При решении сложных задач обращают внимание на план решения и состав задачи, арифметическое выражение, ее разрешающее, и на самое вычисление искомой величины. К задачам на сложные арифметические действия должна быть отнесена следующая задача.
Задача 20 . Некто, имея капитал 8998 р., купил 15 десятин пахотной земли по 125 руб., 37 десятин луга по 112 руб., 5 лошадей по 147 руб. На все остальные деньги он купил лес по 132 руб. за десятину. Сколько десятин леса было куплено?
План решения задачи . Чтобы определить, сколько десятин леса купил человек, нужно найти, сколько у него оставалось денег от прежних покупок.
Для этого нужно отыскать, сколько он истратил на эти покупки.
Состав задачи . Легко определить состав этой сложной задачи. Наша сложная задача распадается на следующие 6 простых задач, из которых:
Первая задача определяет, сколько заплатил он за луг, и решается умножением .
Вторая задача определяет, сколько заплатил он за лошадей, и решается умножением .
Третья задача определяет, сколько заплатил он за лошадей, и решается также умножением .
Четвертая задача определяет, сколько денег истратил он на все эти покупки, и решается сложением .
Пятая задача определяет, сколько у него осталось денег после этих покупок, и решается вычитанием .
Шестая задача определяет, сколько десятин леса купил он на остальные деньги, и решается делением .
Арифметическое выражение задачи . Арифметическое выражение, решающее нашу задачу, найти очень легко, если найдены арифметические выражения, разрешающие все простые задачи.
1-я задача решается арифметическим выражением: 125 × 15.
2-я задача: 112 × 37.
3-я задача: 147 × 5.
4-я задача: 125 × 15 + 112 × 37 + 146 × 5 (а).
Арифметическое выражение, решающее 5-ю задачу, получится, если из 8998 вычтем арифметическое выражение (а). Для обозначения этого заключаем его в скобки. Сделав это, получаем выражение:
8998 - (125 × 15 + 112 × 37 + 147 × 5).
6-я задача разрешается, если последнее арифметическое выражение разделим на 132.
Арифметическое выражение, решающее нашу задачу, будет
÷ 132
Вычисление задачи . Можно найти численное решение данной задачи, или определяя числовую величину арифметического выражения, разрешающего задачу, или отыскивая отдельно решения всех простых задач, на которые распадается наша сложная задача.
В начале вычисления обычно располагают данные величины задачи в известном порядке.
Так, в нашем примере, данные задачи могут быть расположены следующим образом:
Данные: капитал 8998 р.
Искомое: число десятин леса.
Ход вычисления располагают письменно:
Ответ: куплено 17 десятин леса.
Здесь мы при каждом отдельном вычислении ставили номер. Он указывает на порядок вычисления и обозначает ту простую задачу, которая разрешается каждым отдельным действием. Обыкновенно при решении задач содержать в уме те предварительные соображения, которые мы выставили на вид, и прямо приступают к самому вычислению.
Порядок при вычислениях . При решении задач всегда следует соблюдать порядок в расположении вычислений. Этот порядок позволяет ясно видеть связь между данными и искомыми задачи, дает возможность легко обозревать всю задачу, отыскивать ошибки при вычислениях и ускоряет самый ход вычислений.
Рассмотрим подробно каждое из простых арифметических действий и приведем несколько простых задач, уясняющих применение каждого действия.
Задачи на сложение
Складывать число нужно всякий раз:
когда одно число нужно увеличить каким-нибудь числом, или когда к одному числу нужно прибавить другое;
когда несколько чисел нужно соединить в одно.
Задача 1 . Некто имеет имущество, состоящее из дома, мебели, картин и лошадей. Дом стоит 47215 руб., мебель 2215 руб., картины 5207 руб., лошади 1925 руб. Сколько стоит всё имущество?
Ответ: 56562 рубля.
Задача 2 . В одной библиотеке 1015 книг, в другой на 117 книг больше. Сколько книг во второй библиотеке?
Ответ: 1132.
Задачи на вычитание
Вычитают всякий раз:
когда требуется определить разность между числами;
когда нужно уменьшить одно число другим.
