящего через заданную точку, находящуюся перпендикулярно прямой;
- определение координат (x 2 , y 2 , z 2) , принадлежавших точке Н 1 , которая является точкой пересечения прямой a и плоскости χ ;
- вычисление расстояния от точки до прямой при помощи формулы M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .
Второй способ
Из условия имеем прямую a , тогда можем определить направляющий вектор a → = a x , a y , a z с координатами x 3 , y 3 , z 3 и определенной точки М 3 , принадлежащей прямой a . При наличии координат точек M 1 (x 1 , y 1) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 можно произвести вычисление M 3 M 1 → :
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3)
Следует отложить векторы a → = a x , a y , a z и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 из точки М 3 , соединим и получим фигуру параллелограмма. М 1 Н 1 является высотой параллелограмма.
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Имеем, что высота М 1 Н 1 является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем M 1 H 1 .
Обозначим площадь параллелограмма за букву S , находится по формуле, используя вектор a → = (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площади имеет вид S = a → × M 3 M 1 → . Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что S = a → · M 1 H 1 с a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , являющимся длиной вектора a → = (a x , a y , a z) , являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, M 1 H 1 является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Для нахождения расстояния от точки с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямой a в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма:
Определение 6
- определение направляющего вектора прямой a - a → = (a x , a y , a z) ;
- вычисление длины направляющего вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
- получение координат x 3 , y 3 , z 3 , принадлежавших точке М 3 , находящейся на прямой а;
- вычисление координат вектора M 3 M 1 → ;
- нахождение векторного произведения векторов a → (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 в качестве a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для получения длины по формуле a → × M 3 M 1 → ;
- вычисление расстояния от точки до прямой M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве
Пример 5Найти расстояние от точки с координатами M 1 2 , - 4 , - 1 к прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .
Решение
Первый способ начинается с записи уравнения плоскости χ , проходящей через М 1 и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида:
2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Нужно найти координаты точки H 1 , являющейся точкой пересечения с плоскостью χ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогла получаем систему уравнений вида:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Необходимо вычислить систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по методу Крамера, тогда получаем, что:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0
Отсюда имеем, что H 1 (1 , - 1 , 0) .
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда a → = 2 , - 1 , 5 является направляющим вектором прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необходимо вычислить длину по формуле a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 .
Понятно, что прямая x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пересекает точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , отсюда имеем, что вектор с началом координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) и его концом в точке M 1 2 , - 4 , - 1 является M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Находим векторное произведение a → = (2 , - 1 , 5) и M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .
Мы получаем выражение вида a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
получаем, что длина векторного произведения равняется a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .
Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Ответ: 11 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.