Задача 3 . В Петербурге 927 тысяч жителей, в Москве 750 тысяч. На сколько тысяч в Москве меньше жителей?
Ответ: на 177 тысяч.
Задача 4 . Первый крестовый поход был в 1096 году, а последний в 1270 году. Сколько лет продолжались крестовые походы?
Ответ: 174 года.
Задачи на умножение
Умножают числа всякий раз, когда требуется:
одно число увеличить в несколько раз;
повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Во всяком умножении произведение однородно с множителем, а множитель есть число отвлеченное.
Задача 5 . В мастерской каждый из 28 рабочих получает в месяц жалования по 15 руб. Сколько получают все рабочие?
Ответ: 420 рублей.
Задача 6 . В книге 175 страниц. Каждая страница имеет 22 строки. Сколько строк в книге?
Ответ: 3850 строк.
Задачи на деление
Деление целых чисел нужно всякий раз, когда требуется:
разделить число на несколько равных частей;
определить, сколько раз меньшее число содержится в большем;
уменьшить одно число в несколько раз.
Задача 7 . Некто заработал в год 3648 рублей. Сколько зарабатывает он в месяц?
Ответ: 304 рубля.
Задача 8 . Кусок материи в 26 аршин стоит 468 рублей. Сколько стоит аршин?
Ответ: 18 рублей.
Задача 9 . Найти число меньше 175 в 25 раз.
Арифметические задачи с именованными числами
Раздробление именованных чисел.
Задача 10 . На земном шаре каждую секунду умирает один человек. Сколько умрет за 17 дней 5 час. 1 сек.?
Ответ: 1486801 человек.
Превращение именованных чисел .
Задача 11 . Имея пудовые, фунтовые и золотниковые гири, определить наименьшее число гирь, необходимое для того, чтобы отвесить 5000 золотников.
Ответ 5000 зол. = 1 п. 12 ф. 8 зол. Гирь нужно 1 + 12 + 8 = 21.
Сложение именованных чисел .
Задача 12 . Сколько золота в трех слитках, если первый весит 3 п. 12 ф. 17 л. 1 зол., второй 2 п. 35 ф. 11 л. 1 зол. и третий 17 ф. 2 зол.
Ответ: 6 п. 24 ф. 29 л. 1 зол.
Вычитание именованных чисел.
Задача 13 . От куска материи в 5 с. 3 ф. 2 лип. отрезан кусок в 2 с. 5 ф. 7 д. 1 л. Определить, сколько остается материи?
Ответ: 2 с. 4 ф. 5 д. 1 л.
Арифметические задачи на время
Задачи на сложение и вычитание именованных чисел, содержащие время, имеют некоторые особенности.
Способы выражать время . Время обыкновенно выражают составным именованным числом. Число это означает, сколько лет, месяцев, дней протекло от Рождества Христова, начала христианской эры. Таким образом, 1860 год 17 мая 7 часов утра обозначают составным именованным числом:
1859 л. 4 м. 16 д. 7 час.,
и, обратно, составное именованное число 1839 л. 11 м. 15 д. 18 час. обозначает 1840-й год 16-е декабря 6 часов вечера, потому что сутки считаются от полуночи. От полуночи до полудня прошло 12 часов, да 6 часов прошло от полудня до 6 часов вечера.
При решении задач на сложение именованных чисел, выражающих время, обыкновенно приходится определять по одному событию и промежутку времени между данным и последующим событием время второго.
Задача 14 . Некто родился в 1827 году апреля 14. Определить, когда ему было 32 года 5 месяцев 25 дней.
Складывая два составных именованных числа, имеем:
Искомое время составляет 1859-й г. октября 9-го.
При вычислениях со временем нужно обращать внимание на то обстоятельство, что месяцы в году не имеют одинакового числа дней. Число дней в месяце бывает различно; поэтому, когда приходится, складывая дни, обращать их в месяцы, нужно принять в соображение величину одного или нескольких последних месяцев.
В предложенной задаче, если прибавить к составному именованному числу 1826 л. 3 м. 13 д. только 32 г. 5 м., будем иметь 1858 л. 8 м. 13 дн., то есть 1859-й год сентября 14-го.
После этого нужно еще прибавить 25 дней. Сентябрь имеет 30 дней, следовательно, через 25 дней наступит 9-е октября 1859 года.
Если же мы имеем одно событие 26 августа 1812 года, а другое наступает через год 6 месяцев и 23 дня, вычисление примет другой вид.
Прикладывая к составному именованному числу 1811 л. 7 м. 25 дней только 1 год 6 месяцев, получим составное именованное число 1813 лет 1 месяц 25 дней, означающее 26 февраля 1814 года. Если после этого времени пройдет еще 23 дня, время события вычисляется следующим образом. Февраль 1814 г. имеет 28 дней, следовательно, при сложении именованных чисел имеем:
то есть время другого события будет 1814 года марта 21-го.
Если при сложении и вычитании именованных чисел, содержащих время, нужно обратить внимание на величину последнего месяца, необходимо приложить только годы и месяцы, а затем, определив, к какому месяцу относится вычисление дня, прикладывают или вычитают дни и часы.
Вычитание именованных чисел, выражающих время . При вычитании именованных чисел, содержащих время, приходится:
определить промежуток времени между двумя данными событиями, или
по промежутку времени между данными и предшествующим событием - время последнего.
К первому роду относится
Задача 15 . Некто отправился в кругосветное путешествие 14 июня 1839 года и возвратился 15-го апреля 1844 года. Сколько времени продолжалось путешествие?
В этом случае обыкновенно выражают время составным именованным числом, содержащим только годы и дни. Так поступают потому, что месяцы в году содержат неодинаковое число дней. Начало путешествия 14 июня 1839 года мы выражаем следующим образом: сложив все дни, содержащиеся в месяцах, протекших с января, имеем:
в январе 31, в феврале 28 дней (1839 год - простой), в марте 31, в апреле 30, в мае 31 день, итого 151 день.
Присоединяя 13 дней июня, имеем 164 дня, следовательно, начало путешествия определяется составным именованным числом 1838 л. 164 дня.
Подобным же образом для конца путешествия имеем в январе 31, феврале 29 (1844 год - високосный), март 31 и 14 дней апреля, всего 105 дней. Конец путешествия выражается составным именованным числом: 1843 г. 105 дн.
Вычитая эти именованные числа, получим:
Путешествие продолжалось 4 года 306 дней.
Ко второму роду относится
Время 27 июля 1872 г. выражается в днях и горах составным именованным числом 1871 г. 208 дней. Вычитая 27 л. 165 д., имеем в остатке 1844 г. 43 дн. Это число выражается 13 февраля 1845 года.
Умножение именованных чисел .
Задача 17 . Куплено 7 кусков меди, каждый весом в 4 ф. 15 л. 1 з. 15 д. Найти вес этих 7 кусков.
Ответ: 31 ф. 12 л. 1 зол. 9 д.
Деление именованных чисел.
а) Деление именованного числа на именованное.
Задача 18 . Сколько выйдет ложек из куска серебра, весом в 2 ф. 30 л. 48 д., если каждая ложка весит 4 лот. 2 зол. 12 дол.?
Ответ: 20 ложек.
б) Деление именованного числа на отвлеченное.
Задача 19 . Поезд пробегает за 8 часов 185 вер. 423 с. 6 ф. 4 д. Сколько он пробегает за час?
Ответ: 23 вер. 115 саж. 3 ф. 5 д.
Разного уровня сложности для любого класса поможет развить математичесике способности устного счета.
На своем жизненном пути каждому приходилось или придется встретиться с такой прекрасной и точной наукой как Математика. Она развивает логическое и абстрактное мышление, улучшает способность быстро соображать и принимать решения. На основе именно этой науки строится описание нашего мира.
С чего начинается математика?
Базовой составляющей математики является раздел Арифметика – операции подсчета, измерения и описания форм объектов. Это базис, на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Школьная программа начинается с Арифметики, которую и предстоит освоить каждому ребенку, переступившему порог школы.
Поняв принцип математических операций, необходимо научиться быстро и безошибочно решать любые примеры по математике. И тут все упирается в терпение и регулярную практику, в следствие которой подсчитывать ответ становится все легче и легче.
Виды примеров по математике:
- С натуральными числами
- С дробными числами
- С отрицательными числами
- С иррациональными числами
- С тригонометрическими выражениями
Так же в математических примерах можно встретить комплексные числа. Роль каждых из чисел очень велика при решении и описании разных проблем с помощью математики. В дальнейшем в разделе Алгебра вместо чисел будут использоваться разнообразные выражения, но суть останется прежняя.
С чего начать тренировку в решении примеров по математике?
Конечно, начинать надо с самого простого и банального, с того что является самой основой. Обычные примеры начальной школы с натуральными числами. На их изучение и практику в школе уделяют большое количество времени, и дети на протяжении нескольких месяцев или лет, занимаются решением примеров, списывая задание с доски, открывая учебник или рабочую тетрадь, где один за одним решают примеры.
Предлагаем вам упрощенный способ развития навыков решения.
С помощью специального онлайн «Тренажера устного счета», где можно быстро и легко практиковаться в решении простых арифметических примеров.
Приложение позволяет быстро анализировать и исправлять допущенные ошибки, помогает с ответом при наличии сложного примера, а также ведет полную статистику выполненной работы. Родителям не придется тратить свое время на поиск математических примеров для тренировки ребенка, а потом долго и скрупулезно проверять их вручную.
В свою очередь дети сосредотачиваются на решении примера и не тратят время на поиск его среди массы похожих примеров на страницах учебников, не отвлекаются на переписывание его из учебника в тетрадь, проверяя по десять раз верность переписанного. Все это существенно ускоряет процесс обучения, уделяя внимание именно самому главному – решению самих примеров по математике!
Зачем нужен навык решения примеров по математике?
Несомненно, не всем в жизни нужно быть живым компьютером с развитым навыком устного счета. Однако очень часто происходят ситуации, когда этот навык выручает. Ведь в современном мире, где всё вокруг строится на основе математических законов, иметь такой приятный для себя бонус как хорошее умение быстро что-либо просчитывать очень круто! Никогда не знаешь на перед что и когда тебе понадобится, так почему бы не уделить немного времени этому сейчас, чтобы по жизни не попадать в неловкие ситуации, к тому же научиться этому делу довольно легко!
Очень многие ошибочно полагают, что стоит начинать учиться только тогда, когда они столкнуться с этими проблемами и это будет необходимым по жизни. Однако наш совет: освоить базовые навыки решения математических примеров и устного счета стоит как можно раньше, пока ум молод, свеж и гибок в плане обучения, а человек не занят взрослыми надоедливыми делами.
Научно доказано, если регулярно решать арифметические примеры, то:
- Сохраняется ясность ума
- Развивается логическое мышление
- Улучшается мозговая активность
- Повышается внимательность и концентрация
- Проявляется терпение и трудолюбие
- Развивается креативность
Как развить навык решения примеров по математике?
Надо понимать, что навык решения напрямую связан и количеством решаемых примеров. Чем больше примеров Вы прорешиваете, тем лучше начинает работать и справляться с ними мозг. Конечно же, это не означает, что надо убить все свое время только на решение примеров по математике. Очень важное значение тут имеет регулярность!
Каждый день практикуясь в небольшое выделенное для себя время, можно быстро развить свой навык устного счета до приличных возможностей. Необходимо также уделять внимание разнообразию примеров (их видам) – то есть постепенно решать все более сложные и интересные примеры, не останавливаясь на простых!
Также о навыках решения примеров по математике можно прочитать в статье «Как научиться считать в уме» .
Как заставить себя решать примеры по математике?
Зачастую очень тяжело заставить себя заниматься делом, всё больше хочется отдохнуть, не утруждать себя надоедливым занятием, даже осознавая, что это нужно и необходимо. Немногие дети стремятся самостоятельно поучаствовать в своем развитии или хотя бы выполнить домашнее задание.
Поэтому в приложение «Тренажер устного счета » был добавлен игровой соревновательный момент. Возможно это изменит подход к скучному обучению, сделав этот процесс более интересным и завлекающим. Предлагаем самостоятельно опробовать данное приложение и оценить его.
Желаем успехов в решении!